（復(fù)習(xí)講義）
【考點(diǎn)總結(jié)|典例分析】
考點(diǎn)01三角形全等及性質(zhì)
一、三角形的基礎(chǔ)知識(shí)
1．三角形的概念
由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形．
2．三角形的三邊關(guān)系
（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．
推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．
（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：
①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關(guān)系．
3．三角形的內(nèi)角和定理及推論
三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．
推論：
①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；
②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；
③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．
4．三角形中的重要線段
（1）三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．
（2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線．
（3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）．
（4）連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
二、全等三角形
5．三角形全等的判定定理：
（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）；
（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）；
（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）；
（4）對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．
6．全等三角形的性質(zhì)：
（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；
（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；
（3）全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．
三、等腰三角形
7．等腰三角形的性質(zhì)
定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．
推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．
推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°．
8．等腰三角形的判定
定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．
推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．
推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．
四、等邊三角形
（1）定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
（2）性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．
（3）判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．
五、直角三角形與勾股定理
9．直角三角形
定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．
性質(zhì)：
（1）直角三角形兩銳角互余；
（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；
（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．
判定：
（1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
10．勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的角平分線．以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 圓心， SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)為半徑畫弧，與 SKIPIF 1 < 0 分別交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出 SKIPIF 1 < 0 ，由作圖可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根據(jù)角平分線的定義得出 SKIPIF 1 < 0 ，由作圖得出 SKIPIF 1 < 0 ，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）證明：∵ SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的角平分線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由作圖可得 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的角平分線，
∴ SKIPIF 1 < 0
由作圖可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的角平分線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
2.如圖，和相交于點(diǎn)，，．
求證：；
求證：．
【答案】證明：在和中，
≌，
；
由得，
．
3．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．

【答案】見解析
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 證明兩個(gè)三角形全等．
【詳解】證明： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)，三角形全等的判定，其中對(duì)三角形判定條件的確定是解決本題的關(guān)鍵．
4.如圖，點(diǎn)，，，在同一條直線上，，，求證：．
【答案】證明：，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
5．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)已知條件得出 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．
【詳解】證明： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本小題考查等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查幾何直觀、推理能力等，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
6.(2022·四川省宜賓市)已知：如圖，點(diǎn)、、、在同一直線上，，，求證：．
【答案】證明：，
．
在和中，
，
≌．
，
，
即：．
7.(2022·陜西省)如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，，求證：．
【答案】證明：，
，
在和中，
，
≌，
．
8.(2022·浙江省杭州市)如圖，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，于點(diǎn)，連接，已知，．
求證：．
若，求線段的長(zhǎng)．
【答案】證明：，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
解：，
，
，，
．
9．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)寫出 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系
(2)延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
(3)在（2）的條件下，作 SKIPIF 1 < 0 的平分線，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合已知條件即可求解；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即可得證；
（3）延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)角平分線以及平行線的性質(zhì)證明 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可得證．
【詳解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明：如圖所示，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（3）證明：如圖所示，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，延長(zhǎng) SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，

∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，

即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
10.（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分線，在 SKIPIF 1 < 0 上取點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
【答案】（1）見解析；（2）35°
【分析】
（1）直接利用角平分線的定義和等邊對(duì)等角求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可完成求證；
（2）先求出∠ADE，再利用平行線的性質(zhì)求出∠ ABC，最后利用角平分線的定義即可完成求解．
【詳解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本題綜合考查了角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是牢記概念與性質(zhì)，本題的解題思路較明顯，屬于幾何中的基礎(chǔ)題型，著重考查了學(xué)生對(duì)基本概念的理解與掌握．
11.（2021·福建中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，D是邊 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分別為E，F(xiàn)，且 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】見解析
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，由SAS證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出對(duì)應(yīng)角相等即可．
【詳解】
證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】
本小題考查垂線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀．
考點(diǎn)02相似
六、相似三角形的判定及性質(zhì)
11．定義
對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．
12．性質(zhì)
（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；
（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；
（3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
13．判定
（1）有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；
（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；
（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；
（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：
（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；
（3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找夾角相等；
（4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；
（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例．
七、相似多邊形
14．定義
對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．
15．性質(zhì)
（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；
（2）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等；
（3）相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．
八、位似圖形
16．定義
如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．
27．性質(zhì)
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或–k；
（2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
18．找位似中心的方法
將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．
19．畫位似圖形的步驟
（1）確定位似中心；
（2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；
（3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；
（4）作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
（5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．
12．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 位似，原點(diǎn)O是位似中心，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出相似比進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)．
【詳解】解∶設(shè) SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 位似，原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是位似中心，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，
∴位似比為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關(guān)鍵．
13．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中，E是線段 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)F．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 __________．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，則 SKIPIF 1 < 0 ，可證明 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 進(jìn)一步即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明 SKIPIF 1 < 0 是解題的關(guān)鍵．
14.（2021·云南中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)D，E分別是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)F，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)是______．
【答案】9
【分析】
根據(jù)中位線定理得到DE= SKIPIF 1 < 0 AB，DE∥AB，從而證明△DEF∽△ABF，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出EF，可得BE．
【詳解】
解：∵點(diǎn)D，E分別為BC和AC中點(diǎn)，
∴DE= SKIPIF 1 < 0 AB，DE∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵BF=6，
∴EF=3，
∴BE=6+3=9，
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)中位線的性質(zhì)證明△DEF∽△ABF．
15．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ．連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，則 SKIPIF 1 < 0 的值為________．

【答案】5
【分析】過(guò)點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F，利用勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，從而求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：5．

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是斜邊 SKIPIF 1 < 0 上的高．

(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)等角的余角相等，得出 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合公共角 SKIPIF 1 < 0 ，即可得證；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）證明：∵ SKIPIF 1 < 0 是斜邊 SKIPIF 1 < 0 上的高．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（2）∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
17.如圖，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．則的值．
【分析】由平行線得三角形相似，得出AB?DE，進(jìn)而求得AB，DE，再由相似三角形求得結(jié)果．
【解析】∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴AB?DE＝16，
∵AB+DE＝10，
∴AB＝2，DE＝8，
∴，
故答案為：2．
18．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長(zhǎng)交 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)點(diǎn)G是線段 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，滿足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)H，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，即可解答；
（2）通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)證明 SKIPIF 1 < 0 ，再通過(guò)（1）中的結(jié)論得到 SKIPIF 1 < 0 ，最后證明 SKIPIF 1 < 0 ，利用對(duì)應(yīng)線段比相等，列方程即可解答．
【詳解】（1）證明： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ，
可得方程 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用上述性質(zhì)證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)03多邊形
十、多邊形
20．多邊形的相關(guān)概念
（1）定義：在平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．
（2）對(duì)角線：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n–3)條對(duì)角線，并且這些對(duì)角線把多邊形分成了(n–2)個(gè)三角形；n邊形對(duì)角線條數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ．
21．多邊形的內(nèi)角和、外角和
（1）內(nèi)角和：n邊形內(nèi)角和公式為(n–2)·180°；
（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.
22．正多邊形
（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.
（2）正n邊形的每個(gè)內(nèi)角為 SKIPIF 1 < 0 ，每一個(gè)外角為 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）正n邊形有n條對(duì)稱軸.
（4）對(duì)于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是軸對(duì)稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．
19．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和等于 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)n邊形內(nèi)角和公式 SKIPIF 1 < 0 分別求解后，即可得到答案
【詳解】解：A．三角形內(nèi)角和是 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)不符合題意；
B．四邊形內(nèi)角和為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)符合題意；
C．五邊形內(nèi)角和為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)不符合題意；
D．六邊形內(nèi)角和為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了n邊形內(nèi)角和，熟記n邊形內(nèi)角和公式 SKIPIF 1 < 0 是解題的關(guān)鍵．
20.（2021·湖南岳陽(yáng)市·中考真題）下列命題是真命題的是（ ）
A．五邊形的內(nèi)角和是 SKIPIF 1 < 0 B．三角形的任意兩邊之和大于第三邊
C．內(nèi)錯(cuò)角相等D．三角形的重心是這個(gè)三角形的三條角平分線的交點(diǎn)
【答案】B
【分析】
根據(jù)相關(guān)概念逐項(xiàng)分析即可．
【詳解】
A、五邊形的內(nèi)角和是 SKIPIF 1 < 0 ，故原命題為假命題，不符合題意；
B、三角形的任意兩邊之和大于第三邊，原命題是真命題，符合題意；
C、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題為假命題，不符合題意；
D、三角形的重心是這個(gè)三角形的三條中線的交點(diǎn)，故原命題為假命題，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查命題判斷，涉及多邊形的內(nèi)角和，三角形的三邊關(guān)系，平行線的性質(zhì)，以及三角形的重心等，熟記基本性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵．
21.（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)接于 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）

A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先計(jì)算正五邊形的內(nèi)角，再計(jì)算正五邊形的中心角，作差即可．
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正五邊形的外角，內(nèi)角，中心角的計(jì)算，熟練掌握計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
22.（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，AC是正五邊形ABCDE的對(duì)角線， SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)是（ ）
A．72°B．36°C．74°D．88°
【答案】A
【分析】
根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用角的和差即可求解．
【詳解】
解：∵ABCDE是正五邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查正五邊形的性質(zhì)，求出正五邊形內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
23.（2021·四川資陽(yáng)市·中考真題）下列命題正確的是（ ）
A．每個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形
B．對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C．過(guò)線段中點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線
D．三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分
【答案】B
【分析】
分別根據(jù)正多邊形的判定、平行四邊形的判定、線段垂直平分線的判定以及三角形中線的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：A.每個(gè)內(nèi)角都相等，各邊都相等的多邊形是正多邊形，故選項(xiàng)A的說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B. 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,說(shuō)法正確，故選項(xiàng)B符合題意；
C. 過(guò)線段中點(diǎn)且垂直這條線段的直線是線段的垂直平分線，故選項(xiàng)C的說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
D. 三角形的中位線將三角形的面積分成1∶3兩部分，故選項(xiàng)D的說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了對(duì)正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷以及三角形中線性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，熟練掌握正多邊形、平行四邊形、線段垂直平分線的判斷是解答此題的關(guān)鍵．
24．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC，則∠BAC的度數(shù)為_____．
【答案】36°
【分析】首先利用多邊形的內(nèi)角和公式求得正五邊形的內(nèi)角和，再求得每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC的度數(shù)．
【詳解】正五邊形內(nèi)角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案為36°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式：（n-2）×180°是解答此題的關(guān)鍵．
25．（2021·浙江麗水市·中考真題）一個(gè)多邊形過(guò)頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為 SKIPIF 1 < 0 ，則原多邊形的邊數(shù)是__________．
【答案】6或7
【分析】
求出新的多邊形為6邊形，則可推斷原來(lái)的多邊形可以是6邊形，可以是7邊形．
【詳解】
解：由多邊形內(nèi)角和，可得
（n-2）×180°=720°，
∴n=6，
∴新的多邊形為6邊形，
∵過(guò)頂點(diǎn)剪去一個(gè)角，
∴原來(lái)的多邊形可以是6邊形，也可以是7邊形，
故答案為6或7．
【點(diǎn)睛】
本題考查多邊形的內(nèi)角和；熟練掌握多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
26．（2021·湖北黃岡市·中考真題）正五邊形的一個(gè)內(nèi)角是_____度．
【答案】108
【分析】
根據(jù)正多邊形的定義、多邊形的內(nèi)角和公式即可得．
【詳解】
解：正五邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：108．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形的內(nèi)角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解題關(guān)鍵．
27．（2021·陜西中考真題）正九邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為______．
【答案】140°
【分析】
正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，每個(gè)外角也相等，而每個(gè)內(nèi)角等于 SKIPIF 1 < 0 減去一個(gè)外角，求出外角即可求解．
【詳解】
正多邊形的每個(gè)外角 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 為邊數(shù)），
所以正九邊形的一個(gè)外角 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 正九邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0
故答案為：140°．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是多邊形的內(nèi)角和，多邊形的外角和為 SKIPIF 1 < 0 ，正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，通過(guò)計(jì)算1個(gè)外角的度數(shù)來(lái)求得1個(gè)內(nèi)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．
28．（2021·湖南中考真題）一個(gè)多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)都是60°，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為______．
【答案】720°
【分析】
多邊形的外角和計(jì)算公式為：邊數(shù)×外角的度數(shù)=360°，根據(jù)公式即可得出多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出它的內(nèi)角和，n邊形內(nèi)角和等于(n-2) ×180°．
【詳解】
解：∵任何多邊形的外角和是360°，此正多邊形每一個(gè)外角都為60°，邊數(shù)×外角的度數(shù)=360°，
∴n=360°÷60°=6，
∴此正多邊形的邊數(shù)為6，
則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為(n-2) ×180°，
(6-2)×180°=720°，
故答案為720°．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了多邊形內(nèi)角和及外角和定理，熟知“任何多邊形的外角和是360°，n邊形內(nèi)角和等于(n-2) ×180°”是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)04平行四邊形
十一、平行四邊形的性質(zhì)
23．平行四邊形的定義
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“ SKIPIF 1 < 0 ”表示.
24．平行四邊形的性質(zhì)
（1）邊：兩組對(duì)邊分別平行且相等．
（2）角：對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)．
（3）對(duì)角線：互相平分．
（4）對(duì)稱性：中心對(duì)稱但不是軸對(duì)稱．
25．注意：
利用平行四邊形的性質(zhì)解題時(shí)一些常用到的結(jié)論和方法：
（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長(zhǎng)的一半．
（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來(lái)解題．
（3）過(guò)平行四邊形對(duì)稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長(zhǎng)．
26．平行四邊形中的幾個(gè)解題模型
（1）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對(duì)等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．
（2）平行四邊形的一條對(duì)角線把其分為兩個(gè)全等的三角形，如圖②中△ABD≌△CDB；
兩條對(duì)角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱性，可得經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心O的線段與對(duì)角線所組成的居于中心對(duì)稱位置的三角形全等，如圖②△AOE≌△COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半．
（3）如圖③，已知點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4）如圖④，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．
十二、平行四邊形的判定
（1）方法一（定義法）：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
（2）方法二：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
（3）方法三：有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
（4）方法四：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
（5）方法五：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．
十三、矩形的性質(zhì)與判定
27．矩形的性質(zhì)：
（1）四個(gè)角都是直角；
（2）對(duì)角線相等且互相平分；
（3）面積=長(zhǎng)×寬=2S△ABD=4S△AOB．（如圖）
28．矩形的判定：
（1）定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形；
（2）有三個(gè)角是直角；
（3）對(duì)角線相等的平行四邊形．
十四、菱形的性質(zhì)與判定
29．菱形的性質(zhì)：
（1）四邊相等；
（2）對(duì)角線互相垂直、平分，一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；
（3）面積=底×高=對(duì)角線乘積的一半．
30．菱形的判定：
（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形；
（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形；
（3）四條邊都相等的四邊形．
十五、正方形的性質(zhì)與判定
31．正方形的性質(zhì)：
（1）四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；
（2）對(duì)角線相等且互相垂直平分；
（3）面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=2S△ABD=4S△AOB．
32．正方形的判定：
（1）定義法：有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形；
（2）一組鄰邊相等的矩形；
（3）一個(gè)角是直角的菱形；
（4）對(duì)角線相等且互相垂直、平分．
十六、聯(lián)系
兩組對(duì)邊分別平行；
相鄰兩邊相等；
有一個(gè)角是直角；
（4）有一個(gè)角是直角；
（5）相鄰兩邊相等；
（6）有一個(gè)角是直角，相鄰兩邊相等；
（7）四邊相等
（8）有三個(gè)角都是直角．
十七、中點(diǎn)四邊形
（1）任意四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.
（2）對(duì)角線相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.
（3）對(duì)角線互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.
（4）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.
29．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 且分別交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為___________．

【答案】10
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，最進(jìn)一步說(shuō)明 SKIPIF 1 < 0 即可解答．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 中，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．
30．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______ SKIPIF 1 < 0 ．

【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟記基本幾何圖形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
31．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E； SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F．求證： SKIPIF 1 < 0 ．

【答案】證明見解析
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，可證 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】證明：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目已知條件熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
32．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)D、E分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段 SKIPIF 1 < 0 上，連接 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)G、F分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．

(1)求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形
(2) SKIPIF 1 < 0 ，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由三角形中位線定理得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形；
（2）由四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形得到 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理即可得到線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)D、E分別為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn)G、F分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形；
（2）∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】此題考查了中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 為平行四邊形和利用勾股定理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
33.（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，點(diǎn)C是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形．
（1）求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形；
（2）如果 SKIPIF 1 < 0 ，求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】
（1）由平行四邊形的性質(zhì)以及點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，得到AD∥CE，AD=CE，從而證明四邊形ACED是平行四邊形；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)證得DC=AE，從而證明平行四邊形ACED是矩形．
【詳解】
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴四邊形ACED是矩形．
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行四邊形和矩形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
34．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形 SKIPIF 1 < 0 中，過(guò)對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂線 SKIPIF 1 < 0 ，分別交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，證明：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形．
【答案】(1)見解析；(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形，即可得證．
【詳解】（1）證明：如圖所示，

∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，熟練掌握特殊四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
35.（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線上，且 SKIPIF 1 < 0 ．連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】見解析
【分析】
根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根據(jù)SAS證明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．
【詳解】
解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF．
【點(diǎn)睛】
本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形得到判定全等的條件．
36．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．

(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
【答案】(1)見解析；(2)見解析
【分析】（1）直接證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，即可得證；
（2）證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，推導(dǎo)出 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
【詳解】（1）證明：在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
37.（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)．求證：DE=BF．
【答案】證明見試題解析．
【分析】
由矩形的性質(zhì)和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四邊形DEBF是平行四邊形，即可得到答案．
【詳解】
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，
∴DF=BE，
又AB∥CD，
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∴DE=BF．
考點(diǎn)：1．矩形的性質(zhì)；2．全等三角形的判定．
38.（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF與BA、DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F．
（1）求證：AE＝CF；
（2）請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形BFDE是菱形，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）見解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，見解析
【分析】
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明 SKIPIF 1 < 0 ，則可得到AE＝CF；
（2）連接BF，DE，由 SKIPIF 1 < 0 ，得到OE= OF，又AO=CO，所以四邊形AECF是平行四邊形，則根據(jù)EF⊥BD可得四邊形BFDE是菱形．
【詳解】
證明：（1）∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∴AE＝CF
（2）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BFDE是菱形，理由如下：
如圖：連結(jié)BF，DE
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形
∴OB＝OD
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形
∵EF⊥BD，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)，能全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
39．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）將兩個(gè)完全相同的含有 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放．點(diǎn)A，E，B，D依次在同一直線上，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形；
(2)己知 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形時(shí)． SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為__________ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)見解析；(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由題意可知 SKIPIF 1 < 0 易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；
（2）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；由菱形得對(duì)角線平分對(duì)角得 SKIPIF 1 < 0 ，再由三角形外角和易證 SKIPIF 1 < 0 即可得 SKIPIF 1 < 0 ，最后由 SKIPIF 1 < 0 求解即可．
【詳解】（1）證明：由題意可知 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 地平行四邊形；
（2）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)， SKIPIF 1 < 0 角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對(duì)等邊；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)綜合求解．
40．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，D是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)連接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
【答案】(1)見解析；(2)見解析；
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用“角角邊”證明三角形全等，再由全等三角形的性質(zhì)容易得出結(jié)論；
（2）先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定即可．
【詳解】（1）證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵點(diǎn)E為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明： SKIPIF 1 < 0 ，
∴四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．

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