2025屆人教新高考高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)規(guī)范練16利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值Word版附解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+x的極大值點(diǎn)為m,極小值點(diǎn)為n,則m+n等于( )
A.0B.2
C.-4D.-2
答案:B
解析:f'(x)=3x2-6x+1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3-3x2+x的極大值點(diǎn)為m,極小值點(diǎn)為n,
所以x1=m,x2=n為3x2-6x+1=0的兩根.
由根與系數(shù)的關(guān)系,可知m+n=-(-6)3=2.
2.若x=1是函數(shù)f(x)=ax+ln x 的極值點(diǎn),則( )
A.f(x)有極大值-1
B.f(x)有極小值-1
C.f(x)有極大值0
D.f(x)有極小值0
答案:A
解析:f'(x)=a+1x(x>0).
∵x=1是函數(shù)f(x)=ax+ln x的極值點(diǎn),
∴f'(1)=0,∴a+11=0,∴a=-1.
當(dāng)x>1時(shí),f'(x)0,解得a>1.
因此“a>3”是“函數(shù)f(x)=(x-a)ex在區(qū)間(0,+∞)上有極值”的充分不必要條件.
5.已知函數(shù)f(x)=13x3-4x+a在區(qū)間[0,3]上的最大值為2,則a的值為( )
A.-103B.2C.5D.223
答案:B
解析:f'(x)=x2-4.令f'(x)>0,解得x>2或x0,x1+x2=ba>0,x1x2=-2ca>0,
所以b2+8ac>0,且ab>0,acb-1
B.ln a0),則g'(a)=1a-3=1-3aa,
即g(a)在區(qū)間0,13內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間13,+∞內(nèi)單調(diào)遞減,
故g(a)max=g13=1-ln 30,可得x6;由f'(x)=3(x2-8x+12)0).
f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1).
令f'(x)=0,
解得x=0或x=1a.
分以下三種情況討論:
①若1a>1,即00,
所以f(x)min=f(-1)=12-a.
③當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3-32x2+2,則f'(x)=3x2-3x=3x(x-1).
由f(x)在區(qū)間[-1,1]上的單調(diào)性,知求此區(qū)間的最小值只比較f(1),f(-1)的大小即可,f(1)=32,f(-1)=-12,
所以f(x)min=f(-1)=-12.
綜上所述,f(x)min=f(-1)=12-a.
三、探究創(chuàng)新
15.已知函數(shù)f(x)=x2-1x+aln x(a∈R).
(1)當(dāng)a=-3時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,求a的取值范圍.
解:(1)當(dāng)a=-3時(shí),f(x)=x2-1x-3ln x(x>0),
f'(x)=2x+1x2?3x=2x3-3x+1x2=2x2(x-1)x-3-12x+3+12,
當(dāng)3-120.
即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是3-12,1,單調(diào)遞增區(qū)間是0,3-12和(1,+∞).
(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,
則需f'(x)=2x+1x2+ax=2x3+ax+1x2(x>0)有兩個(gè)不相等的正零點(diǎn).
令g(x)=2x3+ax+1(x>0),故需g(x)有兩個(gè)不相等的正零點(diǎn),而g'(x)=6x2+a.
①當(dāng)a≥0時(shí),g'(x)>0,此時(shí)g(x)不可能有兩個(gè)不相等的正零點(diǎn),故f(x)不可能有兩個(gè)極值點(diǎn).
②當(dāng)a

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