易錯(cuò)點(diǎn)一：注意零向量書(shū)寫(xiě)及三角形與平行四邊形適用前提（平面向量線性運(yùn)算）
1．向量的有關(guān)概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，記作．
（3）特殊向量：
①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．
④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．
2．向量的線性運(yùn)算和向量共線定理
（1）向量的線性運(yùn)算
共線向量定理
向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，使得.
共線向量定理的主要應(yīng)用：
(1)證明向量共線：對(duì)于非零向量，，若存在實(shí)數(shù)，使，則與共線．
(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則A，B，C三點(diǎn)共線．
(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．
平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的求解策略：
(1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)．
(2)向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用．
(3)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：
①觀察各向量的位置；
②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；
③運(yùn)用法則找關(guān)系；
④化簡(jiǎn)結(jié)果.
解決向量的概念問(wèn)題應(yīng)關(guān)注以下七點(diǎn)：
(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵．
(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．
(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．
(4)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
(5)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象移動(dòng)混為一談．
(6)非零向量與的關(guān)系：是方向上的單位向量．
(7)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，故可以比較大小
易錯(cuò)提醒：（1）向量表達(dá)式中的零向量寫(xiě)成，而不能寫(xiě)成0．
（2）兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．
（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．
（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，.
例 ．如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計(jì)算正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則，則，故A正確；
對(duì)于B，在平行四邊形中，，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，在平行四邊形中，，
，故D正確.故選：ACD.
變式1：給出下列命題，其中正確的命題為（ ）
A．若，則必有A與C重合，B與D重合，AB與CD為同一線段
B．若，則可知
C．若Q為的重心，則
D．非零向量，，滿足與，與，與都是共面向量，則，，必共面
【詳解】在平行四邊形ABDC中，滿足，但不滿足A與C重合，B與D重合，AB與CD不為同一線段，A不正確.
因?yàn)椋?，所以，所以，所以，即，B正確.
若Q為的重心，則，所以，所以，即，C正確.
在三棱柱中，令，，，滿足與，與，與都是共面向量，但，，不共面，D不正確.故選：BC.
變式2：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，．

(1)試用向量來(lái)表示;
(2)AM交DN于O點(diǎn)，求的值．
【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以；
（2）設(shè)，
則，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使，
由于向量不共線，則，，解得，
所以.
變式3：如圖所示，在矩形中，，，設(shè)，，，求.

【詳解】解：在矩形中，，，
則，
因?yàn)?，，?br>則，
因此，.
1．已知、為不共線的向量，，，，則（ ）
A．三點(diǎn)共線B．三點(diǎn)共線
C．三點(diǎn)共線D．三點(diǎn)共線
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量共線定理及基本定理判斷即可.
【詳解】因?yàn)?、為不共線的向量，所以、可以作為一組基底，
對(duì)于A：，，若存在實(shí)數(shù)使得，
則，所以，方程組無(wú)解，所以與不共線，故、、三點(diǎn)不共線，即A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：因?yàn)?，，所以?
同理可以說(shuō)明不存在實(shí)數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點(diǎn)不共線，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：因?yàn)?，?br>所以，
又，所以，故、、三點(diǎn)共線，即C正確；
對(duì)于D：，，
同理可以說(shuō)明不存在實(shí)數(shù)，使得，即與不共線，故、、三點(diǎn)不共線，即D錯(cuò)誤；
故選：C
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則等于（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解.
【詳解】解：，
，
，
，
故選：C
3．在四邊形中，若，則（ ）
A．四邊形是平行四邊形B．四邊形是矩形
C．四邊形是菱形D．四邊形是正方形
【答案】A
【分析】由推出，再根據(jù)向量相等的定義得且，從而可得答案.
【詳解】因?yàn)?，故，即?br>故且，故四邊形一定是平行四邊形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故A正確；BCD不正確.
故選：A.
4．已知分別為的邊上的中線，設(shè)，,則＝（ ）

A．＋B．＋
C．D．＋
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可聯(lián)立方程求解.
【詳解】分別為的邊上的中線,
則,
,
由于，，所以,
故解得
故選：B
5．如果是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中不正確的是（ ）
①可以表示平面α內(nèi)的所有向量；
②對(duì)于平面α內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對(duì)有無(wú)窮多個(gè)；
③若向量與共線，則
④若實(shí)數(shù)λ、μ使得，則λ＝μ＝0.
A．①②B．②③C．③④D．②
【答案】B
【分析】由平面向量基本定理判斷①④②，由共線向量定理判斷③.
【詳解】解：由平面向量基本定理可知，①④是正確．
對(duì)于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，故錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)λ1λ2＝0或μ1μ2＝0時(shí)不一定成立，應(yīng)為λ1μ2－λ2μ1＝0，故錯(cuò)誤.
故選：B.
6．給出下列各式：①，②，③，④，對(duì)這些式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，則其化簡(jiǎn)結(jié)果為的式子的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】利用向量的加減法法則逐個(gè)分析判斷即可.
【詳解】對(duì)于①，，
對(duì)于②，，
對(duì)于③，，
對(duì)于④，，
所以其化簡(jiǎn)結(jié)果為的式子的個(gè)數(shù)是4，
故選：A
7．已知平面向量，，，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，，則D．若，則
【答案】D
【分析】利用向量的概念及零向量判斷即可.
【詳解】A：若為非零向量，為零向量時(shí)，有但不成立，錯(cuò)誤；
B：時(shí)，，不一定相等，錯(cuò)誤；
C：若為零向量時(shí)，，不一定有，錯(cuò)誤；
D：說(shuō)明，同向或至少有一個(gè)零向量，故，正確.
故選：D.
8．設(shè)與是兩個(gè)不共線的向量，，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為（ ）
A．－B．－C．－D．－
【答案】B
【分析】根據(jù)向量共線的判定定理結(jié)合向量的線性運(yùn)算求解.
【詳解】由題意可得：，
若A，B，D三點(diǎn)共線，所有必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得，
即，
可得，解得.
故選：B.
9．在中，已知，P是AB的垂直平分線l上的任一點(diǎn)，則（ ）
A．6B．C．12D．
【答案】B
【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，結(jié)合為線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)，則有，再將都用表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.
【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，
則，
因?yàn)闉榫€段垂直平分線上的任意一點(diǎn)，
所以，
則.

故選：.
10．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)，線段AF交拋物線C于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作l的垂線，垂足為H，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用三角形相似及拋物線定義求解.
【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，
設(shè)準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，
∵，由與△相似得：，
∵，∴，即，故A錯(cuò)誤；
由拋物線定義得，∴，
即，，故BC正確，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
11．下列各式中結(jié)果為零向量的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)平面線向量加法和減法的運(yùn)算法則逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋赃x項(xiàng)A不符合題意；
因?yàn)?，所以選項(xiàng)B符合題意；
因?yàn)椋?br>所以選項(xiàng)C符合題意；
因?yàn)椋?br>所以選項(xiàng)D不符合題意，
故選：BC
易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略基底選取原則（平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示）
1．平面向量基本定理和性質(zhì)
（1）共線向量基本定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．
（2）平面向量基本定理
如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個(gè)線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．
推論1：若，則．
推論2：若，則．
（3）線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式
如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．
D
A
C
B
（4）三點(diǎn)共線定理
平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．
A、B、C三點(diǎn)共線
存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；
存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；
存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；
存在，使得．
（5）中線向量定理
如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．
D
A
C
B
2．平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算
（1）平面向量的坐標(biāo)表示．
在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作．
（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有
向量向量點(diǎn)．
（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．
若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)．
（4）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．
3．平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
①已知點(diǎn)，，則，
②已知，，則，，
，．
，
向量共線（平行）的坐標(biāo)表示
1．利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個(gè)已知向量共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為（），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．
2．利用兩向量共線求參數(shù)．如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若，，則的充要條件是”解題比較方便．
3．三點(diǎn)共線問(wèn)題．A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于與共線．
4．利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解．
用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路
（1）先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進(jìn)行向量的運(yùn)算．
（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來(lái)方便，另外，要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式．
向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系．
兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的．
易錯(cuò)提醒：（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個(gè)不共線的向量．
（2）選定基底后，通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來(lái)．
（3）強(qiáng)調(diào)幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等。
例 ．已知向量=（2，1），，則（ ）
A．若，則B．向量在向量上的投影向量為
C．與的夾角余弦值為D．
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，所以，A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)向量在向量上的投影向量為，則，即，解得，故向量在向量上的投影向量為，B選項(xiàng)正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，，所以與不共線，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC.
變式1．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的為（ ）
A．已知，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
C．非零向量，，滿足且與同向，則
D．非零向量和，滿足，則與的夾角為
【詳解】對(duì)于A，，，且與的夾角為銳角，
，且（時(shí)，與的夾角為），所以且，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；
對(duì)于C，向量是有方向的量，不能比較大小，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)?，兩邊平方得，，又?br>則，，
故，
而向量的夾角范圍為，所以和的夾角為，故D正確．
故選：AC．
變式2．（多選）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若，且與共線，則
B．若，且，則與不共線
C．若A，B，C三點(diǎn)共線．則向量都是共線向量
D．若向量，且，則
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，或時(shí)，比例式無(wú)意義，故錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B，若，與共線，則一定有，故正確；
對(duì)選項(xiàng)C，若A，B，C三點(diǎn)共線，則在一條直線上，則都是共線向量，故正確；
對(duì)選項(xiàng)D，若向量，且，則，即，故正確；
故選：BCD
變式3．已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若實(shí)數(shù)m，n使，則
B．平面內(nèi)任意一個(gè)向量都可以表示成，其中m，n為實(shí)數(shù)
C．對(duì)于m，，不一定在該平面內(nèi)
D．對(duì)平面內(nèi)的某一個(gè)向量，存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)m，n，使
【詳解】解：根據(jù)基底的定義知AB正確；
對(duì)于C，對(duì)于m，，在該平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，m，n是唯一的，故D錯(cuò)誤.
故選:AB.
1．在梯形中，，，，分別是，的中點(diǎn)，與交于，設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】結(jié)合已知梯形的性質(zhì)及向量加法及減法的三角形法則及向量共線定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】
由題意可得，，故A正確；
，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
，故D正確．
故選：ABD．
2．已知點(diǎn)，，向量，∥，則（ ）
A．時(shí)與方向相同
B．時(shí)，與方向相同
C．時(shí)與方向相反
D．時(shí)，與方向相反
【答案】BD
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示求出，再回代驗(yàn)證方向相同或相反.
【詳解】，，可得，
又，，
可得，解得，
當(dāng)時(shí)，與方向相反，當(dāng)時(shí)，與方向相同.
故選：BD
3．已知點(diǎn)向量則（ ）
A．時(shí)與方向相同
B．時(shí)與方向相同
C．時(shí)與方向相反
D．時(shí)與方向相反
【答案】BD
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【詳解】可得
又
可得解得
當(dāng)時(shí)，，則，
所以與方向相反，
當(dāng)時(shí)，，，則，
與方向相同.
故選:BD.
4．如果是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．可以表示平面內(nèi)的所有向量
B．對(duì)于平面內(nèi)任一向量，使的實(shí)數(shù)對(duì)有無(wú)窮個(gè)
C．若向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得
D．若存在實(shí)數(shù)使得，則
【答案】AD
【分析】由平面向量基本定理可確定AD正確，B錯(cuò)誤；通過(guò)反例可說(shuō)明C錯(cuò)誤.
【詳解】是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，可以作為平面的一組基底；
對(duì)于A，由平面向量基本定理可知：可以表示平面內(nèi)的所有向量，A正確；
對(duì)于B，對(duì)于平面內(nèi)任意向量，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)，使得，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，與均為零向量，滿足兩向量共線，此時(shí)使得成立的有無(wú)數(shù)個(gè)，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由得：，又不共線，，即，D正確.
故選：AD.
5．已知平面內(nèi)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】若構(gòu)成的平行四邊形為，即為一條對(duì)角線，設(shè)，則由中點(diǎn)也是中點(diǎn)，利用線段的中點(diǎn)公式求得．
同理可求得，構(gòu)成以為對(duì)角線的平行四邊形，和以為對(duì)角線的平行四邊形，對(duì)應(yīng)的的坐標(biāo)．
【詳解】若構(gòu)成的平行四邊形為，即為一條對(duì)角線，
設(shè)，則由中點(diǎn)也是中點(diǎn)，可得，解得，
所以；
同理可得，若構(gòu)成以為對(duì)角線的平行四邊形，則；
以為對(duì)角線的平行四邊形，則；
所以第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為可以為：或或．
故選：ABC．
6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)的直線與E交于另一點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)P，則（ ）
A．B．
C．△的內(nèi)切圓半徑為D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)給定條件，求出焦點(diǎn)及下頂點(diǎn)坐標(biāo)，畫(huà)出圖形，再逐項(xiàng)分析計(jì)算、判斷作答.
【詳解】依題意，橢圓的焦點(diǎn)，下頂點(diǎn)，如圖，
對(duì)于A，，因此，A正確；
對(duì)于B，直線，由消去y得：，則點(diǎn)，
于是，B正確；
對(duì)于C，的周長(zhǎng)為，令其內(nèi)切圓半徑為，，
因此，解得，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，設(shè)點(diǎn)，則，而，即有，
因此，D正確.
故選：ABD
7．設(shè)，非零向量，，則（ ）.
A．若，則B．若，則
C．存在，使D．若，則
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)，驗(yàn)證即可；
B選項(xiàng)，驗(yàn)證；
C選項(xiàng)，由題可得，，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤；
D選項(xiàng)，由題可得，據(jù)此可判斷選項(xiàng)
【詳解】A選項(xiàng)，，
則，故A正確；
B選項(xiàng)，，則，
故，故B正確；
C選項(xiàng)，假設(shè)存在，使，則，，則可得
，故可得
，則假設(shè)不成立，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，因，則，又由題可得，則
，故D正確.
故選：ABD
8．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，則D．若，則
【答案】AB
【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示判斷A，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示判斷C，D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以或，D錯(cuò)誤；
故選：AB.
9．如圖，在中，是的三等分點(diǎn)，則（ ）
A．
B．若，則在上的投影向量為
C．若，則
D．若
【答案】AD
【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的性質(zhì)，結(jié)合投影向量的定義、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>由題意得為的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠點(diǎn)更近），所以在上的投影向量為，故B不正確；
對(duì)于C，，
，
故，
又，
所以，
故，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
而，
代入得，故選項(xiàng)D正確，
故選：AD
10．已知，則下列敘述正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．的最小值為5D．若向量與向量的夾角為鈍角，則
【答案】AD
【分析】由向量平行和垂直的坐標(biāo)表示可得AB正誤；利用向量模長(zhǎng)運(yùn)算可知，由二次函數(shù)性質(zhì)可求得，知C錯(cuò)誤；利用向量夾角為鈍角，則數(shù)量積必定小于0，可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，若，則，解得：，A正確；
對(duì)于B，若，則，解得：，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋?，則當(dāng)時(shí)，，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若向量與向量的夾角為鈍角，則，解得，由上可知，此時(shí)兩向量不共線，D正確.
故選：AD.
11．已知空間向量=（1，－1，2），則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．向量與向量=（2，2，－4）共線
C．向量關(guān)于x軸對(duì)稱的向量為（1，1，－2）
D．向量關(guān)于yOz平面對(duì)稱的向量為（－1，1，－2）
【答案】AC
【分析】根據(jù)空間向量的模、共線、對(duì)稱等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).
【詳解】，A選項(xiàng)正確.
，所以不共線，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
向量關(guān)于x軸對(duì)稱的向量，不變，和變?yōu)橄喾磾?shù)，
即向量關(guān)于x軸對(duì)稱的向量為，C選項(xiàng)正確.
向量關(guān)于yOz平面對(duì)稱的向量，和不變，變?yōu)橄喾磾?shù)，
即向量關(guān)于yOz平面對(duì)稱的向量為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC
易錯(cuò)點(diǎn)三：忽視數(shù)量積不滿足結(jié)合律（平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用）
1．平面向量的數(shù)量積
（1）平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個(gè)非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），
記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數(shù)量，當(dāng)為銳角時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)為直角時(shí)，它是0．
②的幾何意義：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上射影的乘積．
2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律
已知向量、、和實(shí)數(shù)，則：
①；
②；
③．
3．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)
設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當(dāng)與同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，．
特別地，或．
④．⑤．
4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
1．平面向量數(shù)量積的類型及求法：
（1）平面向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式．
（2）求較復(fù)雜的平面向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)．
2．平面向量數(shù)量積主要有兩個(gè)應(yīng)用：
（1）求夾角的大?。喝?，為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得（夾角公式），所以平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度的問(wèn)題．
（2）確定夾角的范圍：數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角．
3．向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法與步驟：
（1）向量與平面幾何綜合問(wèn)題的解法
①坐標(biāo)法
把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決．
②基向量法
適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來(lái)進(jìn)行求解．
（2）用向量解決平面幾何問(wèn)題的步驟
①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；
②通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；
③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．
4．利用向量求解三角函數(shù)問(wèn)題的一般思路：
（1）求三角函數(shù)值，一般利用已知條件將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式．利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解．
（2）求角時(shí)通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，先求值再求角．
（3）解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問(wèn)題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，即通過(guò)向量的相關(guān)運(yùn)算把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題．
（4）解三角形．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把向量垂直或共線轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程，在三角形中利用內(nèi)角和定理或正、余弦定理解決問(wèn)題．
5．用向量法解決實(shí)際問(wèn)題的步驟如下：
第一步：抽象出實(shí)際問(wèn)題中的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；
第二步：建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；
第三步：利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；
第四步：用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)求解問(wèn)題．
6．常見(jiàn)的向量表示形式：
（1）重心．若點(diǎn)G是的重心，則或 （其中P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)）．反之，若，則點(diǎn)G是的重心．
（2）垂心．若H是的垂心，則．反之，若，則點(diǎn)H是的垂心．
（3）內(nèi)心．若點(diǎn)I是的內(nèi)心，則．反之，若，則點(diǎn)I是的內(nèi)心．
（4）外心．若點(diǎn)O是的外心，則或．反之，若，則點(diǎn)是的外心．
題型：平面向量的模及其應(yīng)用的類型與解題策略：
（1）求向量的模．解決此類問(wèn)題應(yīng)注意模的計(jì)算公式，或坐標(biāo)公式的應(yīng)用，另外也可以運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算公式列方程求解．
（2）求模的最值或取值范圍．解決此類問(wèn)題通常有以下兩種方法：
①幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)合模的幾何意義求模的最值或取值范圍；②代數(shù)法：利用向量的數(shù)量積及運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為不等式或函數(shù)求模的最值或取值范圍．
（3）由向量的模求夾角．對(duì)于此類問(wèn)題的求解，其實(shí)質(zhì)是求向量模方法的逆運(yùn)用．
易錯(cuò)提醒：（1）平面向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)、可為零，且．
（2）當(dāng)時(shí)，由不能推出一定是零向量，這是因?yàn)槿我慌c垂直的非零向量都有．
當(dāng)時(shí)，且時(shí)，也不能推出一定有，當(dāng)是與垂直的非零向量，是另一與垂直的非零向量時(shí)，有，但．
（3）數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即，這是因?yàn)槭且粋€(gè)與共線的向量，而是一個(gè)與共線的向量，而與不一定共線，所以不一定等于，即凡有數(shù)量積的結(jié)合律形式的選項(xiàng)，一般都是錯(cuò)誤選項(xiàng)．
（4）非零向量夾角為銳角（或鈍角）．當(dāng)且僅當(dāng)且（或，且.
例 ．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．單位向量都相等
B．向量與是共線向量，則點(diǎn)A、B、C、D必在同一條直線上
C．兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向
D．已知向量，若與的夾角為銳角，則
【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，單位向量方向不同，則不相等，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，向量與是共線向量，也可能是，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，兩個(gè)非零向量，若，則與共線且反向，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，向量，若與的夾角為銳角，則且與不共線，故，解得且，故D錯(cuò)誤；故選：ABD
變式1．給出下列命題,其中正確的有（ ）
A．已知向量,則
B．若向量共線,則向量所在直線平行或重合
C．已知向量,則向量與任何向量都不構(gòu)成空間的一個(gè)基底
D．為空間四點(diǎn),若構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則共面
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,若,則,
故,故選項(xiàng)A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,根據(jù)向量共線的定義可得其成立,故選項(xiàng)B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)時(shí),若與不共面,
根據(jù)空間向量基本定理可知,可構(gòu)成空間的一個(gè)基底,故選項(xiàng)C不正確;
對(duì)于選項(xiàng)D,若構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則不共面,
故A,B,M,N不共面,故選項(xiàng)D不正確.故選:AB
變式2．設(shè)均為單位向量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)有恒成立，則（ ）
A．與的夾角為B．
C．的最小值為D．的最小值為
【詳解】對(duì)：設(shè)的夾角為，，
兩邊平方可得：，
即對(duì)任意的恒成立，
故可得：，即，
則，又，故，故錯(cuò)誤；
對(duì)：，故正確；
對(duì)：
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故錯(cuò)誤；
對(duì)：
，對(duì)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，
故的最小值為，故正確.故選：.
變式3．已知拋物線的焦點(diǎn)為，在拋物線上，延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，拋物線準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，則下列敘述正確的是（ ）
A． B．點(diǎn)的坐標(biāo)為
C． D．在軸上存在點(diǎn)，使得為鈍角
【詳解】由拋物線方程知：焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為；
對(duì)于A，在拋物線上，，，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，直線，
由得：或，又，，B正確；
對(duì)于C，，，，，C正確；
對(duì)于D，設(shè)，則，，
，不能為鈍角，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
1．如圖，在三棱柱中，M，N分別是，上的點(diǎn)，且，．設(shè)，，，若，，，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用向量的加減法則，以為基底可得，可得A錯(cuò)誤；由計(jì)算可得，可知B正確；分別表示出可得不為零，可得C錯(cuò)誤；利用C中結(jié)論，分別求出，即可得，即D正確.
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)題意可得，又，，
所以可得
，
即，可知A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由（1）知，所以
，
所以，即可知B正確；
對(duì)于C，易知，
此時(shí)
，所以與不垂直，即C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由選項(xiàng)C可得，且，即；
，即；
所以可得，即D正確.
故選：BD
2．設(shè)是任意的非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義與數(shù)量積的運(yùn)算律逐一判斷即可.
【詳解】由是任意的非零向量，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，表示與共線的向量，表示與共線的向量，
而不一定共線，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)榉橇阆蛄?，若，則，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：AB.
3．（多選）下列各命題中，正確的命題為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律以及數(shù)乘的運(yùn)算律，結(jié)合共線定理，可得答案.
【詳解】對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，根據(jù)向量數(shù)乘滿足交換律和結(jié)合律，可得B正確；
對(duì)于C，根據(jù)數(shù)量積滿足交換律，可得C正確；
對(duì)于D，當(dāng)，則向量與共線，當(dāng)時(shí)，則向量與共線，
而向量不一定共線，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
4．給出下列命題，其中正確的命題是（ ）
A．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線
B．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則、、、四點(diǎn)共面
C．兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線
D．已知向量，，則在上的投影向量為
【答案】BCD
【分析】利用線面位置關(guān)系與向量的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量共面的基本定理可判斷B選項(xiàng)；利用空間向量基底的概念可判斷C選項(xiàng)；利用投影向量的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線的方向向量為，平面的法向量為，
則，則，所以，或，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，
則，整理可得，
故、、、四點(diǎn)共面，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，三個(gè)不共面的向量可以成為空間的一個(gè)基底，
兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，已知向量，，
則在方向上的投影向量為，D對(duì).
故選：BCD.
5．設(shè)向量，，則下列敘述錯(cuò)誤的是( )
A．若時(shí)，則與的夾角為鈍角B．的最小值為
C．與共線的單位向量只有一個(gè)為D．若，則或
【答案】CD
【分析】利用向量的運(yùn)算的坐標(biāo)表示，判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】對(duì)于A，時(shí)，且不等于-1，所以與的夾角為鈍角，故A正確；
對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)不等式取等號(hào)，所以的最小值為 2，所以B正確；
對(duì)于C，與共線的單位向量為，即或，所以C不正確；
對(duì)于D，若，可得，解得或，所以D不正確；
故選：CD．
6．設(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】求得直線AB的方程，代入拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系求解可判斷CD；利用數(shù)量積的定義計(jì)算可判斷B；由拋物線的定義求解可判斷A．
【詳解】拋物線C的焦點(diǎn)為，所以直線AB的方程為，
將代入，整理得，
設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得，故D錯(cuò)誤；
，故C錯(cuò)誤；
，故B正確；
由拋物線的定義可得，故A正確.
故選：AB．
7．已知向量，其中均為正數(shù)，且，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．與的夾角為鈍角
B．向量在方向上的投影為
C．
D．的最大值為2
【答案】CD
【分析】通過(guò)求出，向量在方向上的投影，利用平行關(guān)系結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，均為正數(shù)，
，
A項(xiàng)，
∵，
∴與的夾角不為鈍角，A錯(cuò)誤；
B項(xiàng)，
∵，
∴向量在方向上的投影為，B錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，
∵，，
∴，即，C正確；
D項(xiàng)，
∵，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
∴的最大值為2，D正確；
故選：CD.
8．已知所在平面內(nèi)有三點(diǎn)O，N，P，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則點(diǎn)O是的外心
B．若，則點(diǎn)N是的重心
C．若，則點(diǎn)P是的垂心
D．若，且，則為直角三角形
【答案】ABC
【分析】根據(jù)三角形外心、重心和垂心的定義逐一用向量即可判斷A，B，C；用向量的數(shù)量積和運(yùn)算律即可判斷D．
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以點(diǎn)O到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以O(shè)為的外心，故A正確；
對(duì)于B，如圖所示，D為BC的中點(diǎn)，由，得，所以，所以N是的重心，故B正確；

對(duì)于C，由，得，即，所以，即.同理，，所以點(diǎn)P是的垂心，故C正確；
對(duì)于D，由，得角A的平分線垂直于BC，所以，
由，得，所以，所以為等邊三角形，故D錯(cuò)誤．
故選：ABC．
9．如圖，在平行六面體中，與交于點(diǎn)，且，，.則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由向量的分解和向量數(shù)量積公式、向量的求模公式即可判斷.
【詳解】如圖，
由題意得，，
，
，
，
對(duì)于選項(xiàng)A，
所以，即.
故選項(xiàng)A正確.
對(duì)于選項(xiàng)B，
故選項(xiàng)B正確.
對(duì)于選項(xiàng)C，
所以即
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.
對(duì)于選項(xiàng)D，
故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AB
10．(多選)下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若非零向量滿足，則與的夾角為30°
B．若，則的夾角為銳角
C．若，則ABC一定是直角三角形
D．ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若=2，且||=||，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，由向量減法法則和向量能組成一個(gè)等邊三角形判斷；，對(duì)于B，由是判斷；對(duì)于C，由，化簡(jiǎn)得到=0判斷；對(duì)于D，由 =2，得到AOC為等邊三角形，再利用投影的定義判斷.
【詳解】對(duì)于A，由向量減法法則及題意知，向量可以組成一個(gè)等邊三角形，向量的夾角為60°，又由向量加法的平行四邊形法則知，以為鄰邊的平行四邊形為菱形，所以與的夾角為30°，故正確.
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)不成立，故錯(cuò)誤.
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>所以·()-，所以=0，即，
所以ABC是直角三角形，故正確.
對(duì)于D，如圖，
，
其中四邊形ABDC為平行四邊形，因?yàn)?2，所以O(shè)為AD，BC的交點(diǎn)，
又||=||=||，所以AOC為等邊三角形，
所以∠ACB=60°，且BC為外接圓的直徑，所以∠ABC=30°.在直角三角形ABC中，BC=2，AC=1，
所以AB=，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為||cs∠ABC=，故正確.
故選：ACD.
11．下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的垂心
B．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的外心
C．在四邊形中，若，則四邊形為菱形
D．若是內(nèi)一點(diǎn)，且，則為的內(nèi)心
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意得到，得出為垂心，判定A正確；
化簡(jiǎn)得到，得到，得出為三角形的外心，判定B正確；
由，得到為平行四邊形，結(jié)合，得到對(duì)角線垂直，可判定C正確；
設(shè)中點(diǎn)為，得到，得出為的重心，判定D不正確.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
則，所以是三條高線的交點(diǎn)，為垂心，所以A正確；
若，
即，
即，
所以，即，所以為三角形的外心，所以B正確；
若四邊形中，，即，則四邊形為平行四邊形，
又由，所以，則平行四邊形的對(duì)角線垂直，
所以四邊形為菱形，所以C正確；
如圖所示，因?yàn)椋?br>又由是以為鄰邊的平行四邊形對(duì)角線且過(guò)中點(diǎn)，
設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，即，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，則為的重心，所以D不正確.
故選：ABC.
運(yùn)算
定義
法則（或幾何意義）
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算
三角形法則平行四邊形法則
①交換律
②結(jié)合律
減法
求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差
三角形法則
數(shù)乘
求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算
（1）
（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；
當(dāng)時(shí)，
結(jié)論
幾何表示
坐標(biāo)表示
模
數(shù)量積
夾角
的充要
條件
的充要
條件
與
的關(guān)系
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

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