專題03 圓錐曲線中的定值問題-2022年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線壓軸題專題突破（通用版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

　　專題3 圓錐曲線中的定值問題在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值、角度等基本量與參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題．對學(xué)生邏輯思維能力計算能力等要求很高,這些問題重點考查學(xué)生方程思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用．探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：① 從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；② 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值。題型1、與面積有關(guān)的定值問題經(jīng)典例題：1．（2021·四川成都市·高三三模（理））已知橢圓的長軸長為，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù).（1）求橢圓的方程；（2）將橢圓上每一點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，若直線與曲線交于、兩個不同的點，為坐標(biāo)原點，是曲線上的一點，且四邊形是平行四邊形，求四邊形的面積. 2．（2021·安徽高三其他模擬（理））已知橢圓的離心率為，過點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點、分別是橢圓的左頂點和上頂點，、為橢圓上異于、的兩點，滿足，求證：面積為定值． 3.（2021年北京高考模擬）已知橢圓：的離心率為，，，，的面積為1．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)是橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點．求證：四邊形ABNM的面積為定值． 4．（2021·廣東潮州市·高三二模）已知橢圓經(jīng)過點，且橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）若點，是橢圓上的兩個動點，，分別為直線，的斜率且，求證：的面積為定值. 題型2、與角度有關(guān)的定值問題經(jīng)典例題：1．（2018·全國高考真題（文））設(shè)拋物線，點，，過點的直線與交于，兩點．（1）當(dāng)與軸垂直時，求直線的方程；（2）證明：． 2．（2021·全國高三專題練習(xí)）雙曲線的左頂點為，右焦點為，動點在上．當(dāng)時，．（1）求的離心率；（2）若在第一象限，證明：． 3．（2021·河北秦皇島市·高三二模）已知點為拋物線上一點，F為拋物線C的焦點，拋物線C在點P處的切線與y軸相交于點Q，且面積為2.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)直線l經(jīng)過交拋物線C于M，N兩點(異于點P)，求證：的大小為定值. 4．（2021·湖南常德市·高三一模）已知在平面直角坐標(biāo)系中，動點到定點的距離與到定直線的距離的比等于常數(shù)2.（1）求動點的軌跡的方程；（2）若直線與曲線的另一個交點為，以為直徑的圓交直線于兩點，設(shè)劣弧所對的圓心角為，求證：為定值. 題型3、與比值有關(guān)的定值問題經(jīng)典例題：1．（2021·北京高三二模）已知橢圓的離心率為，O為坐標(biāo)原點，F是橢圓C的右焦點，A為橢圓C上一點，且軸，.（1）求橢圓C的方程；（2）過橢圓C上一點的直線與直線AF相交于點M，與直線相交于點N.證明：為定值. 2．（2021·江西高三二模（理））如圖，已知橢圓E：的離心率為，A，B是橢圓的左右頂點，P是橢圓E上異于A，B的一個動點，直線過點B且垂直于x軸，直線AP與交于點Q，圓C以BQ為直徑.當(dāng)點P在橢圓短軸端點時，圓C的面積為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓C與PB的另一交點為點R，記△AQR的面積為，△BQR的面積為，試判斷是否為定值，若是定值，求出這個定值，若不是定值，求的取值范圍. 3．（2021·陜西寶雞市·高三三模（理））線段的長等于3，兩端點，分別在軸和軸上滑動，點在線段上，且，點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知為曲線外一動點，過點作直線和，直線與曲線交于，兩點，與曲線交于，兩點，已知的斜率為，的斜率為，且，均為定值，求證：為定值. 4．（2021·新疆高三三模（理））已知點，分別為橢圓的左、右頂點，過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，當(dāng)直線與軸垂直時，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，試問是否為常數(shù)，若是，求出這個常數(shù)；若不是，請說明理由．題型4、與參數(shù)有關(guān)的定值問題經(jīng)典例題：1．（2021·江西上饒市·高三二模（理））如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為半圓的直徑，為圓心，且，，為線段的中點；曲線過點，動點在曲線上運動且保持的值不變.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于?兩點，與所在直線交于點，，，求證：為定值. 2．（2021·全國高三月考（理））已知是橢圓：的右焦點，直線交橢圓于，兩點，交軸于點，，，．（1）求橢圓的離心率；（2）是橢圓上的點，是坐標(biāo)原點，，求的值． 3．（2018·北京高考真題（理））已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點，，，求證：為定值． 4．（2021·遼寧高考模擬）如圖，橢圓：，a，b為常數(shù))，動圓，．點分別為的左，右頂點，與相交于A，B，C，D四點．(1)求直線與直線交點M的軌跡方程;(2)設(shè)動圓與相交于四點，其中，．若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值．題型5、與斜率有關(guān)的定值問題經(jīng)典例題：1．（2021·安徽蚌埠市·高三其他模擬（文））已知橢圓：的離心率為，過點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點，分別是橢圓的左頂點和上頂點，，為橢圓上異于，的兩點，滿足，記，的斜率分別為，，求證：為定值． 2．（2021·陜西寶雞市·高三三模（文））線段的長等于，兩端點、分別在軸和軸上滑動，點在線段上，且，點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點作斜率為的動直線，交曲線于、兩點，若為曲線的左頂點，直線、的斜率分別為、，求證：為定值，并求出該定值． 3．（2021·貴州貴陽市·高三二模（文））已知定點，曲線L上的任一點M都有.（1）求曲線L的方程；（2）點，動直線恒過點，與曲線L交于，設(shè)直線的斜率分別為.證明：成等差數(shù)列. 4．（2021·陜西西安市·高三一模（理））已知點到的距離與它到直線的距離之比為．（1）求點的軌跡的方程；（2）若是軌跡與軸負(fù)半軸的交點，過點的直線與軌跡交于兩點，求證：直線的斜率之和為定值．課后訓(xùn)練：1．（2021·內(nèi)蒙古包頭市·高二期末（文））拋物線的方程為（），是上的一點．（1）求的值，并求點處的切線方程；（2）不過點且斜率為的直線交拋物線于、兩點．證明：直線、的傾斜角互補(bǔ)． 2．（2021·安徽蚌埠市·高三三模（文））已知雙曲線：(，)的虛軸長為4，直線為雙曲線的一條漸近線.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記雙曲線的左?右頂點分別為，，過點的直線交雙曲線于點，(點在第一象限)，記直線斜率為，直線斜率為，求證：為定值. 3．（2021·上海市復(fù)興高級中學(xué)高二期末）已知點、為雙曲線的左、右焦點，過作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線C于點M，且，圓O的方程是．（1）求雙曲線C的方程；（2）過雙曲線C上任意一點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求證：為定值；（3）若過圓O上點作圓O的切線l交雙曲線C于A、B兩點，求證：． 4．（2021·全國高三其他模擬）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點，．當(dāng)時，的面積為5．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與軸交于點，且，，求證：為定值． 5．（2021·江蘇高三月考）在平面直角坐標(biāo)系中，過點的直線交拋物于，兩點．（1）設(shè)，的斜率分別為，，求的值；（2）過點，分別作直線的垂線，垂足為、，試探究和的關(guān)系，并說明理由． 6．（2021·四川成都市·成都七中高二月考（理））雙曲線：的左頂點為，右焦點為，動點在上.當(dāng)時，.（1）求雙曲線的離心率；（2）若在第一象限，證明：. 7．（2020·北京高考真題）已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值． 8．（2021·安徽馬鞍山市·高三二模（文））已知F(-2，0)為橢圓C: 的左焦點，斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，當(dāng)直線l經(jīng)過點F時，橢圓C的上頂點也在直線上.（1）求C的方程；（2）若O為坐標(biāo)原點，D為點A關(guān)于x軸的對稱點，且直線與直線BD分別交x軸于點M，N.證明:為定值. 9．（2021·廣東高三其他模擬）已知橢圓：的右頂點為，直線：過橢圓的右焦點，點到直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）橢圓的左頂點為，是橢圓位于軸上方部分的一個動點，以點為圓心，過點的圓與軸的右交點為，過點作軸的垂線交直線于點，過點作直線，交直線于點．求的值． 10．（2021·重慶市黔江新華中學(xué)校高三月考）已知橢圓焦點在軸上過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2），為橢圓的左?右頂點，直線：與軸交于點，點是橢圓：上異于，的動點，直線，分別交直線于，兩點.證明：恒為定值. 11．（2020·山東高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值． 12．（河南省2020-2021學(xué)年高三（3月）調(diào)研考理數(shù)試卷）橢圓：的左右焦點分別為、，且橢圓過點．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過原點作兩條相互垂直的直線、，與橢圓交于，兩點，與橢圓交于，兩點，求證：四邊形的內(nèi)切圓半徑為定值． 13．（江蘇省蘇州市2021屆高三下學(xué)期期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點的直線交拋物線于點P（異于原點O），拋物線C上點P處的切線交y軸于點M，設(shè)線段的中點為N，連結(jié)線段交C于點T．（1）求的值；（2）過點P作圓的切線交C于另一點Q，設(shè)直線的斜率為，證明：為定值． 14．（2021年北京高考數(shù)學(xué)全真模擬卷）已知橢圓，離心率．直線與軸交于點，與橢圓相交于兩點．自點分別向直線作垂線，垂足分別為．（1）求橢圓的方程及焦點坐標(biāo)；（2）記，，的面積分別為，，，試證明為定值． 15．（2021·全國高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，曲線的點均在外，且對上任意一點，到直線的距離等于該點與圓上點的距離的最小值．（1）求曲線的方程；（2）設(shè)為圓外一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點、和、．證明：當(dāng)在直線上運動時，四點、、、的縱坐標(biāo)之積為定值． 16．（2020·四川高考模擬）已知拋物線：的焦點為，過且斜率為的直線與拋物線交于，兩點，在軸的上方，且點的橫坐標(biāo)為4.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點為拋物線上異于，的點，直線與分別交拋物線的準(zhǔn)線于，兩點，軸與準(zhǔn)線的交點為，求證：為定值，并求出定值. 17．（2021·湖北武漢市·高三二模）設(shè)拋物線的焦點為F，過F作直線l交拋物線E于A，B兩點.當(dāng)l與x軸垂直時，面積為8，其中O為坐標(biāo)原點.（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若l的斜率存在且為點，直線與E的另一交點為C，直線與E的另一交點為D，設(shè)直線的斜率為，證明：為定值. 18．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點是F，若過焦點的直線與相交于P，Q兩點，所得弦長的最小值為4.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)A，B是拋物線C上兩個不同的動點，O為坐標(biāo)原點，若，，M為垂足，證明：存在定點N，使得為定值. 19．（2021·安徽蚌埠市·高三三模（理））已知雙曲線：的虛軸長為4，直線為雙曲線的一條漸近線.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記雙曲線的左?右頂點分別為，，斜率為正的直線過點，交雙曲線于點，(點在第一象限)，直線交軸于點，直線交軸于點，記面積為，面積為，求證：為定值. 20．橢圓的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為l．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接．設(shè)的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點．設(shè)直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值．

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