題型8 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（復(fù)習(xí)講義）-2024年中考數(shù)學(xué)二輪題型突破（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點(diǎn)01一次函數(shù)
一、一次函數(shù)圖象與圖形面積
解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)解析式求出一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，或兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成三角形的邊長(zhǎng)，或者三角形的高．如果圍成的三角形沒(méi)有邊在坐標(biāo)軸上或者與坐標(biāo)軸平行，可以采用“割”或“補(bǔ)”的方法．
二、一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
1．主要題型：（1）求相應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式；（2）結(jié)合一次函數(shù)圖象求相關(guān)量、求實(shí)際問(wèn)題的最值等．
2．用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟為：
（1）設(shè)定實(shí)際問(wèn)題中的自變量與因變量；（2）通過(guò)列方程(組)與待定系數(shù)法求一次函數(shù)關(guān)系式；（3）確定自變量的取值范圍；（4）利用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題；（5）檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義；（6）答．
3．方案最值問(wèn)題：
對(duì)于求方案問(wèn)題，通常涉及兩個(gè)相關(guān)量，解題方法為根據(jù)題中所要滿(mǎn)足的關(guān)系式，通過(guò)列不等式，求解出某一個(gè)事物的取值范圍，再根據(jù)另一個(gè)事物所要滿(mǎn)足的條件，即可確定出有多少種方案．
4．方法技巧
求最值的本質(zhì)為求最優(yōu)方案，解法有兩種：（1）可將所有求得的方案的值計(jì)算出來(lái)，再進(jìn)行比較；
（2）直接利用所求值與其變量之間滿(mǎn)足的一次函數(shù)關(guān)系式求解，由一次函數(shù)的增減性可直接確定最優(yōu)方案及最值；若為分段函數(shù)，則應(yīng)分類(lèi)討論，先計(jì)算出每個(gè)分段函數(shù)的取值，再進(jìn)行比較．
顯然，第（2）種方法更簡(jiǎn)單快捷．
1．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個(gè)相約登山，他們同時(shí)從入口處出發(fā)，甲步行登山到山頂，乙先步行15分鐘到纜車(chē)站，再乘坐纜車(chē)到達(dá)山頂．甲、乙距山腳的垂直高度y（米）與甲登山的時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．
(1)當(dāng)時(shí)，求乙距山腳的垂直高度y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)求乙乘坐纜車(chē)上升過(guò)程中，和甲處于同一高度時(shí)距山腳的垂直高度．
2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考中考真題）甲、乙兩個(gè)工程組同時(shí)挖掘沈白高鐵某段隧道，兩組每天挖掘長(zhǎng)度均保持不變，合作一段時(shí)間后，乙組因維修設(shè)備而停工，甲組單獨(dú)完成了剩下的任務(wù)，甲、乙兩組挖掘的長(zhǎng)度之和與甲組挖掘時(shí)間x（天）之間的關(guān)系如圖所示．

(1)甲組比乙組多挖掘了__________天．
(2)求乙組停工后y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．
(3)當(dāng)甲組挖掘的總長(zhǎng)度與乙組挖掘的總長(zhǎng)度相等時(shí)，直接寫(xiě)出乙組己停工的天數(shù)．
3．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）我市“共富工坊”問(wèn)海借力，某公司產(chǎn)品銷(xiāo)售量得到大幅提升．為促進(jìn)生產(chǎn)，公司提供了兩種付給員工月報(bào)酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同．看圖解答下列問(wèn)題：

(1)直接寫(xiě)出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時(shí)，兩種方案付給的報(bào)酬一樣多；
(2)求方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
(3)如果你是勞務(wù)服務(wù)部門(mén)的工作人員，你如何指導(dǎo)員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案．
4.如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，等腰的底邊在軸上，，頂點(diǎn)在的正半軸上，，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)的中點(diǎn)停止．另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止．已知點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，以為邊作正方形，使正方形和在的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒（）．
（1）當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值；（2）設(shè)正方形與重疊面積為，請(qǐng)問(wèn)是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，取的中點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)點(diǎn)、開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)問(wèn)在點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)可能在正方形內(nèi)（含邊界）嗎？如果可能，求出點(diǎn)在正方形內(nèi)（含邊界）的時(shí)長(zhǎng)；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5.為抗擊疫情，支持武漢，某物流公司的快遞車(chē)和貨車(chē)每天往返于物流公司、武漢兩地，快遞車(chē)比貨車(chē)多往返一趟，如圖表示兩車(chē)離物流公司的距離（單位：千米）與快遞車(chē)所用時(shí)間（單位：時(shí)）的函數(shù)圖象，已知貨車(chē)比快遞車(chē)早小時(shí)出發(fā)，到達(dá)武漢后用小時(shí)裝卸貨物，按原速、原路返回，貨車(chē)比快遞車(chē)最后一次返回物流公司晚小時(shí)．
（1）求的函數(shù)解析式；（2）求快遞車(chē)第二次往返過(guò)程中，與貨車(chē)相遇的時(shí)間．（3）求兩車(chē)最后一次相遇時(shí)離武漢的距離．（直接寫(xiě)出答案）
考點(diǎn)02反比例函數(shù)
一、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義
1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積
2．涉及三角形的面積型
當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過(guò)面積作和或作差的形式來(lái)求解．
（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；
（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；
（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長(zhǎng)線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．
二、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合
1．涉及自變量取值范圍型
當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)．針對(duì)時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對(duì)應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．
2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)
（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來(lái)決定.
①k值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可無(wú)交點(diǎn)，可有一個(gè)交點(diǎn)，可有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．
三、反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
解決反比例函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問(wèn)題的方案，特別注意自變量的取值范圍．
6．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；
(2)將直線向上平移3個(gè)單位后，與軸交于點(diǎn)，與的圖像交于點(diǎn)，連接，求的面積．
7．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，交反比例函數(shù)在第一象限的圖象于點(diǎn)．

(1)求反比例函數(shù)和直線的表達(dá)式；
(2)將直線向上平移個(gè)單位，得到直線l，求直線l與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
8.南寧至玉林高速鐵路已于去年開(kāi)工建設(shè)，玉林輛隧道是全線控制性隧道，首期打通共有土石方總量600千立方米，總需要時(shí)間y天，且完成首期工程限定時(shí)間不超過(guò)600天．設(shè)每天打通土石方x千立方米．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）由于工程進(jìn)度的需要，實(shí)際平均每天挖掘土石方比原計(jì)劃多0.2千立方米，工期比原計(jì)劃提前了100天完成，求實(shí)際挖掘了多少天才能完成首期工程？
9．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線l．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)C在直線l上，且的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)P是直線l上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫(huà)，使它與位似，相似比為m．若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．
考點(diǎn)03二次函數(shù)
1、函數(shù)存在性問(wèn)題:解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問(wèn)題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．
2、函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類(lèi)：一是動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題；二是與動(dòng)點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．
（2）解答動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖象問(wèn)題，要把問(wèn)題拆分，分清動(dòng)點(diǎn)在不同位置運(yùn)動(dòng)或不同時(shí)間段運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．
（3）解決二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，首先要明確動(dòng)點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的線段長(zhǎng)度，最后結(jié)合題干中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．
10．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門(mén)正前方的A處射門(mén)，球射向球門(mén)的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面．已知球門(mén)高為2.44m，現(xiàn)以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過(guò)計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門(mén)（忽略其他因素）．
(2)對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門(mén)路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動(dòng)多少米射門(mén)，才能讓足球經(jīng)過(guò)點(diǎn)O正上方2.25m處？
11.2022年體育中考，增設(shè)了考生進(jìn)入考點(diǎn)需進(jìn)行體溫檢測(cè)的要求．防疫部門(mén)為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入考點(diǎn)進(jìn)行體溫檢測(cè)的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)（人）與時(shí)間（分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如下表：（表中9-15表示）
（1）根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)與時(shí)間的變化規(guī)律，利用初中所學(xué)函數(shù)知識(shí)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果考生一進(jìn)考點(diǎn)就開(kāi)始測(cè)量體溫，體溫檢測(cè)點(diǎn)有2個(gè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)20人，考生排隊(duì)測(cè)量體溫，求排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人？全部考生都完成體溫檢測(cè)需要多少時(shí)間？（3）在（2）的條件下，如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測(cè)，從一開(kāi)始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測(cè)點(diǎn)？
12．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）某課外科技活動(dòng)小組研制了一種航模飛機(jī)．通過(guò)實(shí)驗(yàn)，收集了飛機(jī)相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的飛行水平距離（單位：）以、飛行高度（單位：）隨飛行時(shí)間（單位：）變化的數(shù)據(jù)如下表．
探究發(fā)現(xiàn)：與，與之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過(guò)的函數(shù)來(lái)描述．直接寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)解析式和關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）．
問(wèn)題解決：如圖，活動(dòng)小組在水平安全線上處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)試飛該航模飛機(jī)．根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問(wèn)題．

（1）若發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度為0m，求飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離；
（2）在安全線上設(shè)置回收區(qū)域．若飛機(jī)落到內(nèi)（不包括端點(diǎn)），求發(fā)射平臺(tái)相對(duì)于安全線的高度的變化范圍．
13．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）小林同學(xué)不僅是一名羽毛球運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者，還喜歡運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對(duì)擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C在x軸上，球網(wǎng)與y軸的水平距離，，擊球點(diǎn)P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿(mǎn)足二次函數(shù)關(guān)系．

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)和a的值．
(2)小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過(guò)網(wǎng)．要使球的落地點(diǎn)到C點(diǎn)的距離更近，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算判斷應(yīng)選擇哪種擊球方式．
時(shí)間（分鐘）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9~15
人數(shù)（人）
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
飛行時(shí)間
0
2
4
6
8
…
飛行水平距離
0
10
20
30
40
…
飛行高度
0
22
40
54
64
…

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