TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc4501" 一、必備秘籍 PAGEREF _Tc4501 \h 1
\l "_Tc29664" 二、典型題型 PAGEREF _Tc29664 \h 2
\l "_Tc32732" 題型一：等差型 PAGEREF _Tc32732 \h 2
\l "_Tc5178" 題型二：無(wú)理型 PAGEREF _Tc5178 \h 5
\l "_Tc31580" 題型三：指數(shù)型 PAGEREF _Tc31580 \h 8
\l "_Tc12724" 題型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型 PAGEREF _Tc12724 \h 11
\l "_Tc547" 三、專(zhuān)題06 數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 PAGEREF _Tc547 \h 13
一、必備秘籍
常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧
類(lèi)型一：等差型
= 1 \* GB3 ①
特別注意
②
如：（尤其要注意不能丟前邊的）
類(lèi)型二：無(wú)理型
= 1 \* GB3 ①
如：
類(lèi)型三：指數(shù)型
①
如：
類(lèi)型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型
如：①
②
本類(lèi)模型典型標(biāo)志在通項(xiàng)中含有乘以一個(gè)分式.
二、典型題型
題型一：等差型
例題1．（2023秋·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
例題2．（2023秋·甘肅白銀·高二校考階段練習(xí)）在①，，②這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題．
(1)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，______，求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
例題3．（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.
(1)判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列？若是，給出證明；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)若數(shù)列的前10項(xiàng)和為361，記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
例題4．（2023秋·陜西商洛·高三陜西省山陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）記遞增的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且．
(1)求和；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
題型二：無(wú)理型
例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)當(dāng)數(shù)列的公差不為0時(shí)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.
例題2．（2023秋·廣東·高三河源市河源中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求不等式的解集．
例題3．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前99項(xiàng)和.
例題4．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．
題型三：指數(shù)型
例題1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．
例題2．（2023秋·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
例題3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
例題4．（2023·廣西南寧·南寧市武鳴區(qū)武鳴高級(jí)中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列滿足（且），且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.
題型四：通項(xiàng)裂項(xiàng)為“”型
例題1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
例題2．（2023春·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
例題3．（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
(2)令，求的前n項(xiàng)和.
例題4．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
三、專(zhuān)題06 數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
一、單選題
1．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列中，，數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，則滿足的n的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)．用他名字定義的函數(shù)稱(chēng)為高斯函數(shù)，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，令，則（ ）
A．7B．8C．17D．18
4．（2023春·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·江蘇常州·高三校考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列若，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）等差數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，首項(xiàng)與公差相等，，則的值為（ ）
A．9069B．9079C．9089D．9099
7．（2023秋·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）記數(shù)列前項(xiàng)和為，若1，，成等差數(shù)列，且數(shù)列的前項(xiàng)和對(duì)任意的都有恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
8．（2023春·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和滿足，，且，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．D．
9．（2023春·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列滿足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立.則實(shí)數(shù)的可能取值為（ ）
A．4B．3C．2D．1
三、填空題
10．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和 .
11．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和 .
12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，則 ．
四、解答題
13．（2023春·陜西西安·高二?？计谥校┰O(shè)數(shù)列滿足，.
(1)計(jì)算，，猜想的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.
14．（2023春·山東德州·高二德州市第一中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，且滿足，，．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
15．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
16．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的乘積，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求證：.
17．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．

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