人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期中復(fù)習(xí) 專題08 三角形中的特殊模型-雙角平分線模型（2份，原卷版+解析版）

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1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型
條件：如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE，CF交于點(diǎn)G；結(jié)論：．

圖1 圖2 圖3
2）兩外角平分線的夾角模型
條件：如圖2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分線；結(jié)論：．
3）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型
條件：如圖3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：．

圖4 圖5 圖6
4）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型
條件：如圖4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：
5）兩內(nèi)角平分線的夾角模型
條件：如圖5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：
6）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型（累計(jì)平分線）
條件：如圖6，，的平分線相交于點(diǎn)，的平分線相交于點(diǎn)，，的平分線相交于點(diǎn)……以此類推；結(jié)論：的度數(shù)是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)
條件：如圖，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)D；結(jié)論：AD平分∠CAD
例1．（2023·綿陽(yáng)市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，，平分，平分，則 .
例2．（2023·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)P，則（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023秋·山西太原·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，是內(nèi)一點(diǎn)，連接，．
(1)猜想：與、、存在怎樣的等量關(guān)系？證明你的猜想．(2)若，、分別是、的三等分線，直接利用（1）中結(jié)論，可得的度數(shù)為 ．
例4．（2023秋·成都市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)E，則 ．
例5．（2023·綿陽(yáng)市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知在中，、的外角平分線相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù).
例6．（2023春·廣西·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABD中，∠ABD的平分線與∠ACD的外角平分線交于點(diǎn)E，∠A=80°，求∠E的度數(shù)
例7．（2023春·山東泰安·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，與的平分線交于點(diǎn)，得；與的平分線相交于點(diǎn)，得；；與的平分線相交于點(diǎn)，得，則 ．
例8．（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖1，點(diǎn)D是△ABC外的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系．
(1)特例探究：如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝ ；
如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝ ；這兩個(gè)圖中，與∠A度數(shù)的比是 ；(2)猜想證明：如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關(guān)系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若不成立，說(shuō)明理由．
例9．（2023·重慶·七年級(jí)專題練習(xí)）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問(wèn)題.
探究1：如圖1，在△ABC 中，O 是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，分析發(fā)現(xiàn)，理由如下：∵BO和CO分別是∠ABC、∠ACB 的角平分線
∴，
∴
∴
（1）探究2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn)，試分析∠BOC與∠A 有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）探究3： 如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則與有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（3）拓展：如圖4，在四邊形ABCD中，O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A+∠D有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）
（4）運(yùn)用：如圖5，五邊形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分別是∠FCD、∠GDC，CP、DP分別平分∠FCD和∠GDC且相交于點(diǎn)P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，則∠CPD=_____度．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，平分，點(diǎn)是射線，上的點(diǎn)，連接．按以下步驟作圖：

①以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；
②分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；
③作射線，交于點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江蘇·八年級(jí)月考）中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離相等；，則
A．B．C．D．
3．（2023·成都·八年級(jí)月考）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，若，則
A．B．C．D．
4．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，中，，，點(diǎn)D、E分別在、延長(zhǎng)線上，平分，平分，連接，則的度數(shù)為（ ）

A．45°B．48°C．60°D．66°
5．（2023秋·綿陽(yáng)市·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)D，連接，下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A．B．C．D．
6．（2022春·重慶黔江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)在兩平行線之間，連接，，的平分線與的平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，則等于（ ）．
A．B．C．D．
7．（2022春·北京海淀·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與y軸在正半軸、x軸正半軸分別交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
8．（2023·江蘇·八年級(jí)月考）如圖，的外角的平分線與內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是 ．
9．（2023春·河北·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)BO與∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D，若∠BOC＝130°，則∠D＝
10．（2022秋·浙江八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（2018育才單元考） 如圖，在△ABC中，和的角平分線交于點(diǎn)，得，和的角平分線交于點(diǎn)，得，……，和的角平分線交于點(diǎn)，得
（1）若，則 ， ，
（2）若，則 ．
11．（2023·浙江杭州·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形中，，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，則 ．（用含字母的代數(shù)式表示）
12．（2023春·河南·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是△ABC兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是△ABC兩外角平分線的交點(diǎn)，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
13．（2023·甘肅隴南·統(tǒng)考一模）在中，，．點(diǎn)M在的延長(zhǎng)線上，的平分線交于點(diǎn)D．的平分線與射線交于點(diǎn)E．
(1)依題意補(bǔ)全圖形；用尺規(guī)作圖法作的平分線；(2)求的度數(shù)．

14．（2023·山東八年級(jí)期中）如圖，在中，角平分線、、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，成立嗎？說(shuō)明理由.
15．（2023·黑龍江八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖（1）所示，已知在△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點(diǎn)．試猜想∠BOC和∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖（2）所示，若O為∠ABC的平分線BO和∠ACE的平分線CO的交點(diǎn)，則∠BOC與∠A的關(guān)系又該怎樣？為什么？
16．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分線所在的直線分別與∠ABC，∠CBF的平分線BD，BE交于點(diǎn)D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度數(shù)；（2）若∠A=a，求∠E；（3）連接AD，若∠ACB=，則∠ADB= ．
17．（2023·福建泉州·七年級(jí)階段練習(xí)）在中，已知.
（1）如圖1，的平分線相交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，度數(shù)= 度（直接寫出結(jié)果）；
②的度數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，若的平分線與角平分線交于點(diǎn),求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
（3）在（2）的條件下，將以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到，的角平分線與的角平分線交于點(diǎn)（如圖3），求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
18．（2023·江蘇鹽城·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABC的角平分線相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度數(shù)；（2）設(shè)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度數(shù)
（3）設(shè)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分線相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度數(shù)
19．（2023·江西上饒·八年級(jí)校考階段練習(xí)）(1)探究1:如圖1,P是△ABC的內(nèi)角∠ABC與∠ACB的平分線BP和CP的交點(diǎn),若∠A=70°，則∠BPC=_______度；
(2)探究2:如圖2，P是△ABC的外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BP和CP的交點(diǎn)，求∠BPC與∠A的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由．
(3)拓展：如圖3，P是四邊形ABCD的外角∠EBC與∠BCF的平分線BP和CP的交點(diǎn)，設(shè)∠A+∠D=α.,直接寫出∠BPC與α的數(shù)量關(guān)系；
20．（2023·甘肅天水·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在△ABC中，圖1，圖2，圖3中的△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O，
（1）如圖1，點(diǎn)O是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，猜想∠O與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
（2）請(qǐng)直接寫出結(jié)果．
如圖2，若，△ABC的內(nèi)角平分線與外角平分線交于點(diǎn)O，則∠O＝________；
如圖3，若，△ABC的兩個(gè)外角平分線交于點(diǎn)O，則∠O＝_________．