二次函數(shù)與將軍飲馬問題必備的基礎(chǔ)模型有：
模型1：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB最?。?br>
作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB'
模型2：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．

連接AB并延長交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，的最大值為AB
模型3：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．

作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最大值為AB'
模型4：點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得△PCD周長最?。?br>
分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．△PCD周長的最小值為P′P″
模型5：點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得PD＋CD最?。?br>
作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值為P′C
【例1】 (2023?黑龍江）如圖，已知拋物線y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．
（1）若拋物線過點(diǎn)M（﹣2，﹣2），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，解答下列問題；
①求出△BCE的面積；
②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使CH+EH的值最小，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．
【例2】 (2023?甘肅）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝（x+3）（x﹣a）與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，且OC＝OB，D，E分別是線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)A，B，C重合）．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）連接DE并延長交拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)DE⊥x軸，且AE＝1時(shí)，求DP的長；
（3）連接BD．
①如圖2，將△BCD沿x軸翻折得到△BFG，當(dāng)點(diǎn)G在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
②如圖3，連接CE，當(dāng)CD＝AE時(shí)，求BD+CE的最小值．
【例3】． (2023?達(dá)州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接BC，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，交x軸于點(diǎn)E．若點(diǎn)Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線AQ，BQ分別交直線l于點(diǎn)M，N，在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，EM+EN的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【例4】． (2023?天津）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a＞0）的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直線x＝m（m是常數(shù)，1＜m＜3）與拋物線相交于點(diǎn)M，與BP相交于點(diǎn)G，當(dāng)MG取得最大值時(shí)，求點(diǎn)M，G的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若3b＝2c，直線x＝2與拋物線相交于點(diǎn)N，E是x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸的負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PF+FE+EN的最小值為5時(shí)，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)．
【例5】 (2023?常德）如圖，已知拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱軸為x＝2，點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求B的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，求P的坐標(biāo)以及PA﹣PB的最大值．
1． (2023?濱城區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0），經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第四象限，當(dāng)S△NBC＝S△ABC時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）問的條件下，過點(diǎn)C作直線l∥x軸，動(dòng)點(diǎn)P（m，3）在直線l上，動(dòng)點(diǎn)Q（m，0）在x軸上，連接
PM、PQ、NQ，當(dāng)m為何值時(shí)，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
2． (2023?淮北模擬）已知拋物線l1：y＝ax2+bx﹣2和直線l2：y＝﹣x﹣均與x軸相交于點(diǎn)A，拋物線l1與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B（3，0）．
（1）求a，b的值；
（2）將拋物線l1向右平移h個(gè)單位長度，使其頂點(diǎn)C落在直線l2上，求h的值；
（3）設(shè)拋物線l1和直線l2的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在線段AD的下方（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，交直線l2于點(diǎn)M，N，記W＝PM+PN，求W的最大值．
3． (2023?南寧一模）如圖1所示拋物線與x軸交于O，A兩點(diǎn)，OA＝6，其頂點(diǎn)與x軸的距離是6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P的直線y＝x+m與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q．
①當(dāng)△POQ與△PAQ的面積之比為1：3時(shí)，求m的值；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)B（3，3）的直線AB與直線PQ交于點(diǎn)C，求PC+CQ的最大值．
4． (2023?成都模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y軸，x軸分別相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三點(diǎn)，點(diǎn)D是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為拋物線上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連接AC，若S△ACP＝S△ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M是第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠AMB＝45°，連接MD，MC，求2MD+MC的最小值．
5． (2023?成都模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝a（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左邊），且經(jīng)過點(diǎn)C（﹣2，3），P為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)H自點(diǎn)C出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)M，再到達(dá)y軸上某點(diǎn)N，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，求使點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長；
（3）如圖2，過點(diǎn)C的直線l與拋物線有唯一的公共點(diǎn)，將直線l向下平移交拋物線于D，E兩點(diǎn)，連BD交y軸正半軸于F，連BE交y軸負(fù)半軸于G，試判斷|OF﹣OG|是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
6． (2023?沈陽模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c的“衍生直線”為y＝﹣ax+b，有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)在“衍生直線”上的三角形為該拋物線的“衍生三角形”．
如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與其“衍生直線”交于A，D兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)D的左側(cè)），與x軸正半軸相交于點(diǎn)B，與y軸正半軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）填空：該拋物線的“衍生直線”的解析式為 ；B的坐標(biāo)為 ；D的坐標(biāo)為 ．
（2）如圖1，動(dòng)點(diǎn)E在線段AB上，連接DE，DB，將△BDE以DE所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為F，若三角形△DEF為該拋物線的“衍生三角形”，且F不在拋物線上，求點(diǎn)F坐標(biāo)．
（3）拋物線的“衍生直線”上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且MN＝，連接PM，CN，當(dāng)PM+MN+CN最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．
7． (2023?沈陽模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，2）和點(diǎn)B（4，﹣），且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）分別求拋物線和直線BC的解析式；
（2）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)G，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)H，是否存在以O(shè)，A，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求PD+PA的最小值．
8． (2023?沈河區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和B（點(diǎn)B在A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AP，與y軸交于點(diǎn)D，連接BD，當(dāng)△BOD≌△COA時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接OP，與線段BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，且CE＝BQ，當(dāng)OE+CQ的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
9． (2023?邵陽縣模擬）如圖，直線l：y＝﹣3x﹣6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、C；經(jīng)過點(diǎn)A、C的拋物線C：與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線C的對(duì)稱軸．
（2）將直線l向右平移得到直線l1．
①如圖①，直線l1與拋物線C的對(duì)稱軸DE相交于點(diǎn)P，要使PB+PC的值最小，求直線l1的解析式．
②如圖 ②，直線l1與直線BC相交于點(diǎn)F，直線l1上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
10． (2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|BM﹣CM|的值最小時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，使得以點(diǎn)B、N、H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
11． (2023?立山區(qū)一模）已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（3，0），拋物線y＝ax2+bx+4過A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與C點(diǎn)重合），作PQ⊥BC交拋物線于點(diǎn)Q，PH⊥x軸于點(diǎn)H．
①連結(jié)CQ，BQ，PB，當(dāng)四邊形PCQB的面積為時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②直接寫出PH+PQ的取值范圍．
12． (2023?招遠(yuǎn)市一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．
（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值．
（4）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，m），直接寫出使MN+MD的和最小時(shí)m的值．
13． (2023?桓臺(tái)縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），點(diǎn)M為頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)M作y軸的垂線，垂足為C，過點(diǎn)B作y軸的平行線，交CM于點(diǎn)D，點(diǎn)H為OC上的任一點(diǎn)，將線段HB繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到HP．求∠PCD的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，將點(diǎn)H改為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，BP，求OP+BP的最小值．
14． (2023?成都模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作BC的垂線與拋物線的對(duì)稱軸和y軸分別交于點(diǎn)G，H，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
①求DF+HF的最大值；
②連接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．
15． (2023?朝陽）如圖，拋物線y＝﹣+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4）．
（1）求拋物線表達(dá)式；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)M是直線BP上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線BP的最大距離；
（4）點(diǎn)G是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，三個(gè)動(dòng)點(diǎn)都不與點(diǎn)A，B，C重合，連接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接寫出△GHQ周長的最小值．
16． (2023?大慶）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，且其頂點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在定點(diǎn)F，使得拋物線y＝ax2+bx+c上的任意一點(diǎn)G到定點(diǎn)F的距離與點(diǎn)G到直線y＝﹣2的距離總相等．
①證明上述結(jié)論并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)F的直線l與拋物線y＝ax2+bx+c交于M，N兩點(diǎn)．
證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，+是定值，并求出該定值；
（3）點(diǎn)C（3，m）是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)P，Q，使四邊形PQBC周長最小，直接寫出P，Q的坐標(biāo)．
17． (2023?濱州）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（h，﹣1），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣），點(diǎn)F（2，1）為其對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）已知直線l是過點(diǎn)C（0，﹣3）且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點(diǎn)P（m，n）到直線l的距離為d，求證：PF＝d；
（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)D（4，3），請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)Q，使△DFQ的周長最小，并求此時(shí)△DFQ周長的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
18．（2018?賀州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且OA＝3，OB＝1，與y軸交于C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（﹣1，4）．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）過點(diǎn)D作直線DE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上B、D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B、D兩點(diǎn)重合），PA、PB與直線DE分別交于點(diǎn)F、G，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
19．（2018?煙臺(tái)）如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線y＝kx+分別與y軸及拋物線交于點(diǎn)C，D．
（1）求直線和拋物線的表達(dá)式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△PDC為直角三角形？請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值；
（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個(gè)單位后，與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，在直線EF上是否存在點(diǎn)N，使DM+MN的值最??？若存在，求出其最小值及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
20．（2018?湘潭）如圖，點(diǎn)P為拋物線y＝x2上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若拋物線y＝x2是由拋物線y＝（x+2）2﹣1通過圖象平移得到的，請(qǐng)寫出平移的過程；
（2）若直線l經(jīng)過y軸上一點(diǎn)N，且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣1），過點(diǎn)P作PM⊥l于M．
①問題探究：如圖一，在對(duì)稱軸上是否存在一定點(diǎn)F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．
②問題解決：如圖二，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5），求QP+PF的最小值．
專題12二次函數(shù)與線段和（將軍飲馬型）最值問題

二次函數(shù)與將軍飲馬問題必備的基礎(chǔ)模型有：
模型1：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB最?。?br>
作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB'
模型2：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．

連接AB并延長交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，的最大值為AB
模型3：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．

作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最大值為AB'
模型4：點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得△PCD周長最?。?br>
分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．△PCD周長的最小值為P′P″
模型5：點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得PD＋CD最?。?br>
作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值為P′C
【例1】 (2023?黑龍江）如圖，已知拋物線y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．
（1）若拋物線過點(diǎn)M（﹣2，﹣2），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，解答下列問題；
①求出△BCE的面積；
②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使CH+EH的值最小，直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)．
【分析】（1）將M坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值即可；
（2）①求出的a代入確定出拋物線解析式，令y＝0求出x的值，確定出B與C坐標(biāo)，令x＝0求出y的值，確定出E坐標(biāo)，進(jìn)而得出BC與OE的長，即可求出三角形BCE的面積；②根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸方程為直線x＝﹣1，根據(jù)C與B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BE，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)H，即為所求，設(shè)直線BE解析式為y＝kx+b，將B與E坐標(biāo)代入求出k與b的值，確定出直線BE解析式，將x＝﹣1代入直線BE解析式求出y的值，即可確定出H的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將M（﹣2，﹣2）代入拋物線解析式得：﹣2＝（﹣2﹣2）（﹣2+a），
解得：a＝4；
（2）①由（1）拋物線解析式y(tǒng)＝（x﹣2）（x+4），
當(dāng)y＝0時(shí)，得：0＝（x﹣2）（x+4），
解得：x1＝2，x2＝﹣4，
∵點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，
∴B（﹣4，0），C（2，0），
當(dāng)x＝0時(shí)，得：y＝﹣2，即E（0，﹣2），
∴S△BCE＝×6×2＝6；
②由拋物線解析式y(tǒng)＝（x﹣2）（x+4），得對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
根據(jù)C與B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸直線x＝﹣1對(duì)稱，連接BE，與對(duì)稱軸交于點(diǎn)H，即為所求，
設(shè)直線BE解析式為y＝kx+b，
將B（﹣4，0）與E（0，﹣2）代入得：，
解得：，
∴直線BE解析式為y＝﹣x﹣2，
將x＝﹣1代入得：y＝﹣2＝﹣，
則H（﹣1，﹣）．
【例2】 (2023?甘肅）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝（x+3）（x﹣a）與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，且OC＝OB，D，E分別是線段AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D，E不與點(diǎn)A，B，C重合）．
（1）求此拋物線的表達(dá)式；
（2）連接DE并延長交拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)DE⊥x軸，且AE＝1時(shí)，求DP的長；
（3）連接BD．
①如圖2，將△BCD沿x軸翻折得到△BFG，當(dāng)點(diǎn)G在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
②如圖3，連接CE，當(dāng)CD＝AE時(shí)，求BD+CE的最小值．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式求出OA的長度，根據(jù)三角函數(shù)求出DE的長度，根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)得出PE的長度，根據(jù)DP＝DE+PE得出結(jié)論即可；
（3）①連接DG交AB于點(diǎn)M，設(shè)OM＝a（a＞0），則AM＝OA﹣OM＝3﹣a，得出G（﹣a，（a﹣3）），根據(jù)G點(diǎn)在拋物線上得出a的值，即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)；
②方法一：在AB的下方作∠EAQ＝∠DCB，且AQ＝BC，連接EQ，CQ，構(gòu)造△AEQ≌△CDB，得出當(dāng)C、E、Q三點(diǎn)共線時(shí)，BD+CE＝EQ+CE最小，最小為CQ，求出CQ的值即可．
方法二：過點(diǎn)C作CF∥x軸，使得CF＝AC．證△FCD全等于△CAE，則FD＝CE所以F、D、B三點(diǎn)共線時(shí)CE+BD＝FD+BD取到最小值，求出此時(shí)BF的長即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝（x+3）（x﹣a）與x軸交于A，B（4，0）兩點(diǎn)，
∴（4+3）（4﹣a）＝0，
解得a＝4，
∴y＝（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣3，
即拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣x﹣3；
（2）在y＝（x+3）（x﹣4）中，令y＝0，得x＝﹣3或4，
∴A（﹣3，0），OA＝3，
∵OC＝OB＝4，
∴C（0，4），
∵AE＝1，
∴DE＝AE?tan∠CAO＝AE＝，OE＝OA﹣AE＝3﹣1＝2，
∴E（﹣2，0），
∵DE⊥x軸，
∴xP＝xD＝xE＝﹣2，
∴yP＝（﹣2+3）（﹣2﹣4）＝﹣，
∴PE＝，
∴DP＝DE+PE＝+＝；
（3）①如下圖，連接DG交AB于點(diǎn)M，
∵△BCD與△BFG關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴DG⊥AB，DM＝GM，
設(shè)OM＝a（a＞0），則AM＝OA﹣OM＝3﹣a，
MG＝MD＝AM?tan∠CAO＝（3﹣a），
∴G（﹣a，（a﹣3）），
∵點(diǎn)G（﹣a，（a﹣3））在拋物線y＝（x+3）（x﹣4）上，
∴（﹣a+3）（﹣a﹣4）＝（a﹣3），
解得a＝或3（舍去），
∴G（﹣，﹣）；
②如下圖，在AB的下方作∠EAQ＝∠DCB，且AQ＝BC，連接EQ，CQ，
∵AE＝CD，
∴△AEQ≌△CDB（SAS），
∴EQ＝BD，
∴當(dāng)C、E、Q三點(diǎn)共線時(shí)，BD+CE＝EQ+CE最小，最小為CQ，
過點(diǎn)C作CH⊥AQ，垂足為H，
∵OC⊥OB，OC＝OB＝4，
∴∠CBA＝45°，BC＝4，
∵∠CAH＝180°﹣∠CAB﹣∠EAQ＝180°﹣∠CAB﹣∠DCB＝∠CBA＝45°，
AC＝＝＝5，AH＝CH＝AC＝，
HQ＝AH+AQ＝AH+BC＝＝，
∴CQ＝＝＝，
即BD+CE的最小值為；
方法二：過點(diǎn)C作CF∥x軸，使得CF＝AC，作BG⊥FC延長線于點(diǎn)G，
∴∠FCA＝∠CAE，
又∵CD＝AE，CF＝AC，
∴△FCD≌△CAE（SAS），
∴FD＝CE，
∴F、D、B三點(diǎn)共線時(shí)CE+BD＝FD+BD取到最小值，
∵AC＝5，C（0，4），B（4，0），
∴BF的長＝＝．
【例3】 (2023?達(dá)州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接BC，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，交x軸于點(diǎn)E．若點(diǎn)Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線AQ，BQ分別交直線l于點(diǎn)M，N，在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，EM+EN的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在BC上方時(shí)，根據(jù)平行線的判定定理可得CP∥x軸，可得P（2，2）；當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時(shí)，設(shè)CP交x軸于點(diǎn)D（m，0），則OD＝m，DB＝3﹣m，利用勾股定理即可求得m＝，得出D（，0），再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式為y＝x+2，通過聯(lián)立方程組求解即可得出P（，﹣）；
（3）設(shè)Q（t，t2+t+2），且﹣1＜t＜3，運(yùn)用待定系數(shù)法求得：直線AQ的解析式為y＝（t+2）x﹣t+2，直線BQ的解析式為y＝（﹣t﹣）x+2t+2，進(jìn)而求出M、N的坐標(biāo)，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+x+2；
（2）存在，理由如下：
如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在BC上方時(shí)，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，即CP∥x軸，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∵y＝x2+x+2，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，
∵C（0，2），
∴P（2，2）；
當(dāng)點(diǎn)P在BC下方時(shí)，設(shè)CP交x軸于點(diǎn)D（m，0），
則OD＝m，DB＝3﹣m，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CD＝BD＝3﹣m，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，
∴22+m2＝（3﹣m）2，
解得：m＝，
∴D（，0），
設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+d，則，
解得：，
∴直線CD的解析式為y＝x+2，
聯(lián)立，得，
解得：（舍去），，
∴P（，﹣），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（，﹣）；
（3）由（2）知：拋物線y＝x2+x+2的對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴E（1，0），
設(shè)Q（t，t2+t+2），且﹣1＜t＜3，
設(shè)直線AQ的解析式為y＝ex+f，則，
解得：，
∴直線AQ的解析式為y＝（t+2）x﹣t+2，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣t+4，
∴M（1，﹣t+4），
同理可得直線BQ的解析式為y＝（﹣t﹣）x+2t+2，
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝t+，
∴N（1，t+），
∴EM＝﹣t+4，EN＝t+，
∴EM+EN＝﹣t+4+t+＝，
故EM+EN的值為定值．
【例4】 (2023?天津）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a＞0）的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直線x＝m（m是常數(shù)，1＜m＜3）與拋物線相交于點(diǎn)M，與BP相交于點(diǎn)G，當(dāng)MG取得最大值時(shí)，求點(diǎn)M，G的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若3b＝2c，直線x＝2與拋物線相交于點(diǎn)N，E是x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是y軸的負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PF+FE+EN的最小值為5時(shí)，求點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)．
【分析】（Ⅰ）①利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，即可得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②求出直線BP的解析式，設(shè)點(diǎn)M（m，m2﹣2m﹣3），則G（m，2m﹣6），表示出MG的長，可得關(guān)于m的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解；
（Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，拋物線的解析式為y＝ax2﹣2a﹣3a．可得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4a），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，﹣3a），作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P'，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N'，得點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4a），點(diǎn)N'的坐標(biāo)為（2，3a），當(dāng)滿足條件的點(diǎn)E，F(xiàn)落在直線P'N'上時(shí)，PF+FE+EN取得最小值，此時(shí)，PF+FE+EN＝P'N'＝5延長P'P與直線x＝2相交于點(diǎn)H，則P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定理可得P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．可得點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（﹣1，﹣），點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（2，）．利用待定系數(shù)法得直線P'N′的解析式為y＝x﹣．即可得點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，
則拋物線y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，
∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），
∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，
∴拋物線為y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4）；
②當(dāng)y＝0時(shí)，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
設(shè)直線BP的解析式為y＝kx+n，
∴，解得，
∴直線BP的解析式為y＝2x﹣6，
∵直線x＝m（m是常數(shù)，1＜m＜3）與拋物線相交于點(diǎn)M，與BP相交于點(diǎn)G，
設(shè)點(diǎn)M（m，m2﹣2m﹣3），則G（m，2m﹣6），
∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，MG取得最大值1，
此時(shí)，點(diǎn)M（2，﹣3），則G（2，﹣2）；
（Ⅱ）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又3b＝2c，
b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），
∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣2ax﹣3a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，﹣4a），
∵直線x＝2與拋物線相交于點(diǎn)N，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，﹣3a），
作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P'，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N'，
得點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4a），點(diǎn)N'的坐標(biāo)為（2，3a），
當(dāng)滿足條件的點(diǎn)E，F(xiàn)落在直線P'N'上時(shí)，PF+FE+EN取得最小值，此時(shí)，PF+FE+EN＝P'N'＝5．
延長P'P與直線x＝2相交于點(diǎn)H，則P'H⊥N'H．
在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．
∴P'N′2＝P'H2+HN′2＝9+49a2＝25．
解得a1＝，a2＝﹣（舍）．
∴點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（﹣1，﹣），點(diǎn)N′的坐標(biāo)為（2，）．
∴直線P'N′的解析式為y＝x﹣．
∴點(diǎn)E（，0），點(diǎn)F（0，﹣）．
【例5】 (2023?常德）如圖，已知拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱軸為x＝2，點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求B的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，求P的坐標(biāo)以及PA﹣PB的最大值．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）設(shè)B（2，m）（m＞0），運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線OA的解析式為y＝x，設(shè)直線OA與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)H，則H（2，2），BH＝m﹣2，利用三角形面積公式建立方程求解即可得出答案；
（3）運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y＝﹣x+10，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，A、B、P在同一條直線上，聯(lián)立方程組求解即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得AB，即PA﹣PB的最大值．
【解答】解：（1）∵拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱軸為x＝2，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)拋物線解析式為y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，
解得：a＝1，
∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，
故此拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；
（2）∵點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限，
∴設(shè)B（2，m）（m＞0），
設(shè)直線OA的解析式為y＝kx，
則5k＝5，
解得：k＝1，
∴直線OA的解析式為y＝x，
設(shè)直線OA與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)H，則H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×（m﹣2）×5＝15，
解得：t＝8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，8）；
（3）設(shè)直線AB的解析式為y＝cx+d，把A（5，5），B（2，8）代入得：，
解得：，
∴直線AB的解析式為y＝﹣x+10，
當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，A、B、P在同一條直線上，
∵P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，
∴，
解得：，（舍去），
∴P（﹣2，12），
此時(shí)，PA﹣PB＝AB＝＝3．
1． (2023?濱城區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0），經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第四象限，當(dāng)S△NBC＝S△ABC時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）問的條件下，過點(diǎn)C作直線l∥x軸，動(dòng)點(diǎn)P（m，3）在直線l上，動(dòng)點(diǎn)Q（m，0）在x軸上，連接
PM、PQ、NQ，當(dāng)m為何值時(shí)，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．
【分析】（1）由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求出拋物線的解析式，再將其變形成頂點(diǎn)式后，即可得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）連接AN，則AN∥BC，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，設(shè)直線AN的解析式為y＝﹣x+d，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)可求出d值，再聯(lián)立直線AN與拋物線的解析式，即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)M作MM′∥PQ，且MM′＝PQ，連接M′Q，則當(dāng)點(diǎn)M′，Q，N三點(diǎn)共線時(shí)，PM+QN取最小值，此時(shí)PM+PQ+QN最小，由點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)可得出PQ＝3，結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)可得出點(diǎn)M′的坐標(biāo)，由點(diǎn)M′，N的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線M′N的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出m的值，再利用兩點(diǎn)間的距離公式（勾股定理）可求出M′N的長度，進(jìn)而可得出PM+PQ+QN最小值．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．
又∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）.
（2）連接AN，如圖1所示．
∵S△NBC＝S△ABC，且兩三角形有相同的底BC，
∴AN∥BC．
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+c（k≠0），
將B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+c，
得：，解得：，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3．
設(shè)直線AN的解析式為y＝﹣x+d，
將A（﹣1，0）代入y＝﹣x+d得：1+d＝0，
解得：d＝﹣1，
∴直線AN的解析為y＝﹣x﹣1．
聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：，
解得：（不符合題意，舍去），，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣5）．
（3）過點(diǎn)M作MM′∥PQ，且MM′＝PQ，連接M′Q，如圖2所示．
∵M(jìn)M′∥PQ，且MM′＝PQ，
∴四邊形MM′QP為平行四邊形，
∴M′Q＝MP，
∴當(dāng)點(diǎn)M′，Q，N三點(diǎn)共線時(shí)，PM+QN取最小值．
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，3），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），
∴PQ＝3，
∴MM′＝3，
∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（1，4﹣3），即（1，1）．
設(shè)直線M′N的解析式為y＝px+q（p≠0），
將M′（1，1），N（4，﹣5）代入y＝px+q，
得：，解得：，
∴直線M′N的解析式為y＝﹣2x+3．
又∵點(diǎn)Q在直線M′N上，
∴0＝﹣2m+3，
∴m＝，此時(shí)M′N＝M′Q+QN＝MP+QN＝＝3，
∴當(dāng)m為時(shí)，PM+PQ+QN最小，PM+PQ+QN的最小值為3+3．
2． (2023?淮北模擬）已知拋物線l1：y＝ax2+bx﹣2和直線l2：y＝﹣x﹣均與x軸相交于點(diǎn)A，拋物線l1與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B（3，0）．
（1）求a，b的值；
（2）將拋物線l1向右平移h個(gè)單位長度，使其頂點(diǎn)C落在直線l2上，求h的值；
（3）設(shè)拋物線l1和直線l2的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在線段AD的下方（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的平行線，交直線l2于點(diǎn)M，N，記W＝PM+PN，求W的最大值．
【分析】（1）由直線l2：y＝﹣x﹣與x軸交于點(diǎn)A得A（﹣1，0），將點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)B（3，0）代入拋物線l1：y＝ax2+bx﹣2即可得a，b的值；
（2）求出拋物線l1的頂點(diǎn)C（1，），將y＝﹣代入直線l2：y＝﹣x﹣求出x的值，即可求解；
（3）求出D（2，﹣2），設(shè)P（m，m2﹣m﹣2）（﹣1＜m＜2），則N（m，﹣m﹣），可得M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），用含m的式子表示PM，PN，可得W＝PM+PN的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可得W的最大值．
【解答】解：（1）∵直線l2：y＝﹣x﹣與x軸交于點(diǎn)A，
∴A（﹣1，0），
將點(diǎn)A（﹣1，0）、點(diǎn)B（3，0）代入拋物線l1：y＝ax2+bx﹣2，得：
，解得：，
∴a＝，b＝﹣；
（2）∵a＝，b＝﹣，
∴y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴拋物線l1的頂點(diǎn)C（1，﹣），
將y＝﹣代入直線l2：y＝﹣x﹣得，
﹣x﹣＝﹣，解得x＝3，
∴拋物線l1向右平移h個(gè)單位長度，使其頂點(diǎn)C落在直線l2上，移動(dòng)后頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
∴h＝3﹣1＝2，即h的值為2；
（3）設(shè)拋物線l1和直線l2的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，
∵x2﹣x﹣2＝﹣x﹣的解為x＝﹣1或x＝2，
∴D（2，﹣2），
設(shè)P（m，m2﹣m﹣2）（﹣1＜m＜2），
則N（m，﹣m﹣），M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），
∴PM＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2，
PN＝﹣m﹣﹣m2+m+2＝﹣m2+m+，
∴W＝PM+PN＝﹣m2+m+2﹣m2+m+＝﹣m2+m+＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴W的最大值為．
3． (2023?南寧一模）如圖1所示拋物線與x軸交于O，A兩點(diǎn)，OA＝6，其頂點(diǎn)與x軸的距離是6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，過點(diǎn)P的直線y＝x+m與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)Q．
①當(dāng)△POQ與△PAQ的面積之比為1：3時(shí)，求m的值；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)B（3，3）的直線AB與直線PQ交于點(diǎn)C，求PC+CQ的最大值．
【分析】（1）由題意可得y＝a（x﹣3）2﹣6，再將（0，0）代入求出a的值即可求函數(shù)的解析式；
（2）①設(shè)直線y＝x+m與y軸的交點(diǎn)為E，與x軸的交點(diǎn)為F，則OE＝|m|，AF＝|6+m|，由題意可知直線y＝x+m與坐標(biāo)軸的夾角為45°，求出OM＝|m|，AN＝|6+m|，再由|m|：|6+m|＝1：3，求出m的值即可；
②設(shè)P（t，t2﹣4t），過P作PE∥y軸交AB于點(diǎn)E，過P作PF⊥BQ交于F，求出直線AB的解析式后可求E（t，﹣t+6），則PE＝﹣t2+3t+6，由直線AB與直線PQ的解析式，能確定兩直線互相垂直，可求CQ＝BQ，CP＝PE，則PC+CQ＝﹣（t﹣3）2+9，即可求PC+CQ的最大值．
【解答】解：（1）∵OA＝6，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝3，
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2+k，
∵頂點(diǎn)與x軸的距離是6，
∴頂點(diǎn)為（3，﹣6），
∴y＝a（x﹣3）2﹣6，
∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，
∴9a﹣6＝0，
∴a＝，
∴y＝（x﹣3）2﹣6；
（2）①設(shè)直線y＝x+m與y軸的交點(diǎn)為E，與x軸的交點(diǎn)為F，
∴E（0，m），F(xiàn)（﹣m，0），
∴OE＝|m|，AF＝|6+m|，
∵直線y＝x+m與坐標(biāo)軸的夾角為45°，
∴OM＝|m|，AN＝|6+m|，
∵S△POQ：S△PAQ＝1：3，
∴OM：AN＝1：3，
∴|m|：|6+m|＝1：3，
解得m＝﹣或m＝3；
②設(shè)P（t，t2﹣4t），
過P作PE∥y軸交AB于點(diǎn)E，過P作PF⊥BQ交于F，
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+6，
∴E（t，﹣t+6），
∴PE＝﹣t+6﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+3t+6，
設(shè)直線AB與y軸交點(diǎn)為G，
令x＝0，則y＝6，
∴G（0，6），
∴OG＝OA＝6，
∴∠OGA＝45°，
設(shè)直線PQ與x軸交點(diǎn)為K，與y軸交點(diǎn)為L，
直線PQ的解析式為y＝x+m，令x＝0，則y＝m
∴L（0，m），
令y＝0，則x＝﹣m，
∴K（﹣m，0），
∴OL＝OK，
∴∠OLK＝45°，
∴∠GCL＝90°，
∴PF＝FQ＝3﹣t，
設(shè)BF與x軸交點(diǎn)為H，
∴FH＝﹣t2+4t，
∴HQ＝﹣t2+4t﹣3+t＝﹣t2+5t﹣3，
∴BQ＝3﹣t2+5t﹣3＝﹣t2+5t，
∴CQ＝BQ＝（﹣t2+5t），
∵CP＝PE＝（﹣t2+3t+6），
∴PC+CQ＝（﹣t2+3t+6）+（﹣t2+5t）＝（﹣t2+8t+6）＝﹣（t﹣3）2+9，
當(dāng)t＝3時(shí)，PC+CQ的最大值為9．
4． (2023?成都模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y軸，x軸分別相交于A（0，2），B（2，0），C（4，0）三點(diǎn)，點(diǎn)D是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為拋物線上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連接AC，若S△ACP＝S△ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）M是第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且∠AMB＝45°，連接MD，MC，求2MD+MC的最小值．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）分兩種情形，分別構(gòu)建方程組求解即可；
（3）以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓，連接OM，取OB的中點(diǎn)E，連接EM、ED，先根據(jù)二次函數(shù)求出A、B、C、D的坐標(biāo)，再證明△EOM∽△MOC，從而有EM＝MC，故2MD+MC＝2（MD+MC）＝2（MD+ME）≥2ED，再求出ED即可．
【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過B（2，0），C（4，0），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）（x﹣4），
把A（0，2）代入，可得a＝，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x+2；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的下方時(shí)，過點(diǎn)B作BP0∥AC交拋物線于點(diǎn)P0，
由題意直線AC的解析式為y＝﹣x+2，
∴kAC＝﹣，
∴K＝﹣，
∴直線BP0的解析式為y＝﹣x+1，
由，
解得，
則P0與B重合，不符合題意．
當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的上方時(shí)，作直線BP0關(guān)于直線AC的的對(duì)稱直線P1P2，交拋物線于P1，P2．
∵直線AC的解析式為y＝﹣x+2，
∴可得直線P1P2的解析式為y＝﹣x+3，
由，
解得或，
∴P1（2+2，2﹣），P2（2﹣2，2+）；
（3）解：如圖，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓，連接OM，取OB的中點(diǎn)E，連接EM、ED，
∵A（0，2），B（2，0），C（4，0），
∴OA＝OB，即B在⊙O上，
∵y＝x2﹣x+2＝（x﹣3）2﹣，
∴頂點(diǎn)D（3，﹣），
∵∠AMB＝45°，
∴∠AMB＝∠BOA，
∴M在在⊙O上，即OM＝2，
取OB的中點(diǎn)E（1，0），
∵＝，＝，＝，
∴＝，
又∠EOM＝∠MOC，
∴△EOM∽△MOC，
∴＝，
∴EM＝MC，
∴2MD+MC＝2（MD+MC）＝2（MD+ME）≥2ED，
∵ED＝＝，
∴2MD+MC的最小值為．
5． (2023?成都模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝a（x﹣1）（x+3）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左邊），且經(jīng)過點(diǎn)C（﹣2，3），P為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)H自點(diǎn)C出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)M，再到達(dá)y軸上某點(diǎn)N，最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，求使點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長；
（3）如圖2，過點(diǎn)C的直線l與拋物線有唯一的公共點(diǎn)，將直線l向下平移交拋物線于D，E兩點(diǎn)，連BD交y軸正半軸于F，連BE交y軸負(fù)半軸于G，試判斷|OF﹣OG|是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出a，再利用配方法求解；
（2）如圖1中，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接C′P′交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，得C′（﹣2，﹣3），P′（1，4），此時(shí)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的總路徑最短，求出直線MN的解析式，可得結(jié)論；
（3）如圖2中，過點(diǎn)D，E分別作DK⊥y軸于點(diǎn)K，EH⊥y軸于點(diǎn)H．由，得到x2+（2+k）x+2k＝0，由Δ＝0，可得k＝2，設(shè)DE為y＝2x+m，E（x1，y1），D（x2，y2），由，得x2+4x+m﹣3＝0，可得x1+x2＝﹣4，x1?x2＝m﹣3，由△DKF∽△BOF，△BOG∽△EHG，可得＝，＝，OF＝＝，OG＝＝，再求出|OF﹣OG|的值，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）把C（﹣2，3）代入y＝a（x﹣1）（x+3），可得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4）；
（2）如圖1中，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接C′P′交x軸于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，得C′（﹣2，﹣3），P′（1，4），此時(shí)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的總路徑最短，
∴yMN＝x+，
∴M（﹣，0），N（0，），
∴dmin＝＝；
（3）如圖2中，過點(diǎn)D，E分別作DK⊥y軸于點(diǎn)K，EH⊥y軸于點(diǎn)H．
設(shè)直線l的表達(dá)式為y＝kx+b，將C（﹣2，3）代入得到b＝2k+3，
∴y＝kx+2k+3，
由，得到x2+（2+k）x+2k＝0，
由Δ＝0可得（2+k）2﹣8k＝0．
∴k＝2，
設(shè)DE為y＝2x+m，E（x1，y1），D（x2，y2），
由，得x2+4x+m﹣3＝0，
∴x1+x2＝﹣4，x1?x2＝m﹣3，
由△DKF∽△BOF，△BOG∽△EHG，
可得＝，＝，OF＝＝，OG＝＝，
∴|OF﹣OG|＝|﹣|＝||，
將x1+x2＝﹣4，x1?x2＝m﹣3，代入上式，可得||OF﹣OG|＝2．
6． (2023?沈陽模擬）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c的“衍生直線”為y＝﹣ax+b，有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另一個(gè)頂點(diǎn)在“衍生直線”上的三角形為該拋物線的“衍生三角形”．
如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+2x+3與其“衍生直線”交于A，D兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)D的左側(cè)），與x軸正半軸相交于點(diǎn)B，與y軸正半軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）填空：該拋物線的“衍生直線”的解析式為 y＝x+1 ；B的坐標(biāo)為 （3，0） ；D的坐標(biāo)為 （2，3） ．
（2）如圖1，動(dòng)點(diǎn)E在線段AB上，連接DE，DB，將△BDE以DE所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為F，若三角形△DEF為該拋物線的“衍生三角形”，且F不在拋物線上，求點(diǎn)F坐標(biāo)．
（3）拋物線的“衍生直線”上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且MN＝，連接PM，CN，當(dāng)PM+MN+CN最短時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)“衍生直線”的定義可得拋物線y＝﹣x2+2x+3的“衍生直線”的解析式，通過解方程即可求得點(diǎn)B、D的坐標(biāo)．
（2）分兩種情況：點(diǎn)E在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，點(diǎn)F在直線AD上或點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，點(diǎn)F在直線AD上時(shí)，設(shè)F1（t，t+1），利用翻折變換的性質(zhì)建立方程求解即可；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，由翻折得：∠DAF＝∠DAB＝45°，AF＝AB＝4，即可求得答案．
（3）過點(diǎn)P作PR∥x軸，過點(diǎn)A作AR∥y軸，則R（﹣1，4），作點(diǎn)P關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)P′，過點(diǎn)P′作P′K⊥x軸于點(diǎn)K，證得△APR≌△AP′K（AAS），得出：AK＝AR＝4，P′K＝PR＝2，即可得到P′（3，2），將線段P′M沿著直線DA的方向平移個(gè)單位，即向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，得到線段P″N，則P″（，），當(dāng)C、N、P″三點(diǎn)共線時(shí)，PM+MN+CN最短；運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線CP″的解析式，聯(lián)立方程組即可求得答案．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+2x+3，
∴其“衍生直線”的解析式為y＝x+1，
由﹣x2+2x+3＝0，
解得：x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
由﹣x2+2x+3＝x+1，
解得：x＝﹣1或2，
∴D（2，3），
故答案為：y＝x+1；（3，0）；（2，3）．
（2）∵拋物線y＝﹣x2+2x+3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
設(shè)直線AD交y軸于點(diǎn)T，則T（0，1），
∴OA＝OT，
即△AOT是等腰直角三角形，
∴∠DAB＝45°，
∵三角形△DEF為該拋物線的“衍生三角形”，且F不在拋物線上，
∴點(diǎn)E在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，點(diǎn)F在直線AD上或點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，如圖1，
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，點(diǎn)F在直線AD上時(shí)，設(shè)F1（t，t+1），
由翻折得：DF1＝DB＝＝，
∴（t﹣2）2+（t+1﹣3）2＝10，
解得：t＝2±，
∵t＜2，
∴t＝2﹣，
∴F1（2﹣，3﹣）；
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，由翻折得：∠DAF＝∠DAB＝45°，AF＝AB＝4，
∴F2（﹣1，4）；
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：F1（2﹣，3﹣）或F2（﹣1，4）；
（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴P（1，4），
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
過點(diǎn)P作PR∥x軸，過點(diǎn)A作AR∥y軸，則R（﹣1，4），
作點(diǎn)P關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)P′，過點(diǎn)P′作P′K⊥x軸于點(diǎn)K，
由（2）知∠DAB＝45°，
∴∠DAR＝45°，
∵AP′＝AP，∠P′AD＝∠PAD，
∴∠PAR＝∠P′AK，
∵∠ARP＝∠AKP′＝90°，
∴△APR≌△AP′K（AAS），
∴AK＝AR＝4，P′K＝PR＝2，
∴P′（3，2），
將線段P′M沿著直線DA的方向平移個(gè)單位，即向左平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，得到線段P″N，
則P″（，），當(dāng)C、N、P″三點(diǎn)共線時(shí)，PM+MN+CN最短；
即直線CP″交直線AD于點(diǎn)N，
設(shè)直線CP″的解析式為y＝kx+d，
則，
解得：，
∴直線CP″的解析式為y＝x+3，
由x+1＝x+3，
解得：x＝，
∴N（，）．
7． (2023?沈陽模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，2）和點(diǎn)B（4，﹣），且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）分別求拋物線和直線BC的解析式；
（2）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)G，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)H，是否存在以O(shè)，A，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求PD+PA的最小值．
【分析】（1）將點(diǎn)A（3，2）和點(diǎn)B（4，﹣）代入y＝ax2+bx+得，可解得拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+，令x＝0得y＝，得C（0，），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+，將B（4，﹣）代入可得直線BC的解析式為y＝﹣x+，
（2）設(shè)G（m，0），H（n，﹣n2+n+），又O（0，0），A（3，2），分三種情況：①若GH、OA為對(duì)角線，則GH、OA的中點(diǎn)重合，有，可解得H（﹣1，2），②若GO、HA為對(duì)角線，則GO、HA的中點(diǎn)重合，有，可解得H（2+1，﹣2）或（﹣2+1，﹣2）；③若GA、OH為對(duì)角線，則GA、OH的中點(diǎn)重合，有，解得H（﹣1，2），
（3）作A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'D交拋物線對(duì)稱軸于P，設(shè)D（t，﹣t2+t+），則E（t，﹣t+），得DE＝﹣（t﹣2）2+2，即知t＝2時(shí)，DE取最小值2，D（2，），由拋物線y＝﹣x2+x+的對(duì)稱軸為直線x＝1，得A（3，2）關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)A'（﹣1，2），有PA＝PA'，當(dāng)D、P、A'共線時(shí)，PA'+PD最小，即PA+PD最小，PA+PD的最小值為A'D的長，即得PD+PA的最小值為．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（3，2）和點(diǎn)B（4，﹣）代入y＝ax2+bx+得：
，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+，
在y＝﹣x2+x+中，令x＝0得y＝，
∴C（0，），
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+，將B（4，﹣）代入得：
4k+＝﹣，
解得k＝﹣1，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+，
答：拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+，直線BC的解析式為y＝﹣x+；
（2）存在以O(shè)，A，G，H為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下：
設(shè)G（m，0），H（n，﹣n2+n+），又O（0，0），A（3，2），
①若GH、OA為對(duì)角線，則GH、OA的中點(diǎn)重合，
∴，
解得（此時(shí)G與O重合，舍去）或，
∴H（﹣1，2），
②若GO、HA為對(duì)角線，則GO、HA的中點(diǎn)重合，
，
解得n＝2+1或n＝﹣2+1，
∴H（2+1，﹣2）或（﹣2+1，﹣2）；
③若GA、OH為對(duì)角線，則GA、OH的中點(diǎn)重合，
∴，
解得n＝3（舍去）或n＝﹣1，
∴H（﹣1，2），
綜上所述，H的坐標(biāo)為（﹣1，2）或（2+1，﹣2）或（﹣2+1，﹣2）；
（3）作A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'D交拋物線對(duì)稱軸于P，如圖：
設(shè)D（t，﹣t2+t+），則E（t，﹣t+），
∴DE＝（﹣t2+t+）﹣（﹣t+）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴t＝2時(shí)，DE取最小值2，此時(shí)D（2，），
∵拋物線y＝﹣x2+x+的對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴A（3，2）關(guān)于對(duì)稱軸直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)A'（﹣1，2），
∴PA＝PA'，
∴PA+PD＝PA'+PD，
又D、P、A'共線，
∴此時(shí)PA'+PD最小，即PA+PD最小，PA+PD的最小值為A'D的長，
∵D（2，），A'（﹣1，2），
∴A'D＝＝，
∴PD+PA的最小值為．
8． (2023?沈河區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和B（點(diǎn)B在A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AP，與y軸交于點(diǎn)D，連接BD，當(dāng)△BOD≌△COA時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接OP，與線段BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，且CE＝BQ，當(dāng)OE+CQ的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【分析】（1）將定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OA＝OD＝1，求得直線AD的解析式為y＝x+1，聯(lián)立拋物線解析式，解方程即可求解；
（3）在線段BC上，取BM＝CO，作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接QM，QM'，連接MM'交x軸于點(diǎn)S，證明CQ+OE＝CQ+QM′，進(jìn)而根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)求得當(dāng)且僅當(dāng)C，Q，M共線時(shí)取得最小值，即點(diǎn)Q在直線M'上，待定系數(shù)法求解析式．進(jìn)而即可求解．
【解答】解：（1）將4（﹣1.0），C（0.2），代入y＝ax2+x+c，得
，
∴，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）∵A（﹣1，0），△BOD≌△COA，
∴OA＝OD＝1，
∴D（0，1）或（0，﹣1），
設(shè)直線AD的解析式為＝kx+b，
則或，
∴或，
∴y＝x+1或y＝﹣x﹣1，
聯(lián)立或，
解得（不合題意，舍去）或，或（不合題意，舍去），
∴P（1，2）或（3，﹣4）；
（3）由題意得，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左側(cè)，
在線段BC上，取BM＝CO，作M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接QM，QM′，連接MM′交x軸于點(diǎn)S，
∴y＝﹣x2+x+2，令y＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，
則B（2，0），
∴OB＝OC＝2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴BO＝OC＝2，
∵BQ＝CE，BM＝CQ，∠QBM＝∠ECO，
∴QM＝OE，
∵QM＝Q′M，
∴CQ+OE＝CQ+QM′，
當(dāng)且僅當(dāng)C，Q，M′共線時(shí)取得最小值，即點(diǎn)Q在直線′M′CM′上，
∵∠OCE＝45°，BM＝2，
∴MS＝SB＝，
∴M（2﹣，），則M′（2﹣，﹣），
設(shè)直線CM′的解析式為y＝sx+t，
把C（0，2），（2﹣，﹣），代入得，
，
解得：，
∴直線CM′的解斷式為y＝（﹣3﹣2）x+2，
令y＝0，解得x＝6﹣4，
∴Q（6﹣4，0）．
9． (2023?邵陽縣模擬）如圖，直線l：y＝﹣3x﹣6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、C；經(jīng)過點(diǎn)A、C的拋物線C：與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線C的對(duì)稱軸．
（2）將直線l向右平移得到直線l1．
①如圖①，直線l1與拋物線C的對(duì)稱軸DE相交于點(diǎn)P，要使PB+PC的值最小，求直線l1的解析式．
②如圖 ②，直線l1與直線BC相交于點(diǎn)F，直線l1上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）分別把x＝0和y﹣0代入一次函數(shù)的解析式，求出A、C坐標(biāo)，代入拋物線得出方程組，求出方程組的解，得出拋物線的解析式，即可求解；
（2）①求出拋物線C的對(duì)稱軸和B的坐標(biāo)，連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P′，PB+PC＝QP′B+P′C＝BC的值最小，求出點(diǎn)P′的坐標(biāo)，根據(jù)平移的性質(zhì)即可求出直線l1的解析式；
②分兩種情況：Ⅰ當(dāng)AM為邊時(shí)，Ⅱ當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）在y＝﹣3x﹣6中，令y＝0，
即﹣3x﹣6＝0，x＝﹣2，得A（﹣2，0）．
令x＝0，得y＝﹣6，得C（0，﹣6），
將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線C的表達(dá)式，
得：，解得，
∴拋物線C的解析式為，其對(duì)稱軸為x＝﹣＝2；
（2）①如圖，連接BC交DE于點(diǎn)P′，
則PB+PC≥BC．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)P時(shí)，
PB+PC＝QP′B+P′C＝BC的值最小，
令y＝0，即，
解得 x1＝﹣2，x2＝6．
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0）．
設(shè)直線BC的表達(dá)式為 y＝kx+h，
則：，解得．
∴y＝x﹣6，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2﹣6＝﹣4．
∴點(diǎn)P′即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4），
∵將直線l：y＝﹣3x﹣6向右平移得到直線l1，
∴設(shè)直線l1的解析式為y＝﹣3x+h1．
則﹣4＝﹣3×2+h1，
∴h1＝2．
∴直線l1的解析式為y＝﹣3x+2；
②存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．
由點(diǎn)F在直線BC：y＝x﹣6上，可設(shè)點(diǎn)F（m，m﹣6）．
Ⅰ當(dāng)AM為邊時(shí)，如圖，過點(diǎn)A作AM∥CB交l1于點(diǎn)M．
∵FM∥CA，
∴當(dāng)FM＝CA時(shí)，以點(diǎn)A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形ACFM是平行四邊形．
當(dāng)CA＝CF時(shí)，?ACFM是菱形．
過點(diǎn)F作FH⊥CO于H，則CH＝|（m﹣6）﹣（﹣6）|＝|m|．CF2＝CH2+FH2＝m2+m2＝2m2，
∵CA2＝22+62＝40，
∴2m2＝40，
∴，（舍去），
∴F（，）．
∵FM∥CA且FM＝CA，
∴可將CA先向右平移單位、再向上平移單位得到FM，
即可將點(diǎn)A（﹣2，0）先向右平移單位、再向上平移單位得到點(diǎn)M．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，）；
Ⅱ當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，連接AF，過點(diǎn)C作CM∥AF交l1于點(diǎn)M．
∵FM∥AC，
∴當(dāng)FM＝AC時(shí)，以點(diǎn)A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形ACFM是平行四邊形．
當(dāng)AC＝AF時(shí)，?ACMF是菱形．
∵AF2＝（m+2）2+（m﹣6）2，CA2＝40，
∴（m+2）2+（m﹣6）2＝40，
∴m1＝4，m2＝0（舍去），
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，﹣2）．
∵FM∥AC且FM＝AC，
∴可將AC先向右平移6個(gè)單位、再向下平移2個(gè)單位得到FM，
即可將點(diǎn)C（0，﹣6）先向右平移6單位、再向下平移2單位得到點(diǎn)M．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，﹣8）．
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2，）或（6，﹣8）．
10． (2023?越秀區(qū)校級(jí)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝﹣x2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|BM﹣CM|的值最小時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)N，過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，使得以點(diǎn)B、N、H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接得出結(jié)論；
（2）先判斷出|BM﹣CM|最小時(shí)，BM＝CM，建立方程求解即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出∠ACB＝∠BHN＝90°，分兩種情況，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）針對(duì)于y＝﹣x+2，令x＝0，則y＝2，
∴C（0，2），
令y＝0，則0＝﹣x+2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
∵點(diǎn)C在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，
∴c＝2，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+bx+2，
∵點(diǎn)B（4，0）在拋物線上，
∴﹣8+4b+2＝0，
∴b＝，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；
（2）∵|BM﹣CM|最小，
∴|BM﹣CM|＝0，
∴BM＝CM，
∴BM2＝CM2，
設(shè)M（，m），
∵B（4，0），C（0，2），
∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2，
∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2，
∴m＝0，
∴M（，0）；
（3）存在，理由：
由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2，
令y＝0，則0＝﹣x2+x+2，
∴x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（4，0），C（0，2），
∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，
∴CB2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵NH⊥x軸，
∴∠BHN＝90°＝∠ACB，
設(shè)N（n，﹣n2+n+2），
∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|，
∵以點(diǎn)B、N、H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
∴①△BHN∽△ACB，
∴，
∴＝，
∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍），
∴N（﹣5，﹣18）或（3，2），
②△BHN∽△BCA，
∴，
∴＝，
∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2，
∴N（0，2）或（﹣2，﹣3），
即滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）．
11． (2023?立山區(qū)一模）已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（3，0），拋物線y＝ax2+bx+4過A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與C點(diǎn)重合），作PQ⊥BC交拋物線于點(diǎn)Q，PH⊥x軸于點(diǎn)H．
①連結(jié)CQ，BQ，PB，當(dāng)四邊形PCQB的面積為時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②直接寫出PH+PQ的取值范圍．
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；
（2）①先根據(jù)四邊形面積求得PQ＝，再運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y＝2x+4，如圖1，設(shè)P（t，2t+4），Q（s，﹣s2+s+4），過點(diǎn)P作PK∥x軸，過點(diǎn)Q作QK∥y軸，設(shè)PK交y軸于點(diǎn)T，PQ交y軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，可證得△BCO∽△QPK，得出＝＝，求得：PK＝2，QK＝，建立方程求解即可得出答案；
②由①得△BCO∽△QPK，可推出：PQ＝QK＝﹣s2+s﹣t，由4QK＝3PK，可得出t＝s2﹣s，進(jìn)而可得：PQ+PH＝﹣s2+s﹣t+2t+4＝﹣s2+s﹣（s2﹣s）+4＝（s﹣）2+，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+4過A（﹣2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4；
（2）①由（1）知：y＝﹣x2+x+4，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，
∴C（0，4），
在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，
∵PQ⊥BC，S四邊形PCQB＝，
∴×5PQ＝，
∴PQ＝，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+d，
則，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝2x+4，
如圖1，設(shè)P（t，2t+4），Q（s，﹣s2+s+4），
過點(diǎn)P作PK∥x軸，過點(diǎn)Q作QK∥y軸，設(shè)PK交y軸于點(diǎn)T，PQ交y軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，
則QK＝﹣s2+s+4﹣（2t+4）＝﹣s2+s﹣2t，PK＝s﹣t，
∵PQ⊥BC，PK⊥y軸，
∴∠CGF＝∠PTF＝90°，
∵∠CFG＝∠PET，
∴∠BCO＝∠QPK，
∵∠BOC＝∠QKP＝90°，
∴△BCO∽△QPK，
∴＝＝，
即＝＝，
∴PK＝2，QK＝，
∴，
解得：，，
∵點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與C點(diǎn)重合），
∴﹣2≤t＜0，
t＝﹣3+，2t+4＝2×（﹣3+）+4＝﹣2
∴P（﹣3+，﹣2）；
②由①得：P（t，2t+4），Q（s，﹣s2+s+4），QK＝﹣s2+s﹣2t，PK＝s﹣t，△BCO∽△QPK，
∴＝＝，即＝＝，
∴PQ＝QK＝（﹣s2+s﹣2t）＝﹣s2+s﹣t，
∵4QK＝3PK，即4（﹣s2+s﹣2t）＝3（s﹣t），
∴t＝s2﹣s，
∴PQ+PH＝﹣s2+s﹣t+2t+4＝﹣s2+s﹣（s2﹣s）+4＝（s﹣）2+，
∵﹣2≤t＜0，
∴﹣2≤s2﹣s＜0，
令s2﹣s＝2，解得：s＝﹣2或，
令s2﹣s＝0，解得：s＝0或，
∵點(diǎn)Q在第一象限，即0＜s＜3，
∴0＜s≤，
∵＜0，
∴當(dāng)s＝，即t＝﹣時(shí)，PQ+PH取得最大值，
當(dāng)x＝0時(shí)，PQ+PH取得最小值，
∴4＜PQ+PH≤．
12． (2023?招遠(yuǎn)市一模）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．
（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；
（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△APC的面積的最大值．
（4）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，m），直接寫出使MN+MD的和最小時(shí)m的值．
【分析】（1）由拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得，得拋物線為y＝﹣x2+2x+3；又設(shè)直線為y＝kx+n過點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3），得，解得，得直線AC為y＝x+1；
（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，得D（1，4），當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x+1＝2，得B（1，2），求出BD＝2，設(shè)E（x，x+1），當(dāng)EF＝BD＝2時(shí)，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，分兩種情形討論：①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，得x+3＝﹣x2+2x+3，即可求解；②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，則F（x，x﹣1），得x﹣1＝﹣x2+2x+3，即可求解；
（3）如圖2，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，設(shè)Q（x，x+1），則P（x，﹣x2+2x+3），表示出PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，又S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ?AG＝（﹣x2+x+2）×3＝﹣（x﹣）2+，S△APC的最大值為；
（4）作直線x＝3，作點(diǎn)D關(guān)于直線x＝3的對(duì)稱點(diǎn)D′，得D′坐標(biāo)為（5，4），連結(jié)ND′交直線x＝3于點(diǎn)M，此時(shí)N、M、D′三點(diǎn)共線時(shí)，NM+MD′最小，即NM+MD最小，利用點(diǎn)N（0，3）和D′（5，4）求出直線NM的函數(shù)關(guān)系式為：y＝x+3，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝，求出m＝．
【解答】解：（1）由拋物線y＝﹣x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3）得，
，
解得，
∴拋物線為y＝﹣x2+2x+3；
又設(shè)直線為y＝kx+n過點(diǎn)A（﹣1，0）及C（2，3），
得，
解得，
∴直線AC為y＝x+1；
（2）以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形可以為平行四邊形
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x+1＝2，
∴B（1，2），
∴BD＝2，
∵點(diǎn)E在直線AC上，設(shè)E（x，x+1），
?EF∥BD，
?當(dāng)EF＝BD＝2時(shí)，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，則F（x，x+3），
∵F在拋物線上，
∴x+3＝﹣x2+2x+3，
解得，x＝0或x＝1（舍去），
∴E（0，1）；
②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，則F（x，x﹣1），
∵F在拋物線上，
∴x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝或x＝，
∴E（，）或（，），
綜上，滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1）或E（，）或（，）；
（3）如圖2，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H；過點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，
設(shè)Q（x，x+1），則P（x，﹣x2+2x+3），
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）
＝﹣x2+x+2
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ?AG＝（﹣x2+x+2）×3＝﹣（x﹣）2+，
∴△APC面積的最大值為；
（4）作直線x＝3，作點(diǎn)D關(guān)于直線x＝3的對(duì)稱點(diǎn)D′，
得D′坐標(biāo)為（5，4），
連結(jié)ND′交直線x＝3于點(diǎn)M，
此時(shí)N、M、D′三點(diǎn)共線時(shí)，NM+MD′最小，
即NM+MD最小，
設(shè)直線ND′的關(guān)系式為：y＝mx+n，
把點(diǎn)N（0，3）和D′（5，4）代入，
，
得m＝，n＝3，
∴直線NM的函數(shù)關(guān)系式為：y＝x+3，
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝，
m＝．
13． (2023?桓臺(tái)縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（3，0），點(diǎn)M為頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)M作y軸的垂線，垂足為C，過點(diǎn)B作y軸的平行線，交CM于點(diǎn)D，點(diǎn)H為OC上的任一點(diǎn)，將線段HB繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到HP．求∠PCD的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，將點(diǎn)H改為y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，BP，求OP+BP的最小值．
【分析】（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入即可求出拋物線解析式；
（2）過點(diǎn)P作PE⊥y軸，垂足為E點(diǎn)，連接PC，證明△PEH≌△HOB（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出PE＝OH，EH＝OB，由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）作點(diǎn)O關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF，直線PC交x軸于點(diǎn)Q，連接FQ，由軸對(duì)稱的性質(zhì)及勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得 ，解得，
∴拋物線解析式為 y＝x2+x+；
（2）M（1，3）．
∵矩形OBDC中，CO＝OB＝3．
∴四邊形OBDC是正方形，
過點(diǎn)P作PE⊥y軸，垂足為E點(diǎn)，連接PC，如圖2，
∵∠PHB＝90°，
∴∠PHE+∠BHO＝90°，
∵∠OBH+∠BHO＝90°，
∴∠PHE＝∠OBH，
又HP＝HB，
∴△PEH≌△HOB（AAS），
∴PE＝OH，EH＝OB，
∵OB＝OC，
∴OC＝EH，
∴EC＝OH，
∴EC＝EP，
∴∠ECP＝45°，
∴∠PCD＝45°；
（3）如圖3，
由（2）可知，點(diǎn)P在直線PC上運(yùn)動(dòng)，
作點(diǎn)O關(guān)于直線PC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF，直線PC交x軸于點(diǎn)Q，連接FQ，
∵CD‖x軸，
∴∠PCD＝∠PQO＝45°，
∴OQ＝OC＝OB＝3，
由作圖知，∠FQC＝∠PQO＝45°，F(xiàn)Q＝OQ＝3，
∴∠FQB＝90°，
∴BF＝，
∴OP+BP的最小值為．
14． (2023?成都模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)D為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作BC的垂線與拋物線的對(duì)稱軸和y軸分別交于點(diǎn)G，H，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
①求DF+HF的最大值；
②連接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．
【分析】（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c，得方程組，解得b與c的值，則可得出拋物線的解析式；
（2）①先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，作FK⊥y軸于點(diǎn)K，可得：FH＝KF＝OE，由線段的和差可得：DF+HF＝DE﹣EF+OE，代入數(shù)據(jù)得到關(guān)于m的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得DF+HF的最大值；②作GM⊥y軸于點(diǎn)M，記直線FH與x軸交于點(diǎn)N，由等腰三角形的判定可知EF＝EN，OH＝ON，由拋物線的性質(zhì)可得MG＝1，繼而求得HG的值；判定△EHG∽△FHE，得出比例式，代入數(shù)據(jù)可得關(guān)于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）代入拋物線y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3．
（2）①當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝3，
∴點(diǎn)C（0，3），
又∵B（3，0），
∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
作FK⊥y軸于點(diǎn)K，
又∵FH⊥BC，
∴∠KFH＝∠KHF＝45°，
∴FH＝KF＝OE，
∴DF+HF＝DE﹣EF+OE
＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）+m
＝﹣m2+（3+）m，
由題意有0＜m＜3，且0＜﹣＜3，﹣1＜0，
∴當(dāng)m＝時(shí)，DF+HF取最大值，
DF+HF的最大值為：﹣（）2+（3+）×＝；
②作GM⊥y軸于點(diǎn)M，記直線FH與x軸交于點(diǎn)N，
∵FK⊥y軸，DE⊥x軸，∠KFH＝45°，
∴∠EFH＝∠ENF＝45°，
∴EF＝EN，
∵∠KHF＝∠ONH＝45°，
∴OH＝ON，
∵y＝﹣x2+2x+3的對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴MG＝1，
∵HG＝MG＝，
∵∠GEH＝45°，
∴∠GEH＝∠EFH，
又∠EHF＝∠GHE，
∴△EHG∽△FHE，
∴HE：HG＝HF：HE，
∴HE2＝HG?HF
＝×m
＝2m，
在Rt△OEH中，
OH＝ON＝|OE﹣EN|
＝|OE﹣EF|
＝|m﹣（﹣m+3）|
＝|2m﹣3|，
∵OE＝m，
∴HE2＝OE2+OH2
＝m2+（2m﹣3）2
＝5m2﹣12m+9，
∴5m2﹣12m+9＝2m，
解得：m＝1或．
15． (2023?朝陽）如圖，拋物線y＝﹣+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4）．
（1）求拋物線表達(dá)式；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P在x軸上方，點(diǎn)M是直線BP上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)M到直線BP的最大距離；
（4）點(diǎn)G是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，三個(gè)動(dòng)點(diǎn)都不與點(diǎn)A，B，C重合，連接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接寫出△GHQ周長的最小值．
【分析】（1）利用拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣1，求出b的值，再把b的值和C的坐標(biāo)代入y＝﹣+bx+c計(jì)算即可；
（2）作PE⊥x軸于點(diǎn)E，利用相似三角形的判定方法可證得△PEB∽△BOC，設(shè)，則|，BE＝2﹣m，再分別討論P(yáng)的位置列式求解即可；
（3）作MF⊥x軸于點(diǎn)F，交BP于點(diǎn)R，作MN⊥BP于點(diǎn)N，用待定系數(shù)法求出直線BP的解析式，利用解析式表示出MR的長度，再通過求證△MNR∽△BFR聯(lián)合Rt△MNR建立比值關(guān)系列式計(jì)算即可；
（4）作Q點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)Q1，作Q關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)Q2，連接Q1Q2與AC于G1，與CB交于點(diǎn)H1，連接QQ1交AC于J，連接QQ2交CB于K，此時(shí)△QG1H1的周長最小，這個(gè)最小值＝Q1Q2，再證明Q1Q2＝2JK，JK最小時(shí)，△QGH周長最小，利用圖2證明當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)JK最小，在圖3中利用相似三角形的性質(zhì)求出JK的最小值即可解決問題．
【解答】解：（1）∵拋物線對(duì)稱軸為x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝﹣1，
將（0，4）代入y＝﹣﹣x+c中，
∴c＝4，
∴y＝﹣﹣x+4．
（2）如圖1中，作PE⊥x軸于點(diǎn)E．
∵∠ABP＝∠BCO，∠PEB＝∠BOC＝90°，
∴△PEB∽△BOC，
∴（此處也可以由等角的正切值相等得到），
設(shè)，則PE＝|﹣m2﹣m+4|，BE＝2﹣m，
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)：，
解得m1＝﹣3，m2＝2（不符題意，舍），
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)：，
解得m1＝﹣5，m2＝2（不符題意，舍），
∴或．
（3）作MF⊥x軸于點(diǎn)F，交BP于點(diǎn)R，作MN⊥BP于點(diǎn)N．
∵y＝﹣（x+4）（x﹣2），
∴A（﹣4，0），B（2，0），
設(shè)yBP＝kx+b1，
將代入得解得k＝﹣＝1，
∴yBP＝﹣x+1，
設(shè)，則，
∴a+3，
∵∠MNR＝∠RFB＝90°，∠NRM＝∠FRB，
∴△MNR∽△BFR，
∴，
∵tan∠ABP＝，
在Rt△MNR中NR：MN：MR＝1：2：，
∴，
∴MN＝﹣，
當(dāng)a＝﹣時(shí)，MN最大為．
（4）作Q點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)Q1，作Q關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)Q2，連接Q1Q2與AC于G1，與CB交于點(diǎn)H1，連接QQ1交AC于J，連接QQ2交CB于K，此時(shí)△QG1H1的周長最小，這個(gè)最小值＝Q1Q2．
∵QJ＝JQ1，QK＝KQ2，
∴Q1Q2＝2JK，
∴當(dāng)JK最小時(shí)，Q1Q2最小，如圖2中：
∵∠CJQ＝∠CKQ＝90°，
∴C、J、Q、K四點(diǎn)共圓，線段CQ就是圓的直徑，JK是弦，
∵∠JCK是定值，
∴直徑CQ最小時(shí)，弦JK最小，
∴當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合時(shí)，CQ最小，此時(shí)JK最小，如圖3中：
∵在Rt△COA中，∠COA＝90°，CO＝4，AO＝4，
∴AC＝，
∵Rt△COB，∠COB＝90°，CB＝，
∵OJ⊥AC，OK⊥CB，
∴OC?OB，
∴OK＝，
∴CK＝，
∵∠JCO＝∠OCA，∠CJO＝∠COA，
∴△CJO∽△COA，
∴，
∴CO2＝CJ?CA，同理可得：CO2＝CK?CB，
∴CJ?CA＝CK?CB，
∴，
∵∠JCK＝∠BCA，
∴△CJK∽△CBA，
∴＝，
∴，
∴JK＝，
∴△QGH周長的最小值＝Q1Q2＝2JK＝．
16． (2023?大慶）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，且其頂點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在定點(diǎn)F，使得拋物線y＝ax2+bx+c上的任意一點(diǎn)G到定點(diǎn)F的距離與點(diǎn)G到直線y＝﹣2的距離總相等．
①證明上述結(jié)論并求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)F的直線l與拋物線y＝ax2+bx+c交于M，N兩點(diǎn)．
證明：當(dāng)直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，+是定值，并求出該定值；
（3）點(diǎn)C（3，m）是該拋物線上的一點(diǎn)，在x軸，y軸上分別找點(diǎn)P，Q，使四邊形PQBC周長最小，直接寫出P，Q的坐標(biāo)．
【分析】（1）求出B（2，﹣1），A（4，0），再將點(diǎn)O、點(diǎn)A、點(diǎn)B代入拋物線y＝ax2+bx+c，即可求解解析式；
（2）①設(shè)F（2，m），G（x，x2﹣x），由已知可得（x﹣2）2+＝，整理得到m（m﹣x2+2x）＝0，因?yàn)槿我庖稽c(diǎn)G到定點(diǎn)F的距離與點(diǎn)G到直線y＝﹣2的距離總相等，所以m＝0，即可求F坐標(biāo)；②設(shè)過點(diǎn)F的直線解析式為y＝kx﹣2k，M（xM，yM），N（xN，yN），聯(lián)立直線與拋物線解析式得x2﹣（4+4k）x+8k＝0，則有xM+xN＝4+4k，xM?xN＝8k，yM+yN＝4k2，yM?yN＝﹣4k2，由①可得+＝+＝1；
（3）作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，作C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'B'交x軸、y軸分別于點(diǎn)P、Q，四邊形PQBC周長＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，求出B'（﹣2，﹣1），C'（3，），可得直線B'C'的解析為y＝x﹣，則可求Q（0，﹣），P（，0）．
【解答】解：（1）∵頂點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
∴B（2，﹣1），
∴A（4，0），
將點(diǎn)O、點(diǎn)A、點(diǎn)B代入拋物線y＝ax2+bx+c，
得到，解得，
∴y＝x2﹣x；
（2）①設(shè)F（2，m），G（x，y），
∴G點(diǎn)到直線y＝﹣2的距離為|y+2|，
∴（y+2）2＝y(tǒng)2+4y+4，
∵y＝x2﹣x，
∴（y+2）2＝y(tǒng)2+4y+4＝y(tǒng)2+x2﹣4x+4＝y(tǒng)2+（x﹣2）2，
∴G到直線y＝﹣2的距離與點(diǎn)（2，0）和G點(diǎn)的距離相等，
∴拋物線上的任意一點(diǎn)G到定點(diǎn)F的距離與點(diǎn)G到直線y＝﹣2的距離總相等；
∵G到定點(diǎn)F的距離與點(diǎn)G到直線y＝﹣2的距離相等，
∴（x﹣2）2+＝，
整理得，m（m﹣x2+2x）＝0，
∵距離總相等，
∴m＝0，
∴F（2，0）；
②設(shè)過點(diǎn)F的直線解析式為y＝kx﹣2k，M（xM，yM），N（xN，yN），
聯(lián)立，整理得x2﹣（4+4k）x+8k＝0，
∴xM+xN＝4+4k，xM?xN＝8k，
∴yM+yN＝4k2，yM?yN＝﹣4k2，
∵M(jìn)到F點(diǎn)與M點(diǎn)到y(tǒng)＝﹣2的距離相等，N到F點(diǎn)與N點(diǎn)到y(tǒng)＝﹣2的距離相等，
∴+＝+＝＝＝1，
∴+＝1是定值；
（3）作B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，作C點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'B'交x軸、y軸分別于點(diǎn)P、Q，
∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，
∴四邊形PQBC周長＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，
∵點(diǎn)C（3，m）是該拋物線上的一點(diǎn)
∴C（3，﹣），
∵B（2，﹣1），
∴B'（﹣2，﹣1），C'（3，），
∴直線B'C'的解析為y＝x﹣，
∴Q（0，﹣），P（，0）．
17． (2023?濱州）如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（h，﹣1），與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣），點(diǎn)F（2，1）為其對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)．
（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；
（2）已知直線l是過點(diǎn)C（0，﹣3）且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點(diǎn)P（m，n）到直線l的距離為d，求證：PF＝d；
（3）已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)D（4，3），請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)Q，使△DFQ的周長最小，并求此時(shí)△DFQ周長的最小值及點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【分析】（1）由題意拋物線的頂點(diǎn)A（2，﹣1），可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1，把點(diǎn)B坐標(biāo)代入求出a即可．
（2）由題意P（m，m2﹣m﹣），求出d2，PF2（用m表示）即可解決問題．
（3）如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥直線l于H，過點(diǎn)D作DN⊥直線l于N．因?yàn)椤鱀FQ的周長＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，推出DQ+QF的值最小時(shí)，△DFQ的周長最小，再根據(jù)垂線段最短解決問題即可．
【解答】（1）解：由題意拋物線的頂點(diǎn)A（2，﹣1），可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵拋物線經(jīng)過B（0，﹣），
∴﹣＝4a﹣1，
∴a＝
∴拋物線的解析式為y＝（x﹣2）2﹣1．
（2）證明：過點(diǎn)P作PJ⊥AF于J．
∵P（m，n），
∴n＝（m﹣2）2﹣1＝m2﹣m﹣，
∴P（m，m2﹣m﹣），
∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+，
∵F（2，1），
∴PF＝＝＝，
∵d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+，
∴d2＝PF2，
∴PF＝d．
（3）如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥直線l于H，過點(diǎn)D作DN⊥直線l于N．
∵△DFQ的周長＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，
∴DQ+QF的值最小時(shí)，△DFQ的周長最小，
由（2）可知QF＝QH，
∴DQ+QF＝DQ+QH，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D，Q，H共線時(shí)，DQ+QH的值最小，此時(shí)點(diǎn)H與N重合，點(diǎn)Q在線段DN上，
∴DQ+QH的最小值為6，
∴△DFQ的周長的最小值為2+6，此時(shí)Q（4，﹣）．
18．（2018?賀州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且OA＝3，OB＝1，與y軸交于C（0，3），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（﹣1，4）．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）過點(diǎn)D作直線DE∥y軸，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上B、D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B、D兩點(diǎn)重合），PA、PB與直線DE分別交于點(diǎn)F、G，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）根據(jù)OA，OB的長，可得答案；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得EG，EF的長，根據(jù)整式的加減，可得答案．
【解答】解：（1）由拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且OA＝3，OB＝1，得
A點(diǎn)坐標(biāo)（﹣3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（1，0）；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），
把C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
a（0+3）（0﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
拋物線的解析式為y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（3）EF+EG＝8（或EF+EG是定值），理由如下：
過點(diǎn)P作PQ∥y軸交x軸于Q，如圖．
設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3），
則PQ＝﹣t2﹣2t+3，AQ＝3+t，QB＝1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△AEF∽△AQP，
∴＝，
∴EF＝＝＝×（﹣t2﹣2t+3）＝2（1﹣t）；
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴＝，
∴EG＝＝＝2（t+3），
∴EF+EG＝2（1﹣t）+2（t+3）＝8．
19．（2018?煙臺(tái)）如圖1，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線y＝kx+分別與y軸及拋物線交于點(diǎn)C，D．
（1）求直線和拋物線的表達(dá)式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△PDC為直角三角形？請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值；
（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個(gè)單位后，與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，在直線EF上是否存在點(diǎn)N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及點(diǎn)M，N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，過點(diǎn)D分別作DE⊥x軸、DF⊥y軸，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三種情況，利用相似三角形的性質(zhì)逐一求解可得；
（3）通過作對(duì)稱點(diǎn)，將折線轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間距離，應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+2x+c，得
，
解得：，
∴拋物線解析式為：y＝，
∵過點(diǎn)B的直線y＝kx+，
∴代入（1，0），得：k＝﹣，
∴BD解析式為y＝﹣；
（2）由得交點(diǎn)坐標(biāo)為D（﹣5，4），
如圖1，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，作DF⊥y軸于點(diǎn)F，
當(dāng)P1D⊥P1C時(shí)，△P1DC為直角三角形，
則△DEP1∽△P1OC，
∴＝，即＝，
解得t＝，
當(dāng)P2D⊥DC于點(diǎn)D時(shí)，△P2DC為直角三角形
由△P2DB∽△DEB得＝，
即＝，
解得：t＝；
當(dāng)P3C⊥DC時(shí)，△DFC∽△COP3，
∴＝，即＝，
解得：t＝，
∴t的值為、、．
（3）由已知直線EF解析式為：y＝﹣x﹣，
在拋物線上取點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)D′，過點(diǎn)D′作D′N⊥EF于點(diǎn)N，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M
過點(diǎn)N作NH⊥DD′于點(diǎn)H，此時(shí)，DM+MN＝D′N最?。?br>則△EOF∽△NHD′
設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a，﹣），
∴＝，即＝，
解得：a＝﹣2，
則N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），
求得直線ND′的解析式為y＝x+1，
當(dāng)x＝﹣時(shí)，y＝﹣，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣，﹣），
此時(shí)，DM+MN的值最小為＝＝2．
20．（2018?湘潭）如圖，點(diǎn)P為拋物線y＝x2上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若拋物線y＝x2是由拋物線y＝（x+2）2﹣1通過圖象平移得到的，請(qǐng)寫出平移的過程；
（2）若直線l經(jīng)過y軸上一點(diǎn)N，且平行于x軸，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，﹣1），過點(diǎn)P作PM⊥l于M．
①問題探究：如圖一，在對(duì)稱軸上是否存在一定點(diǎn)F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．
②問題解決：如圖二，若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5），求QP+PF的最小值．
【分析】（1）找到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)即可找到平移方式．
（2）①設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用PM＝PF計(jì)算BF，求得F坐標(biāo)；
②利用PM＝PF，將QP+PF轉(zhuǎn)化為QP+PM，利用垂線段最短解決問題．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝（x+2）2﹣1的頂點(diǎn)為（﹣2，﹣1），
∴拋物線y＝（x+2）2﹣1的圖象向上平移1個(gè)單位，再向右2個(gè)單位得到拋物線y＝x2的圖象．
（2）①存在一定點(diǎn)F，使得PM＝PF恒成立．
如圖一，過點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，a2），
∴PM＝PF＝a2+1，
∵PB＝|a|，
∴Rt△PBF中，BF＝＝＝|a2﹣1|，
∵BF＝|a2﹣1|，OB＝a2，
∴OF＝1，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）．
②如圖二中，
由①，PM＝PF，
QP+PF的最小值為QP+PM的最小值，
當(dāng)Q、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，QP+PM有最小值，最小值為點(diǎn)Q縱坐標(biāo)加M縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．
∴QP+PF的最小值為6．

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