題型03 最值問題之胡不歸-2023年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題最后沖刺之最值問題（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不歸?”(“胡”同“何”)而如果先沿著驛道AP先走一段，再走砂石地，會(huì)不會(huì)更早到家?
【模型】
由于在驛道和沙礫地帶行走的速度不一樣，那么，小伙子有沒有可能先在驛道上走一段路程后，再走沙礫地帶，雖然多走了路，但反而總時(shí)間更短呢？如果存在這種可能，那么要在驛道上行走多遠(yuǎn)才最省時(shí)？
【模型建立】
如圖，一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1＜V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線MN上，確定點(diǎn)P的位置使APV2+BPV1的值最小
【問題分析】
APV2+BPV1=1V1BP+V1V2AP，記k=V1V2，即求BP+k·AP的最小值
【問題解決】
構(gòu)造射線AD使得sin∠HAN＝k，PHAP=k，PH＝k·AP將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)P，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BP+PH取到最小值，即BP+k·AP最小.

胡不歸型問題：
當(dāng)k≠1且k為正數(shù)時(shí)，若點(diǎn)P在某條直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)所求的最短路徑問題稱之為“胡不歸”問題．那么對(duì)于當(dāng)“PA + k·PB”的值最小時(shí)，點(diǎn)P的位置如何確定呢?
【問題解決】求形如“PA+ k·PB”的最值問題.
構(gòu)造射線BD，使，即
將問題轉(zhuǎn)化為求PA十PH的最小值，
過A點(diǎn)作AH⊥BD交MN于點(diǎn)P，交BD于點(diǎn)H，
此時(shí)PA+PH取到最小值，
即PA十k·PB的值最小
【模型總結(jié)】
在求形如“PA+kPB＂的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型.而這里的PB必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPB的等線段.

胡不歸【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】
1、動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線，且求帶系數(shù)的線段和最值問題
2、解法：
(1)判系數(shù)：提大不提小
(2)用正弦：系數(shù)邊為斜邊
哪條線段帶系數(shù)，就以它為邊，構(gòu)造直角三角形，使得其中一個(gè)銳角的三角函數(shù)值與系數(shù)相等
(3)作垂線：垂線段最短
3、(1)題型特點(diǎn)：出現(xiàn)“PA±kPB”形式的線段和差最值題型，且動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)。
(2)解題思路：緊盯“k”的數(shù)學(xué)特點(diǎn)，利用特殊角的邊角關(guān)系、或構(gòu)造“共角模型”的相似三角形，尋找到一條與“kPB”相似的線段，把“PA±kPB”結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化成“將軍飲馬問題”的“PA+CD”結(jié)構(gòu)，利用“將軍飲馬問題”的“化曲為直”的思路解題。
【找模型】直線上一定點(diǎn)B，一動(dòng)點(diǎn)P，A為直線外一點(diǎn)，求PA±kPB的最小值，考慮胡不歸。
【用模型】在定點(diǎn)B的異側(cè)構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)將含系數(shù)的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，再根據(jù)垂線段最短化折為直，從而得到線段和最小值，最后運(yùn)用銳角三角函數(shù)求解即可。
特別說明：
胡不歸問題和阿氏圓問題有極大相似之處都設(shè)計(jì)帶系數(shù)的線段和的最小值。區(qū)別是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡：
阿氏圓是動(dòng)點(diǎn)在圓上，是利用子母型相似轉(zhuǎn)化帶系數(shù)的線段；
胡不歸是動(dòng)點(diǎn)在直線上，是利用正弦函數(shù)來轉(zhuǎn)化帶系數(shù)線段(由系數(shù)聯(lián)想到某特殊角的正弦)。雖然構(gòu)造方式不同，但思路相同：兩定點(diǎn)處于動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，通過三點(diǎn)共線解決最短問題。
針對(duì)訓(xùn)練
一、單選題
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，連接PD，則的最小值是（）
A．4B．C．D．
2．如圖，在中，，，，若是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值（）
A．B．C．D．
3．如圖，在中，，若D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）
A．6B．8C．10D．12
4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（）
A．4B．2＋2C．2D．
5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則的最小值為（）
A．B．C．D．
二、填空題
6．如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________．
7．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則AM+BM的最小值為_____．
8．如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接CE，則AE＋CE的最小值為___．
9．如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0，1）在y軸上，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則PC＋PB的最小值為_______．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則的最小值是______．
11．如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點(diǎn)，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)不含端點(diǎn)，則的最小值為______．
12．如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為______．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．
14．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為________．
15．如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半徑為5的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，CE是圓O的切線，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則ODCD的最小值為 _____．
三、解答題
16．拋物線分別交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)線段MN，NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫出你的理由；
(3)在M，N移動(dòng)的過程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫出理由．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．
①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；
②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．
18．已知，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD上的兩點(diǎn)，連接BE、CF，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接DG，H為CF上一點(diǎn)，連接BH、DH，
(1)如圖1，若H為CF的中點(diǎn)，且，，求線段AB的長(zhǎng)；
(2)如圖2，若，過點(diǎn)B作于點(diǎn)I，求證：；
(3)如圖2，在（1）的條件下，P為線段AD（包含端點(diǎn)A、D）上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，將沿BC翻折得，N為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN，當(dāng)面積最大時(shí)，直接寫出的最小值．
19．在平面直角坐標(biāo)系，，直線經(jīng)過，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求最小值．
20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x＋和直線l2：y＝﹣x＋b相交于y軸上的點(diǎn)B，且分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C．
（1）求△ABC的面積；
（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)F為直線l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)EF＋CF最小時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出此時(shí)PF＋OP的最小值．
21．如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，BE＝BF＝，連接AE，CF．
(1)求證：△ABE≌△CBF．
(2)如圖2，連接DE，當(dāng)DE＝BE時(shí)，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面積）
(3)如圖3，當(dāng)Rt△BEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部，且線段AE與線段CF存在交點(diǎn)G時(shí)，若M是CD的中點(diǎn)，P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足MP+PG的值最小時(shí)，求MP的值．
22．如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．
(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；
(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA+PC的值最??？求此時(shí)PA+PC的長(zhǎng)度．
(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求∠QAC的正弦值．
23．如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)（），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．
(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：
(2)設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為，△AEN的周長(zhǎng)為，若求m的值．
(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接、，求的最小值．
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x＋2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸是x＝－且經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
(1)求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，求AP＋2PC的最小值；
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
25．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)連接AC，點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上（不與A、C重合）的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC交AC于點(diǎn)D，PE⊥x軸交AC于點(diǎn)E，求PD+DE的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，將原拋物線沿射線CB方向平移3個(gè)單位得到新拋物線y'，點(diǎn)M為新拋物線y'對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在新拋物線y'上是否存在一點(diǎn)N，使以點(diǎn)C、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并選擇一個(gè)你喜歡的點(diǎn)寫出求解過程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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