考點(diǎn)01一次函數(shù)
一、一次函數(shù)圖象與圖形面積
解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)解析式求出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，或兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成三角形的邊長，或者三角形的高．如果圍成的三角形沒有邊在坐標(biāo)軸上或者與坐標(biāo)軸平行，可以采用“割”或“補(bǔ)”的方法．
二、一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
1．主要題型： （1）求相應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式；（2）結(jié)合一次函數(shù)圖象求相關(guān)量、求實(shí)際問題的最值等．
2．用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟為：
（1）設(shè)定實(shí)際問題中的自變量與因變量；（2）通過列方程(組)與待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式；（3）確定自變量的取值范圍；（4）利用函數(shù)性質(zhì)解決問題；（5）檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義；（6）答．
3．方案最值問題：
對于求方案問題，通常涉及兩個(gè)相關(guān)量，解題方法為根據(jù)題中所要滿足的關(guān)系式，通過列不等式，求解出某一個(gè)事物的取值范圍，再根據(jù)另一個(gè)事物所要滿足的條件，即可確定出有多少種方案．
4．方法技巧
求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：（1）可將所有求得的方案的值計(jì)算出來，再進(jìn)行比較；
（2）直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較．
顯然，第（2）種方法更簡單快捷．
1．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個(gè)相約登山，他們同時(shí)從入口處出發(fā)，甲步行登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車站，再乘坐纜車到達(dá)山頂．甲、乙距山腳的垂直高度y（米）與甲登山的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求乙乘坐纜車上升過程中，和甲處于同一高度時(shí)距山腳的垂直高度．
2．（2023·全國·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個(gè)工程組同時(shí)挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長度均保持不變，合作一段時(shí)間后，乙組因維修設(shè)備而停工，甲組單獨(dú)完成了剩下的任務(wù)，甲、乙兩組挖掘的長度之和 SKIPIF 1 < 0 與甲組挖掘時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖所示．

(1)甲組比乙組多挖掘了__________天．
(2)求乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
(3)當(dāng)甲組挖掘的總長度與乙組挖掘的總長度相等時(shí)，直接寫出乙組己停工的天數(shù)．
3．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）我市“共富工坊”問海借力，某公司產(chǎn)品銷售量得到大幅提升．為促進(jìn)生產(chǎn)，公司提供了兩種付給員工月報(bào)酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同．看圖解答下列問題：

(1)直接寫出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，兩種方案付給的報(bào)酬一樣多；
(2)求方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
(3)如果你是勞務(wù)服務(wù)部門的工作人員，你如何指導(dǎo)員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案．
4.如圖1，平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，等腰 SKIPIF 1 < 0 的底邊 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上， SKIPIF 1 < 0 ，頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的正半軸上， SKIPIF 1 < 0 ，一動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿 SKIPIF 1 < 0 向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá) SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)停止．另一動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 從點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 出發(fā)，以相同的速度沿 SKIPIF 1 < 0 向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 停止．已知點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 同時(shí)出發(fā)，以 SKIPIF 1 < 0 為邊作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，使正方形 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 SKIPIF 1 < 0 秒（ SKIPIF 1 < 0 ）．
（1）當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 邊上時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的值；（2）設(shè)正方形 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 重疊面積為 SKIPIF 1 < 0 ，請問是存在 SKIPIF 1 < 0 值，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 值；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，取 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 從點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 出發(fā)，以每秒 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位的速度沿 SKIPIF 1 < 0 運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 停止運(yùn)動(dòng)．請問在點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 可能在正方形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在正方形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)（含邊界）的時(shí)長；若不可能，請說明理由．
5.為抗擊疫情，支持武漢，某物流公司的快遞車和貨車每天往返于物流公司、武漢兩地，快遞車比貨車多往返一趟，如圖表示兩車離物流公司的距離 SKIPIF 1 < 0 （單位：千米）與快遞車所用時(shí)間 SKIPIF 1 < 0 （單位：時(shí)）的函數(shù)圖象，已知貨車比快遞車早 SKIPIF 1 < 0 小時(shí)出發(fā)，到達(dá)武漢后用 SKIPIF 1 < 0 小時(shí)裝卸貨物，按原速、原路返回，貨車比快遞車最后一次返回物流公司晚 SKIPIF 1 < 0 小時(shí)．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)解析式；（2）求快遞車第二次往返過程中，與貨車相遇的時(shí)間．（3）求兩車最后一次相遇時(shí)離武漢的距離．（直接寫出答案）
考點(diǎn)02反比例函數(shù)
一、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義
1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積
2．涉及三角形的面積型
當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過面積作和或作差的形式來求解．
（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如圖③，已知反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，C為AB延長線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC= SKIPIF 1 < 0 – SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ．
二、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合
1．涉及自變量取值范圍型
當(dāng)一次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)．針對 SKIPIF 1 < 0 時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，x的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；同理，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，x的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)
（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來決定.
①k值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可無交點(diǎn)，可有一個(gè)交點(diǎn)，可有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．
三、反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
解決反比例函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．
6．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 和反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)將直線 SKIPIF 1 < 0 向上平移3個(gè)單位后，與 SKIPIF 1 < 0 軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 的圖像交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
7．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知坐標(biāo)軸上兩點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 ，交反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在第一象限的圖象于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 和直線 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式；
(2)將直線 SKIPIF 1 < 0 向上平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位，得到直線l，求直線l與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
8.南寧至玉林高速鐵路已于去年開工建設(shè)，玉林輛隧道是全線控制性隧道，首期打通共有土石方總量600千立方米，總需要時(shí)間y天，且完成首期工程限定時(shí)間不超過600天．設(shè)每天打通土石方x千立方米．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）由于工程進(jìn)度的需要，實(shí)際平均每天挖掘土石方比原計(jì)劃多0.2千立方米，工期比原計(jì)劃提前了100天完成，求實(shí)際挖掘了多少天才能完成首期工程？
9．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，直線 SKIPIF 1 < 0 與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn)B作AB的垂線l．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)C在直線l上，且 SKIPIF 1 < 0 的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)P是直線l上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫 SKIPIF 1 < 0 ，使它與 SKIPIF 1 < 0 位似，相似比為m．若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．
考點(diǎn)03二次函數(shù)
1、函數(shù)存在性問題:解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．
2、函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題
（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題；二是與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．
（2）解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動(dòng)點(diǎn)在不同位置運(yùn)動(dòng)或不同時(shí)間段運(yùn)動(dòng)時(shí)對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．
（3）解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．
10．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方 SKIPIF 1 < 0 的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面 SKIPIF 1 < 0 ．已知球門高 SKIPIF 1 < 0 為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）．
(2)對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？
11.2022年體育中考，增設(shè)了考生進(jìn)入考點(diǎn)需進(jìn)行體溫檢測的要求．防疫部門為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入考點(diǎn)進(jìn)行體溫檢測的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù) SKIPIF 1 < 0 （人）與時(shí)間 SKIPIF 1 < 0 （分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如下表：（表中9-15表示 SKIPIF 1 < 0 ）
（1）根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)與時(shí)間的變化規(guī)律，利用初中所學(xué)函數(shù)知識(shí)求出 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果考生一進(jìn)考點(diǎn)就開始測量體溫，體溫檢測點(diǎn)有2個(gè)，每個(gè)檢測點(diǎn)每分鐘檢測20人，考生排隊(duì)測量體溫，求排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人？全部考生都完成體溫檢測需要多少時(shí)間？（3）在（2）的條件下，如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測點(diǎn)？
12．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）某課外科技活動(dòng)小組研制了一種航模飛機(jī)．通過實(shí)驗(yàn)，收集了飛機(jī)相對于出發(fā)點(diǎn)的飛行水平距離 SKIPIF 1 < 0 （單位： SKIPIF 1 < 0 ）以、飛行高度 SKIPIF 1 < 0 （單位： SKIPIF 1 < 0 ）隨飛行時(shí)間 SKIPIF 1 < 0 （單位： SKIPIF 1 < 0 ）變化的數(shù)據(jù)如下表．
探究發(fā)現(xiàn)： SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過的函數(shù)來描述．直接寫出 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)解析式和 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）．
問題解決：如圖，活動(dòng)小組在水平安全線上 SKIPIF 1 < 0 處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)試飛該航模飛機(jī)．根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題．

（1）若發(fā)射平臺(tái)相對于安全線的高度為0m，求飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離；
（2）在安全線上設(shè)置回收區(qū)域 SKIPIF 1 < 0 ．若飛機(jī)落到 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)（不包括端點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ），求發(fā)射平臺(tái)相對于安全線的高度的變化范圍．
13．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運(yùn)動(dòng)愛好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C在x軸上，球網(wǎng) SKIPIF 1 < 0 與y軸的水平距離 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，擊球點(diǎn)P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度 SKIPIF 1 < 0 與水平距離 SKIPIF 1 < 0 近似滿足一次函數(shù)關(guān)系 SKIPIF 1 < 0 ；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度 SKIPIF 1 < 0 與水平距離 SKIPIF 1 < 0 近似滿足二次函數(shù)關(guān)系 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)和a的值．
(2)小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過網(wǎng)．要使球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近，請通過計(jì)算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式．
時(shí)間 SKIPIF 1 < 0 （分鐘）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9~15
人數(shù) SKIPIF 1 < 0 （人）
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
飛行時(shí)間 SKIPIF 1 < 0
0
2
4
6
8
…
飛行水平距離 SKIPIF 1 < 0
0
10
20
30
40
…
飛行高度 SKIPIF 1 < 0
0
22
40
54
64
…

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題型08 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（復(fù)習(xí)講義）-最新中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義+專題（全國通用）

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中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)復(fù)習(xí)題型08 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（復(fù)習(xí)講義）（2份打包，原卷版+解析版）

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中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 重難題型突破 題型二　函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用練習(xí)(含解析)

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