2025屆高考數(shù)學一輪總復習第八章立體幾何與空間向量課時規(guī)范練45綜合問題-試卷下載-教習網(wǎng)

(1)求證:直線PE⊥平面BCD;
(2)求異面直線BD和PC所成角的余弦值.
2. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是矩形,點D在以AP為直徑的圓上,平面PAD⊥平面ABCD,PA=2,PB=,平面PBC∩平面PAD=m.
(1)求證:直線m⊥平面PDC;
(2)當三棱錐P-ABD體積最大時,求二面角C-PB-A的余弦值.
3.(2023山西統(tǒng)考模擬)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥平面ABCD,△PAD是邊長為2的等邊三角形,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.
(1)求點B到平面PCD的距離.
(2)線段PD上是否存在一點E,使得平面EAC與平面DAC夾角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
4.如圖,在四邊形PDCB中,PD∥BC,BA⊥PD,PA=AB=BC=1,AD=.沿BA將△PBA翻折到△SBA的位置,使得SD=.
(1)作出平面SCD與平面SBA的交線l,并求證:l⊥平面CSB;
(2)點Q是棱SC上異于S,C的一點,連接QD,當二面角Q-BD-C的余弦值為時,求三棱錐Q-BCD的體積.
5.(2023河南焦作二模)如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=,E為BC的中點,F為AB上一點,且EF⊥AB.現(xiàn)將△BEF沿EF翻折到△B'EF,如圖2.
圖1
圖2
(1)求證:EF⊥AB'.
(2)已知二面角B'-EF-A為,在棱AC上是否存在點M,使得直線BC與平面B'MF所成角的正弦值為?若存在,確定M的位置;若不存在,請說明理由.
6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB=2,∠BAD=60°.
(1)求證:直線BD⊥平面PAC;
(2)求直線PB與平面PAD所成角的正切值;
(3)設(shè)點M在線段PC上,且平面MBC與平面MBA夾角的余弦值為,求點M到底面ABCD的距離.
課時規(guī)范練45 綜合問題
1.(1)證明因為平面PBD⊥平面BCD,且平面PBD∩平面BCD=BD,又由圖1可知AB=AD,且E為BD中點,所以AE⊥BD,即PE⊥BD.
又PE?平面PBD,所以PE⊥平面BCD.
(2)解建立空間直角坐標系,以E為坐標原點,EB所在直線為x軸,在平面BDC且垂直BD的直線為y軸,EP所在直線為z軸,如圖所示.
由題圖1可知△ABD為等腰直角三角形,
所以∠ADB=∠DBC=∠DCB=45°,
所以△DBC為等腰直角三角形.
因為AD=AB=,所以PD=PB=,所以DB=DC==2,
所以B(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,1),C(-1,2,0),所以=(-2,0,0),=(-1,2,-1),
所以cs=,
所以異面直線BD和PC所成角的余弦值為.
2.(1)證明因為四邊形ABCD是矩形,所以AD⊥CD.
因為點D在以AP為直徑的圓上,
所以AD⊥DP,CD∩DP=D,
CD,DP?平面PDC,所以AD⊥平面PDC.
因為AD∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,
所以AD∥平面PBC.
因為平面PBC∩平面PAD=m,所以AD∥m,所以直線m⊥平面PDC.
(2)解設(shè)PD=x,所以AD=(0