【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專題10 直線和圓的方程（易錯(cuò)題）（新高考專用）.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

易錯(cuò)點(diǎn)一：使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)相等致錯(cuò)（平行線求距離問題）
距離問題
技巧總結(jié)
①兩點(diǎn)間的距離：已知?jiǎng)t
②點(diǎn)到直線的距離:
③兩平行線間的距離：兩條平行直線與的距離公式．
易錯(cuò)提醒：在求兩條平行線間距離時(shí)，先將兩條直線前的系數(shù)統(tǒng)一，然后代入公式求算.
例．已知直線，，則（）
A．直線過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，之間的距離為
【詳解】由，令，可得，所以過定點(diǎn)，A對(duì)
時(shí)，，而，即，B對(duì)
時(shí)，，而，顯然不垂直，C錯(cuò)
，則，可得，由上知，之間的距離為
D對(duì).故選：ABD
變式1．曲線在點(diǎn)處的切線與其平行直線l的距離為，則直線l的方程可能為（）
A．B．
C．D．
【詳解】，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即
設(shè)直線（），依題意得，解得或
所以直線的方程為或故選：AB
變式2．已知直線：，：，圓C：，下列說(shuō)法正確的是（）
A．若經(jīng)過圓心C，則
B．直線與圓C相離
C．若，且它們之間的距離為，則
D．若，與圓C相交于M，N，則
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，A正確,對(duì)于B，因?yàn)橹本€恒過點(diǎn)，且
即點(diǎn)在圓C內(nèi)，所以與圓C相交，B錯(cuò)誤,對(duì)于C，因?yàn)?，則
故與之間的距離，所以，C正確
對(duì)于D，時(shí)，直線：，即
因?yàn)閳A心到直線的距離,所以，D錯(cuò)誤,故選：AC
變式3．已知直線，則（）
A．直線過定點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．當(dāng)時(shí)，兩直線之間的距離為1
【詳解】依題意，直線，由解得：,
因此直線恒過定點(diǎn)，A不正確
當(dāng)時(shí)，直線，而直線，顯然
，即直線不垂直，B不正確
當(dāng)時(shí)，直線，而直線，顯然，即
，C正確
當(dāng)時(shí)，有，解得，即直線,因此直線之間的距離，D正確故選：CD
1．若直線與之間的距離為，則a的值為（）
A．4B．C．4或D．8或
【答案】C
【分析】將直線化為，再根據(jù)兩平行直線的距離公式列出方程，求解即可.
【詳解】將直線化為，
則直線與直線之間的距離，
根據(jù)題意可得：，即，解得或，
所以a的值為或.
故選：C
2．若兩條直線，與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成正方形，則（）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】由直線方程知，由題意正方形的邊長(zhǎng)等于直線、的距離，又，結(jié)合兩線距離公式即可求的值.
【詳解】由題設(shè)知：，要使，，，四點(diǎn)且構(gòu)成正方形，
∴正方形的邊長(zhǎng)等于直線、的距離，則，
若圓的半徑為r，，即，則，
由正方形的性質(zhì)知：，
∴，即有.
故選：B.
3．兩條平行直線和間的距離為，則，分別為（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)可得參數(shù)，再利用平行線間距離公式可得.
【詳解】由直線與直線平行，
得，解得，
所以兩直線分別為和，即和，
所以兩直線間距離，
故選：D.
4．兩條平行直線與之間的距離（）
A．B．C．D．7
【答案】C
【分析】首先根據(jù)兩條直線平行求出參數(shù)的值，然后利用平行線間的距離公式求解即可.
【詳解】由已知兩條直線平行，得，所以，
所以直線可化為，
則兩平行線間的距離.
故選：C
5．已知直線和與圓都相切，則圓的面積的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】易得互相平行，故圓的直徑為間的距離，再表達(dá)出距離求最大值即可得圓的直徑最大值，進(jìn)而得到面積最大值
【詳解】由題，互相平行，且，故圓的直徑為間的距離，令，則，，故當(dāng)，即時(shí)取得最大值，此時(shí)圓的面積為
故選：A
6．若直線與平行，則與間的距離為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由兩直線平行的判定有且求參數(shù)a，應(yīng)用平行線距離公式求與間的距離.
【詳解】∵直線與平行，
∴且，解得．
∴直線與間的距離．
故選：B．
7．已知直線：（），：，若，則與間的距離為（）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】由直線平行的結(jié)論列方程求，再由平行直線的距離公式求兩直線的距離.
【詳解】由得，解得，
所以直線：，即，
所以與間的距離為，
故選B．
8．已知直線，，若，則之間的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，解得，時(shí)舍去，可得，再利用平行線之間的距離公式即可得出．
【詳解】由于兩條直線平行，得，解得，
當(dāng)時(shí)，兩直線方程都是故兩直線重合，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，，，
故兩平行直線的距離為.
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線平行的充要條件及其距離，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
9．若兩條平行直線與之間的距離是，則m+n=
A．0B．1C．-2D．-1
【答案】C
【分析】根據(jù)直線平行得到，根據(jù)兩直線的距離公式得到，得到答案.
【詳解】由，得，解得，即直線，
兩直線之間的距離為，解得 (舍去)，
所以
故答案選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了直線平行，兩平行直線之間的距離，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.
10．已知直線，則兩條直線之間的距離為
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用兩平行直線距離公式即可求得.
【詳解】因?yàn)?，則，故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了兩平行直線距離問題，運(yùn)用平行直線距離公式可以求解，但要注意將兩直線一般方程的系數(shù)化為相同的值；也可以在其中一條直線中選取一個(gè)特殊點(diǎn)，然后利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題.
易錯(cuò)點(diǎn)二：求有關(guān)截距相等問題時(shí)易忽略截距為零的情況（直線截距式的考點(diǎn)）
直線方程的五種形式的比較如下表：
給定一般式求截距相等時(shí)，具體方案如下：
形如：第一種情況
第二種情況：
截距之和為0時(shí)，橫縱截距都為0也是此類模型
易錯(cuò)提醒：求截距相等時(shí)，往往會(huì)忽略橫縱截距為0的情況從而漏解
例．已知直線過點(diǎn)（2，1）且在x，y軸上的截距相等
（1）求直線的一般方程；
（2）若直線在x，y軸上的截距不為0，點(diǎn)在直線上，求的最小值．
【詳解】試題分析：（1）當(dāng)截距為0時(shí)，得到；當(dāng)截距不為0時(shí)設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)即可得方程．（2）由第一問可得，，
由不等式得到結(jié)果.
⑴ ①即
②截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，代入，計(jì)算得，則直線方程為，綜上，直線方程為
⑵由題意得
變式1．已知直線過點(diǎn)且在軸上的截距相等
(1)求直線的一般方程；
(2)若直線在軸上的截距不為0，點(diǎn)在直線上，求的最小值．
【詳解】（1）因?yàn)橹本€過點(diǎn)且在軸上的截距相等，當(dāng)截距為0時(shí)，則
當(dāng)截距不為0時(shí)，可設(shè)，則，即，∴
綜上，的一般方程：或
（2）由題意得，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立
的最小值為
變式2．已知直線：，直線：，其中a，b均不為0.
(1)若，且過點(diǎn)，求a，b；
(2)若，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求與之間的距離.
【詳解】（1）當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，所以，
因?yàn)?，所以，即，于?br>（2）由：，令，則，令，則
因?yàn)樵趦勺鴺?biāo)軸上的截距相等，所以，故，又，所以，所以
則：與：之間的距離，所以與之間的距離為.
變式3．已知直線，直線
(1)若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求直線的方程.
【詳解】（1）由題意可知，，直線在軸上的截距為，在軸上的截距為，則，解得：
（2）若，則且，解得：
此時(shí)直線的方程為
1．已知圓為圓O上位于第一象限的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓O的切線l．當(dāng)l的橫縱截距相等時(shí)，l的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用過圓上點(diǎn)的切線的性質(zhì)可得，利用點(diǎn)表示出切線方程，結(jié)合l的橫縱截距相等，即得解
【詳解】由題意，點(diǎn)在第一象限，故過點(diǎn)M的的切線l斜率存在；
點(diǎn)在圓上，故，即
故直線l的方程為：
令令
當(dāng)l的橫縱截距相等時(shí)，
又
解得：
即，即
故選：A
2．“直線在坐標(biāo)軸上截距相等”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】由直線在坐標(biāo)軸上截距相等得或，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】解：由題知：，由得；由得，.
因?yàn)樵谧鴺?biāo)軸上的截距相等，所以，解得或.
所以直線在坐標(biāo)軸上截距相等”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的截距與充分條件、必要條件，屬于基礎(chǔ)題.
3．過點(diǎn)A（1，2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）
A．x-y+1=0B．x+y-3＝0C．y＝2x或x+y-3＝0D．y＝2x或x-y+1＝0
【答案】D
【分析】考慮直線是否過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)出直線方程，分別求解出直線方程.
【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，其斜率為，故直線方程為y＝2x；
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)（1，2）可得，解得a＝－1，故直線方程為x-y+1＝0.
綜上，可知所求直線方程為y＝2x或x-y+1＝0，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的截距式以及分類討論思想的應(yīng)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.在利用直線方程的截距式解題時(shí)，一定要注意討論直線的截距是否為零.
4．下列說(shuō)法正確的是（）
A．若直線與直線互相垂直，則
B．已知，，點(diǎn)，到直線的距離分別為和，則滿足條件的直線的條數(shù)是2
C．過，兩點(diǎn)的所有直線的方程為
D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為
【答案】B
【分析】對(duì)于A，利用直線與直線垂直的條件判斷；對(duì)于B，利用點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系判斷；對(duì)于C，利用兩點(diǎn)式方程判斷；對(duì)于D，利用直線的截距式方程判斷
【詳解】解：對(duì)于A，若直線與直線互相垂直，則，解得或，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，分別以點(diǎn)，為圓心，2，4為半徑作圓，因?yàn)?，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條，所以滿足條件的直線的條數(shù)是2，所以B正確；
對(duì)于C，當(dāng)且時(shí)，過，兩點(diǎn)的直線方程為，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)截距為零時(shí)，設(shè)直線方程為，則，所以直線為，當(dāng)截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，則，得，所以直線方程為，綜上，經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，所以D錯(cuò)誤
故選：B
5．過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程是
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=x，即4x﹣3y=0；
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為x+y=a．
則3+4=a，得a=7．
∴直線方程為x+y﹣7=0．
∴過點(diǎn)M（3，4）且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．
故選：D
6．下列命題中錯(cuò)誤的是（）
A．命題“”的否定是“”
B．命題“若，則”的否命題為“若，則”
C．“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的充要條件
D．若“p或q”為假命題，則p，q均為假命題
【答案】C
【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定、否命題的概念、兩直線平行的充要條件以及的真假進(jìn)行判斷.
【詳解】對(duì)于A，命題“”的否定是“”，故A正確；
對(duì)于B，命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；
對(duì)于C，若兩直線斜率相等，則兩直線平行或重合；但若兩直線平行，斜率可能不存在，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若“p或q”為假命題，則p，q均為假命題，故D正確.
故選：C.
7．與圓相切，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有（）
A．2條B．3條C．4條D．6條
【答案】A
【分析】過原點(diǎn)的直線不滿足題意，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)且與圓相切時(shí)，依題意可設(shè)方程為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑可得有兩解，綜合可得結(jié)果.
【詳解】圓的圓心為，半徑為1，
由于原點(diǎn)在圓上，顯然過原點(diǎn)的直線不滿足題意；
當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)且與圓相切時(shí)，依題意可設(shè)方程為，
圓心到直線的距離，解得，此時(shí)滿足條件的直線有兩條，
綜上可得：滿足條件的直線有兩條，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線方程，截距相等問題，學(xué)生容易疏忽過原點(diǎn)的直線，屬于中檔題.
8．已知直線過點(diǎn)，且與軸、軸分別交于A，B點(diǎn)，則（）
A．若直線的斜率為1，則直線的方程為
B．若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為
C．若M為的中點(diǎn)，則的方程為
D．直線的方程可能為
【答案】AC
【分析】根據(jù)直線點(diǎn)斜式判斷A，由過原點(diǎn)直線滿足題意判斷B，由中點(diǎn)求出A,B坐標(biāo)得直線方程判斷C，由直線與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)判斷D.
【詳解】對(duì)于A，直線l的斜率為1，則直線l的方程為，即，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時(shí)，l的方程為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)橹悬c(diǎn)，且A，B在軸、軸上，所以，，故AB的方程為，即，故C正確；
對(duì)于D，直線與x軸無(wú)交點(diǎn)，與題意不符，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
9．已知直線：，：，則下列結(jié)論正確的有（）
A．若，則
B．若，則
C．若，在x軸上的截距相等則
D．的傾斜角不可能是傾斜角的2倍
【答案】AB
【分析】根據(jù)直線平行、垂直的條件判斷AB選項(xiàng)的正確性；根據(jù)直線的截距、傾斜角判斷CD選項(xiàng)的正確性.
【詳解】若，則，得，選項(xiàng)A正確；
若，則，得，選項(xiàng)B正確；
若，在x軸上的截距相等，則，解得，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，的傾斜角恰好是的傾斜角的2倍，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：AB
【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是要弄清楚直線的點(diǎn)斜式和直線的一般式判斷兩直線平行和垂直的充要條件，其次還要注意斜率的存在性，一定要注意分類討論.易錯(cuò)點(diǎn)：兩直線平行一定要注意縱截距不等和斜率的存在性.
10．直線與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，則直線的方程可能是
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】由于直線在軸、軸上的截距相等，設(shè)直線為：或，利用圓心到直線的距離為半徑，即得解
【詳解】由于直線在軸、軸上的截距相等，設(shè)直線為：或
由于直線與圓相切，
故圓心到直線的距離等于半徑

或
故直線的方程為：
故選：ACD
易錯(cuò)點(diǎn)三：求有關(guān)圓的切線問題易混淆“在”“過”（求有關(guān)圓的切線問題）
技巧總結(jié)
第一類：求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程的方法
正規(guī)方法：
第一步：求切點(diǎn)與圓心的連線所在直線的斜率
第二步：利用垂直關(guān)系求出切線的斜率為
第三步：利用點(diǎn)斜式求出切線方程
注意：若則切線方程為，若不存在時(shí)，切線方程為
秒殺方法：
①經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程為
②經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程為
③經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程為
第二類：求過圓外一點(diǎn)的圓的切線方程的方法
方法一：幾何法
第一步：設(shè)切線方程為，即，
第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，可求得，切線方程即可求出
方法二:代數(shù)法
第一步：設(shè)切線方程為，即，
第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由可求得，切線方程即可求出
注意：過圓外一點(diǎn)的切線必有兩條，當(dāng)上面兩種方法求得的只有一個(gè)時(shí)，則另一條切線的斜率一定不存在，可得數(shù)形結(jié)合求出.
第三類：求斜率為且與圓相切的切線方程的方法
方法一：幾何法
第一步：設(shè)切線方程為，即
第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，可求得，切線方程即可求出.
方法二:代數(shù)法
第一步：設(shè)切線方程為，
第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由可求得，切線方程即可求出
方法三：秒殺方法
已知圓的切線的斜率為，則圓的切線方程為
已知圓的切線的斜率為，則圓的切線方程為
工具：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
一般方程為.
①點(diǎn)在圓上：
②點(diǎn)在圓外：
③點(diǎn)在圓內(nèi)：
易錯(cuò)提醒：求切線問題時(shí)首要任務(wù)確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系并采用對(duì)應(yīng)方案進(jìn)行處理
例、圓的方程為，過點(diǎn)的切線方程
解：正規(guī)方法：
第一步：求切點(diǎn)與圓心的連線所在直線的斜率
第二步：利用垂直關(guān)系求出切線的斜率為
第三步：利用點(diǎn)斜式求出切線方程
秒殺方法：
經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程為
變形1、圓的方程為，過點(diǎn)的切線方程
解：正規(guī)方法：
第一步：求切點(diǎn)與圓心的連線所在直線的斜率
圓的一般式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為
第二步：利用垂直關(guān)系求出切線的斜率為
第三步：利用點(diǎn)斜式求出切線方程
秒殺方法：
經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線方程為
變形2、圓的方程為，過點(diǎn)的切線方程
解：由題意的點(diǎn)在圓外
方法一：幾何法
第一步：設(shè)切線方程為，即，
第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，可求得，切線方程即可求出
圓心為則
故：，
方法二:代數(shù)法
第一步：設(shè)切線方程為，即，
第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由可求得，切線方程即可求出
故：，
變形3、圓的方程為，切線斜率為方程為
方法一：幾何法
第一步：設(shè)切線方程為，即
第二步：由圓心到直線的距離等于半徑長(zhǎng)，可求得，切線方程即可求出.
故
方法二:代數(shù)法
第一步：設(shè)切線方程為，
第二步：代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，由可求得，切線方程即可求出
故
方法三：秒殺方法
已知圓的切線的斜率為，則圓的切線方程為
故
1．在平面直角坐標(biāo)系中，過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如圖，又，所以，又由圓心到直線的距離可求出的最小值，進(jìn)而求解.
【詳解】如下圖所示：

由題意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，
又因?yàn)?，所以?br>所以，
又圓心到直線的距離為，
所以，所以不妨設(shè)，
則，
又因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以當(dāng)且僅當(dāng)即，即當(dāng)且僅當(dāng)直線垂直已知直線時(shí)，
有最大值.
故選：A.
2．已知點(diǎn)在圓上，過作圓的切線，則的傾斜角為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)系，即可由斜率與傾斜角的關(guān)系求解.
【詳解】圓心為，所以,所以過的切線的斜率為，
設(shè)傾斜角為，則，
由于，故，
故選：D
3．已知圓與直線，P，Q分別是圓C和直線l上的點(diǎn)且直線PQ與圓C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】，的最小值為圓心到直線的距離，可求的最小值.
【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則圓C的圓心為，半徑，則，
直線PQ與圓C相切，有，
因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線l上，所以，則．
即的最小值是.
故選：A
4．已知直線與圓，過直線上的任意一點(diǎn)向圓引切線，設(shè)切點(diǎn)為，若線段長(zhǎng)度的最小值為，則實(shí)數(shù)的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，則，可得，而的最小值是圓心到直線的距離，然后列方程可求出實(shí)數(shù)m的值.
【詳解】圓，設(shè)，
則，則，，
則，所以圓心到直線的距離是，
，得，．
故選：A．
5．已知圓，直線，則下列結(jié)論正確的是（）
A．存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與圓C相切
B．若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的最大值為4
C．當(dāng)時(shí)，圓C上存在4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為
D．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，曲線恒過直線與圓C的交點(diǎn)
【答案】BCD
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】，圓心且半徑為，
因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，且點(diǎn)在圓上，若直線l與圓C相切，則直線l的斜率不存在，即，故A不正確；
當(dāng)直線l經(jīng)過圓心時(shí)，取最大值即圓的直徑，故B正確；
當(dāng)時(shí)，直線，因?yàn)閳A心C到直線l的距離，所以，
所以圓C上有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；
當(dāng)時(shí)，直線，曲線，
即一定過直線與圓的交點(diǎn)，故D正確．
故選：BCD．
6．過圓上一點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則（）.
A．
B．
C．
D．直線AB與圓相切
【答案】BCD
【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，建立直角三角形，結(jié)合勾股定理以及銳角三角函數(shù)，可得答案.
【詳解】由題意，作圖如下：

設(shè)圓與圓的圓心為，則，，
因?yàn)榕c圓相切，所以，
在中，，易知，所以.
又，所以，故A錯(cuò)誤，B、C正確.
故與交于點(diǎn)，由與圓相切，則，
由，則，易知，
在中，，
又圓的半徑為，所以直線與圓相切，故D正確.
故選：BCD.
7．已知圓的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）
A．存在切點(diǎn)使得為直角B．直線過定點(diǎn)
C．的取值范圍是D．面積的取值范圍是
【答案】BD
【分析】通過分析知不可能為直角，可判斷A、C錯(cuò)誤；求出直線的方程，令，，即可得直線恒過的定點(diǎn)可判斷B；求出面積的取值范圍可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，圓的上頂點(diǎn)為，即點(diǎn)，若為直角，則為直徑，
顯然同一直徑不能同時(shí)垂直兩條相交直線，所以不可能為直角，故A錯(cuò)誤；
同理C選項(xiàng)的數(shù)量積也取不到，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于B,設(shè)，

因?yàn)?，，?br>則的方程為：，因?yàn)?br>化簡(jiǎn)可得：，
同理的方程為：，
而在切線，上，所以
，，
因?yàn)樵谥本€
故直線的方程為，令，，
即過定點(diǎn)，故B正確；
對(duì)于D，圓心到直線的距離平方為，
線段一半的平方為：，
點(diǎn)到直線的距離的平方為：，
所以面積的平方為：
①，因?yàn)椋?br>所以由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，①的分母取得最小值，
所以面積平方的最大值，
故面積的最大值為，故面積的取值范圍是，故D正確.
故選：BD.
8．已知直線與圓，下列說(shuō)法正確的是（）
A．所有圓均不經(jīng)過點(diǎn)
B．若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則
C．若直線與圓相交于、，且，則
D．不存在圓與軸、軸均相切
【答案】ABD
【分析】A假設(shè)存在圓經(jīng)過點(diǎn)，將代入圓的方程判斷是否有解；B由在直線上，代入即可判斷；C幾何法先求到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)線距離列方程求；D根據(jù)題設(shè)，假設(shè)存在圓與數(shù)軸相切，判斷是否有解.
【詳解】A：將代入，則，
所以，此時(shí)，
所以不存在值，使圓經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)；
B：若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則在直線上，
所以，則，對(duì)；
C：由題意，到直線的距離，
所以，則，可得或，錯(cuò)；
D：若圓與軸、軸均相切，則，顯然無(wú)解，即不存在這樣的圓，對(duì)；
故選：ABD
9．已知，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則下列命題中真命題是（）
A．
B．直線的方程為
C．圓與共有4條公切線
D．若過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則當(dāng)面積最大時(shí)，.
【答案】ABD
【分析】由圓的方程確定圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合切線性質(zhì)求，判斷A，
求過點(diǎn)的圓的方程，再求其與圓的公共弦可得直線的方程，判斷B，
判斷圓與圓的位置關(guān)系，判斷C，
結(jié)合三角形面積公式求的面積的最大值，求，判斷D，
【詳解】因?yàn)閳A的方程為，
所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，所以，
又，所以，
由已知，
所以，A正確，
因?yàn)椋?br>所以點(diǎn)四點(diǎn)共圓，且圓心為的中點(diǎn)，
線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以圓的方程為，即，
因?yàn)?，所以圓與圓相交，
又圓的方程可化為
所以圓與圓的公共弦方程為，
故直線的方程為，B正確，

圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，
因?yàn)?，?br>所以圓與圓相交，故兩圓只有2條公切線，C錯(cuò)誤；
設(shè)，則，
的面積，
所以當(dāng)時(shí)，的面積取最大值，最大值為，此時(shí)，D正確.
故選：ABD.

10．已知點(diǎn)為直線與軸交點(diǎn)，為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則（）
A．取得最小值時(shí)，B．與圓相切時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，D．的最大值為
【答案】ABD
【分析】A：取得最小值時(shí)位于即軸上，根據(jù)三角形面積公式可得.
B：直接在直角三角形利用勾股定理可得.
C：運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示和對(duì)于坐標(biāo)運(yùn)算可得.
D：根據(jù)正弦定理，將求的最大值轉(zhuǎn)化為求外接圓半徑最小，
此時(shí)，外接圓與圓相內(nèi)切，根據(jù)內(nèi)切半徑差等于圓心距可得外接圓半徑，進(jìn)而可得.
【詳解】因，令，得，
故，
，圓心，半徑
選項(xiàng)A：

如圖，根據(jù)圓的性質(zhì)當(dāng)位于軸上時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，故A正確；
選項(xiàng)B：

當(dāng)與圓相切時(shí)，
，
故B正確；
選項(xiàng)C：

設(shè)，
則，，
當(dāng)時(shí)，，
故，
又，
得，
，，
若，則，
又得，，，
此時(shí)，
這與點(diǎn)在圓上矛盾，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D：

設(shè)外接圓圓心為，半徑為
由題意可得在中垂線上，可設(shè)其坐標(biāo)為，
則，，
由正弦定理知，所以，
當(dāng)最小，即外接圓與圓相內(nèi)切時(shí)，的最大值，
此時(shí)圓心距等于兩圓半徑之差，則
，
兩邊同時(shí)平方可得，
，故D正確.
故選：ABD.
易錯(cuò)點(diǎn)四：忽略斜率是否存在（與圓的代數(shù)結(jié)構(gòu)有關(guān)的最值問題）
處理此類問題宗旨：截距式與斜率式都可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與圓相切時(shí)取得最值
①截距式：求形如的最值轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題
②斜率式：求形如的最值轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題
③距離式：求形如的最值轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題
形如：若是定圓上的一動(dòng)點(diǎn)，則求和這兩種形式的最值
思路1：幾何法
①的最值，設(shè)，圓心到直線的距離為由即可解得兩個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值
②的最值：即點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得斜率的最大值和最小值
思路2：代數(shù)法
①的最值，設(shè)，與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于，求得的兩個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.
②的最值：設(shè)，則，與圓的方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由判別式等于，求得的兩個(gè)值，一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.
易錯(cuò)提醒：截距式與斜率式在學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系后，都可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與圓相切時(shí)取得最值.同時(shí)，需要注意若是斜率式，則需考慮斜率是否存在
例、已知為圓：上任意一點(diǎn).
(1)求的最大值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求的最大值和最小值.
解：(1)∵的圓心，半徑，
設(shè)，將看成直線方程，
∵該直線與圓有公共點(diǎn)，∴圓心到直線的距離，
解上式得：，∴的最大值為.
(2)記點(diǎn)，∵表示直線的斜率，設(shè)直線的方程為：，即，由直線與圓有公共點(diǎn)，
∴，可得，
∴的最大值為，最小值為；
(3)∵設(shè)，等價(jià)于圓的圓心到原點(diǎn)的距離的平方，
則，
；
變形1、如果實(shí)數(shù)，滿足，求：
（1）的最大值與最小值；
（2）的最大值與最小值；
（3）的最大值和最小值．
解：（1）實(shí)數(shù)，滿足，
則設(shè)整理得，所以圓心到直線的距離，
整理得，即，
所以的最大值為，最小值為．
（2）設(shè)，所以整理直線為，
圓心到直線的距離，
整理得，解得，
所以的最大值為，最小值為．
（3）由于的表示的是，原點(diǎn)到圓上的任意點(diǎn)的距離的平方
所以利用最大距離為圓心到原點(diǎn)的距離與半徑的和，
即的平方，故最大值為．
最小距離為的平方，故最小值為．
變形2、已知實(shí)數(shù)，滿足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
解：（1）方程表示以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，
設(shè)，即，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，斜率取得最大值和最小值，
此時(shí)，解得.故的最大值為，最小值為.
（2）設(shè)，即，
當(dāng)與圓相切時(shí)，縱截距取得最大值和最小值，
此時(shí)，即.
故的最大值為，最小值為.
（3）表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，它在過原點(diǎn)和圓心的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值，又圓心到原點(diǎn)的距離為2，
故，.
變形3、已知實(shí)數(shù)滿足．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
解：將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
此方程表示以為圓心，2為半徑的圓．
（1）表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，
所以令，即．
當(dāng)直線與已知圓相切時(shí)（如圖），取得最值，
所以，解得或．
因此的最小值是，最大值為0．
（2），它表示圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的距離．
因?yàn)槎c(diǎn)到已知圓的圓心距離為，
所以的最大值為，最小值為．
1．可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】函數(shù)變形，設(shè)，，，則表示的幾何意義為的長(zhǎng)，作出輔助線，由幾何關(guān)系得到最小值，得到答案.
【詳解】，
設(shè)，，，
故表示的幾何意義為的長(zhǎng)，
如圖所示，取點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
則的長(zhǎng)即為的最小值，即最小值為.
故選：B
2．已知實(shí)數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為
【答案】C
【分析】選項(xiàng)A轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離公式的平方即可求解；選項(xiàng)B轉(zhuǎn)化為斜率即可求解；選項(xiàng)C轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離的倍即可求解；選項(xiàng)D設(shè)出切線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為半徑即可求解
【詳解】的方程可化為，
它表示圓心，半徑為的圓.
對(duì)選項(xiàng)A：表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，
故它的最大值為，A正確；
對(duì)選項(xiàng)B：表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，
由圓心到直線的距離，
可得，B正確；
對(duì)選項(xiàng)C：表示圓上任意一點(diǎn)到直線的距離的倍，
圓心到直線的距離，
所以其最小值為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：設(shè)過點(diǎn)作曲線的切線，則其斜率存在，
故可設(shè)切線方程為，
由，解得，
故切線方程為，故D正確.
故選：C.
3．點(diǎn)到直線的最大距離為（）
A．2B．C．D．1
【答案】C
【分析】由題意可得直線恒過定點(diǎn)，題意所求最大距離即為點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，結(jié)合兩點(diǎn)求距離公式計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，
直線即，
所以該直線恒過定點(diǎn)，
則點(diǎn)到直線的最大距離即為點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，
即.
故選：C.
4．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事體．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式可將問題轉(zhuǎn)化為軸上一點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和的最小值，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，進(jìn)而即得.
【詳解】，

則可看作軸上一點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，即，
則可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
即.
故選：A.
5．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（）．
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】把目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，看作動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和的最值，利用對(duì)稱性可得答案.
【詳解】,
可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，
作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，
最小值為間的距離.
故選：D.
6．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題.已知點(diǎn)在直線，點(diǎn)在直線上，且，結(jié)合上述觀點(diǎn)，的最小值為（）
A．B．C．D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離和，過點(diǎn)作，垂足為，證明，由求目標(biāo)函數(shù)最小值.
【詳解】由已知表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
所以，
過點(diǎn)作，垂足為，
因?yàn)橹本€的方程為，，
所以，
又直線與直線平行，，
所以，
所以，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
所以，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)點(diǎn)為線段與直線的交點(diǎn)時(shí)，
取最小值，最小值為，
因?yàn)檫^點(diǎn)與直線垂直的直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，
所以的最小值為，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的距離和問題，進(jìn)一步結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題.
7．已知為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出圖形，根據(jù)幾何意義即可求解.
【詳解】作出圖形，如圖所示，根據(jù)題意可知:點(diǎn)，，
表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
則，
如圖（當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）
因?yàn)椋?br>所以的最小值為，
故選：.
8．費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（）
A．4B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意作出圖形，證明出三角形ABC為等腰直角三角形，作出輔助線，找到費(fèi)馬點(diǎn)，求出最小值.
【詳解】由題意得：的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值，
因?yàn)?，?br>，
所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，
取的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，故，，
因?yàn)椋?，故，則，
故點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，即取得最小值，
因?yàn)椋?，同理得：，?br>，
故的最小值為.
故選：B
9．已知實(shí)數(shù)滿足，那么的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將配方得，由幾何意義可知，表示直線上的動(dòng)點(diǎn)與的距離的平方，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算點(diǎn)到直線的距離，即可求解出最小值.
【詳解】由可得，
可以看作直線上的動(dòng)點(diǎn)與的距離的平方，
又因?yàn)辄c(diǎn)與的最小距離為到直線的距離，
為，
故的最小值為.
故選：A.
10．著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微.”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)的距離.結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】記點(diǎn)、、，可得出，數(shù)形結(jié)合可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)椋?br>記點(diǎn)、、，則，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為.
故選：C.
名稱
方程的形式
常數(shù)的幾何意義
適用范圍
點(diǎn)斜式
是直線上一定點(diǎn)，k是斜率
不垂直于x軸
斜截式
k是斜率，b是直線在y軸上的截距
不垂直于x軸
兩點(diǎn)式
，是直線上兩定點(diǎn)
不垂直于x軸和y軸
截距式
a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距
不垂直于x軸和y軸，且不過原點(diǎn)
一般式
A、B、C為系數(shù)
任何位置的直線

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