概率統(tǒng)計是是高考數(shù)學(xué)的熱點之一，概率統(tǒng)計大題是新高考卷及多省市高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容?；仡櫧鼛啄甑母呖荚囶}，主要考查古典概型、相互獨立事件、條件概率、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布、統(tǒng)計圖表與數(shù)字特征、回歸分析、離散型隨機變量的分布列、期望與方差等內(nèi)容，多與社會實際緊密結(jié)合，以現(xiàn)實生活為背景設(shè)置試題，注重知識的綜合應(yīng)用與實際應(yīng)用。重點考察考生讀取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的能力。
題型一：離散型隨機變量及其分布列
（2023·廣東肇慶·高三廣東肇慶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，榮造良好的文化氛圍，某高中校團委組織非畢業(yè)年級開展了“我們的元宵節(jié)”主題知識競答活動，該活動有個人賽和團體賽，每人只能參加其中的一項，根據(jù)各位學(xué)生答題情況，獲獎學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計如下：
（1）從獲獎學(xué)生中隨機抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎，求抽到的學(xué)生來自高一的概率；
（2）從高一和高二獲獎?wù)咧懈麟S機抽取1人，以表示這2人中團體賽獲獎的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
1．（2024·四川成都·成都七中模擬預(yù)測）甲、乙兩人進行羽毛球比賽，比賽采取七局四勝制．已知甲每局比賽獲勝的概率為，輸?shù)舻母怕蕿?，每局的比賽結(jié)果互不影響．
（1）求甲最終獲勝的概率；
（2）記總共的比賽局數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
2．（2024·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）設(shè)有甲、乙、丙三個不透明的箱子，每個箱中裝有除顏色外都相同的4個球，其中甲箱有2個藍球和2個黑球，乙箱有3個紅球和1個白球，丙箱有2個紅球和2個白球.摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出2個球，若從甲箱中摸出的2個球顏色相同，則從乙箱中摸出1個球放入丙箱，再從丙箱中一次摸出2個球；若從甲箱中摸出的2個球顏色不同，則從丙箱中摸出1個球放入乙箱，再從乙箱中一次摸出2個球.
（1）若最后摸出的2個球顏色不同，求這2個球是從丙箱中摸出的概率；
（2）若摸出每個紅球記2分，每個白球記1分，用隨機變量表示最后摸出的2個球的分數(shù)之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
題型二：超幾何分布與二項分布
（2024·廣東廣州·廣州市培正中學(xué)?？级＃┠承８叨?）班的元旦聯(lián)歡會設(shè)計了一項抽獎游戲：準備了張相同的卡片，其中只在張卡片上印有“獎”字.
（1）采取放回抽樣方式，從中依次抽取張卡片，求抽到印有“獎”字卡片張數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；
（2）采取不放回抽樣方式，從中依次抽取張卡片，求第一次抽到印有“獎”字卡片的條件下，第三次抽到未印有“獎”字卡片的概率.
1．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“男男女女向前沖”是一項熱播的闖關(guān)類電視節(jié)目．該節(jié)目一共設(shè)置了四關(guān)，由以往的數(shù)據(jù)得，男生闖過一至四關(guān)的概率依次是，女生闖過一至四關(guān)的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小組前往參加闖關(guān)挑戰(zhàn)（個人賽）．
（1）求甲闖過四關(guān)的概率；
（2）設(shè)隨機變量為該四人小組闖過四關(guān)的人數(shù)，求．
2．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）臨近新年，某水果店購入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進行質(zhì)量檢查.
（1）應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?
（2）若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機抽出4箱送有關(guān)部門檢測.
①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.
題型三：均值與方差的實際應(yīng)用
（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）某公司是一家集無人機特種裝備的研發(fā)、制造與技術(shù)服務(wù)的綜合型科技創(chuàng)新企業(yè).該公司生產(chǎn)的甲、乙兩種類型無人運輸機性能都比較出色，但操控水平需要十分嫻熟，才能發(fā)揮更大的作用.已知在單位時間內(nèi)，甲、乙兩種類型無人運輸機操作成功的概率分別為和，假設(shè)每次操作能否成功相互獨立.
（1）隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，求選中的無人運輸機操作成功的概率；
（2）操作員連續(xù)進行兩次無人機的操作有兩種方案：
方案一：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，若初次操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若初次操作不成功，則第二次使用另一類型進行操作；
方案二：在初次操作時，隨機選擇兩種無人運輸機中的一種，無論初次操作是否成功，第二次均使用初次所選擇的無人運輸機進行操作.
假定方案選擇及操作不相互影響，試比較這兩種方案的操作成功的次數(shù)的期望值.
1．（2024·山西呂梁·統(tǒng)考一模）呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進行3輪比賽，每輪比賽結(jié)果互不影響．比賽規(guī)則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規(guī)定的時間和范圍內(nèi)，制作中式面點和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評委認可，將獲得一張通關(guān)卡，3輪比賽中，至少獲得2張通關(guān)卡的選手將進入決賽．為能進入決賽，小李賽前在師傅的指導(dǎo)下多次進行訓(xùn)練，師傅從小李訓(xùn)練中所做的菜品中隨機抽取了中式面點和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點和2道中式熱菜得到認可．
（1）若從小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中，隨機抽取中式面點、中式熱菜各2道，由此來估計小李在一輪比賽中的通關(guān)情況，試預(yù)測小李在一輪比賽中通關(guān)的概率；
（2）若以小李訓(xùn)練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認可的頻率作為該類菜品被評委認可的概率，經(jīng)師傅對小李進行強化訓(xùn)練后，每道中式面點被評委認可的概率不變，每道中式熱菜被評委認可的概率增加了，以獲得通關(guān)卡次數(shù)的期望作為判斷依據(jù)，試預(yù)測小李能否進入決賽？
2．（2024·廣東深圳·高三紅嶺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從2023年起，云南省高考數(shù)學(xué)試卷中增加了多項選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學(xué)生獨立解題.
（1）假設(shè)每道題甲全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為；乙全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；
（2）對于第12題，甲同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學(xué)只能正確地判斷出其中的一個選項是不符合題意的，作答時，應(yīng)選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.
題型四：正態(tài)分布與標準正態(tài)分布
（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考期末）已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.
（1）若從公司銷售的牛肉干中隨機選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；
（2）若從公司銷售的牛肉干中隨機選?。檎麛?shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.
1．（2024·江蘇常州·高三統(tǒng)考期末）某制造商生產(chǎn)的5000根金屬棒的長度近似服從正態(tài)分布，其中恰有114根金屬棒長度不小于6.04．
（1）求；
（2）如果允許制造商生產(chǎn)這種金屬棒的長度范圍是（5.95，6.05），那么這批金屬棒中不合格的金屬棒約有多少根？
說明：對任何一個正態(tài)分布來說，通過轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布，從而查標準正態(tài)分布表得到．
可供查閱的（部分）標準正態(tài)分布表
2．（2024·全國·一模）正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機變量的概率分布．對于一個給定的連續(xù)型隨機變量，定義其累積分布函數(shù)為．已知某系統(tǒng)由一個電源和并聯(lián)的，，三個元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運行，電源及各元件之間工作相互獨立．
（1）已知電源電壓（單位：）服從正態(tài)分布，且的累積分布函數(shù)為，求；
（2）在數(shù)理統(tǒng)計中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時間間隔或等待時間．已知隨機變量（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.
（?。┰O(shè)，證明：；
（ⅱ）若第天元件發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運行的概率．
附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．
題型五：線性回歸與非線性回歸
（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）隨著科技發(fā)展的日新月異，人工智能融入了各個行業(yè)，促進了社會的快速發(fā)展．其中利用人工智能生成的虛擬角色因為擁有更低的人工成本，正逐步取代傳統(tǒng)的真人直播帶貨．某公司使用虛擬角色直播帶貨銷售金額得到逐步提升，以下為該公司自2023年8月使用虛擬角色直播帶貨后的銷售金額情況統(tǒng)計．
若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，回答如下問題：
（1）試求變量與的樣本相關(guān)系數(shù)（結(jié)果精確到0.01）；
（2）試求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2024年2月份該公司的銷售金額．
附：經(jīng)驗回歸方程，其中，，
樣本相關(guān)系數(shù)；
參考數(shù)據(jù)：，．
1．（2024·四川巴中·統(tǒng)考一模）下圖是某市2016年至2022年生活垃圾無害化處理量y（單位：萬噸）與年份t的散點圖.
（1）根據(jù)散點圖推斷變量y與t是否線性相關(guān)，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；
（2）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2024年該市生活垃圾無害化處理量.
參考數(shù)據(jù)：
，，，.
參考公式：，；相關(guān)系數(shù).
2．（2024·重慶·高三重慶一中校考開學(xué)考試）當前，人工智能技術(shù)以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認為是推動未來社會發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段．某公司在這個領(lǐng)域逐年加大投入，以下是近年來該公司對產(chǎn)品研發(fā)年投入額（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表．
（1）公司擬分別用①和②兩種方案作為年銷售量關(guān)于年投入額的回歸分析模型，請根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經(jīng)驗回歸方程；（計算過程保留到小數(shù)點后兩位，最后結(jié)果保留到小數(shù)點后一位）
（2）根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)（只需比較出大?。┍容^兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合精度更高的模型，預(yù)測年投入額為百萬元時，產(chǎn)品的銷售量是多少?
參考公式及數(shù)據(jù)：，，，，，，，， ．
題型六：獨立性檢驗及應(yīng)用
（2024·四川內(nèi)江·高三威遠中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）2023年12月25日，由科技日報社主辦，部分兩院院士和媒體人共同評選出的2023年國內(nèi)十大科技新聞揭曉．某高校一學(xué)生社團隨機調(diào)查了本校100名學(xué)生對這十大科技的了解情況，按照性別和了解情況分組，得到如下列聯(lián)表：
（1）判斷是否有95%的把握認為對這十大科技的了解存在性別差異；
（2）若把這100名學(xué)生按照性別進行分層隨機抽樣，從中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，則這2人中至少有1人為女生的概率．
附：
①，其中；
②當時有95%的把握認為兩變量有關(guān)聯(lián)．
1．（2024·河北張家口·高三尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）為了研究體育鍛煉對某年齡段的人患某種慢性病的影響，某人隨機走訪了個該年齡段的人，得到的數(shù)據(jù)如下：
（1）定義分類變量、如下：，，以頻率估計概率，求條件概率與的值；
（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析經(jīng)常進行體育鍛煉是否對患該種慢性病有影響．
附：
2．（2022·河南·高三專題練習(xí)）為了答謝全國人民的真情關(guān)愛，湖北省舉辦“與愛同行，惠游湖北”活動．從2020年8月8日開始，全省近400家A級旅游景區(qū)對全國游客免門票開放，活動將一直持續(xù)到年底．在“十一”黃金周期間，武漢黃鶴樓景區(qū)迎來了大批游客，同時也帶動了當?shù)芈糜谓?jīng)濟的發(fā)展．某機構(gòu)隨機調(diào)查了黃金周期間的180名游客的旅游消費情況，整理數(shù)據(jù)，得到如下表格：
（1）估計“十一”黃金周期間，游客的旅游消費不少于300元的概率（保留兩位小數(shù)）；
（2）估計“十一”黃金周期間，游客的旅游消費金額的平均值（保留兩位小數(shù)）（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為游客的旅游消費金額少于300元與年齡有關(guān)？
附：，．
題型七：條件概率/全概率公式/貝葉斯公式
（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）一只LED燈能閃爍紅、黃、藍三種顏色的光，受智能程序控制每隔1秒閃一次光，相鄰兩次閃光的顏色不相同.若某次閃紅光，則下次有的概率閃黃光；若某次閃黃光，則下次有的概率閃藍光；若某次閃藍光，則下次有的概率閃紅光.已知第1次閃光為紅光.
（1）求第4次閃光為紅光的概率；
（2）求第次閃光為紅光的概率.
1．（2024·江西南昌·南昌二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）現(xiàn)有10個球，其中5個球由甲工廠生產(chǎn)，3個球由乙工廠生產(chǎn)，2個球由丙工廠生產(chǎn)．這三個工廠生產(chǎn)該類產(chǎn)品的合格率依次是，，．現(xiàn)從這10個球中任取1個球，設(shè)事件為“取得的球是合格品”，事件分別表示“取得的球是甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的”．
（1）求；
（2）求．
2．（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測）全國“村BA”籃球賽點燃了全民的運動激情，深受廣大球迷的喜愛.每支球隊都有一個或幾個主力隊員，現(xiàn)有一支“村BA”球隊，其中甲球員是其主力隊員，經(jīng)統(tǒng)計該球隊在某個賽季的所有比賽中，甲球員是否上場時該球隊的勝負情況如表.
（1）完成列聯(lián)表，并判斷依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關(guān)；
（2）由于隊員的不同，甲球員主打的位置會進行調(diào)整，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲球員上場時，打前鋒、中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應(yīng)球隊贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.
（i）當甲球員上場參加比賽時，求球隊贏球的概率；
（ii）當甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率.（精確到0.01）
附：，.
題型八：概率與統(tǒng)計圖表的綜合應(yīng)用
（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在某果園的苗圃進行果苗病蟲害調(diào)查，隨機調(diào)查了200棵受到某病蟲害的果苗，并測量其高度（單位：，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.
（1）估計該苗圃受到這種病蟲害的果苗的平均高度（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（2）估計該苗圃一棵受到這種病蟲害的果苗高度位于區(qū)間的概率；
（3）已知該苗圃的果苗受到這種病蟲害的概率為，果苗高度位于區(qū)間的棵數(shù)占該果苗總棵數(shù)的.從該苗圃中任選一棵高度位于區(qū)間的果苗，求該棵果苗受到這種病蟲害的概率（以樣本數(shù)據(jù)中受到病蟲害果苗的高度位于各區(qū)間的頻率作為受到病蟲害果苗的高度位于該區(qū)間的概率）.
1．（2024·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？奸_學(xué)考試）某學(xué)校開展健步走活動，要求學(xué)校教職員工上傳11月4日至11月10日的步凝.啟息.教師甲、乙這七天的步數(shù)情況如圖1所示.
（1）從11月4日至11月10日中隨機選取一天，求這一天甲比乙的步數(shù)多的概率；
（2）從11月4日至11月10日中隨機選取三天，記乙的步數(shù)不少于20000的天數(shù)內(nèi)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
2．（2024·北京海淀·高三101中學(xué)?？奸_學(xué)考試）“雙減”政策執(zhí)行以來，中學(xué)生有更多的時間參加志愿服務(wù)和體育鍛煉等課后活動．某校為了解學(xué)生課后活動的情況，從全校學(xué)生中隨機選取100人，統(tǒng)計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區(qū)間，用頻率分布直方圖表示如下：
假設(shè)用頻率估計概率，且每個學(xué)生參加課后活動的時間相互獨立．
（1）估計全校學(xué)生一周參加課后活動的時間位于區(qū)間的概率；
（2）從全校學(xué)生中隨機選取3人，記表示這3人一周參加課后活動的時間在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）設(shè)全校學(xué)生一周參加課后活動的時間的中位數(shù)估計值為?平均數(shù)的估計值為（計算平均數(shù)時，同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替），請直接寫出的大小關(guān)系．
題型九：概率與其他知識的交匯應(yīng)用
（2023上·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）一枚質(zhì)地均勻的小正四面體，其中兩個面標有數(shù)字1，兩個面標有數(shù)字2.現(xiàn)將此正四面體任意拋擲次，落于水平的桌面，記次底面的數(shù)字之和為.
（1）當時，記為被3整除的余數(shù)，求的分布列與期望；
（2）求能被3整除的概率.
1．（2024·山東威海·高三統(tǒng)考期末）甲、乙、丙人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設(shè)表示經(jīng)過次傳遞后球傳到乙手中的概率.
（1）求，；
（2）證明：是等比數(shù)列，并求；
（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為，求．
2．（2024·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）公元1651年，一個問題引發(fā)了數(shù)學(xué)家德梅赫、帕斯卡、費馬和惠更斯等人的討論，這三位當時全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答．該問題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏局，誰便贏得全部賭注元．每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨立．在甲贏了局，乙贏了局時，賭博意外終止．賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無人先贏局則賭博意外終止的情況，甲、乙便按照賭博再繼續(xù)進行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注．
（1）甲、乙賭博意外終止，若，，，，，求甲應(yīng)分得的賭注；
（2）記事件為“賭博繼續(xù)進行下去乙贏得全部賭注”，試求當，，時賭博繼續(xù)進行下去甲贏得全部賭注的概率；當時，求事件發(fā)生的概率的最大值．
題型十：利用概率解決決策類問題
（2024·山東聊城·高三統(tǒng)考期末）乒乓球起源于英國的19世紀末，因為1959年的世界乒乓球錦標賽，中國參賽運動員為中國獲得了第一個世界冠軍，而使國人振奮，從此乒乓球運動在中國風(fēng)靡，成為了事實上中國的國球的體育項目.國球在校園中的普及也豐富了老師、同學(xué)們的業(yè)余生活.某校擬從5名優(yōu)秀乒乓球愛好者中抽選人員分批次參加社區(qū)共建活動.共建活動共分3批次進行，每次活動需要同時派送2名選手，且每次派送選手均從5人中隨機抽選.已知這5名選手中，2人有比賽經(jīng)驗，3人沒有比賽經(jīng)驗.
（1）求5名選手中的“1號選手”，在這3批次活動中有且只有一次被抽選到的概率；
（2）求第二次抽選時，選到?jīng)]有比賽經(jīng)驗的選手的人數(shù)最有可能是幾人？請說明理由；
（3）現(xiàn)在需要2名乒乓球選手完成某項特殊比賽任務(wù)，每次只能派一個人，且每個人只派一次，如果前一位選手不能贏得比賽，則再派另一位選手.若有A、兩位選手可派，他們各自完成任務(wù)的概率分別為、，且，各人能否完成任務(wù)相互獨立.試分析以怎樣的順序派出選手，可使所需派出選手的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達到最小.
1．（2024·浙江·高三鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）甲?乙?丙三位同學(xué)進行乒乓球比賽，約定賽制如下：每場比賽勝者積2分，負者積0分；比賽前根據(jù)相關(guān)規(guī)則決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空；積分首先累計到4分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.已知甲與乙比賽時，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時，乙獲勝的概率為.
（1）若，求比賽結(jié)束時，三人總積分的分布列與期望；
（2）若，假設(shè)乙獲得了指定首次比賽選手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略.
2．（2022·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）近年來，新能源汽車產(chǎn)業(yè)大規(guī)模發(fā)展，某汽車產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場以來，受到多位消費者質(zhì)疑其電池產(chǎn)品質(zhì)量，汽車廠家提供甲?乙兩家第三方檢測機構(gòu)對產(chǎn)品進行質(zhì)量檢測，邀請多位車主進行選擇，每位車主只能挑選一家.若選擇甲機構(gòu)記1分，若選擇乙機構(gòu)記2分，每位車主選擇兩個機構(gòu)的概率相等，且相互獨立.
（1）若參加的車主有3人，記總得分為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）對所有車主選擇的結(jié)果進行調(diào)查,記總得分恰好為n分的概率為,求數(shù)列的通項公式；
（3）在（2）的條件下，汽車廠商決定總得分為99分或100分時就停止計分，若總得為99分就選甲機構(gòu)，總得分為100分就選乙機構(gòu)，請分析這種方案是否合理.
1．（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）袋中裝有5個乒乓球，其中2個舊球，現(xiàn)在無放回地每次取一球檢驗．
（1）若直到取到新球為止，求抽取次數(shù)X的概率分布及其均值；
（2）若將題設(shè)中的“無放回”改為“有放回”，求檢驗5次取到新球個數(shù)X的均值．
2．（2024·廣東廣州·廣州六中校考一模）某電商專門生產(chǎn)某種電子元件，生產(chǎn)的電子元件除編號外，其余外觀完全相同，為了檢測元件是否合格，質(zhì)檢員設(shè)計了圖甲、乙兩種電路.
（1）在設(shè)備調(diào)試初期，已知該電商試生產(chǎn)了一批電子元件共5個，只有2個合格，質(zhì)檢員從這批元件中隨機抽取2個安裝在甲圖電路中的，處，請用集合的形式寫出試驗的樣本空間，并求小燈泡發(fā)亮的概率；
（2）通過設(shè)備調(diào)試和技術(shù)升級后，已知該電商生產(chǎn)的電子元件合格率為0.9，且在生產(chǎn)過程中每個電子元件是否合格互不影響，質(zhì)檢員從該電商生產(chǎn)的一批電子元件中隨機抽取3個安裝在乙圖電路中的，，處，求小燈泡發(fā)亮的概率.
3．（2024·山東日照·統(tǒng)考一模）隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域也將會更加廣泛，它將會成為改變?nèi)祟惿鐣l(fā)展的重要力量．某科技公司發(fā)明了一套人機交互軟件，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進行應(yīng)答．在對該交互軟件進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為；若出現(xiàn)語法錯誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為．假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為．
（1）求一個問題能被軟件正確應(yīng)答的概率；
（2）在某次測試中，輸入了個問題，每個問題能否被軟件正確應(yīng)答相互獨立，記軟件正確應(yīng)答的個數(shù)為X，的概率記為，則n為何值時，的值最大？
4．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校考開學(xué)考試）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營活動.
（1）若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有3人來自中學(xué)，從這7名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）在夏令營開幕式的晚會上，物理組舉行了一次學(xué)科知識競答活動，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競答中，每人分別答兩題，若小組答對題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利.已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對每道題的概率分別為，.假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨立，且互不影響.當時，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值.
5．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚中市第二高級中學(xué)開學(xué)考試）為考察藥物對預(yù)防疾病以及藥物對治療疾病的效果，科研團隊進行了大量動物對照試驗．根據(jù)個簡單隨機樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）
（1）依據(jù)的獨立性檢驗，分析藥物對預(yù)防疾病的有效性；
（2）用頻率估計概率，現(xiàn)從患病的動物中用隨機抽樣的方法每次選取只，用藥物進行治療．已知藥物的治愈率如下：對未服用過藥物的動物治愈率為，對服用過藥物的動物治愈率為．若共選取次，每次選取的結(jié)果是相互獨立的．記選取的只動物中被治愈的動物個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，.
6．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護意識，舉辦了一次“環(huán)境保護知識競賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到頻率分布直方圖如圖：
（1）規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）由頻率分布直方圖可認為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），且，已知小明的預(yù)賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計小明是否有資格參加復(fù)賽？
附：若，則，，；．
7．（2024·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）某學(xué)校有甲、乙、丙三家餐廳，分布在生活區(qū)的南北兩個區(qū)域，其中甲、乙餐廳在南區(qū)，丙餐廳在北區(qū)各餐廳菜品豐富多樣，可以滿足學(xué)生的不同口味和需求．
（1）現(xiàn)在對學(xué)生性別與在南北兩個區(qū)域就餐的相關(guān)性進行分析，得到下表所示的抽樣數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為在不同區(qū)域就餐與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)？
（2）張同學(xué)選擇餐廳就餐時，如果前一天在甲餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為；如果前一天在乙餐廳，那么后一天去甲，丙餐廳的概率分別為，；如果前一天在丙餐廳，那么后一天去甲，乙餐廳的概率均為．張同學(xué)第1天就餐時選擇甲，乙，丙餐廳的概率分別為，，．
（ⅰ）求第2天他去乙餐廳用餐的概率；
（ⅱ）求第天他去甲餐廳用餐的概率．
附：；
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某種產(chǎn)品2014年到2018年的年投資金額（萬元）與年利潤（萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下，由散點圖知，與之間的關(guān)系可以用線性回歸模型擬合，已知5年利潤的平均值是4.7．
（1）求表中實數(shù)的值；
（2）求關(guān)于的線性回歸方程．
參考公式：回歸直線方程中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
9．（2024·海南省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習(xí)）紅松樹分布在我國東北的小興安嶺到長白山一帶，耐蔭性強.在一森林公園內(nèi)種有一大批紅松樹，為了研究生長了4年的紅松樹的生長狀況，從中隨機選取了12棵生長了4年的紅松樹，并測量了它們的樹干直徑（單位：厘米），如下表：
計算得：.
（1）求這12棵紅松樹的樹干直徑的樣本均值與樣本方差.
（2）假設(shè)生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.
記事件：在森林公園內(nèi)再從中隨機選取12棵生長了4年的紅松樹，其樹干直徑都位于區(qū)間.
①用（1）中所求的樣本均值與樣本方差分別作為正態(tài)分布的均值與方差，求；
②護林員在做數(shù)據(jù)統(tǒng)計時，得出了如下結(jié)論：生長了4年的紅松樹的樹干直徑近似服從正態(tài)分布.在這個條件下，求，并判斷護林員的結(jié)論是否正確，說明理由.
參考公式：若，
則.
參考數(shù)據(jù)：.
10．（2024·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘揚奧林匹克和亞運精神，增強鍛煉身體意識，某學(xué)校舉辦一場羽毛球比賽．已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．現(xiàn)甲、乙二人進行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往甲、乙兩名運動員對陣的比賽數(shù)據(jù)可知，若甲發(fā)球，甲得分的概率為，乙得分的概率為；若乙發(fā)球，乙得分的概率為，甲得分的概率為．規(guī)定第1回合是甲先發(fā)球．
（1）求第3回合由甲發(fā)球的概率；
（2）①設(shè)第i回合是甲發(fā)球的概率為，證明：是等比數(shù)列；
②已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，2，…，n，則．若第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進行n個回合比賽后，甲的總得分的期望．
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立．
（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．
2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
（1）當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；
（2）設(shè)函數(shù)，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．
4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng).實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.
（1）設(shè)表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）實驗結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：
（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．
附：
5．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗結(jié)果如下：
對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（1）計算試驗組的樣本平均數(shù)；
（2）（?。┣?0只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表
（ⅱ）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？
附：，
6．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：
（1）根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；
（2）能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關(guān)？
附：，
7．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當天價格與前一天價格相同．
用頻率估計概率．
（1）試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；
（2）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的．在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
（3）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大．（結(jié)論不要求證明）
8．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在某地區(qū)進行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；
（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.
9．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率．甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，．試驗結(jié)果如下：
記，記的樣本平均數(shù)為，樣本方差為．
（1）求，；
（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）
10．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．
（1）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；
（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望E（X）；
（3）在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）獎項組別
個人賽
團體賽獲獎
一等獎
二等獎
三等獎
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
求離散型隨機變量的分布列及期望的一般步驟：
（1）根據(jù)題中條件確定隨機變量的可能取值；
（2）求出隨機變量所有可能取值對應(yīng)的概率，即可得出分布列；
（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計算時，要注意隨機變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項分布，可結(jié)合其對應(yīng)的概率計算公式及期望計算公式，簡化計算。）
1、獨立重復(fù)試驗與二項分布
（1）定型：“獨立”“重復(fù)”是二項分布的基本特征，“每次試驗事件發(fā)生的概率都相等”是二項分布的本質(zhì)特征．判斷隨機變量是否服從二項分布，要看在一次試驗中是否只有兩種試驗結(jié)果，且兩種試驗結(jié)果發(fā)生的概率分別為p,1－p，還要看是否為n次獨立重復(fù)試驗，隨機變量是否為某事件在這n次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù)．
（2）定參，確定二項分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗發(fā)生的次數(shù)和試驗中事件發(fā)生的概率．
（3）列表，根據(jù)離散型隨機變量的取值及其對應(yīng)的概率，列出分布列．
（4）求值，根據(jù)離散型隨機變量的期望和方差公式，代入相應(yīng)數(shù)據(jù)求值．
相關(guān)公式：已知X～B(n，p)，則P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2、超幾何分布的適用范圍及本質(zhì)
（1）適用范圍：考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個題，考察某一類個題個數(shù)的概率分布；
（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的。
3、超幾何分布與二項分布的區(qū)別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是不相同的，而二項分布是“有放回”的抽取（獨立重復(fù)），在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率是相同點。
利用隨機變量的均值與方差可以幫助我們作出科學(xué)的決策，其中隨機變量的均值的意義在于描述隨機變量的平均程度，而方差則描述了隨機變量穩(wěn)定與波動或集中與分散的狀況，品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報的準確與否、機器的性能好壞等很多指標都與這兩個特征量有關(guān)。
1、若我們希望實際的平均水平較理想時，則先求隨機變量，的均值。當時，不應(yīng)誤認為它們一樣好，還需要用，來比較這兩個隨機變量的偏離程度。
2、若我們希望比較穩(wěn)定時，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近。
關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法
（1）熟記P(μ－σ

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