(1)當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時，求證：AM＝CE；
(2)若＝2，求的值；
(3)若MN∥BE，求的值．
【例2】（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點(diǎn)O，記的面積為，的面積為．
（1）問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：
（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在上取一點(diǎn)E，使，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，且，若，求值．
【例3】（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平行四邊形中，是一條對角線，且，，，是邊上兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，連接，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)．
(1)如圖1，是邊上一點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)．
①若，求的長；
②在滿足①的條件下，若，求證：；
(2)如圖2，連接，是上一點(diǎn)，連接．若，且，求的長．
【例4】（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D 為BC邊上的一點(diǎn).
(1)如圖①，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC邊于點(diǎn)E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；
(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上做點(diǎn)F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
(3)如圖③，點(diǎn)F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.
【例5】（2022·湖南岳陽·中考真題）如圖，和的頂點(diǎn)重合，，，，．
(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)點(diǎn)，分別在，上時，可以得出結(jié)論：______，直線與直線的位置關(guān)系是______；
(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)恰好落在線段上，連接，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
(3)拓展運(yùn)用：如圖3，將圖1中的繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，連接、，它們的延長線交于點(diǎn)，當(dāng)時，求的值．
一、解答題【共20題】
1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）已知，點(diǎn)、、、分別在正方形的邊、、、上．
(1)如圖1，當(dāng)四邊形是正方形時，求證：；
(2)如圖2，已知，，當(dāng)、的大小有_________關(guān)系時，四邊形是矩形；
(3)如圖3，，、相交于點(diǎn)，，已知正方形的邊長為16，長為20，當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，判斷四邊形是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．
2．（2022·山東東營·中考真題）和均為等邊三角形，點(diǎn)E、D分別從點(diǎn)A，B同時出發(fā)，以相同的速度沿運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)B、C停止.
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E、D分別與點(diǎn)A、B重合時，請判斷：線段的數(shù)量關(guān)系是____________，位置關(guān)系是____________；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、D不與點(diǎn)A，B重合時，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
(3)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到什么位置時，四邊形的面積是面積的一半，請直接寫出答案；此時，四邊形是哪種特殊四邊形？請?jiān)趥溆脠D中畫出圖形并給予證明.
3．（2022·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)在直線上，連接，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．
(1)求證：；
(2)當(dāng)點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）時，求的值；
(3)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，若，請直接寫出的值．
4．（2022·浙江衢州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=5，BD為對角線.點(diǎn)E是邊AB延長線上的任意一點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)G．
(1)求證：.
(2)若．
①求菱形的面積.
②求的值.
(3)若，當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時（），在上找一點(diǎn)，使為定值，說明理由并求出的值．
5．（2022·山東棗莊·中考真題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．
(1)如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；
(2)如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時，四邊形QPCP′為菱形？
6．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動，將繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．
(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時，作，垂足為M，求證；
(2)當(dāng)時，求的長；
(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)D的過程中，試探究的最小值．
7．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖1，在中，于點(diǎn)D，在DA上取點(diǎn)E，使，連接BE、CE．
(1)直接寫出CE與AB的位置關(guān)系；
(2)如圖2，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，得到（點(diǎn)，分別與點(diǎn)B，E對應(yīng)），連接，在旋轉(zhuǎn)的過程中與的位置關(guān)系與（1）中的CE與AB的位置關(guān)系是否一致?請說明理由；
(3)如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)30°時，射線與AD、分別交于點(diǎn)G、F，若，求的長．
8．（2022·遼寧丹東·中考真題）已知矩形ABCD，點(diǎn)E為直線BD上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），連接AE，以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG（A，E，F(xiàn)，G按逆時針方向排列），連接DG．
(1)如圖1，當(dāng)＝＝1時，請直接寫出線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；
(2)如圖2，當(dāng)＝＝2時，請猜想線段BE與線段DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，請直接寫出△MND的面積．
9．（2022·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE．
(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并給出證明；
(2)延長ED交直線BC于點(diǎn)F．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關(guān)系為_______；
②如圖3，當(dāng)點(diǎn)F為線段BC中點(diǎn)，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．
10．（2022·湖南益陽·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延長CG至點(diǎn)C′，使C′G＝CG，連接CF，AC′．
(1)直接寫出圖中與△AFB相似的一個三角形；
(2)若四邊形AFCC′是平行四邊形，求CE的長；
(3)當(dāng)CE的長為多少時，以C′，F(xiàn)，B為頂點(diǎn)的三角形是以C′F為腰的等腰三角形？
11．（2022·四川綿陽·中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動點(diǎn)E，F(xiàn)同時從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→B的路線勻速運(yùn)動，點(diǎn)F沿著A→B→D的路線勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)相遇時停止運(yùn)動．
(1)如圖1，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個單位每秒，點(diǎn)F的速度為4個單位每秒，當(dāng)運(yùn)動時間為秒時，設(shè)CE與DF交于點(diǎn)P，求線段EP與CP長度的比值；
(2)如圖2，設(shè)點(diǎn)E的速度為1個單位每秒，點(diǎn)F的速度為個單位每秒，運(yùn)動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當(dāng)x為何值時，y的值最大，最大值為多少？
(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在線段AD、AB上運(yùn)動時，探究點(diǎn)E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．
12．（2022·山東濟(jì)寧·中考真題）如圖，△AOB是等邊三角形，過點(diǎn)A作y軸的垂線，垂足為C，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）．P是直線AB上在第一象限內(nèi)的一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為D，交AO于點(diǎn)E，連接AD，作DM⊥AD交x軸于點(diǎn)M，交AO于點(diǎn)F，連接BE，BF．
(1)填空：若△AOD是等腰三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動時（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．
①求m值最大時點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②是否存在這樣的m值，使BE＝BF？若存在，求出此時的m值；若不存在，請說明理由．
13．（2022·山東煙臺·中考真題）
(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．
(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．連接BD，CE．
①求的值；
②延長CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．
14．（2022·吉林長春·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線以每秒個單位長度的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，連結(jié)．作點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．
(1)點(diǎn)D到邊的距離為__________；
(2)用含t的代數(shù)式表示線段的長；
(3)連結(jié)，當(dāng)線段最短時，求的面積；
(4)當(dāng)M、、C三點(diǎn)共線時，直接寫出t的值．
15．（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點(diǎn)在正方形的對角線上，正方形與正方形有公共點(diǎn)．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上，在上，求的值為多少；
(2)將正方形繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，求：的值為多少；
(3)，，將正方形繞逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，請直接寫出的長度．
16．（2022·湖南郴州·中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，，．點(diǎn)E是線段AD上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），連接CE，過點(diǎn)E作，交AB于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)如圖2，連接CF，過點(diǎn)B作，垂足為G，連接AG．點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，連接GM．
①求的最小值；
②當(dāng)取最小值時，求線段DE的長．
17．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點(diǎn)C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點(diǎn)O．
(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；
(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．
①如圖2，當(dāng)與重合時，連接，若，求的長；
②如圖3，當(dāng)時，連接并延長交直線l于點(diǎn)F，連接．求證：．
18．（2022·山東青島·中考真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為；同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動，速度為．交于點(diǎn)F，連接．設(shè)運(yùn)動時間為．解答下列問題：
(1)當(dāng)時，求t的值；
(2)設(shè)四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
19．（2022·遼寧營口·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)．
(1)求拋物線和直線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為D，作軸，垂足為E，交于點(diǎn)F，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時，求點(diǎn)P坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)N為拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得直線垂直平分線段？若存在，請直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
20．（2022·山東威?！ぶ锌颊骖}）回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考
(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分線．求證：BD＝CE．
②點(diǎn)D，E分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，連接BD，CE．求證：BD＝CE．
（從①②兩題中選擇一題加以證明）
(2)猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察
經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在△ABC中，AB＝AC，D為邊AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，C重合）．對于點(diǎn)D在邊AC上的任意位置，在另一邊AB上總能找到一個與其對應(yīng)的點(diǎn)E，使得BD＝CE．進(jìn)而提出問題：若點(diǎn)D，E分別運(yùn)動到邊AC，AB的延長線上，BD與CE還相等嗎？請解決下面的問題：
如圖2，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并證明．
(3)探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)
如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E為邊AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），F(xiàn)為邊AC延長線上一點(diǎn)．判斷BF與CE能否相等．若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由．

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