【專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題03 平面與平面所成角（二面角）（題型訓(xùn)練）.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc9526" 一、必備秘籍 PAGEREF _Tc9526 \h 1
\l "_Tc22558" 二、典型題型 PAGEREF _Tc22558 \h 2
\l "_Tc25514" 題型一：求二面角 PAGEREF _Tc25514 \h 2
\l "_Tc11626" 題型二：已知二面角求參數(shù) PAGEREF _Tc11626 \h 4
\l "_Tc16244" 題型三：求二面角最值（范圍） PAGEREF _Tc16244 \h 7
\l "_Tc24106" 三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 PAGEREF _Tc24106 \h 9
一、必備秘籍
1、二面角的平面角定義：從二面角棱上任取一點(diǎn)，在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)分別作
棱的垂線(xiàn)、,則稱(chēng)為二面角的平面角.
2、二面角的范圍：
3、向量法求二面角平面角
（1）如圖①，，是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱垂直的直線(xiàn)，則二面角的大?。?br>（2）如圖②③，，分別是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，則二面角的大小滿(mǎn)足：
；（特別說(shuō)明，有些題目會(huì)提醒求銳二面角；有些題目沒(méi)有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）
二、典型題型
題型一：求二面角
1．（22·23下·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直四棱柱的底面是正方形，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)求二面角的正弦值.
2．（2023·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱的體積為，的面積為．

(1)求到平面的距離；
(2)設(shè)為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的大?。?br>3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，為邊上的點(diǎn)，且.將沿翻折，使得點(diǎn)到，滿(mǎn)足平面平面，連接.

(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的正弦值的大小.
4．（2023·河北滄州·三模）如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成.在同一平面內(nèi)，且.

(1)證明：平面平面；
(2)若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.
5．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·三模）如圖所示，為等邊三角形，平面，，，，為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，證明：．
(2)若，求二面角的余弦值．
題型二：已知二面角求參數(shù)
1．（2023·四川南充·三模）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是菱形，，，平面.

(1)證明：BDCC1；
(2)棱上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
2．（2023·吉林長(zhǎng)春·一模）長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；
(2)點(diǎn)在線(xiàn)段上，當(dāng)二面角大小為時(shí)，求四棱錐的體積．
3．（2023·福建寧德·一模）如圖①在平行四邊形中，，，，，將沿折起，使平面平面，得到圖②所示幾何體．
(1)若為的中點(diǎn)，求四棱錐的體積；
(2)在線(xiàn)段上，是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為，如果存在，求出的值，如果不存在，說(shuō)明理由．
4．（2023·江西九江·一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；
(2)為線(xiàn)段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），若二面角的余弦值為，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．
5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，且.

(1)證明：垂直于底面.
(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)，使二面角為時(shí)，求二面角的余弦值.
題型三：求二面角最值（范圍）
1．（23·24高二上·山東·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，點(diǎn)是線(xiàn)段上的點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的點(diǎn)，且.

(1)證明：直線(xiàn)平面：
(2)求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.
2．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，.點(diǎn)、、、分別在棱、、、上，，，.

(1)證明：四點(diǎn)共面
(2)當(dāng)點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)（包括端點(diǎn)），求平面與平面夾角余弦值的的取值范圍.
3．（23·24高二上·湖北恩施·階段練習(xí)）如圖（1），在矩形中，，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，將沿直線(xiàn)AE折起，使得，如圖（2）.
(1)求證：平面平面；
(2)已知點(diǎn)H在線(xiàn)段AB上移動(dòng)，設(shè)平面ADE與平面DHC所成的角為，求的取值范圍.
4．（23·24高二上·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線(xiàn)段?的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)若點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求銳二面角的余弦值的取值范圍.
三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
1．（23·24高二上·北京房山·階段練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中，，，則平面與平面所成銳二面角的正切值為（）
A．B．C．D．
2．（23·24高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖所示，是棱長(zhǎng)為6的正方體，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，平面與平面所成夾角的余弦值為（）

A．B．C．D．
3．（23·24高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，，，E，F(xiàn)分別是側(cè)棱，上的動(dòng)點(diǎn)，且平面AEF與平面ABC所成角的大小為，則線(xiàn)段BE的長(zhǎng)的最大值為（）

A．B．C．D．
4．（21·22高二·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（）
A．B．C．D．
5．（20·21高一下·湖北·階段練習(xí)）在正三棱柱中，，點(diǎn)D為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)E為上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，當(dāng)二面角的正切值為時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為（）
A．B．1C．2D．3
二、填空題
6．（21·22高二上·福建·期末）已知在一個(gè)二面角的棱上有兩點(diǎn)，線(xiàn)段分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，則這個(gè)二面角的大小為 .
7．（23·24高二上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，已知菱形所在的平面與所在的平面互相垂直，且．則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

8．（22·23高二上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，兩兩互相垂直，，，分別是側(cè)棱，上的點(diǎn)，平面與平面所成的（銳）二面角為，則當(dāng)最小時(shí) ．

9．（23·24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，點(diǎn)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，當(dāng)二面角的平面角的大小為時(shí)，．

三、解答題
10．（23·24高三上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，平面底面，，，，．

(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
11．（2023·新疆·三模）如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長(zhǎng)為，AB為圓O的直徑．

(1)在弧上是否存在點(diǎn)C（C，在平面同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說(shuō)明理由；
(2)求二面角的余弦值．
12．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱錐中，，，，平面平面.

(1)求三棱錐的體積的最大值；
(2)求二面角的正弦值的最小值.
13．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知直角梯形形狀如下，其中，，，．

(1)在線(xiàn)段CD上找出點(diǎn)F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無(wú)論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺(tái)，請(qǐng)指出點(diǎn)F的具體位置（無(wú)需給出證明過(guò)程）．
(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺(tái)的體積，并求出此時(shí)二面角的余弦值．
14．（22·23高一上·吉林·階段練習(xí)）如圖①所示，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，，得到圖②的四棱錐．
(1)求四棱錐的體積的最大值；
(2)設(shè)的大小為，若，求平面和平面夾角余弦值的最小值．
15．（22·23下·信陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，，四邊形為矩形，且平面，.

(1)求證：平面；
(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的平面角為，且滿(mǎn)足.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求出的長(zhǎng)度.
16．（23·24上·山東·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四棱錐中，底面，，，，點(diǎn)E在平面上運(yùn)動(dòng)．

(1)試確定一點(diǎn)E，使得平面，并說(shuō)明點(diǎn)E的位置；
(2)若四棱錐的體積為6，在側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)F，使得二面角的余弦值為．若存在，求的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
17．（23·24上·湖北·開(kāi)學(xué)考試）如圖所示，在三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的菱形，；側(cè)面為矩形，，且平面平面.

(1)求證：；
(2)設(shè)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使二面角的余弦值為.

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