(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)如圖，點D是拋物線上的一個動點，設(shè)點D的橫坐標(biāo)是，過點D作直線軸，垂足為點E，交直線于點F．當(dāng)D，E，F(xiàn)三點中一個點平分另外兩點組成的線段時，求線段的長；
【分析】（1）將點，代入解析式即可求解；
（2）可求直線的解析式為，可得，，，①當(dāng)時，可求，，即可求解；②當(dāng)時，，，即可求解；
【詳解】（1）解：由題意得
解得，
故拋物線的表達(dá)式；
（2）解：當(dāng)時，，
，
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得：，
直線的解析式為，
點D的橫坐標(biāo)是，過點D作直線軸，
，，，
①如圖，當(dāng)時，

，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
不合題意，舍去，
，
；
②如圖，當(dāng)時，

，
，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
；
綜上所述：線段的長為或．
2．（2023·青海西寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點，與y軸交于點，拋物線經(jīng)過點A，B，且對稱軸是直線．

(1)求直線l的解析式；
(2)求拋物線的解析式；
(3)點P是直線l下方拋物線上的一動點，過點P作軸，垂足為C，交直線l于點D，過點P作，垂足為M．求的最大值及此時P點的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）由題意易證為等腰直角三角形，即得出．設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，從而可求出．再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，有最大值是，此時最大，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)直線l的解析式為，
把A，B兩點的坐標(biāo)代入解析式，得，
解得：，
∴直線l的解析式為；
（2）解：設(shè)拋物線的解析式為，
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴．
把A，B兩點坐標(biāo)代入解析式，得，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（3）解：∵ ，
∴．
∵在中，
∴．
∵軸，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
設(shè)點P的坐標(biāo)為，則，
∴．
∵，
∴當(dāng)時，有最大值是，此時最大，
∴，
當(dāng)時，，
∴，
∴的最大值是，此時的P點坐標(biāo)是．
3．（2023·湖北襄陽·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過拋物線的頂點．

(1)如圖，當(dāng)拋物線經(jīng)過原點時，其頂點記為．
①求拋物線的解析式并直接寫出點的坐標(biāo)；
③當(dāng)時.動點在直線下方的拋物線上，過點作軸交直線于點，令，求的最大值．
(2)當(dāng)拋物線不經(jīng)過原點時，其頂點記為.當(dāng)直線同時經(jīng)過點和（1）中拋物線的頂點時，設(shè)直線與拋物線的另一個交點為，與軸的交點為.若，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)①拋物線的解析式為，頂點的坐標(biāo)為；②的值為或1；③取得最大值
(2)的取值范圍為或
【分析】（1）由拋物線經(jīng)過原點，可得，即可求得，①利用配方法將拋物線解析式化為頂點式即可求得答案；
③把代入，可得，設(shè)點，可得，進(jìn)而可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；
（2）利用配方法可得，運用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，可得，，分兩種情況：當(dāng)時，點在第二象限，點在軸的負(fù)半軸上，作點關(guān)于點的對稱點，則，，再由，即，可得，解不等式即可求得答案；當(dāng)時，點在第一象限，點在、之間，作點關(guān)于點的對稱點，同理可求得答案．
【詳解】（1）∵拋物線經(jīng)過原點，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
①拋物線的解析式為，
∵，
∴頂點的坐標(biāo)為；
②當(dāng)，即時，隨增大而減小，
由題意得：，
解得：，（舍去），
∴的值為，
當(dāng)時，則若時，的最小值為，不符合題意，
當(dāng)時，隨增大而增大，
由題意得：，
解得：（舍去），，
∴的值為1，
綜上所述，的值為或1；
③由題意得：當(dāng)時，則，
∵經(jīng)過點，
∴，可得，
∴，
由，可得，，
設(shè)點，且，
∵軸，
∴，
可得：，則，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時，取得最大值；
（2）∵，
∴，
∵直線：經(jīng)過點、，
∴，解得：，
∴直線的解析式為，
令，得，
∴，
聯(lián)立方程得：，
解得：，，
當(dāng)時，，
∴，
當(dāng)時，點在第二象限，點在軸的負(fù)半軸上，作點關(guān)于點的對稱點，如圖，
則，，

∵，
∴，
即，
∴，
化簡得：，
令，
解得：（舍去），，
∴，
∵，
∴，
∴；
當(dāng)時，點在第一象限，點在、之間，作點關(guān)于點的對稱點，如圖，
則，，

∵，
∴，
即，
∴，
化簡得：，
令，
解得：，（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴；
綜上所述，的取值范圍為或．
4．（2023·湖北黃石·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．

(1)求此拋物線的解析式；
(3)若點D，E分別是線段，上的動點，且，求的最小值．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，
即，則，
故拋物線的表達(dá)式為：①；
（3）解：作，

設(shè)，
，
且相似比為，
則，
故當(dāng)、、共線時，為最小，
在中，設(shè)邊上的高為，
則，
即，
解得：，
則，
則，
過點作軸于點，
則，
即點的縱坐標(biāo)為：，
同理可得，點的橫坐標(biāo)為：，
即點，
由點、的坐標(biāo)得，，
即的最小值為．
5．（2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點分別為和（點在點的左側(cè)），與軸交于點，點是直線上方拋物線上一動點．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，過點作軸平行線交于點，過點作軸平行線交軸于點，求的最大值及點的坐標(biāo)；
【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點，與軸交于點
解得
拋物線的解析式為：；
（2）解：當(dāng)時，，
解得，，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
把，代入得：，
解得
∴直線的解析式為，

設(shè)，
∵軸，
∴點的縱坐標(biāo)為，
又∵點在直線上，
∴，，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時，有最大值，最大值為，
當(dāng)時，，
∴點的坐標(biāo)為；
答：的最大值為，點的坐標(biāo)為；
6．（2023·甘肅武威·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點，與直線交于點，點在軸上．點從點出發(fā)，沿線段方向勻速運動，運動到點時停止．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(3)如圖2，點從點開始運動時，點從點同時出發(fā)，以與點相同的速度沿軸正方向勻速運動，點停止運動時點也停止運動．連接，，求的最小值．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（3）由題意得，，連接．在上方作，使得，，證明，根據(jù)得出的最小值為，利用勾股定理求得，即可得解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點，
∴，
∴，
∴；
（3）如圖2，由題意得，，連接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（當(dāng)，，三點共線時最短），
∴的最小值為，
∵，
∴，
即的最小值為．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·四川眉山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點兩點，與y軸交于點，點P是拋物線上的一個動點．

(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點P在直線上方的拋物線上時，連接交于點D．如圖1．當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點P的坐標(biāo)及的最大值；
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；
（2）過點P作軸，交于點Q，求出直線的解析式為，設(shè)點P的坐標(biāo)為，則點，得出，根據(jù)軸，得出，根據(jù)，求出點P的坐標(biāo)和最大值即可；
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：過點P作軸，交于點Q，如圖所示：

設(shè)直線的解析式為，把，代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
設(shè)點P的坐標(biāo)為，則點，
∵點P在直線上方的拋物線上，
∴，
∵軸，
∴，
∴
∵，
∴
，
∴當(dāng)時，有最大值，
此時點P的坐標(biāo)為．
【點睛】本題主要考查了求拋物線的解析式，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，兩點間距離公式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，作出輔助線或畫出圖形．

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