1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2、會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等。3、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系(例 67)。4、能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性。
1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2、會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等。3、了解一元二次方程的根與系數(shù)的關系。4、能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性。5、能列一元二次方程解應用題。
對學生已知內(nèi)容的掌握程度可通過檢測反饋進行了解，對學生的學習方法、學習習慣、興趣等的了解要在平時的學習中進行充分的觀察了解。對新知內(nèi)容如何設計嘗試自學，對未知內(nèi)容一遇到學習障礙如何能突破，同時在學習中本單元有何特點、習慣怎樣、興趣如何要及時提前做好充分的了解。
本單元作業(yè)盡可能做到面向全體學生,進行分層分類設計，做到單元教學設計整體評價和單元課程資源合理利用。
一元二次方程的概念及解法1．一元二次方程的概念：只含有①一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是②2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式是③ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．【注意】　對于方程ax2＋bx＋c＝0，只有當④a≠0時才是一元二次方程．如果說ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，那么必然隱含著⑤a≠0．
2．一元二次方程的解法：
一元二次方程根的判別式1．根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況可由⑧b2－4ac來判定，我們將⑨b2－4ac稱為根的判別式．2．判別式與根的關系：(1)b2－4ac＞0?方程有兩個⑩不相等的實數(shù)根；(2)b2－4ac＝0?方程有兩個?相等的實數(shù)根；(3)b2－4ac＜0?方程?沒有實數(shù)根．
3．關于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0.(1)若有兩個相等的實數(shù)根，則k的值是5；(2)若有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是k＜5且k≠1；(3)若沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是k＞5；(4)若有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≤5且k≠1．【變式提問】　若關于x的方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是k≤5．【易錯提示】　在使用根的判別式解決問題時，如果二次項系數(shù)中含有字母，那么要加上二次項系數(shù)不為0這個限制條件．
一元二次方程根與系數(shù)的關系當b2－4ac≥0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個實數(shù)根x1，x2，則有：x1＋x2＝?－，x1x2＝?．　一元二次方程的解與系數(shù)a，b，c的關系(1)當c＝0時，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解為x＝0；(2)當a＋b＋c＝0時，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解為x＝1；(3)當a－b＋c＝0時，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一解為x＝－1.
一元二次方程的應用常見類型及其關系式1．增長率問題：設基礎量是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為?a(1＋x)；第二次增長后為?a(1＋x)2．若增長兩次后的量為b，則有?a(1＋x)2＝b．
如圖1，設空白部分的寬為x，則S陰影＝?(a－2x)(b－2x)；如圖2、圖3、圖4，設陰影道路的寬為x，則S空白＝?(a－x)(b－x)；如圖5，長為a，寬為b的矩形ABCD的四個角都剪去一個邊長為x的正方形后做成一個無蓋的盒子，則該盒子的底面積S＝?(a－2x)(b－2x)；
5．(1)某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元．已知兩次降價的百分率都為x，那么x滿足的方程是100(1－x)2＝81；(2)某機械廠七月份生產(chǎn)零件100萬個，九月份生產(chǎn)零件196萬個，設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，則x滿足的方程是100(1＋x)2＝196．6．如圖，在長60 m、寬40 m的矩形花園中，欲修寬度相等的觀賞路(如陰影部分所示)，要使觀賞路面積占總面積的，則路寬x(m)應滿足的方程是(40－2x)(60－3x)＝(1－)×60×40．
7．春節(jié)期間x個老同學聚會．(1)若每兩個人都握一次手，所有人共握手28次，則所列方程為x(x－1)＝28；(2)若每人給其他成員贈送一張賀卡，所有人共送賀卡56張，則所列方程為x(x－1)＝56．8．新世紀百貨大樓“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施．經(jīng)調(diào)查，如果每件童裝降價2元，那么平均每天就可多售出4件．要想平均每天銷售這種童裝盈利1 200元，則每件童裝應降價多少元？設每件童裝應降價x元，可列方程為(40－x)(20＋×4)＝1200．
　一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系　(2020·隨州)已知關于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0.(1)求證：無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)若方程有兩個實數(shù)根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值．【思路點撥】　(1)根據(jù)根的判別式得出Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋9＞0，據(jù)此可得答案；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系得出x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2，代入x1＋x2＋3x1x2＝1得出關于m的方程，解之可得答案．【自主解答】　解：(1)證明：∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9＞0，∴無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)由根與系數(shù)的關系，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2.由x1＋x2＋3x1x2＝1，得－(2m＋1)＋3(m－2)＝1.解得m＝8.

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初中數(shù)學魯教版（五四學制）（2024）八年級下冊電子課本

1 一元二次方程

版本： 魯教版（五四學制）（2024）

年級： 八年級下冊

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