易錯點一：注意零向量書寫及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線性運算）
1．向量的有關(guān)概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．
（3）特殊向量：
①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長度等于1個單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．
④相等向量：長度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運算和向量共線定理
（1）向量的線性運算
共線向量定理
向量與共線，當且僅當有唯一的一個實數(shù)，使得.
共線向量定理的主要應(yīng)用：
(1)證明向量共線：對于非零向量，，若存在實數(shù)，使，則與共線．
(2)證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使，則A，B，C三點共線．
(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．
平面向量線性運算問題的求解策略：
(1)進行向量運算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．
(2)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用．
(3)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：
①觀察各向量的位置；
②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；
③運用法則找關(guān)系；
④化簡結(jié)果.
解決向量的概念問題應(yīng)關(guān)注以下七點：
(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵．
(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．
(3)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān)．
(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談．
(6)非零向量與的關(guān)系：是方向上的單位向量．
(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可以比較大小
易錯提醒：（1）向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．
（2）兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．
（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．
（4）向量加法和減法幾何運算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，.
例 ．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【詳解】對于A，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，則，故A正確；
對于B，在平行四邊形中，，則，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，在平行四邊形中，，
，故D正確.故選：ACD.
變式1：給出下列命題，其中正確的命題為（ ）
A．若，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段
B．若，則可知
C．若Q為的重心，則
D．非零向量，，滿足與，與，與都是共面向量，則，，必共面
【詳解】在平行四邊形ABDC中，滿足，但不滿足A與C重合，B與D重合，AB與CD不為同一線段，A不正確.
因為，所以，所以，所以，所以，即，B正確.
若Q為的重心，則，所以，所以，即，C正確.
在三棱柱中，令，，，滿足與，與，與都是共面向量，但，，不共面，D不正確.故選：BC.
變式2：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，．

(1)試用向量來表示;
(2)AM交DN于O點，求的值．
【詳解】（1）因為，所以，所以，
因為，所以，
所以；
（2）設(shè)，
則，
因為三點共線，所以存在實數(shù)使，
由于向量不共線，則，，解得，
所以.
變式3：如圖所示，在矩形中，，，設(shè)，，，求.

【詳解】解：在矩形中，，，
則，
因為，，，
則，
因此，.
1．已知、為不共線的向量，，，，則（ ）
A．三點共線B．三點共線
C．三點共線D．三點共線
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量共線定理及基本定理判斷即可.
【詳解】因為、為不共線的向量，所以、可以作為一組基底，
對于A：，，若存在實數(shù)使得，
則，所以，方程組無解，所以與不共線，故、、三點不共線，即A錯誤；
對于B：因為，，所以，
同理可以說明不存在實數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點不共線，即B錯誤；
對于C：因為，，
所以，
又，所以，故、、三點共線，即C正確；
對于D：，，
同理可以說明不存在實數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點不共線，即D錯誤；
故選：C
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是線段AE上靠近點A的三等分點，則等于（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的線性運算求解.
【詳解】解：，
，
，
，
故選：C
3．在四邊形中，若，則（ ）
A．四邊形是平行四邊形B．四邊形是矩形
C．四邊形是菱形D．四邊形是正方形
【答案】A
【分析】由推出，再根據(jù)向量相等的定義得且，從而可得答案.
【詳解】因為，故，即，
故且，故四邊形一定是平行四邊形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.
故選：A.
4．已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（ ）

A．＋B．＋
C．D．＋
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的線性運算即可聯(lián)立方程求解.
【詳解】分別為的邊上的中線,
則,
,
由于，，所以,
故解得
故選：B
5．如果是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是（ ）
①可以表示平面α內(nèi)的所有向量；
②對于平面α內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對有無窮多個；
③若向量與共線，則
④若實數(shù)λ、μ使得，則λ＝μ＝0.
A．①②B．②③C．③④D．②
【答案】B
【分析】由平面向量基本定理判斷①④②，由共線向量定理判斷③.
【詳解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正確．
對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的，故錯誤；
對于③，當λ1λ2＝0或μ1μ2＝0時不一定成立，應(yīng)為λ1μ2－λ2μ1＝0，故錯誤.
故選：B.
6．給出下列各式：①，②，③，④，對這些式子進行化簡，則其化簡結(jié)果為的式子的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】利用向量的加減法法則逐個分析判斷即可.
【詳解】對于①，，
對于②，，
對于③，，
對于④，，
所以其化簡結(jié)果為的式子的個數(shù)是4，
故選：A
7．已知平面向量，，，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，，則D．若，則
【答案】D
【分析】利用向量的概念及零向量判斷即可.
【詳解】A：若為非零向量，為零向量時，有但不成立，錯誤；
B：時，，不一定相等，錯誤；
C：若為零向量時，，不一定有，錯誤；
D：說明，同向或至少有一個零向量，故，正確.
故選：D.
8．設(shè)與是兩個不共線的向量，，若A，B，D三點共線，則k的值為（ ）
A．－B．－C．－D．－
【答案】B
【分析】根據(jù)向量共線的判定定理結(jié)合向量的線性運算求解.
【詳解】由題意可得：，
若A，B，D三點共線，所有必存在一個實數(shù)λ，使得，
即，
可得，解得.
故選：B.
9．在中，已知，P是AB的垂直平分線l上的任一點，則（ ）
A．6B．C．12D．
【答案】B
【分析】設(shè)為的中點，結(jié)合為線段垂直平分線上的任意一點，則有，再將都用表示，結(jié)合數(shù)量積的運算律即可得解.
【詳解】設(shè)為的中點，
則，
因為為線段垂直平分線上的任意一點，
所以，
則.

故選：.
10．已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，點，線段AF交拋物線C于點B，過點B作l的垂線，垂足為H，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用三角形相似及拋物線定義求解.
【詳解】拋物線C：的焦點，準線為，
設(shè)準線與軸交于點，
∵，由與△相似得：，
∵，∴，即，故A錯誤；
由拋物線定義得，∴，
即，，故BC正確，D錯誤．
故選：BC．
11．下列各式中結(jié)果為零向量的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)平面線向量加法和減法的運算法則逐一判斷即可.
【詳解】因為，所以選項A不符合題意；
因為，所以選項B符合題意；
因為，
所以選項C符合題意；
因為，
所以選項D不符合題意，
故選：BC
易錯點二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標表示）
1．平面向量基本定理和性質(zhì)
（1）共線向量基本定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．
（2）平面向量基本定理
如果和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對實數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標表示的基礎(chǔ)．
推論1：若，則．
推論2：若，則．
（3）線段定比分點的向量表達式
如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．
D
A
C
B
（4）三點共線定理
平面內(nèi)三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點．此定理在向量問題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．
A、B、C三點共線
存在唯一的實數(shù)，使得；
存在唯一的實數(shù)，使得；
存在唯一的實數(shù)，使得；
存在，使得．
（5）中線向量定理
如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．
D
A
C
B
2．平面向量的坐標表示及坐標運算
（1）平面向量的坐標表示．
在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內(nèi)的一個向量，有且只有一對實數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對叫做向量的坐標，記作．
（2）向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應(yīng)的，即有
向量向量點．
（3）設(shè)，，則，，即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差．
若，為實數(shù)，則，即實數(shù)與向量的積的坐標，等于用該實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標．
（4）設(shè)，，則=，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標．
3．平面向量的直角坐標運算
①已知點，，則，
②已知，，則，，
，．
，
向量共線（平行）的坐標表示
1．利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量共線的向量時，可設(shè)所求向量為（），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．
2．利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若，，則的充要條件是”解題比較方便．
3．三點共線問題．A，B，C三點共線等價于與共線．
4．利用向量共線的坐標運算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標運算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解．
用平面向量基本定理解決問題的一般思路
（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算．
（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式．
向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系．
兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的．
易錯提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量．
（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來．
（3）強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等。
例 ．已知向量=（2，1），，則（ ）
A．若，則B．向量在向量上的投影向量為
C．與的夾角余弦值為D．
【詳解】對于A選項，若，則，所以，A正確；
對于B選項，設(shè)向量在向量上的投影向量為，則，即，解得，故向量在向量上的投影向量為，B選項正確；
對于C選項，，，C選項正確；
對于D選項，，，所以與不共線，D選項錯誤.
故選：ABC.
變式1．下列說法中錯誤的為（ ）
A．已知，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是
B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
C．非零向量，，滿足且與同向，則
D．非零向量和，滿足，則與的夾角為
【詳解】對于A，，，且與的夾角為銳角，
，且（時，與的夾角為），所以且，故A錯誤；
對于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；
對于C，向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯誤；
對于D，因為，兩邊平方得，，又，
則，，
故，
而向量的夾角范圍為，所以和的夾角為，故D正確．
故選：AC．
變式2．（多選）下列說法中正確的是（ ）
A．若，且與共線，則
B．若，且，則與不共線
C．若A，B，C三點共線．則向量都是共線向量
D．若向量，且，則
【詳解】對選項A，或時，比例式無意義，故錯誤；
對選項B，若，與共線，則一定有，故正確；
對選項C，若A，B，C三點共線，則在一條直線上，則都是共線向量，故正確；
對選項D，若向量，且，則，即，故正確；
故選：BCD
變式3．已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（ ）
A．若實數(shù)m，n使，則
B．平面內(nèi)任意一個向量都可以表示成，其中m，n為實數(shù)
C．對于m，，不一定在該平面內(nèi)
D．對平面內(nèi)的某一個向量，存在兩對以上實數(shù)m，n，使
【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確；
對于C，對于m，，在該平面內(nèi)，故C錯誤；
對于D，m，n是唯一的，故D錯誤.
故選:AB.
1．在梯形中，，，，分別是，的中點，與交于，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】結(jié)合已知梯形的性質(zhì)及向量加法及減法的三角形法則及向量共線定理對各選項進行判斷即可．
【詳解】
由題意可得，，故A正確；
，故B正確；
，故C錯誤；
，故D正確．
故選：ABD．
2．已知點，，向量，∥，則（ ）
A．時與方向相同
B．時，與方向相同
C．時與方向相反
D．時，與方向相反
【答案】BD
【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示求出，再回代驗證方向相同或相反.
【詳解】，，可得，
又，，
可得，解得，
當時，與方向相反，當時，與方向相同.
故選：BD
3．已知點向量則（ ）
A．時與方向相同
B．時與方向相同
C．時與方向相反
D．時與方向相反
【答案】BD
【分析】根據(jù)向量共線的坐標運算求解.
【詳解】可得
又
可得解得
當時，，則，
所以與方向相反，
當時，，，則，
與方向相同.
故選:BD.
4．如果是平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中正確的是（ ）
A．可以表示平面內(nèi)的所有向量
B．對于平面內(nèi)任一向量，使的實數(shù)對有無窮個
C．若向量與共線，則有且只有一個實數(shù)，使得
D．若存在實數(shù)使得，則
【答案】AD
【分析】由平面向量基本定理可確定AD正確，B錯誤；通過反例可說明C錯誤.
【詳解】是平面內(nèi)兩個不共線的向量，可以作為平面的一組基底；
對于A，由平面向量基本定理可知：可以表示平面內(nèi)的所有向量，A正確；
對于B，對于平面內(nèi)任意向量，有且僅有一個實數(shù)對，使得，B錯誤；
對于C，當時，與均為零向量，滿足兩向量共線，此時使得成立的有無數(shù)個，C錯誤；
對于D，由得：，又不共線，，即，D正確.
故選：AD.
5．已知平面內(nèi)平行四邊形的三個頂點則第四個頂點的坐標為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】若構(gòu)成的平行四邊形為，即為一條對角線，設(shè)，則由中點也是中點，利用線段的中點公式求得．
同理可求得，構(gòu)成以為對角線的平行四邊形，和以為對角線的平行四邊形，對應(yīng)的的坐標．
【詳解】若構(gòu)成的平行四邊形為，即為一條對角線，
設(shè)，則由中點也是中點，可得，解得，
所以；
同理可得，若構(gòu)成以為對角線的平行四邊形，則；
以為對角線的平行四邊形，則；
所以第四個頂點的坐標為可以為：或或．
故選：ABC．
6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過下頂點A和右焦點的直線與E交于另一點B，與y軸交于點P，則（ ）
A．B．
C．△的內(nèi)切圓半徑為D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)給定條件，求出焦點及下頂點坐標，畫出圖形，再逐項分析計算、判斷作答.
【詳解】依題意，橢圓的焦點，下頂點，如圖，
對于A，，因此，A正確；
對于B，直線，由消去y得：，則點，
于是，B正確；
對于C，的周長為，令其內(nèi)切圓半徑為，，
因此，解得，C錯誤；
對于D，，設(shè)點，則，而，即有，
因此，D正確.
故選：ABD
7．設(shè)，非零向量，，則（ ）.
A．若，則B．若，則
C．存在，使D．若，則
【答案】ABD
【分析】A選項，驗證即可；
B選項，驗證；
C選項，由題可得，，據(jù)此可判斷選項正誤；
D選項，由題可得，據(jù)此可判斷選項
【詳解】A選項，，
則，故A正確；
B選項，，則，
故，故B正確；
C選項，假設(shè)存在，使，則，，則可得
，故可得
，則假設(shè)不成立，故C錯誤；
D選項，因，則，又由題可得，則
，故D正確.
故選：ABD
8．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】AB
【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示判斷A，根據(jù)向量垂直的坐標表示判斷B，根據(jù)向量的模的坐標表示判斷C，D.
【詳解】對于A，因為，所以，所以，A正確；
對于B，因為，所以，所以，B正確；
對于C，因為，所以，所以，C錯誤；
對于D，因為，所以，所以或，D錯誤；
故選：AB.
9．如圖，在中，是的三等分點，則（ ）
A．
B．若，則在上的投影向量為
C．若，則
D．若
【答案】AD
【分析】根據(jù)平面向量線性運算的性質(zhì)，結(jié)合投影向量的定義、平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，因為，所以，
由題意得為的一個三等分點（靠點更近），所以在上的投影向量為，故B不正確；
對于C，，
，
故，
又，
所以，
故，故C錯誤；
對于D，，
而，
代入得，故選項D正確，
故選：AD
10．已知，則下列敘述正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．的最小值為5D．若向量與向量的夾角為鈍角，則
【答案】AD
【分析】由向量平行和垂直的坐標表示可得AB正誤；利用向量模長運算可知，由二次函數(shù)性質(zhì)可求得，知C錯誤；利用向量夾角為鈍角，則數(shù)量積必定小于0，可判斷D.
【詳解】對于A，若，則，解得：，A正確；
對于B，若，則，解得：，B錯誤；
對于C，因為，所以，則當時，，，C錯誤；
對于D，若向量與向量的夾角為鈍角，則，解得，由上可知，此時兩向量不共線，D正確.
故選：AD.
11．已知空間向量=（1，－1，2），則下列說法正確的是（ ）
A．
B．向量與向量=（2，2，－4）共線
C．向量關(guān)于x軸對稱的向量為（1，1，－2）
D．向量關(guān)于yOz平面對稱的向量為（－1，1，－2）
【答案】AC
【分析】根據(jù)空間向量的模、共線、對稱等知識對選項進行分析，從而確定正確選項.
【詳解】，A選項正確.
，所以不共線，B選項錯誤.
向量關(guān)于x軸對稱的向量，不變，和變?yōu)橄喾磾?shù)，
即向量關(guān)于x軸對稱的向量為，C選項正確.
向量關(guān)于yOz平面對稱的向量，和不變，變?yōu)橄喾磾?shù)，
即向量關(guān)于yOz平面對稱的向量為，D選項錯誤.
故選：AC
易錯點三：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律（平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用）
1．平面向量的數(shù)量積
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），
記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當為銳角時，它是正數(shù)；當為鈍角時，它是負數(shù)；當為直角時，它是0．
②的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
2．數(shù)量積的運算律
已知向量、、和實數(shù)，則：
①；
②；
③．
3．數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當與同向時，；當與反向時，．
特別地，或．
④．⑤．
4．數(shù)量積的坐標運算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
1．平面向量數(shù)量積的類型及求法：
（1）平面向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式；二是坐標公式．
（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運算時，可先利用平面向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進行化簡．
2．平面向量數(shù)量積主要有兩個應(yīng)用：
（1）求夾角的大?。喝?，為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得（夾角公式），所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題．
（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角．
3．向量與平面幾何綜合問題的解法與步驟：
（1）向量與平面幾何綜合問題的解法
①坐標法
把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校瑒t有關(guān)點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．
②基向量法
適當選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進行求解．
（2）用向量解決平面幾何問題的步驟
①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
②通過向量運算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；
③把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．
4．利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路：
（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解．
（2）求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，先求值再求角．
（3）解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，即通過向量的相關(guān)運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題．
（4）解三角形．利用向量的坐標運算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問題．
5．用向量法解決實際問題的步驟如下：
第一步：抽象出實際問題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；
第二步：建立以向量為主體的數(shù)學模型；
第三步：利用向量的線性運算或數(shù)量積運算，求解數(shù)學模型；
第四步：用數(shù)學模型中的數(shù)據(jù)求解問題．
6．常見的向量表示形式：
（1）重心．若點G是的重心，則或 （其中P為平面內(nèi)任意一點）．反之，若，則點G是的重心．
（2）垂心．若H是的垂心，則．反之，若，則點H是的垂心．
（3）內(nèi)心．若點I是的內(nèi)心，則．反之，若，則點I是的內(nèi)心．
（4）外心．若點O是的外心，則或．反之，若，則點是的外心．
題型：平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：
（1）求向量的模．解決此類問題應(yīng)注意模的計算公式，或坐標公式的應(yīng)用，另外也可以運用向量數(shù)量積的運算公式列方程求解．
（2）求模的最值或取值范圍．解決此類問題通常有以下兩種方法：
①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．
（3）由向量的模求夾角．對于此類問題的求解，其實質(zhì)是求向量模方法的逆運用．
易錯提醒：（1）平面向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，可正、可負、可為零，且．
（2）當時，由不能推出一定是零向量，這是因為任一與垂直的非零向量都有．
當時，且時，也不能推出一定有，當是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時，有，但．
（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因為是一個與共線的向量，而是一個與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項，一般都是錯誤選項．
（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當且僅當且（或，且.
例 ．下列說法中錯誤的是（ ）
A．單位向量都相等
B．向量與是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上
C．兩個非零向量，若，則與共線且反向
D．已知向量，若與的夾角為銳角，則
【詳解】解：對于A選項，單位向量方向不同，則不相等，故A錯誤；
對于B選項，向量與是共線向量，也可能是，故B錯誤；
對于C選項，兩個非零向量，若，則與共線且反向，故C正確；
對于D選項，向量，若與的夾角為銳角，則且與不共線，故，解得且，故D錯誤；故選：ABD
變式1．給出下列命題,其中正確的有（ ）
A．已知向量,則
B．若向量共線,則向量所在直線平行或重合
C．已知向量,則向量與任何向量都不構(gòu)成空間的一個基底
D．為空間四點,若構(gòu)成空間的一個基底,則共面
【詳解】對于選項A,若,則,
故,故選項A正確;
對于選項B,根據(jù)向量共線的定義可得其成立,故選項B正確;
對于選項C,當時,若與不共面,
根據(jù)空間向量基本定理可知,可構(gòu)成空間的一個基底,故選項C不正確;
對于選項D,若構(gòu)成空間的一個基底,則不共面,
故A,B,M,N不共面,故選項D不正確.故選:AB
變式2．設(shè)均為單位向量，對任意的實數(shù)有恒成立，則（ ）
A．與的夾角為B．
C．的最小值為D．的最小值為
【詳解】對：設(shè)的夾角為，，
兩邊平方可得：，
即對任意的恒成立，
故可得：，即，
則，又，故，故錯誤；
對：，故正確；
對：
，當且僅當時取得等號，故錯誤；
對：
，對，當且僅當時取得最小值，
故的最小值為，故正確.故選：.
變式3．已知拋物線的焦點為，在拋物線上，延長交拋物線于點，拋物線準線與軸交于點，則下列敘述正確的是（ ）
A． B．點的坐標為
C． D．在軸上存在點，使得為鈍角
【詳解】由拋物線方程知：焦點，準線為；
對于A，在拋物線上，，，A錯誤；
對于B，，直線，
由得：或，又，，B正確；
對于C，，，，，C正確；
對于D，設(shè)，則，，
，不能為鈍角，D錯誤.
故選：BC.
1．如圖，在三棱柱中，M，N分別是，上的點，且，．設(shè)，，，若，，，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用向量的加減法則，以為基底可得，可得A錯誤；由計算可得，可知B正確；分別表示出可得不為零，可得C錯誤；利用C中結(jié)論，分別求出，即可得，即D正確.
【詳解】對于A，根據(jù)題意可得，又，，
所以可得
，
即，可知A錯誤；
對于B，由（1）知，所以
，
所以，即可知B正確；
對于C，易知，
此時
，所以與不垂直，即C錯誤；
對于D，由選項C可得，且，即；
，即；
所以可得，即D正確.
故選：BD
2．設(shè)是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義與數(shù)量積的運算律逐一判斷即可.
【詳解】由是任意的非零向量，
對于A，，故A錯誤；
對于B，表示與共線的向量，表示與共線的向量，
而不一定共線，故B錯誤；
對于C，因為非零向量，若，則，故C正確；
對于D，，故D正確.
故選：AB.
3．（多選）下列各命題中，正確的命題為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律以及數(shù)乘的運算律，結(jié)合共線定理，可得答案.
【詳解】對于A，，故A正確；
對于B，根據(jù)向量數(shù)乘滿足交換律和結(jié)合律，可得B正確；
對于C，根據(jù)數(shù)量積滿足交換律，可得C正確；
對于D，當，則向量與共線，當時，則向量與共線，
而向量不一定共線，故D錯誤.
故選：ABC.
4．給出下列命題，其中正確的命題是（ ）
A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線
B．若對空間中任意一點，有，則、、、四點共面
C．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線
D．已知向量，，則在上的投影向量為
【答案】BCD
【分析】利用線面位置關(guān)系與向量的關(guān)系可判斷A選項；利用空間向量共面的基本定理可判斷B選項；利用空間向量基底的概念可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，直線的方向向量為，平面的法向量為，
則，則，所以，或，A錯；
對于B選項，對空間中任意一點，有，
則，整理可得，
故、、、四點共面，B對；
對于C選項，三個不共面的向量可以成為空間的一個基底，
兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線，C對；
對于D選項，已知向量，，
則在方向上的投影向量為，D對.
故選：BCD.
5．設(shè)向量，，則下列敘述錯誤的是( )
A．若時，則與的夾角為鈍角B．的最小值為
C．與共線的單位向量只有一個為D．若，則或
【答案】CD
【分析】利用向量的運算的坐標表示，判斷選項正誤.
【詳解】對于A，時，且不等于-1，所以與的夾角為鈍角，故A正確；
對于B，，當時不等式取等號，所以的最小值為 2，所以B正確；
對于C，與共線的單位向量為，即或，所以C不正確；
對于D，若，可得，解得或，所以D不正確；
故選：CD．
6．設(shè)F為拋物線C：的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】求得直線AB的方程，代入拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求解可判斷CD；利用數(shù)量積的定義計算可判斷B；由拋物線的定義求解可判斷A．
【詳解】拋物線C的焦點為，所以直線AB的方程為，
將代入，整理得，
設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得，故D錯誤；
，故C錯誤；
，故B正確；
由拋物線的定義可得，故A正確.
故選：AB．
7．已知向量，其中均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（ ）
A．與的夾角為鈍角
B．向量在方向上的投影為
C．
D．的最大值為2
【答案】CD
【分析】通過求出，向量在方向上的投影，利用平行關(guān)系結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，均為正數(shù)，
，
A項，
∵，
∴與的夾角不為鈍角，A錯誤；
B項，
∵，
∴向量在方向上的投影為，B錯誤；
C項，
∵，，
∴，即，C正確；
D項，
∵，即，當且僅當時等號成立，
∴的最大值為2，D正確；
故選：CD.
8．已知所在平面內(nèi)有三點O，N，P，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則點O是的外心
B．若，則點N是的重心
C．若，則點P是的垂心
D．若，且，則為直角三角形
【答案】ABC
【分析】根據(jù)三角形外心、重心和垂心的定義逐一用向量即可判斷A，B，C；用向量的數(shù)量積和運算律即可判斷D．
【詳解】對于A，因為，所以點O到的三個頂點的距離相等，所以O(shè)為的外心，故A正確；
對于B，如圖所示，D為BC的中點，由，得，所以，所以N是的重心，故B正確；

對于C，由，得，即，所以，即.同理，，所以點P是的垂心，故C正確；
對于D，由，得角A的平分線垂直于BC，所以，
由，得，所以，所以為等邊三角形，故D錯誤．
故選：ABC．
9．如圖，在平行六面體中，與交于點，且，，.則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由向量的分解和向量數(shù)量積公式、向量的求模公式即可判斷.
【詳解】如圖，
由題意得，，
，
，
，
對于選項A，
所以，即.
故選項A正確.
對于選項B，
故選項B正確.
對于選項C，
所以即
故選項C錯誤.
對于選項D，
故選項D錯誤.
故選：AB
10．(多選)下列說法中正確的是（ ）
A．若非零向量滿足，則與的夾角為30°
B．若，則的夾角為銳角
C．若，則 ABC一定是直角三角形
D．ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若=2，且||=||，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為
【答案】ACD
【分析】對于A，由向量減法法則和向量能組成一個等邊三角形判斷；，對于B，由是判斷；對于C，由，化簡得到=0判斷；對于D，由 =2，得到AOC為等邊三角形，再利用投影的定義判斷.
【詳解】對于A，由向量減法法則及題意知，向量可以組成一個等邊三角形，向量的夾角為60°，又由向量加法的平行四邊形法則知，以為鄰邊的平行四邊形為菱形，所以與的夾角為30°，故正確.
對于B，當時不成立，故錯誤.
對于C，因為，
所以·()-，所以=0，即，
所以 ABC是直角三角形，故正確.
對于D，如圖，
，
其中四邊形ABDC為平行四邊形，因為=2，所以O(shè)為AD，BC的交點，
又||=||=||，所以AOC為等邊三角形，
所以∠ACB=60°，且BC為外接圓的直徑，所以∠ABC=30°.在直角三角形ABC中，BC=2，AC=1，
所以AB=，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為||cs∠ABC=，故正確.
故選：ACD.
11．下列說法中正確的是（ ）
A．若是內(nèi)一點，且，則為的垂心
B．若是內(nèi)一點，且，則為的外心
C．在四邊形中，若，則四邊形為菱形
D．若是內(nèi)一點，且，則為的內(nèi)心
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意得到，得出為垂心，判定A正確；
化簡得到，得到，得出為三角形的外心，判定B正確；
由，得到為平行四邊形，結(jié)合，得到對角線垂直，可判定C正確；
設(shè)中點為，得到，得出為的重心，判定D不正確.
【詳解】因為，
所以，
則，所以是三條高線的交點，為垂心，所以A正確；
若，
即，
即，
所以，即，所以為三角形的外心，所以B正確；
若四邊形中，，即，則四邊形為平行四邊形，
又由，所以，則平行四邊形的對角線垂直，
所以四邊形為菱形，所以C正確；
如圖所示，因為，
又由是以為鄰邊的平行四邊形對角線且過中點，
設(shè)中點為，則，所以，即，
因為是中點，所以三點共線，則為的重心，所以D不正確.
故選：ABC.
運算
定義
法則（或幾何意義）
運算律
加法
求兩個向量和的運算
三角形法則平行四邊形法則
①交換律
②結(jié)合律
減法
求與的相反向量的和的運算叫做與的差
三角形法則
數(shù)乘
求實數(shù)與向量的積的運算
（1）
（2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同；
當時，
結(jié)論
幾何表示
坐標表示
模
數(shù)量積
夾角
的充要
條件
的充要
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與
的關(guān)系
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