1.
如圖,可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線為l:y=g(x),設(shè)h(x)=f(x)-g(x),則下列說法正確的是( )
A.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的極大值點
B.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的極小值點
C.h'(x0)≠0,x=x0不是h(x)的極值點
D.h'(x0)≠0,x=x0是h(x)的極值點
2.已知函數(shù)f(x)=ex+-ln x的極值點為x1,函數(shù)h(x)=的最大值為x2,則( )
A.x1>x2B.x2>x1
C.x1≥x2D.x2≥x1
3.某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元,每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤,每種植一斤藕,成本增加0.5元.如果銷售額函數(shù)是f(x)=-x3+ax2+x(x是蓮藕種植量,單位:萬斤;銷售額的單位:萬元,a是常數(shù)),若種植2萬斤蓮藕,利潤是2.5萬元,則要使利潤最大,每年需種植蓮藕( )
A.8萬斤B.6萬斤
C.3萬斤D.5萬斤
4.(多選)如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示,給出下列判斷:①函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-3,-上單調(diào)遞增;②當(dāng)x=-2時,函數(shù)y=f(x)有極小值;③函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增;④當(dāng)x=3時,函數(shù)y=f(x)有極小值.
則上述判斷錯誤的是( )
A.①B.②C.③D.④
5.(多選)已知函數(shù)f(x)=ln|x|-x+,下列四個結(jié)論中正確的有( )
A.曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為x+y-1=0
B.f(x)恰有2個零點
C.f(x)既有最大值,又有最小值
D.若x1>0,x2>0且f(x1)+f(x2)=0,則x1x2=1
6.已知函數(shù)f(x)=a-2x+ln x,f(x)有極大值f(x1)和極小值f(x2),則實數(shù)a的取值范圍是 ,f(x1)+f(x2)= .
7.設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,a∈R.
(1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,求a;
(2)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍.
綜合提升組
8.已知函數(shù)f(x)=aln(x+b)-.
(1)若a=1,b=0,求f(x)的最大值;
(2)當(dāng)b>0時,討論f(x)極值點的個數(shù).
9.已知函數(shù)f(x)=ln x+kx.
(1)當(dāng)k=-1時,求函數(shù)f(x)的極值點;
(2)當(dāng)k=0時,若f(x)+-a≥0(a,b∈R)恒成立,求ea-1-b+1的最大值.
10.已知函數(shù)f(x)=x2-x(ln x-b-1),a,b∈R.
(1)略;
(2)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且c≤e2a+b,求c的最大值.
創(chuàng)新應(yīng)用組
11.
疫情期間,某小區(qū)超市平面圖如圖所示,由矩形OABC與扇形OCD組成,OA=30米,AB=50米,∠COD=,經(jīng)營者決定在點O處安裝一個監(jiān)控攝像頭,攝像頭的監(jiān)控視角∠EOF=,攝像頭監(jiān)控區(qū)域為圖中陰影部分,要求點E在弧CD上,點F在線段AB上,設(shè)∠FOC=θ.
(1)求該監(jiān)控攝像頭所能監(jiān)控到的區(qū)域面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式,并求出tan θ的取值范圍;
(2)求監(jiān)控區(qū)域面積S最大時,角θ的正切值.
12.已知函數(shù)f(x)=x-aln x.
(1)若曲線y=f(x)+b(a,b∈R)在x=1處的切線方程為x+y-3=0,求a,b的值;
(2)求函數(shù)g(x)=f(x)+(a∈R)的極值點;
(3)設(shè)h(x)=f(x)+aex-+ln a(a>0),若當(dāng)x>a時,不等式h(x)≥0恒成立,求a的最小值.
參考答案
課時規(guī)范練16 利用導(dǎo)數(shù)研究
函數(shù)的極值、最值
1.B 由題意知,g(x)=f'(x0)(x-x0)+f(x0),故h(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0)-f(x0),所以h'(x)=f'(x)-f'(x0).因為h'(x0)=f'(x0)-f'(x0)=0,又因為當(dāng)x0,所以x=x0是h(x)的極小值點.故選B.
2.A f'(x)=ex+x-在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且f'=>0,f'=0時,f'(x)=-1-,所以f'(1)=-1,所求切線方程為y-0=-(x-1),即x+y-1=0,故A正確;對于C,當(dāng)x>0時,f'(x)=0,x2>0,由f(x1)+f(x2)=0,得f(x1)=-f(x2)=-lnx2-x2+=ln=f,因為f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以x1=,即x1x2=1,故D正確.故選ABD.
6.0, -ln 2 由題意知f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=a--2+令g(x)=-2ax2+x-a,因為f(x)有極大值和極小值,故g(x)=-2ax2+x-a在區(qū)間(0,+∞)上有兩個不相等的實數(shù)根.故
即解得a∈0,.
可知x1+x2=,x1x2=
故f(x1)+f(x2)=a-2x1+lnx1+a-2x2)+lnx2=a-2(x1+x2)+lnx1x2=a+ln=-ln2.
7.解 (1)因為f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex=[ax2-(2a+1)x+2]ex.f'(1)=(1-a)e.
由題設(shè)知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此時f(1)=3e≠0,所以a的值為1.
(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.
若a>,則當(dāng)x時,f'(x)0.
所以2不是f(x)的極小值點.綜上可知,a的取值范圍是
8.解 (1)當(dāng)a=1,b=0時,f(x)=lnx-,
此時,函數(shù)f(x)定義域為(0,+∞),
f'(x)=,
由f'(x)>0,得0時,f(x)極值點的個數(shù)為2.
9.解 (1)f(x)定義域為(0,+∞),當(dāng)k=-1時,f(x)=lnx-x,f'(x)=-1,令f'(x)=0,得x=1,當(dāng)f'(x)>0時,解得00,函數(shù)g(x)在(0,b)上單調(diào)遞減,在(b,+∞)上單調(diào)遞增,
所以g(x)min=g(b)=lnb+1,
所以a≤lnb+1,所以a-1≤lnb,所以ea-1≤b,ea-1-b+1≤1,故當(dāng)且僅當(dāng)ea-1=b時,ea-1-b+1取得最大值為1.
10.解 (1)略
(2)因為f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,即f'(x)=ax+b-lnx≥0在(0,+∞)上恒成立,設(shè)h(x)=ax+b-lnx,則h'(x)=a-,
①若a=0,則h'(x)0),所以當(dāng)a+1≤0,即a≤-1時,g'(x)>0,g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),無極值點;
當(dāng)a+1>0,即a>-1時,則當(dāng)00,∴g(x)在(0,a+1)上單調(diào)遞減,在(a+1,+∞)上單調(diào)遞增,所以x=a+1是g(x)的極小值點,無極大值點.
綜上可知,當(dāng)a≤-1時,函數(shù)g(x)無極值點;當(dāng)a>-1時,函數(shù)g(x)的極小值點是a+1,無極大值點.
(3)h(x)=f(x)+aex-+lna=aex-lnx+lna(a>0),由題意知,當(dāng)x>a時,aex-lnx+lna≥0恒成立,
又不等式aex-lnx+lna≥0等價于aex≥ln,
即exln,即xexln,①
由x>a>0知:>1,ln>0,所以①式等價于ln(xex)≥ln,
即x+lnx≥ln+ln,
設(shè)φ(x)=x+lnx(x>0),
則原不等式即為φ(x),
又φ(x)=x+lnx(x>0)在(0,+∞)上為增函數(shù),
∴原不等式等價于x≥ln,②
又②式等價于ex,即a(x>a>0),設(shè)F(x)=(x>0),
則F'(x)=,∴F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
又x>a>0,∴當(dāng)0

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