函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題一直是高考命題的熱點(diǎn),此類問題一般會把函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及不等式交匯考查,對能力要求比較高,難度也比較大,常見的題型是由不等式恒成立確定參數(shù)范圍問題,常見處理方法有：①首先要構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍．②也可分離變量,構(gòu)造函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
二、解題秘籍
(一) 與不等式恒成立問題有關(guān)的結(jié)論
= 1 \* GB3 ①. ?x∈D,均有f(x)>A恒成立,則f(x)min>A；
= 2 \* GB3 ②. ?x∈D,均有f(x)﹤A恒成立,則 f(x)maxg(x)恒成立,則F(x)= f(x)- g(x) >0,∴ F(x)min >0；
= 4 \* GB3 ④. ?x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立,則F(x)= f(x)- g(x) g(x)max；
= 6 \* GB3 ⑥. ?x1∈D, ?x2∈E,均有f(x1) 0恒成立,即對x>0恒成立.
令,所以,
.令,,
則恒成立,所以G(x)在（0,＋∞）上單調(diào)遞增.
由于G(1)=e>0,,所以使得,
即,（※）
所以當(dāng)時(shí),G(x)0,
即F(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,
由（※）式可知,,,
令,,又x>0,所以,即s(x)在（0,+∞）上為增函數(shù),所以,即,所以,
所以
所以,實(shí)數(shù)m的取值范圍為（－∞,1].
三、典例展示
【例1】（2023屆山東省淄博市實(shí)驗(yàn)中學(xué)、齊盛高中高三上學(xué)期考試）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）解：由題意可得，，故，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，令，解得；由，解得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．
（2）解：由題意得，只需成立．
因?yàn)椋?，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在上遞減，遞增，且
所以，故，即在上單調(diào)遞增，
所以在上遞增，所以．
由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減．
①當(dāng)即時(shí)，在上遞減，，
所以，所以；
②當(dāng)即時(shí)，在遞增，，
所以，所以；
③當(dāng)即時(shí)，在上遞增，在上遞減，
可得，
又因?yàn)?br>當(dāng)時(shí)，，所以，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以，所以，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【例2】（2024屆百師聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的最小值.
【解析】（1）由題當(dāng)時(shí)，，
，，，
所以切線方程為，化簡得，
即曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
（2）由可得，
令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，
又，，
則存在，使得，即，
取對數(shù)得，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
，
在上單調(diào)遞增，則，
又對任意恒成立，，
所以，即的最小值為-3.
【例3】（2024屆浙江省名校協(xié)作體高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）由于，
由題知有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．
令，則，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時(shí)，，時(shí)，，，故的圖象如圖所示，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)且．則或，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為．
故有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（2）由于
若設(shè)，則上式即為
由（1）可得，兩式相除得，即，
由得
所以，令，
則在恒成立，由于，
令，則，，
顯然在遞增，
又有，所以存在使得，
且易得在遞減，遞增，又有，
所以存在使得，且易得在遞減，遞增，
又，則時(shí)，時(shí)，，所以易得在上遞減，在上遞增，則，
所以的取值范圍為．
【例4】（2023屆河南省鄭州外國語學(xué)校高三下學(xué)期4月月考）已知函數(shù)．（a，b為實(shí)數(shù)）
(1)當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)的圖象的切線方程；
(2)設(shè)，若恒成立，求b的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)?，則，
所以，設(shè)切線與圖象切于點(diǎn)，
則切線方程為，
令， 則， 即，
所以切線方程為.
（2）由，
令， 則，故，
下面證明：時(shí)符合題意.
當(dāng)時(shí)，，
以下證明：，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
令，則，
令，可得；
令，可得，
于是在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
于是，
所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，
綜上，實(shí)數(shù)b的取值范圍．
四、跟蹤檢測
1．（2024屆湖北省隨州市曾都區(qū)高三上學(xué)期測試）已知函數(shù)（）圖象在點(diǎn)處的切線與直線垂直．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若存在，使得恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值．
2．（2023屆黑龍江省雞西市密山市高三上學(xué)期第三次月考）已知函數(shù)．
(1)若是的極值點(diǎn)，求的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
3．（2024屆陜西省西安市部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)，且.
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若關(guān)于的不等式恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
4．（2023屆安徽省臨泉第一中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考）設(shè)函數(shù)，已知直線是曲線的一條切線．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
5．（2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市高三上學(xué)期檢測）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)求函數(shù)在處的切線方程；
(2)若恒成立，求證：實(shí)數(shù).
6．（2024屆福建省莆田市第一中學(xué)高三上學(xué)期期初考試）已知函數(shù)，.
(1)若不等式的解集為，求不等式的解集；
(2)若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
7．（2023屆河南省部分名校高三二模）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，若對于任意的，總存在，使得，求的取值范圍.
8．（2024屆江西省贛州市第四中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）設(shè)m為實(shí)數(shù)，函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，直線是曲線的切線，求的最小值；
(2)已函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，（），若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍.
9．（2024屆四川省廣安友誼中學(xué)高三上學(xué)期9月月考）已知函數(shù).
(1)若是的極值點(diǎn)，求的值；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)若恒成立，求a的取值范圍；
10．（2024屆內(nèi)蒙古呼和浩特市高三第一次質(zhì)量監(jiān)測）已知函數(shù)，其中，且．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，過函數(shù)圖象對稱中心C的直線與圖象交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)C），分別以A，B兩點(diǎn)為切點(diǎn)作的切線，記切線的斜率分別為，，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．2
0
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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