1．橢圓6x2＋y2＝6的長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)為( )
A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0)
C．(－eq \r(6)，0)，(eq \r(6)，0) D．(0，－eq \r(6))，(0，eq \r(6))
解析：選D ∵橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式為eq \f(y2,6)＋x2＝1，
∴a2＝6，且焦點(diǎn)在y軸上，
∴長(zhǎng)軸端點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－eq \r(6))，(0，eq \r(6))．
2．(多選)已知橢圓的方程為eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)，并且焦距為6，則實(shí)數(shù)m的值可以為( )
A．4 B.eq \r(34)
C．6 D.eq \r(33)
解析：選AB ∵2c＝6，∴c＝3.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由橢圓的方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由橢圓的方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝eq \r(34).綜上可知，實(shí)數(shù)m的值為4或eq \r(34).
3．與橢圓9x2＋4y2＝36有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(4eq \r(5)，0)的橢圓的方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1 B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,45)＝1 D.eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,85)＝1
解析：選D 由eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1可知，所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝5，故A、C不正確；再將點(diǎn)(4eq \r(5)，0)分別代入B、D檢驗(yàn)可知，只有D選項(xiàng)符合題意．
4．(多選)已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)與橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1有相同的長(zhǎng)軸，橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的短軸長(zhǎng)與橢圓eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短軸長(zhǎng)相等，則( )
A．a(chǎn)2＝25 B．b2＝9
C．a(chǎn)2＝21 D．b2＝16
解析：選AB 因?yàn)闄E圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓eq \f(y2,21)＋eq \f(x2,9)＝1的短軸長(zhǎng)為6，所以a2＝25，b2＝9.
5．已知橢圓E：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)與直線y＝b相交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，如果△AOB是等邊三角形，那么橢圓E的離心率等于( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(\r(3),4)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),2)
解析：選C 不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限，則Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)，b))，由題意知OB的傾斜角是60°，所以eq \f(b,\f(bc,a))＝eq \f(a,c)＝eq \r(3)，則橢圓的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).故選C.
6．若橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則m的值為________，焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．
解析：∵橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，∴eq \r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq \f(1,4).
∴a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq \r(3))．
答案：eq \f(1,4) (0，±eq \r(3))
7．已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是(0，eq \r(3))，且離心率e＝eq \f(\r(3),2)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．
解析：∵eq \f(b,a)＝eq \r(1－e2)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝eq \f(1,2)，∴a＝2b，
若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則b＝eq \r(3)，a＝2eq \r(3)；
若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，則a＝eq \r(3)，b＝eq \f(\r(3),2).
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,\f(3,4))＝1.
答案：eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,\f(3,4))＝1
8.如圖所示，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，PF⊥x軸，OP∥AB，則橢圓的離心率為________．
解析：法一：設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，則kAB＝－eq \f(b,a)，
∵OP∥AB，∴直線OP的方程為y＝－eq \f(b,a)x.
又PF⊥x軸，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(bc,a))).
而點(diǎn)P也在橢圓上，∴eq \f(c2,a2)＋eq \f(c2,a2)＝1.∴2e2＝1，∴e＝eq \f(\r(2),2).
法二：設(shè)橢圓方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，點(diǎn)F(－c，0)．
∵P是橢圓上一點(diǎn)，且PF⊥x軸，∴易得點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a))).
又OP∥AB，∴Rt△OPF∽R(shí)t△ABO，
∴eq \f(|PF|,|BO|)＝eq \f(|OF|,|AO|)，即eq \f(\f(b2,a),b)＝eq \f(c,a)，即eq \f(b,a)＝eq \f(c,a)，
∴b＝c，∴a＝eq \r(2)c，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
9．求經(jīng)過點(diǎn)M(1，2)，且與橢圓eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1有相同離心率的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：設(shè)所求橢圓方程為eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝k1(k1>0)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝k2(k2>0)，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得eq \f(1,12)＋eq \f(4,6)＝k1或eq \f(4,12)＋eq \f(1,6)＝k2，解得k1＝eq \f(3,4)，k2＝eq \f(1,2)，故eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝eq \f(3,4)或eq \f(y2,12)＋eq \f(x2,6)＝eq \f(1,2)，即所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,\f(9,2))＝1或eq \f(y2,6)＋eq \f(x2,3)＝1.
10．航天器的軌道有很多種，其中“地球同步轉(zhuǎn)移軌道”是一個(gè)橢圓軌道，而且地球的中心正好是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．若地球同步轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)(即橢圓上離地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn))與地球表面的距離為m，近地點(diǎn)與地球表面的距離為n，設(shè)地球的半徑為r，試用m，n，r表示出地球同步轉(zhuǎn)移軌道的離心率．
解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，半焦距為c，依意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－c＝n＋r，,a＋c＝m＋r，))
解得a＝eq \f(n＋m＋2r,2)，c＝eq \f(m－n,2)，因此離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(m－n,n＋m＋2r).
[B級(jí) 綜合運(yùn)用]
11．(多選)若橢圓x2＋my2＝1的離心率為eq \f(\r(3),2)，則m的值可以為( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．2 D．4
解析：選AD 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，
則有m>0且m≠1.
當(dāng)eq \f(1,m)1時(shí)，a2＝1，b2＝eq \f(1,m)，
依題意有 eq \f(\r(1－\f(1,m)),1)＝eq \f(\r(3),2)，
解得m＝4，滿足m>1；
當(dāng)eq \f(1,m)>1，即0

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊(cè)電子課本

3.1 橢圓

版本： 蘇教版 (2019)

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