1．橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和（2a）大于定長(zhǎng)（2c）的點(diǎn)的軌跡（2a＞2c）．
　　2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．　?。?）　?。?）
3．橢圓中a、b、c的關(guān)系：b2＝a2－c2．
　　閱讀課本，回答問(wèn)題：　　問(wèn)題1：橢圓的范圍是指橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　 　　　　　　　 中x，y的范圍，可以用哪些方法推導(dǎo)？　　問(wèn)題2：借助橢圓的圖形容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對(duì)稱性，能否借助標(biāo)準(zhǔn)方程用代數(shù)方法推導(dǎo)？　　問(wèn)題3：橢圓的頂點(diǎn)是最左或最右邊的點(diǎn)嗎？
　　問(wèn)題4：取一條一定長(zhǎng)的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫板的F1和F2兩點(diǎn)，當(dāng)繩長(zhǎng)大于F1和F2的距離時(shí)，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動(dòng)，就可以畫出一個(gè)橢圓．若細(xì)繩的長(zhǎng)度固定不變，將焦距分別增大和縮小，想象橢圓的“扁”的程度的變化規(guī)律．　　問(wèn)題5：在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中令 能使方程簡(jiǎn)單整齊，其幾何意義是什么？
　　1．范圍：　　由方程　　　　 　　　可知，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都適合不等式　　　　≤1，即x2≤a2，所以|x|≤a．同理可得|y|≤b． 　　這說(shuō)明橢圓位于直線x＝±a和y＝±b所圍成的矩形內(nèi)．
　　2．對(duì)稱性：　　從圖形上看：橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱．　　從方程　　　　　　上看：（1）把x換成－x，方程不變，說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)P（x，y）在橢圓上時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P＇（－x，y）也在橢圓上，所以橢圓的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；　　（2）把y換成－y，方程不變，所以橢圓的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；　　（3）把x換成－x，同時(shí)把y換成－y，方程不變，所以橢圓的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱．　　綜上：坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心．橢圓的對(duì)稱中心叫作橢圓的中心．
　　3．頂點(diǎn)：　　在方程　　　　　　中，令x＝0，得y＝±b，說(shuō)明點(diǎn)B1（0，－b），B2（0，b）是橢圓與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)．同理A1（－a，0），A2（a，0）是橢圓與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)．　?。?）頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫作橢圓的頂點(diǎn)；　?。?）長(zhǎng)軸、短軸：線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b；　　（3）a、b的幾何意義：a是長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，b是短半軸的長(zhǎng)．
　　4．離心率：　　橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比　　 ，叫作橢圓的離心率．　　說(shuō)明：（1）因?yàn)閍＞c＞0，所以0＜e＜1．　?。?）e越接近1，則c越接近a，從而　　　　　越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0， 越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就接近于圓；　　（3）當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，這時(shí)兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，但本教材規(guī)定圓與橢圓是不同的曲線，有些書將圓看成特殊的橢圓；　　（4）試讓學(xué)生通過(guò)探究　 大小變化來(lái)發(fā)現(xiàn)“扁”的程度．
　　例1　求橢圓　　　　 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，離心率，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出這個(gè)橢圓．
　　分析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程　　　　　，可知a＝5，b＝3，則橢圓位于四條直線x＝±5，y＝±3所圍成的矩形內(nèi)．又橢圓以兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，所以只要畫出第一象限的圖形就可以畫出整個(gè)圖象．
　　解　根據(jù)橢圓的方程　　　　 ，得a＝5，b＝3， 　　　　　．　　因此，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝10，短軸2b＝6．　　焦點(diǎn)為F1（－4，0）和F2（4，0），　　頂點(diǎn)為A1（－5，0），A2（5，0），B1（0，－3），B2（0，3）．　　離心率　　　　　 ．　　將方程變形為　　　　　 ，根據(jù)　　　　 算出橢圓在第一象限的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：
　　例2　求符合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：　　（1）焦距為8，離心率為0.8．　?。?）焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸較接近的端點(diǎn)的距離為　　　　，焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直．　?。?）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長(zhǎng)軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，0），求橢圓的方程．
　　例3 將圓x2＋y2＝4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，求所的曲線的方程，并說(shuō)明它是什么曲線？

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

3.1 橢圓

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