1、知識儲備
考點1. 求值問題
考點2. 定值問題
考點3. 探究類問題
考點4. 分類討論問題
考點5. 新定義問題
考點6. 折疊（翻折）問題
2、經(jīng)典基礎(chǔ)題
3、優(yōu)選提升題
1、角度旋轉(zhuǎn)問題解題步驟：
①找——根據(jù)題意找到目標(biāo)角度；
②表——表示出目標(biāo)角度：
1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間；
2）角度一邊動另一邊不動，角度變小：目標(biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；
3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大：
變小：目標(biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；變大：目標(biāo)角=速度×?xí)r間—起始角
③列——根據(jù)題意列方程求解。
注：①注意題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉(zhuǎn)角度取值范圍。
常見的三角板旋轉(zhuǎn)的問題：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度。
總之不管這個角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來。
考點1. 求值問題
例1．（2022?高新區(qū)期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側(cè)：
（1）保持∠AOB不動，將∠COD繞點O旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則
①∠AOC+∠BOD＝ ；②∠BOC﹣∠AOD＝ ．
（2）若∠COD按每分鐘5°的速度繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∠AOB按每分鐘2°的速度也繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，OC旋轉(zhuǎn)到射線ON上時都停止運動，設(shè)旋轉(zhuǎn)t分鐘，計算∠MOC﹣∠AOD（用t的代數(shù)式表示）．
（3）保持∠AOB不動，將∠COD繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°（n≤360），若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大?。?br>
變式1．（2022·江蘇·七年級期中）已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使∠BOC=α（0≤α＜180°）
（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當(dāng)α=0°時，如圖1，則∠POQ= ；②當(dāng)α=80°時，如圖2，求∠POQ的度數(shù)；③當(dāng)α=130°時，如圖3，請先補全圖形，然后求出∠POQ的度數(shù)；
（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ= ，（請用含m、n的代數(shù)式表示）．
變式2．（2022?香坊區(qū)七年級期中）如圖，點O為直線AB上一點，∠AOC＝90°，在直線AB上方有射線OM、ON分別從OA和OC開始繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中始終保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．
（1）如圖1，證明：ON平分∠MOB；（2）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠CON＝2∠MOQ時，求∠CON的度數(shù)；（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOM是銳角，射線OD在∠MON內(nèi)部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射線OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度數(shù)
考點2. 定值問題
例2．（2022·江蘇南京·七年級期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點O，且∠AOC＝∠AOD，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為15°/s，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為12°/s，運動時間為t秒（0＜t＜12，本題出現(xiàn)的角均小于平角）
（1）圖中一定有 個直角；當(dāng)t＝2時，∠MON的度數(shù)為 ，∠BON的度數(shù)為 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，當(dāng)∠EOF為直角時，請求出t的值；
（3）當(dāng)射線OM在∠COB內(nèi)部，且是定值時，求t的取值范圍，并求出這個定值．
變式1．（2022?渝中區(qū)七年級期中）如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝ °；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發(fā)，繞點O逆時針以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)；當(dāng)OC與OA重合時，∠COD立即反向繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，直到OC與OA互為反向延長線時停止運動．整個運動過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OC′，OD旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設(shè)運動時間為t秒．①當(dāng)OC′平分∠BON′時，求出對應(yīng)的t的值；②請問在整個運動過程中，是否存在某個時間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請直接寫出這個定值及其對應(yīng)的t的取值范圍（包含運動的起止時間）；若不存在，請說明理由．
變式2．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，，射線以的速度從位置出發(fā)，射線以的速度從位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．
(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)若．①當(dāng)三條射線、、構(gòu)成的三個度數(shù)大于的角中，有兩個角相等，求此時的值；②在射線，轉(zhuǎn)動過程中，射線始終在內(nèi)部，且平分，當(dāng)，求的值．
考點3. 探究類問題
例1．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點是直線上一點，∠是直角，平分∠．
（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數(shù)；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．
變式1．（2022·安徽·定遠七年級期末）已知，，OM，ON分別是和的平分線．(1)如圖1，如果OA，OC重合，且OD在的內(nèi)部，求的度數(shù)；
(2)如圖2，固定，將圖1中的繞點O順時針旋轉(zhuǎn)（）．
①與旋轉(zhuǎn)度數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；②當(dāng)n為多少時，為直角？
(3)如果的位置和大小不變，的邊OD的位置不變，改變的大??；將圖1中的OC繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)（），如圖3，請直接寫出與旋轉(zhuǎn)度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：_____．
變式2．（2022·廣東七年級期中）如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．
（1）若∠DCE=25°，∠ACB 等于多少；若∠ACB=130°，則∠DCE 等于多少；（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關(guān)系，并說明理由；（3）如圖（b），若是兩個同樣的三角尺60°銳角的頂點A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關(guān)系，請說明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖（c），若把它們的頂點O重合在一起，則∠AOD與∠BOC的大小有何關(guān)系，請說明理由．
考點4. 分類討論問題
例4．（2022·成都市七中育才學(xué)校七年級月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個頂點重合于點，與重合，且，，，．將三角板繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數(shù)．
（1）當(dāng)三角板繞點旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時，與重合，______°，______°．
（2）三角板繞點旋轉(zhuǎn)過程中，的度數(shù)還有其他可能嗎？如果有，請研究證明結(jié)論，若沒有，請說明理由．（3）類比拓展：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時，其他條件不變，在旋轉(zhuǎn)過程中，請直接寫出的度數(shù)．（用含的式子來表示）
變式1.（2022?廣東七年級期末）如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內(nèi)部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）
(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：
①當(dāng)，時，______，______，______；
②______（用含有或的代數(shù)式表示）．
(2)如圖（3），P為∠AOB內(nèi)任意一點，直線PQ過點O，點Q在∠AOB外部：
①當(dāng)OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數(shù)為______；
②當(dāng)OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數(shù)為______；
（∠MON的度數(shù)用含有或的代數(shù)式表示）
(3)如圖（4），當(dāng)，時，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點O開始逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點O逆時針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時，∠MON的度數(shù)是40°？
變式2．（2022·成都市七年級期中）定義：從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內(nèi)半角，如圖1，若，則是的內(nèi)半角．
（1）如圖1，已知，，是的內(nèi)半角，則________；
（2）如圖2，已知，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度得，當(dāng)旋轉(zhuǎn)的角度為何值時，是的內(nèi)半角；
（3）已知，把一塊含有角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點以3度/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖4），問：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，射線，，，能否構(gòu)成內(nèi)半角？若能，請求出旋轉(zhuǎn)的時間；若不能，請說明理由．

考點5. 新定義問題
例1．（2022·湖北武漢·七年級期末）【學(xué)習(xí)概念】 如圖1，在∠AOB的內(nèi)部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．
【理解運用】（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數(shù)式表示∠MPN；
【拓展提升】 （2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為t秒．當(dāng)PQ與PN成110°時停止旋轉(zhuǎn)．同時射線PM繞點P以每秒6°的速度順時針旋轉(zhuǎn)，并與PQ同時停止．當(dāng)PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝ 秒．
變式1．（2022·江蘇淮安·七年級期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，若∠AOC＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”．
【解決問題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD （填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數(shù)為n，射線OM是射線OB在∠AOB內(nèi)的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數(shù)為 （用含n的代數(shù)式表示）；
(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒1°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)；10秒后射線OC也從與射線OA重合的位置出發(fā)，繞點O以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OC與射線OA的延長線重合時，運動停止．問：當(dāng)射線OC運動時間為多少秒時，射線OA，OB，OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內(nèi)的一條“友好線”？
變式2．（2022·江蘇無錫·七年級期末）類比角平分線的概念，如果一條射線把一個角分成1：2兩部分，則稱這條射線為這個角的一條三等分線，
(1)如圖，已知，是的一條三等分線，．且，求的度數(shù)；
(2)如圖，，是的一條三等分線（），是的角平分線，是的角平分線．若以每秒5的速度繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)t為何值時，射線恰好是的一條三等分線．

考點6. 折疊（翻折）問題
【解題技巧】折疊前后對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等；出現(xiàn)角的比值或無角的具體度數(shù)卻求度數(shù)常設(shè)列方程。在旋轉(zhuǎn)問題中求解角度是初一數(shù)學(xué)的難點題型，需要熟悉并靈活運用角度求解的方法，本文就例題詳細解析這類題型的解題思路，希望能給初一學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來幫助。解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的角度或角與角之間的關(guān)系，確定射線旋轉(zhuǎn)的角度，再根據(jù)射線的旋轉(zhuǎn)速度，就可以求得射線旋轉(zhuǎn)的時間，特別要注意在角的兩邊所處位置不明確的情況下，必須要考慮多解的可能。
例1．（2022·山東東營·期末）如圖，長方形紙片，點、分別在邊、上，連接．將對折，點落在直線上的點處，得折痕；將對折，點落在直線上的點處，得折痕．則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．不能確定
變式1．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）將一張長方形紙片按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點B、D折疊后的對應(yīng)點分別為、，若，則的度數(shù)為（ ）
A．40.5°B．41°C．41.5°D．42°
例2．（2022·遼寧西豐縣·七年級期中）利用折紙可以作出角平分線．
（1）如圖1，若∠AOB＝58°，則∠BOC＝ ．
（2）折疊長方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點A落在點A′，點B落在點B'，連接OA'．
①如圖2，當(dāng)點B'在OA'上時，判斷∠AOC與∠BOD的關(guān)系，并說明理由；
②如圖3，當(dāng)點B'在∠COA'的內(nèi)部時，連接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度數(shù)．
變式2．（2022·湖南長沙·七年級月考）已知長方形紙片ABCD， E、F分別是AD、AB上的一點，點I在射線BC上、連接EF，F(xiàn)I，將∠A沿EF所在的直線對折，點A落在點H處，∠B沿FI所在的直線對折，點B落在點G處．(1)如圖1，當(dāng)HF與GF重合時，則∠EFI＝_________°；
(2)如圖2，當(dāng)重疊角∠HFG＝30°時，求∠EFI的度數(shù)；
(3)如圖3，當(dāng)∠GFI＝α，∠EFH＝β時，∠GFI繞點F進行逆時針旋轉(zhuǎn)，且∠GFI總有一條邊在∠EFH內(nèi)，PF是∠GFH的角平分線，QF是∠EFI的角平分線，旋轉(zhuǎn)過程中求出∠PFQ的度數(shù)(用含α，β的式子表示)．
1．（2022·四川成都市·成都實外）如圖，將長方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊（點F在BC上，不與B，C重合），使點C落在長方形內(nèi)部點E處，若∠BFE＝3∠BFH，∠BFH＝20°，則∠GFH的度數(shù)是（ ）
A．85°B．90°C．95°D．100°
2．（2022·成都市初一月考）如圖，將一張長方形紙片的角A、E分別沿著BC、BD折疊，點A落在A'處，點E落在邊BA'上的E'處，則∠CBD的度數(shù)是（ ）
A．85°B．90°C．95°D．100°
3．（2022·重慶七年級期中）如圖，將一張長方形紙片ABCD沿對角線BD折疊后，點C落在點E處，連接BE交AD于F，再將三角形DEF沿DF折疊后，點E落在點G處，若DG剛好平分∠ADB，那么∠ADB的度數(shù)是（ ）
A．18°B．20°C．36°D．45°
4．（2022·黑龍江·七年級期末）請仔細觀察如圖所示的折紙過程，然后回答下列問題：
（1）的度數(shù)為__________；（2）與有何數(shù)量關(guān)系：______；
（3）與有何數(shù)量關(guān)系：__________；
5.（2022?浙江七年級期中）如圖1，為直線上一點，過點作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）
（1）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結(jié)果）．
（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？
（3）若（2）問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？（直接寫結(jié)果）
6．（2022·重慶八中七年級期末）一副三角板按如圖1所示放置，邊在直線上，．
(1)求圖1中的度數(shù)；(2)如圖2，將三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，同時將三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到射線上時，兩三角板都停止轉(zhuǎn)動．設(shè)轉(zhuǎn)動時間為．
①在范圍內(nèi)，當(dāng)時，求t的值；
②如圖3，旋轉(zhuǎn)過程中，作的角平分線，當(dāng)時．直接寫出時間的值．
7．（2022·安徽·宿城第一初級中學(xué)七年級期中）以直線上一點為端點作射線，使，將一個直角三角板的直角頂點放在處，即．
(1)如圖1，若直角三角板的一邊放在射線上，則______；
(2)如圖2，將直角三角板繞點順時針轉(zhuǎn)動到某個位置，①若恰好平分，則______；②若在內(nèi)部，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______；
(3)將直角三角板繞點順時針轉(zhuǎn)動（與重合時為停止）的過程中，恰好有，求此時的度數(shù)．
8．（2022·福建福州·七年級期末）在一次數(shù)學(xué)活動課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板、按如圖1放置，點A、C、D在同一直線上，（°、），并將三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，且始終保持．
(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當(dāng)點A、C、E在同一直線上時，則____；
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖3，當(dāng)時．請說明平分；
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當(dāng)時，求此時的度數(shù)．
9．（2022·山東·煙臺期中）如圖，將一副三角板放到一起可以擦除怎樣的數(shù)學(xué)火花呢？福山區(qū)某學(xué)校兩個數(shù)學(xué)興趣小組對一副三角板進行了以下兩種方式的擺放組合．已知一副三角板重合的頂點記為點O，作射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，來研究一下45°三角板不動，30°三角板繞重合的頂點O旋轉(zhuǎn)時，∠EOF的度數(shù)如何變化．
【A組研究】在同一平面內(nèi)，將這副三角板的的兩個銳角頂點重合（圖中點O），此時∠AOB=45°，∠COD=30°將三角板OCD繞點O轉(zhuǎn)動．（1）如圖①，當(dāng)射線OB與OC重合時，則∠EOF的度數(shù)為___________；
（2）如圖②，將∠COD繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)，∠EOF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請根據(jù)圖②求出∠EOF的度數(shù)；如果變化，請簡單說明理由．
【B組研究】在同一平面內(nèi)，將這副直角三角板中的一個直角頂點和一個銳角頂點重合(圖中點O)，此時∠AOB=90°，∠COD=30°，將三角板OCD繞點O轉(zhuǎn)動．
（3）如圖③，當(dāng)三角板OCD擺放在三角板AOB內(nèi)部時，則∠EOF的度數(shù)為___________；
（4）如圖④，當(dāng)三角板OCD轉(zhuǎn)動到三角板AOB外部，設(shè)∠BOC=β，∠EOF的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果不變，請根據(jù)圖④求出∠EOF的度數(shù)；如果變化，請簡單說明理由．
10．（2022·貴州遵義·七年級期末）【閱讀理解】在學(xué)習(xí)《角的比較與運算》內(nèi)容時，教材設(shè)置這樣的一個探究：借助三角尺拼出15°，75°的角，即通過一副三角尺可以拼出一些特殊度數(shù)的角．
(1)【實踐】在度數(shù)分別為①135°，②120°，③105°，④25°的角中，小明同學(xué)利用一副三角尺拼不出來的是__________．（填序號）
(2)【操作】七（1）班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組用一副三角尺進行拼角．如圖1，巧巧把30°和90°的角拼在一起，如圖2，嘉琪把60°和90°的角拼在一起，他們兩人各自所拼的兩個角均在公共邊OC的異側(cè)，并在各自所拼的圖形中分別作出的平分線OE和的平分線OF．
【探究】通過上述操作，巧巧計算出圖1中的，請你直接寫出圖2中的__________°．
(3)【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)有公共頂點的兩個角和有一條邊重合，且這兩個角在公共邊的異側(cè)時，這兩個角的平分線的夾角的度數(shù)是__________（用含，的代數(shù)式表示）．
(4)【拓展】巧巧把圖1中的三角尺AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°到圖3的位置，使O，D，B三點在同一條直線上，并求出了的度數(shù)為．嘉琪把圖2中的三角尺AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°到圖4的位置，使O，D，B三點在同一條直線上．請你仿照巧巧的做法，求出圖4中的度數(shù)．
(5)【歸納】根據(jù)上述探究，可以歸納出：當(dāng)有公共頂點的兩個角和有（其中）有一條邊重合，且這兩個角在公共邊的同側(cè)時，這兩個角的平分線的夾角的度數(shù)是__________（用含，的代數(shù)式表示）．
11．（2022·四川資陽·七年級期末）如圖-1，點O為直線上一點，過點O作射線，使，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一直角邊在射線上，另一邊在直線的下方．
(1)如圖-2，將圖-1中的三角形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使一邊在的內(nèi)部，且恰好平分，此時直線是否平分？請說明理由；(2)如圖-3，繼續(xù)將圖-2中三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使得在的內(nèi)部，探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)將圖-1中的三角板繞點O以每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，若直線恰好平分，此時三角板繞點O旋轉(zhuǎn)的時間是多少秒？
12．（2022·四川成都·七年級期末）【閱讀理解】
定義：在一條直線同側(cè)的三條具有公共端點的射線之間若滿足以下關(guān)系，其中一條射線分別與另外兩條射線組成的角恰好滿足2倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該射線是另外兩條射線的“雙倍和諧線”．如圖1，點P在直線l上，射線PR，PS，PT位于直線l同側(cè)，若PS平分∠RPT，則有∠RPT＝2∠RPS，所以我們稱射線PR是射線PS，PT的“雙倍和諧線”．
【遷移運用】(1)如圖1，射線PS （選填“是”或“不是”）射線PR，PT的“雙倍和諧線”；射線PT （選填“是”或“不是”）射線PS，PR的“雙倍和諧線”；
(2)如圖2，點O在直線MN上，OAMN，∠AOB＝40°，射線OC從ON出發(fā)，繞點O以每秒4°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，運動時間為t秒，當(dāng)射線OC與射線OA重合時，運動停止．
①當(dāng)射線OA是射線OB，OC的“雙倍和諧線”時，求t的值；
②若在射線OC旋轉(zhuǎn)的同時，∠AOB繞點O以每秒2°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，且在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OD平分∠AOB．當(dāng)射線OC位于射線OD左側(cè)且射線OC是射線OM，OD的“雙倍和諧線”時，求∠CON的度數(shù)．
13．（2022·四川成都·七年級期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，OM，ON，ON始終在OM的右側(cè)，∠BOC=112°，∠MON=α．
(1)如圖1，當(dāng)α=70°，OM平分∠BOC時，求∠NOB的度數(shù)；
(2)如圖2，當(dāng)OM與OB邊重合，ON在OB的下方時，α=80°，將∠MON繞O點按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)n（0°＜n＜180°），使射線ON與∠BOC的角平分線形成夾角為30°，求此時旋轉(zhuǎn)一共用了多少秒；
(3)當(dāng)∠MON在直線AB上方時，若α=90°，點F在射線OB上，射線OF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA=2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH=124°，請直接寫出此時n的值．
14．（2022·安徽·定遠縣七年級期末）已知，，OM，ON分別是和的平分線．
(1)如圖1，如果OA，OC重合，且OD在的內(nèi)部，求的度數(shù)；
(2)如圖2，固定，將圖1中的繞點O順時針旋轉(zhuǎn)（）．
①與旋轉(zhuǎn)度數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；②當(dāng)n為多少時，為直角？
(3)如果的位置和大小不變，的邊OD的位置不變，改變的大??；將圖1中的OC繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)（），如圖3，請直接寫出與旋轉(zhuǎn)度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：_____．

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