易錯點一：對斜二測法規(guī)則掌握不牢（斜二測求算面積及周長）
水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
空間幾何體直觀圖的畫法
立體圖形直觀圖的畫法步驟
(1)畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z′軸.
(2)畫底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面，按照平面圖形的畫法，畫底面的直觀圖.
(3)畫側(cè)棱：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.
(4)成圖：去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.
易錯提醒：①建立坐標(biāo)系；②“位置規(guī)則”——與坐標(biāo)軸的平行的線段平行關(guān)系不變；③“長度規(guī)則”——圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度減為原來的一半.
例．如圖矩形O'A'B'C'是水平放置的一個平面四邊形OABC的直觀圖，其中O'A'=3，O'C'=1，
(1)判斷平面四邊形OABC的形狀并求周長；
(2)若該四邊形OABC以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積.
【解析】（1）將直觀圖還原得，如下圖，
所以，
所以平面四邊形為菱形，其周長為.
（2）四邊形以為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓柱和兩個一樣的圓錐，
，，
所以.
變形1．如圖，梯形是一水平放置的平面圖形在斜二測畫法下的直觀圖.若平行于軸，，求梯形的面積.
【解析】如圖，根據(jù)直觀圖畫法的規(guī)則，
直觀圖中平行于軸，，?原圖中，
從而得出AD⊥DC，且，
直觀圖中，，?原圖中，，
即四邊形ABCD上底和下底邊長分別為2，3，高為2，如圖．
故其面積.
變形2．如圖所示，正方形是一個水平放置的平面圖形OABC的直觀圖，其中．
(1)求原圖形的面積；
(2)將原圖形以O(shè)A所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，求該幾何體的表面積與體積．（注：圖形OABC與正方形的各點分別一對應(yīng)，如OB對應(yīng)直觀圖中的）
【解析】（1）原圖形OABC是個平行四邊形，如下圖所示
底為OA＝2，高為，
∴；
（2）得到的幾何體是一個組合體，其形狀是圓柱一側(cè)挖去一個圓錐，另一側(cè)有多出一個相同的圓錐，
∴幾何體體積
∴幾何體表面積
變形3．（1）如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其恢復(fù)成原圖形；
（2）在(1)中若，軸且，求原平面圖形△ABC的面積．
【解析】（1）畫法：①畫直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上取，即.
②在題圖中，過作軸，交x′軸于，在x軸上取，過D作 軸，并使.
③連接AB，BC，則△ABC即為△A′B′C′原來的圖形，如圖．
（2）∵，∴BD⊥AC.
又且，
∴ .∴.
1．如圖，是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，

(1)畫出它的原圖形，
(2)若的面積是，求原圖形中邊上的高和原圖形的面積.
【解析】（1）畫出平面直角坐標(biāo)系，在軸上取，即，
在圖①中，過作軸，交軸于，在軸上取，
過點作軸，并使,
連接，，則即為原來的圖形，如圖②所示：

（2）由（1）知，原圖形中，于點，則為原圖形中邊上的高，且，
在直觀圖中作于點，

則的面積，
在直角三角形中，，所以，
所以.
故原圖形中邊上的高為，原圖形的面積為.
2．畫出圖中水平放置的四邊形的直觀圖，并求出直觀圖中三角形的面積.

【解析】根據(jù)題意，結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則，可得水平放置的四邊形的直觀圖，
如圖所示，則的面積為.

3．用斜二測畫法畫一個水平放管的平面圖，其直觀圖如圖所示，已知，，，且．

(1)求原平面圖形ABCD的面積；
(2)將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的表面積和體積．
【解析】（1）還原平面圖形ABCD，如圖，
因為，，，且，
所以，，，且，，
原平面圖形ABCD為直角梯形，故；

（2）將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是一個圓柱挖去一個圓錐，如圖，

其中圓柱的底面半徑為3，高為6，圓錐的底面半徑為3，高為4，母線長為5，
所以幾何體的表面積為，
幾何體的體積為
4．如圖所示，正方形是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，其中.

(1)求原圖形的面積；
(2)將原圖形以所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個幾何體，求該幾何體的表面積與體積.（注：圖形與正方形的各點分別對應(yīng)，如對應(yīng)直觀圖中的）
【解析】（1）原圖形是個平行四邊形，如下圖所示，底為，高為.

.
（2）得到的幾何體是一個組合體，其形狀是圓柱一側(cè)挖去一個圓錐，
另一側(cè)有多出一個相同的圓錐.
幾何體表面積.
幾何體體積.
5．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示，已知，且.

(1)求原平面圖形的面積；
(2)將原平面圖形繞旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的體積.
【解析】（1）將直觀圖復(fù)原為原圖，如圖，作，

則，，
則，，
即原圖形為直角梯形，
故原平面圖形的面積為.
（2）將原平面圖形繞旋轉(zhuǎn)一周，
所形成的幾何體是一個以為底面半徑的圓錐和一個以為底面半徑的圓柱組成的組合體，
其體積為.
6．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示．已知，且∥．

(1)在平面直角坐標(biāo)系中作出原平面圖形ABCD并求面積；
(2)將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周，求所形成的幾何體的表面積和體積．
【解析】（1）如圖所示：梯形ABCD為還原的平面圖形，作交AD于點，

因為，所以，
所以．
（2）將原平面圖形ABCD繞BC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體是一個以AB為底面半徑的圓柱挖去一個以EC為底面半徑的圓錐，
，，，
所以所形成的幾何體的表面積為，
，，
所形成的幾何體的體積為．
7．如圖，梯形是水平放置的四邊形的斜二測畫法的直觀圖，已知，，．

(1)在下面給定的表格中畫出四邊形（不需寫作圖過程）；

(2)若四邊形以所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，說出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，并求該幾何體的體積．
【解析】（1）因為與軸重合，則與軸重合，且；
與軸平行，則與軸平行，且；
與軸重合，則與軸重合，且；
連接，即可得四邊形.

（2）如圖所示，所得幾何體的上半部分為圓錐，下半部分為圓柱截取一個圓錐，
故體積為.

8．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是邊長為2的菱形，且，求原平面圖形的周長．

【解析】由題可知，，，∴．
還原直觀圖可得原平面圖形，如圖所示：

則，，，
∴，
∴原平面圖形的周長為．
9．如圖所示，為四邊形OABC的斜二測直觀圖，其中，，．

(1)畫出四邊形OABC的平面圖并標(biāo)出邊長，并求平面四邊形OABC的面積；
(2)若該四邊形OABC以O(shè)A為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積及表面積．
【解析】（1）解：在直觀圖中，，．
所以在平面圖形中，，，
所以，
所以平面四邊形的平面圖形如下圖所示：

由上圖可知，平面四邊形為直角梯形，
所以面積為．
（2）旋轉(zhuǎn)而成的幾何體可以看成圓柱加上一個同底的圓錐，
由（1）可知幾何體底面圓半徑為，圓柱母線長和高都為1，即；
圓錐的高為，母線長為
所以體積；
所以表面積．
10．如圖，矩形是用斜二測畫法畫出的水平放置的一個平面四邊形的直觀圖，其中，.
(1)畫出平面四邊形的平面圖，并計算其面積；
(2)若該四邊形以為軸，旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積和表面積.
【解析】（1）
如圖1，設(shè)與交點為，
因為，，所以，.
的平面圖如圖2所示：
則，
.
（2）由（1）可得，在中，有，
所以，，所以.
如圖3，分別過點作及其延長線的垂線，垂足為.
矩形繞及其延長線，旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑，母線的圓柱；
繞，旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑，母線，高的圓錐；
繞及其延長線，旋轉(zhuǎn)一周得到一個底面半徑，母線，高的圓錐.
所以，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體為圓柱挖去一個同底的圓錐，與一個同底的圓錐構(gòu)成的組合體.
則旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積即等于圓柱的體積，減去挖去的圓錐體積，加上組合的圓錐的體積，
所以，旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的體積.
旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的表面積即等于圓柱的側(cè)面積，加上兩個圓錐的側(cè)面積之和，
所以.
11．在中，角所對邊分別為，若.
(1)證明：為等邊三角形；
(2)若（1）中的等邊邊長為2，試用斜二測法畫出其直觀圖，并求直觀圖面積.
注：只需畫出直觀圖并求面積，不用寫出詳細的作圖步驟.
【解析】（1）由題及余弦定理知，
即
又因為，所以，即，.
因此，為等邊三角形.
（2）畫法：①如圖(1)，在等邊中，取所在直線為軸，的垂直平分線為軸，兩軸相交于點；
在圖(2)中，畫相應(yīng)的軸與軸，兩軸相交于點，使；
②在圖(2)中，以為中點，在軸上取，在軸上取；
③連接，擦去輔助線軸和軸，得等邊的直觀圖(圖(3)).
因為是邊長為2的正三角形，所以，邊上的高為，
在中，，所以，
邊上的高，
故，
故直觀圖面積.
易錯點二：空間點、線、面位置關(guān)系不清（點、線、面之間的關(guān)系）
結(jié)論：①要證線∥面，條件為3個，其中必有《線面》
②要證線⊥面，條件為2個，其中必有《線∥線或面∥面》
③要證線∥線（面∥面），條件為2或3個，其中必有《兩個線⊥面》
④要證線⊥線（面⊥面），條件為2個，其中必有《⊥、∥（）》
⑤要證線⊥線（面⊥面），條件為3個，其中必有《》
易錯提醒：空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷是考查學(xué)生對空間點、線、面位置關(guān)系判斷和性質(zhì)掌握程度的重要題型。解決這類問題的基本思路有兩條：一是逐個尋找反例作出否定的判斷，逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結(jié)合長方體模型或?qū)嶋H空間位置（如教室、課桌、燈管）作出判斷。
例 ．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，且，，則下列命題中的假命題是
A．若，則B．若，則
C．若相交，則相交D．若相交，則相交
【解析】解：由、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，且，，
若，我們可得且，由垂直于同一直線的兩個平面平行，可得，故A正確；
若，則或，此時，故B正確；
若、相交，則表示，不平行，則，也不平行，則、相交，故C正確；
若、相交，則、既可以是相交直線，也可以是異面直線．故D錯誤
故選：D．
變式1．在空間中，已知，，為不同的直線，，，為不同的平面，則下列判斷正確的是（ ）
A．若，，則B．若且，則
C．若，，，，則D．若，，則
【解析】若，，則或，故錯誤； 若且，則，故正確；若，，，，則與相交或，故錯誤；若，，則不一定平行，故錯誤.
故選：
變式2．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則（ ）
①若，，且∥，則∥；
②若，∥，且∥，則；
③若∥，，且，則∥；
④若，，且，則.
其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【解析】由且，可得，
而垂直同一個平面的兩條直線相互平行，故①正確；
由于，，所以，則，故②正確；
若與平面的交線平行，則，
故不一定有，故③錯誤；
設(shè)，在平面內(nèi)作直線，
，則，又，所以，
，所以，從而有，故④正確.因此，真命題的個數(shù)是.故選：B
變式3．若，為兩條不同的直線，為平面，且，則“”是“” （ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【解析】由且，能推出，充分性成立；
若且，則或或與相交，必要性不成立，
∴“”是“”的充分不必要條件.
故選：A．
1．已知不同直線a，b，不同平面α，β，γ，下列說法正確的是 （ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】BC
【解析】對于A，若，此時可能相交，如下圖所示：

當(dāng)都與平行時，相交，故A錯誤；
對于B，由，利用線面平行的性質(zhì)可知存在直線滿足，且，
又，所以，又，所以可得，即B正確；
對于C，若，不妨設(shè)，
如下圖所示：

假設(shè)不成立，
過直線上一點A作于點，作于點；
由可知，，
這與“過平面外一點有且僅有一條直線與該平面垂直”矛盾，
所以應(yīng)重合為交線，所以，可得C正確；
對于D，如圖所示：

若，，，此時可能斜交，不一定垂直，所以D錯誤；
故選：BC
2．已知為兩個不同的平面，為三條不同的直線，則下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，且，則
D．若，且，則
【答案】ACD
【解析】對于選項A：若，則或相交，
例如在正方體中，平面平面，
且平面，可知平面，平面，故A不一定成立；
對于選項B：若，由線面垂直的性質(zhì)可知，故B成立；
對于選項C：若，且，則不一定垂直，
例如在正方體中，平面∥平面，
且平面，平面，，故C不一定成立；
對于選項D：若，且，則不一定成立，
例如在正方體中，平面平面，
且平面，平面，可知，故D不一定成立；
故選：ACD.
3．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且，則下列命題正確的為（ ）
A．若，則；B．若，則；
C．若，則；D．若，則.
【答案】BC
【解析】對A，，但位置關(guān)系不能確定，故A錯誤；
對B，由面面垂直的判定可得，因為，，則，故B正確；
對C，由面面平行的性質(zhì)可得若，，則，同理，故C正確；
對D，若，且交于，但不一定垂直于，則不成立，故D錯誤.
故選：BC
4．已知，，為三條不同的直線，，，為三個不同的平面，則下列說法中正確的有（ ）
A．若，，則
B．若，，，則
C．若，，分別與，所成的角相等，則
D．若，，，且，則，，交于點
【答案】BD
【解析】對于A，當(dāng)，時，或，所以A錯誤，
對于B，如圖，設(shè)，在平面內(nèi)作，在平面內(nèi)作，且與不重合，因為，，，，所以，同理可得，所以∥，因為，，所以∥，因為，，所以∥，因為，所以，所以B正確，
對于C，當(dāng)，，分別與，所成的角相等時，則，與所成的角相等，所以可將，看成正三棱錐的兩條側(cè)棱所在的直線，平面為該正三棱錐的底面所在的平面，則，與所成的角相等，但直線，相交，所以C錯誤，
對于D，因為，，，所以，因為，所以由公理3可得，所以D正確，
故選：BD
5．設(shè)l是直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】CD
【解析】l是直線，，是兩個不同的平面，知：
在A中，若，，則與相交或平行，故A錯誤，
在B中，若，，則或或與相交，相交也不一定垂直，故B錯誤，
在C中，若，，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得，故C正確，
在D中，，，由直線與平面垂直的性質(zhì)，可得，故D正確，
故選：CD
6．已知為直線的方向向量，分別為平面的法向量（不重合），那么下列說法中正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因為為直線的方向向量，分別為平面的法向量（不重合），
或，故A、D錯誤；
，B正確；
，C正確；
故選：BC
7．已知平面平面，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）
A．存在直線平面，使得直線平面
B．存在直線平面，使得直線平面
C．存在直線平面，直線平面，使得直線直線
D．存在直線平面，直線平面，使得直線直線
【答案】BCD
【解析】A. 若存在直線平面，使得直線平面，則，故錯誤；
B.當(dāng)時，又 ，所以 ，故正確；
C.當(dāng)時，，故正確；
D. 當(dāng)時，，故正確；
故選：BCD
8．設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法中正確的有（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
【答案】CD
【解析】A.缺少這個條件，故A錯誤；
B. 若，，，則或相交，故B錯誤；
C. 若，，則，又，則，故C正確；
D.若，，則，又，則，故D正確.
故選：CD
9．若，為空間中兩條不同的直線，，，為空間三個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，，則
【答案】BC
【解析】對于A，若，，則可能，故A錯誤；
對于B，因為，則能在內(nèi)找一條直線，使得，
因為，則，因為，由面面垂直的判定定理可得，故B正確；
對于C，若，則能在內(nèi)找一條直線，使得，
，，則，又因為，所以，故C正確；
對于D，若，，，則可能異面，故D錯誤.
故選：BC.
10．、是兩條不同的直線，、是兩個不重合的平面，下列說法正確的是（ ）
A．、是異面直線，若，，，，則
B．若，，則
C．若，，，則
D．若，，，則
【答案】AD
【解析】對于A選項，在直線上取一點，過點作直線，使得，
過直線作平面，使得，如下圖所示：
因為，，，則，又因為，則，
因為，，則，設(shè)直線、確定平面，
因為，，、，所以，，同理可證，故，A對；
對于B選項，若，，則或，B錯；
對于C選項，若，，，則、相交（不一定垂直）或平行，C錯；
對于D選項，因為，，則，
過直線作平面，使得，如下圖所示：

因為，，，則，
因為，則，又因為，所以，，D對.
故選：AD.
11．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】BC
【解析】對于A，若，則，或與異面，故A錯誤；
對于B，若，則，故B正確；
對于C，若，則，故C正確；
對于D，如下圖，在長方體中，，則，，或與相交，故D錯誤.
故選：BC.

易錯點三： 忽略異面直線的夾角與向量的夾角范圍不同（異面直線成角問題）
常規(guī)方法：
第一步：將所求直線中的一條用刻度尺進行平移然后與另一條直線銜接出現(xiàn)三角形
第二步：將三角形畫到草稿紙上并利用空間圖求出各邊的長
第三步：利用余弦定理求出待求角
第四步：檢查若求出的角為銳角或直角則即為所求，若求出的角為鈍角則補角即為所求
秒殺：
四面體的任何一組對棱都是異面直線，因此以四面體為載體，把異面直線放在四面體對棱所在的位置，利用四面體對棱夾角公式處理異面直線角度問題
結(jié)論：在四面體中，若與所成的角為
四面體對棱夾角公式：
證明如下：
因為
所以
易錯提醒：兩異面直線所成角的范圍是。兩向量的夾角的范圍是，需要注意兩者的區(qū)別與聯(lián)系.
例 ．已知正四面體，M為AB中點，則直線CM與直線BD所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長為，取的中點，連接、，
因為、分別為、的中點，則且，
因此或其補角為直線與直線所成的角，
因為為等邊三角形，為的中點，則，且，
同理，在等腰中，，
所以直線CM與直線BD所成角的余弦值為.
故選：B
變式1．如圖，正方形的邊長均為2，動點在線段上移動，分別為線段中點，且平面，則當(dāng)取最大值時，異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
【解析】因為平面，平面，所以，
所以為直角三角形，所以當(dāng)最短時，取最大值，
可知，即為的中點時，取最大值，
因為分別固定在線段的中點處，
所以，所以，
因為為銳角，所以，所以，

取的中點，連接，
因為分別為線段的中點，則∥，且，且∥，
可知異面直線與所成角為（或其補角）
且分別為線段的中點，則∥，且，
且∥，且，可得∥，且，
可知為平行四邊形，則∥，且，
又因為平面，則平面，
由平面，可得，
可得，
在中，由余弦定理可得，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A
變式2．已知三棱錐中，平面，，，，，D為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【解析】如圖所示，取BC的中點E，連接AE，DE，

則，或其補角即為異面直線AD與PC所成的角．
由，，，則有，所以，
E為BC的中點，則，
平面ABC，中，，∴
中，，∴，
在中，根據(jù)余弦定理可得．
所以異面直線AD與PC所成角的余弦值為.
故選：D
變式3．在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，點為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．
C．D．
【解析】解：如圖所示：

連接交于點，連接，
因為,
所以（補角）是異面直線與所成角．
因為平面，平面，
所以，
又因為四邊形為菱形，
所以，又，所以平面PBD，
又平面PBD，所以，則為直角三角形，
設(shè)，在中，，
所以，故選：B．
1．在正方體中，若點是棱上的動點，點是線段（不含線段的端點）上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A．存在直線，使B．異面直線與所成的角可能為
C．直線與平面所成的角為D．平面平面
【答案】B
【解析】對于A，平面，平面，
當(dāng)與重合時，與相交；當(dāng)與不重合時，與異面；
即不存在直線與直線平行，A錯誤；
對于B，過點作，交于點，連接，
，或其補角即為異面直線所成角；
平面，平面，又平面，；
設(shè)正方體的棱長為，，則，
，，，
若，則，解得：，
異面直線所成的角可以為，B正確；
對于C，連接，交于點，連接，
平面，平面，，
四邊形為正方形，，又，平面，
平面，即為直線與平面所成角，
設(shè)正方體棱長為，，則，，
，
若，則，方程無解，
直線與平面所成的角不能為，C錯誤；
對于D，作，交于點，連接，
，四點共面，
平面，與不平行，與相交，
即平面與平面總是相交，D錯誤.
故選：B.
2．棱長為1的正方體 中，若點P為線段上的動點(不含端點)，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．平面平面B．四面體的體積是定值
C．可能是鈍角三角形D．直線與所成的角可能為
【答案】D
【解析】在正方體中，為線段上的動點（不含端點），
，，，，平面，平面，
平面，平面平面，故A正確；
連接，

因為，平面，平面，所以平面，
因此四面體的底面是確定的，高也是定值，其體積為定值，
所以四面體的體積是定值，故B正確；
因為正方體的棱長為1，所以，
若是上靠近的一個四等分點，則，
所以，
此時，
因為，此時為鈍角，是鈍角三角形，故C正確；
過點作，交于，
正方體中平面，則平面，
平面，，直線與所成的角為，
設(shè)，則，有，，
中，，
而，故D錯誤.
故選：D.
3．如圖在長方體中，，， H是下底面矩形的中心，設(shè)異面直線與所成的角為，則=（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】連接，則H是與的交點，也是和的中點，
長方體中，，，四邊形為平行四邊形，
有，異面直線與所成的角即與所成的角，

，，，
，，
，
中，由余弦定理得，
，則，即.
故選：A
4．在正四面體中，棱長為2，且是棱中點，則異面直線與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取的中點，連接,

易得,故或其補角為異面直線與夾角，
又正四面體棱長為2，故,
,
故異面直線與夾角的余弦值為.
故選：
5．已知正方體的棱長為1，是空間中任意一點，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．該正方體外接球的體積為
B．若是棱中點，則異面直線AM與夾角的余弦值為
C．若點在線段上運動，則始終有
D．若點在線段上運動，則三棱錐體積為定值
【答案】D
【解析】對于A：正方體外接球的直徑為體對角線，即，所以，
所以，A正確；
對于B：如圖所示，異面直線和所成角即為，
所以，所以B正確；

對于C：如圖所示，連接，則，又平面，
而平面，所以，
因為，且平面，平面，
所以平面，
而平面，所以，C正確；
對于D：因為，平面，所以平面，所以直線上的點到平面距離相等，
所以，所以D錯誤，
故選：D
6．在直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以點為原點，以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，，
，，所以，，
所以，
故選：A.
7．把邊長為的正方形對角線折起，使得平面與平面所成二面角的大小為，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取中點，連接，，以，分別為，軸，垂直面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
因為是邊長為的正方形，所以,
則，，，
又易知，,，所以為二面角的平面角，
由題知，，所以，則
所以，，，
故，
所以，異面直線與所成角的余弦值為．
故選：D.
8．如圖，在棱長為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（ ）

A．異面直線AC與所成的角為60°
B．直線與平面所成角為45°
C．二面角的正切值為
D．四面體的外接球的體積為
【答案】B
【解析】選項A，由正方體性質(zhì)易得，因此異面直線AC與所成的角為或其補角，
是等邊三角形，，A正確；
選項B，由平面，平面，得，又，，平面，
所以平面，設(shè)，則是直線與平面所成角，
由平面，平面，可得，
在直角中，，，B錯；

選項C，由上分析得是二面角的平面角，由得，C正確；
選項D，四面體的外接球即為正方體的外接球，由正方體性質(zhì)知其外接球半徑為，因此體積為，D正確；
故選：B．
9．如圖，在四棱錐中，底面，，底面為邊長為2的正方形，E為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如圖所示：取中點為，連接，，
在中，分別為中點，故，
即為異面直線與所成的角（或補角），
在中，，，，
即為等邊三角形，，.
故選：B.
10．如圖，在正三棱柱中，若,則與所成角的大小為 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如圖所示，分別取的中點，連接，
可得且，
所以異面直線與所成的角，即為直線與所成的角，設(shè)，
因為三棱柱為正三棱柱，
因為，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
再取的中點，連接，可得，
因為底面，所以底面，
在直角中，
可得，
所以，所以，
所以異面直線與所成的角為.
故選：C.
11．棱長為2的正方體中，是中點，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解法一：連接，取的中點，連接，如圖所示，

分別是的中點，，則是異面直線與所成角或其補角.
正方體棱長為2，面對角線長為，由正方體的結(jié)構(gòu)可知，
中，，，則，
同理，在中，，，
由余弦定理可知.
所以異面直線與所成角的余弦值是.
解法二：以為原點，的方向為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，
有，，
所以異面直線與所成角的余弦值是.
故選：A.
易錯點四： 線面角與向量夾角轉(zhuǎn)化不清等問題（求線面角）
線與面的夾角
①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．
②范圍：
= 3 \* GB3 ③求法：
常規(guī)法：過平面外一點做平面，交平面于點；連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．即（其中即點到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；
向量法：線面角
提示：是線與平面法向量的夾角，是線與平面的夾角
易錯提醒：若直線與平面所成的角為，直線的方向向量為，平面的法向量為，則sin=|cs|。容易出錯的是①誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角就是線面角；②誤以為直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦就是線面角的正弦，而忘了加絕對值.
例．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，分別是的中點.

(1)求證：平面；
(2)若與平面所成角為，，求二面角的正弦值.
【解析】（1）取PB的中點G，連接GE，F(xiàn)G，又E是PC的中點，
所以，且，
又F是AD 的中點，底面是正方形，
所以，且
所以，，
故四邊形FDEG為平行四邊形，則，
又平面PFB，平面PFB，所以平面PFB.
（2）因為底面，所以，
又，，
平面，且平面，
所以BC⊥平面，則PC即PB在平面內(nèi)的射影，
所以是PB與平面PCD所成角，即，
且在中，，則，
又底面為正方形，
在中，，，則.
以D為原點，，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，
，，，，
令為平面PFB的法向量，
則，令，得，
令為平面PBC的法向量，
則令，得，
所以，
設(shè)二面角的大小為θ，則，
所以二面角的正弦值為.
變式1．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為的中點，且．記的中點為，若在線段上（異于、兩點）．

(1)若點是中點，證明：平面；
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．
【解析】（1）
證明：取線段的中點，連接、，
因為，，因為為的中點，則且，
因為為的中點，則且，
因為、分別為、的中點，所以，且，
所以，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
因為平面，平面，所以，平面.
（2）連接，
因為，，為的中點，則且，
所以，四邊形為平行四邊形，所以，，且，
因為，則，又因為，則，
因為，為的中點，則，
因為，，，所以，，
所以，，則，
又因為，、平面，所以，平面，
以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則、、、，
設(shè)，則，
，，設(shè)平面的法向量為，
則，取，可得，
，若直線與平面所成角的正弦值為，
則，整理可得，
因為，解得，故.
變式2．如圖，三棱柱中，，底面，，．

(1)求點到平面的距離；
(2)若直線與距離為4，求與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因為底面，平面，所以，
又，、平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面，
過作交于，又平面平面，平面，
所以平面，則的長為點到平面的距離．
在中，，，則．
所以點到平面的距離為2．
（2）連結(jié)，因為，，，
所以，所以，
過作，交于，則為中點，
由直線與距離為4，所以，
因為，所以，又點到平面距離也為2，
設(shè)與平面所成角為，則．

變式3．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABP，，E為BC的中點.

(1)證明：平面平面PAD.
(2)若點A到平面PED的距離為，求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.
【解析】（1）如圖，取PD的中點F，PA的中點G，連接EF，F(xiàn)G，BG.
∵平面ABP，平面ABP，∴.
∵，∴.
∵AP，平面PAD，，∴平面
∵，，，，
∴，，∴四邊形BEFG是平行四邊形，∴，
∴平面PAD，又平面PED，∴平面平面PAD.

（2）取AB的中點H，連接PH，AC.∵平面ABP，平面ABP，
∴，∴，
∴，易得.
∵，∴.
∵平面ABP，平面ABCD，∴平面平面ABP.
又，∴，∴平面ABCD
易得，，，，
∴.
設(shè)點A到平面PCD的距離為h，
∵，得，
∴直線PA與平面PCD所成角的正弦值為.
1．已知三棱錐中，平面為中點，過點分別作平行于平面的直線交于點.

(1)求直線與平面所成的角的正切值；
(2)證明：平面平面，并求直線到平面的距離.
【解析】（1）
因為平面，連接，
則即為直線與平面所成的角，
又，，，
為中點，可得，，
所以，
即直線與平面所成的角的正切值為.
（2）由題知，平面，平面，
，平面，
所以平面平面.
因為平面，平面，
所以，
又，平面，，
所以平面，又平面，
所以就是直線到平面的距離，
又為中點，
則，
即直線到平面的距離為.
2．如圖，在體積為的四棱柱中，底面ABCD是正方形，是邊長為2的正三角形．
(1)求證：平面平面．
(2)求與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）設(shè)四棱柱的高為h．
因為四棱柱的底面ABCD是正方形，且，
所以正方形ABCD的面積為2．因為四棱柱的體積為，
所以，得，即點到平面ABCD的距離為．
連接．因為是邊長為2的正三角形，所以，
即為點到平面ABCD的距離，所以平面ABCD．
因為平面ABCD，所以．在正方形ABCD中，．
因為，所以平面．因為平面，
所以平面平面．
（2）方法一由（1）知，OA，OB，兩兩垂直，如圖（1），
以點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)A，OB，所在直線為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，
，，所以，，
．設(shè)平面的法向量為，
則所以令，則．
圖（1）
設(shè)與平面所成角為，則
，
所以與平面所成角的正弦值為．
方法二 如圖（2），設(shè)與交于點，連接，則直線
就是平面與平面的交線．因為平面平面，
所以點在平面上的射影必在直線上．又因為平面，
所以直線與直線的夾角就是直線與平面所成的角．
圖（2）
設(shè)與交于點E，則．因為是邊長為2的正三角形，
所以，所以直線與平面所成角的正弦值為．
3．如圖，已知四棱錐中，平面，，，，為中點.

(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【解析】（1）
取中點，連接，
因為分別為的中點，所以，，
因為，，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，，
因為平面，平面，所以∥平面.
（2）過點作于點，連接，
因為，所以直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，
因為平面，平面，所以，
因為，平面，所以平面，
所以為直線與平面所成角，
，，，
所以，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
4．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，，為的中點.
(1)求證：平面；
(2)求直線和平面所成角的正弦值.
【解析】（1）在四棱錐中，由，為的中點，得，
而，平面，
所以平面.
（2）取中點，連接，由是正方形，為的中點，得，
而，則，由（1）知平面，平面，則，

而平面，于是平面，又平面，
則平面平面，因此在平面上的射影為平面與平面的交線，
則為直線和平面所成的角，
由，，為的中點，得，
由平面，平面，得，，
所以直線和平面所成的角的正弦值為.
5．如圖，在四棱柱中，，，平面平面，.
(1)求證：平面；
(2)若為線段的中點，直線與平面所成角為45°，求平面與平面的夾角的余弦值.
【解析】（1）連接，設(shè)，
由，，得是線段的垂直平分線，即有，
平面平面，平面平面，平面，于是平面，
而平面，則，又，平面，，
所以平面.
（2）由，得，又，，，則，
于是，又，，則以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，
在中，為中點，即有，
由平面，得為與平面所成角，即，有，
則，，，，，
由平面，平面，得，
又，平面，，則平面，
于是平面的一個法向量為，
設(shè)平面的一個法向量為，，，
則，取，得，
設(shè)平面與平面的夾角為，則，
所以平面與平面的夾角余弦值為.
6．如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對角線交于點為的中點，.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.
【解析】（1）以為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系，

，，，，
，，，
設(shè)面的法向量為，
，令，則，
，
平面，，
平面；
（2）假設(shè)存在點，設(shè)，
則，
設(shè)面法向量，
，，
，令，則，
，
，即，
，
故存在滿足題意的點，此時.
7．如圖，是矩形所在平面外一點，且平面．已知．

(1)求二面角的大?。?br>(2)求直線與平面所成角的大?。?br>【解析】（1）因為底面為矩形，所以,
又因為平面，平面，
所以，
平面，所以平面，
又平面，所以，
易知二面角即二面角，
因為，，所以即其平面角，
由題意易知，
故二面角的大小為；
（2）如圖所示，過作交于點，連接，
根據(jù)已知平面，平面，所以，
因為平面，
所以平面，
由直線與平面的夾角的定義可知直線與平面所成角為，
矩形中，易知，又易知，
所以，
所以直線與平面所成角大小為.

8．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為中點，平面，，為中點.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面；
(3)求直線與平面所成角的余弦值.
【解析】（1）連接，，
因為底面為平行四邊形，為中點，
故與相交于，
因為為的中點，
則，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）因為，
由余弦定理得，即，
解得，
因為，所以⊥，
因為⊥平面，平面，所以⊥，
因為平面，，
所以平面；
（3）取的中點，連接，則，
因為⊥平面，所以⊥平面，
則為直線與平面所成角，
其中，故，
因為⊥，，由勾股定理得，
故，
由勾股定理得，
所以.
9．如圖，在四棱錐中，平面，，點是的中點．

(1)證明：；
(2)求直線與平面所成的角的正弦值．
【解析】（1）取中點，連接，如圖所示，，

則，又因為，
所以四邊形是平行四邊形，
又，
所以平行四邊形為正方形，
所以，即是等腰三角形，
則，所以，
即，
因為平面，平面，
所以，
又因為平面，，
所以平面，
因為平面，所以，
又因為點是的中點，
所以由直角三角形性質(zhì)易得.
（2）因為平面，平面，
所以，
又因為四邊形是正方形，所以，
如圖，以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，

則，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，即，
設(shè)直線與平面所成的角為，
所以，
所以直線與平面所成的角的正弦值為.
10．如圖，在正三棱柱中，，此三棱柱的體積為，P為側(cè)棱上點，且，H、G分別為AB、的中點.
(1)求此三棱柱的表面積；
(2)求異面直線與所成角的大?。?br>(3)求與平面所成角的大小.
【解析】（1）解：設(shè)底面正三角形的邊長為，則其面積為，
因為三棱柱的體積為，可得，解得，
所以三棱柱的側(cè)面積為，
所以三棱柱的表面積為.
（2）解：取的中點，連接，可得，
所以異面直線與所成角，即為直線與所成角，
因為，在直角中，可得，
在直角中，可得，
取的中點，連接，在直角中，可得，
在中，由余弦定理得，
所以異面直線與所成角的大小為.
（3）解：取的中點，可得，
在正三棱柱中，可得平面平面，
且平面平面，可得平面，
所以為直線與平面所成的角，
在直角中，，且，
在直角中，可得，所以.
（了解一下）11．如圖，在長方體中，已知，.
(1)若點是棱上的中點，求證：與垂直；
(2)求直線與平面的夾角大小.
【解析】（1）
如圖1，連接，且，
因為，由已知可得，為正方形，
所以，.
同理可得，.
根據(jù)長方體的性質(zhì)可得，平面，
又平面，
所以，.
因為平面，，
所以，平面.
因為平面，
所以，.
（2）
如圖2，連接.
由（1）知，.
因為平面，平面，
所以，.
因為平面，
所以，平面.
所以，即為直線與平面的夾角.
因為，，
所以，.
因為是的中點，所以，
在中，有，
所以，直線與平面的夾角大小為.
易錯點五： 忽略二面角范圍有重新的規(guī)定（求二面角）
二面角的求法
法一：定義法
在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點，以為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）．

法二：三垂線法
在面或面內(nèi)找一合適的點，作于，過作于，則為斜線在面內(nèi)的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：
①找點做面的垂線；即過點，作于；
②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過作于，連接；
③計算：為二面角的平面角，在中解三角形．

圖1 圖2 圖3
法三：射影面積法
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大小；
法四：向量法 二面角的平面角
提示：是二面角的夾角，具體取正取負完全用眼神法觀察，二面角不存在鈍角之說.
易錯提醒：若兩個平面的法向量分別為，，若兩個平面所成的銳二面角為，則；規(guī)定兩個平面所成二面角范圍，則。
例 ．如圖（1），六邊形是由等腰梯形和直角梯形拼接而成，且，，沿進行翻折，得到的圖形如圖（2）所示，且.

(1)求證：平面.
(2)求二面角的余弦值；
【解析】（1）在等腰梯形ADEF中，作于M，

則，可得，
連接AC，則，
因為，可得，
由，可得，
且，平面，所以平面.
（2）由（1）可知平面ADEF，且平面，可得，
且，，平面，可得平面，
且平面，可得，
又，可知就是二面角的平面角，
在，可得，
所以二面角的余弦值為.
變式1．如圖，在三棱錐中，平面，，.

(1)求點到平面的距離；
(2)設(shè)點為線段的中點，求二面角的正弦值.
【解析】（1）因為平面，又平面，平面，
所以，
又，由勾股定理得，
又，
所以，故，
因為，平面，
所以平面，則為點到平面的距離，
故點到平面的距離為2.
（2）在平面內(nèi)過點作的平行線，則，
以為坐標(biāo)原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由勾股定理得：，
則，

，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，則，
設(shè)平面的法向量為，
則即，取，則，
所以，
記二面角的大小為，則，
故二面角的正弦值為.
變式2．在正方體中，設(shè)，分別為棱，的中點.

(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）連接交于，連接，，.

在正方體中，，，四邊形是平行四邊形，
所以，.
正方形中，，故是的中點，
所以，且，
在中，，分別是，的中點，
所以，且，
所以，且，
故四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，
所以平面.
（2）法一：以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

不妨設(shè)正方體的棱長為2，故，，，，.
在正方體中，平面，故是平面的一個法向量.
設(shè)是平面的法向量，，，
故即
取，則
所以是平面的一個法向量.
故，
設(shè)二面角的大小為，
據(jù)圖可知，，
所以二面角的余弦值為.
法二：取的中點，的中點，連接，，.

在正方體中，，，
又，分別是，的中點，故，，
四邊形是平行四邊形，所以，
又，，故，，
因為，平面，所以平面，
又平面，故.
在正方形中，，
在中，，分別是，的中點，故，所以，
又，平面，所以平面，
因為平面，所以.
所以是二面角的平面角.
不妨設(shè)正方體的棱長為2，
在中，，，
故，所以，
所以二面角的余弦值為.
變式3．如圖1，為等邊三角形，邊長為4，分別為的中點，以為折痕，將折起，使點到的位置，且，如圖2.

(1)設(shè)平面與平面的交線為，證明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）延長交于點，連接，如圖，

依題意，分別為的中點，則，
因此分別是以為斜邊的直角三角形，
即，又，平面平面，
于是平面，而平面平面，顯然直線與重合，
所以平面.
（2）

取的中點，連接交于點，則為中點，連接，
由為等邊三角形，得，則為二面角的平面角，
，在中，，則，
由平面，平面，得，又，于是，
在中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值為.
1．如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱底面為的中點..
(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）
連接交于，連接,
在中，為中點，為中點,
所以，
又因為平面，平面
所以平面.
（2）由題意側(cè)棱底面，所以底面，即，
又，所以平面,
所以可建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
以為原點，以，，分別為軸，軸，軸，

則，，，，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取則
所以平面的一個法向量為，
因為底面，
所以平面的一個法向量為,
設(shè)二面角大小為，
則，
所以二面角的余弦值為.
2．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形.已知，，，，.

(1)證明平面；
(2)求異面直線與所成的角的正切值；
(3)求二面角的正切值.
【解析】（1）證明：在中，由題設(shè)，可得.
于是.
在矩形中，.
又，平面，
所以平面.
（2）證明：由題設(shè)，，所以（或其補角）是異面直線與所成的角.
在中，由余弦定理得
由（1）知平面，平面，
所以，因而，于是是直角三角形，
故.
所以異面直線與所成的角的正切值為.
解法二：

由（1）可知，平面,平面，
所以平面平面，
作于M，交于點，
因為平面平面， 平面，
所以平面，
又平面，所以，
以M為原點，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
所以，，
設(shè)異面直線與所成的角為，
，則.
所以異面直線與所成的角的正切值為
（3）
過點M做于E，連接.
因為平面，平面，所以.
又，因而平面，
又平面，所以
從而是二面角的平面角.
由題設(shè)可得，
，，
，，
，
于是在中，.
所以二面角的正切值為.
解法二：由（2）知，.
設(shè)平面PBD的一個法向量為，
則，即，
令，則，
所以 ，
又平面的一個法向量可以是.
由圖知二面角的大小為銳角，
所以，則
所以二面角的正切值為.
3．如圖，三棱柱的底面是等邊三角形，，，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點.
(1)在線段上找一點，使平面，并說明理由；
(2)若平面平面，求平面與平面所成二面角的正弦值.
【解析】（1）如圖所示：
當(dāng)點為的中點時，平面，證明如下：
設(shè)為中點，連接.
因為在三棱柱中，，
分別為的中點，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形.
所以，
又因為平面，平面，
所以平面.
（2）如圖所示：
取中點，連接.
因為，，
所以為正三角形，所以.
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因為為等邊三角形，所以.
以為原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意得，
所以，.
設(shè)平面的法向量，
則由，得，令，得.
取平面的法向量，
設(shè)平面與平面所成二面角的大小為，
則.
所以，
所以平面與平面所成二面角的正弦值為.
4．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，為的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【解析】（1）由題意，
因為四邊形為菱形，所以.
連接AC.

因為，
所以為等邊三角形，從而.
在中，是的中點，
所以.
因為平面，平面，
所以.
∵，面，平面，面，
∴平面.
又平面，
∴平面PCE⊥平面PAD
（2）由題意及（1）得，
在平面中，過點作，垂足為，連接.

因為平面,平面，所以.
又, 平面,平面，所以平面.
又平面，所以，
從而是二面角的平面角．
在Rt中，,，
所以.在Rt中，，，
所以.
在Rt中,
,
所以二面角的平面角的正弦值為.
5．如圖，在圓錐中，是底面的直徑，且，，，是的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
【解析】（1）如圖，由題意，是底面的直徑，，
為的中點，為的中點，則，
則，而平面平面，
則，
又，平面，平面
平面，
又平面平面平面；
（2）在平面中，過作，垂足為，
在平面中，過作，垂足為，
連接，
∵平面平面，，
又，平面，平面，
平面，平面，，
，平面，平面
則平面，可得為二面角的平面角．
由已知可得，，，
，，
，
又，得．
在中，，
∴．
即二面角的余弦值為．

6．如圖所示，在四棱錐中，四邊形為梯形，，，平面平面．
(1)若的中點為，求證：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【解析】（1）設(shè)是中點，連接，如下圖所示：
在中，為為中位線，所以：，又因為：，
所以：，所以：四邊形為平行四邊形，得：，
又因為：平面平面，所以：平面.

（2）如圖，延長和交于點，連接.
過點作，垂足為點，連接.

因為：平面平面，平面平面，
所以：平面，
因為：，且平面，
所以：平面，所以：為所求二面角的平面角，
在中，，
得：，
所以：，
所以：.
7．如圖，在梯形中，，，，，平面且.

(1)求直線到平面的距離；
(2)求二面角的大?。?br>(3)在線段AD上是否存在一點F，使點A到平面PCF的距離為?
【解析】（1）∵，平面，平面，
∴平面，
故點A到平面PBC的距離，即為直線AD到平面PBC的距離，
作于，
∵平面，平面，，
，又平面PAB，平面PAB，
又平面PAB，，
又平面，平面，
即AH的長為點A到平面PBC的距離，也即直線AD到平面PBC的距離，
在等腰中，，
所以直線AD到平面PBC的距離為；

（2）過點作，交于點，連接，
因為平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以即為二面角的平面角，
過C作于M，
則四邊形為矩形，故，
在中，，
可得，，所以，
又，所以，
則，
所以二面角的大小為；

（3）假設(shè)存在點F，使點A到平面PCF的距離為，
如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
則，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則有，
令，則，所以，
故點A到平面PCF的距離為，
所以，解得，
所以存在點F，使點A到平面PCF的距離為.

8．如圖，已知是圓柱下底面圓的直徑，點是下底面圓周上異于的動點，，是圓柱的兩條母線．
(1)求證：平面；
(2)若，，圓柱的母線長為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【解析】（1）因為是底面的一條直徑，是下底面圓周上異于的動點，
所以，
又因為是圓柱的一條母線，所以底面，
而底面，所以，
因為平面，平面，且，
所以平面，
又因為，所以平面平面；
（2）如圖所示，
過作圓柱的母線，連接，
因為底面//上底面，所以即求平面與平面所成銳二面角的大小，
因為在底面的射影為，且為下底面的直徑，所以為上底面的直徑，
因為是圓柱的母線，所以平面，
又因為為上底面的直徑，所以，而平面，
所以為平面與平面所成的二面角的平面角，
又因為在底面射影為，所以，，
所以，又因為母線長為，所以，
又因為平面，平面，所以，
所以,
所以，
即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.
9．如圖，正方體中.
(1)求證：和為異面直線；
(2)求二面角的大小.
【解析】（1）證明：假設(shè)和共面，則、、、四點共面
事實上，平面，這與假設(shè)矛盾，故和為異面直線.
（2）解：連接交于點，連接，則為的中點，
設(shè)正方體的棱長為，
因為四邊形為正方形，則，
因為平面，平面，所以，，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，，
所以，二面角的平面角為，且，
因為平面，平面，則，
所以，，
因此，二面角的大小為.
10．如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，．

(1)求證：平面BCE；
(2)求二面角的正切值．
【解析】（1）因為平面平面ABCD，平面ABCD，
平面平面，
所以平面ABEF，平面ABEF，
所以．
因為為等腰直角三角形，，
所以，又因為，
所以，即，
又，平面BCE，平面BCE，
所以平面BCE．
（2）由，平面平面ABCD，
平面平面ABCD，
平面ABCD，
作，交BA的延長線于G，則．
從而，平面ABCD，
平面ABCD，，
作于H，
，平面，平面，
平面，連結(jié)FH，
平面，
所以，
因此，為二面角的平面角，
因為，，
所以，，
設(shè)，則，，
，
在中，，，

在中，
故二面角的正切值為.
11．如圖，在三棱柱中，平面為正三角形，側(cè)面是邊長為2的正方形，為的中點.

(1)求證：平面平面；
(2)取的中點，連接，求二面角的余弦值.
【解析】（1）證明：為正三角形，為的中點，，
平面平面，
平面，
又平面平面平面.
（2）為正三角形，，
平面平面，
，
故，
又為的中點，，
為二面角的平面角，
側(cè)面是邊長為2的正方形，，
為邊長為2的正三角形，，
在直角三角形中，，
，
二面角的余弦值為.

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