(1)判斷線段BD與CE的數(shù)量關系并給出證明；
(2)延長ED交直線BC于點F．
①如圖2，當點F與點B重合時，直接用等式表示線段AE，BE和CE的數(shù)量關系為_______；
②如圖3，當點F為線段BC中點，且ED＝EC時，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由．
【例2】（2022·山東菏澤·中考真題）如圖1，在中，于點D，在DA上取點E，使，連接BE、CE．
(1)直接寫出CE與AB的位置關系；
(2)如圖2，將繞點D旋轉，得到（點，分別與點B，E對應），連接，在旋轉的過程中與的位置關系與（1）中的CE與AB的位置關系是否一致?請說明理由；
(3)如圖3，當繞點D順時針旋轉30°時，射線與AD、分別交于點G、F，若，求的長．
【例3】（2022·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）已知點在正方形的對角線上，正方形與正方形有公共點．
(1)如圖1，當點在上，在上，求的值為多少；
(2)將正方形繞點逆時針方向旋轉，如圖2，求：的值為多少；
(3)，，將正方形繞逆時針方向旋轉，當，，三點共線時，請直接寫出的長度．
【例4】（2022·山東濰坊·中考真題）【情境再現(xiàn)】
甲、乙兩個含角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足O處，將甲繞點O順時針旋轉一個銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Gegebra按圖②作出示意圖，并連接，如圖③所示，交于E，交于F，通過證明，可得．
請你證明：．
【遷移應用】
延長分別交所在直線于點P，D，如圖④，猜想并證明與的位置關系．
【拓展延伸】
小亮將圖②中的甲、乙換成含角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接，如圖⑥所示，其他條件不變，請你猜想并證明與的數(shù)量關系．
【例5】（2022·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，連接．

(1)如圖1，求證：；
(2)如圖2，將繞點D順時針旋轉一定角度，得到，當射線交于點G，射線交于點N時，連接并延長交射線于點M，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由；
(3)如圖3，在（2）的條件下，當時，求的長．
一、解答題【共20題】
1．（2022·遼寧阜新·中考真題）已知，四邊形是正方形，繞點旋轉（），，，連接，．
(1)如圖，求證：≌；
(2)直線與相交于點．
如圖，于點，于點，求證：四邊形是正方形；
如圖，連接，若，，直接寫出在旋轉的過程中，線段長度的最小值．
2．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點E在折線上運動，將繞點A順時針旋轉得到，旋轉角等于，連接．
(1)當點E在上時，作，垂足為M，求證；
(2)當時，求的長；
(3)連接，點E從點B運動到點D的過程中，試探究的最小值．
3．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點E在BC上，點F在CD上，P為EF中點，連接AF，G為AF中點，連接PG，DG，將Rt△ECF繞點C順時針旋轉，旋轉角為α（0°≤α≤360°）．
(1)如圖1，當α＝0°時，DG與PG的關系為 ；
(2)如圖2，當α＝90°時
①求證：△AGD≌△FGM；
②（1）中的結論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
4．（2022·山東青島·中考真題）如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉得到，連接．點P從點B出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．交于點F，連接．設運動時間為．解答下列問題：
(1)當時，求t的值；
(2)設四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關系式；
(3)是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
5．（2022·遼寧·本溪市教師進修學院中考真題）在中，，線段繞點A逆時針旋轉至（不與重合），旋轉角記為，的平分線與射線相交于點E，連接．
(1)如圖①，當時，的度數(shù)是_____________；
(2)如圖②，當時，求證：；
(3)當時，請直接寫出的值．
6．（2022·廣西梧州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與x，y軸交于點A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)若點C的坐標是，將繞著點C逆時針旋轉90°得到，點A的對應點是點E．
①寫出點E的坐標，并判斷點E是否在此拋物線上；
②若點P是y軸上的任一點，求取最小值時，點P的坐標．
7．（2022·湖南岳陽·中考真題）如圖，和的頂點重合，，，，．
(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當點，分別在，上時，可以得出結論：______，直線與直線的位置關系是______；
(2)探究證明：如圖2，將圖1中的繞點順時針旋轉，使點恰好落在線段上，連接，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
(3)拓展運用：如圖3，將圖1中的繞點順時針旋轉，連接、，它們的延長線交于點，當時，求的值．
8．（2022·湖北十堰·中考真題）已知，在內(nèi)部作等腰，，．點為射線上任意一點（與點不重合），連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接并延長交射線于點．
(1)如圖1，當時，線段與的數(shù)量關系是_________；
(2)如圖2，當時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
(3)若，，，過點作，垂足為，請直接寫出的長（用含有的式子表示）．
9．（2022·山西·中考真題）綜合與實踐
問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：
（1）如圖①，在三角板旋轉過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；
問題解決：
（2）如圖②，在三角板旋轉過程中，當時，求線段CN的長；
（3）如圖③，在三角板旋轉過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．
10．（2022·湖北武漢·中考真題）如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．的三個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
(1)在圖（1）中，，分別是邊，與網(wǎng)格線的交點．先將點繞點旋轉得到點，畫出點，再在上畫點，使；
(2)在圖（2）中，是邊上一點，．先將繞點逆時針旋轉，得到線段，畫出線段，再畫點，使，兩點關于直線對稱．
11．（2022·四川廣元·中考真題）在Rt△ABC中，AC＝BC，將線段CA繞點C旋轉α（0°＜α＜90°），得到線段CD，連接AD、BD．
(1)如圖1，將線段CA繞點C逆時針旋轉α，則∠ADB的度數(shù)為 ；
(2)將線段CA繞點C順時針旋轉α時
①在圖2中依題意補全圖形，并求∠ADB的度數(shù)；
②若∠BCD的平分線CE交BD于點F，交DA的延長線于點E，連結BE．用等式表示線段AD、CE、BE之間的數(shù)量關系，并證明．
12．（2022·江蘇連云港·中考真題）【問題情境】在一次數(shù)學興趣小組活動中，小昕同學將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．
【問題探究】小昕同學將三角板繞點B按順時針方向旋轉．
(1)如圖2，當點落在邊上時，延長交于點，求的長．
(2)若點、、在同一條直線上，求點到直線的距離．
(3)連接，取的中點，三角板由初始位置（圖1），旋轉到點、、首次在同一條直線上（如圖3），求點所經(jīng)過的路徑長．
(4)如圖4，為的中點，則在旋轉過程中，點到直線的距離的最大值是_____．
13．（2022·四川達州·中考真題）某校一數(shù)學興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如圖1的方式擺放，，隨后保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接．該數(shù)學興趣小組進行如下探究，請你幫忙解答：
(1)【初步探究】如圖2，當時，則_____；
(2)【初步探究】如圖3，當點E，F(xiàn)重合時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關系：_________；
(3)【深入探究】如圖4，當點E，F(xiàn)不重合時，（2）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出推理過程；若不成立，請說明理由．
(4)【拓展延伸】如圖5，在與中，，若，（m為常數(shù)）．保持不動，將繞點C按逆時針方向旋轉（），連接，，延長交于點F，連接，如圖6．試探究，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．
14．（2021·遼寧沈陽·中考真題）在中，，中，（），，，，點B，C，E不共線，點P為直線上一點，且．
（1）如圖1，點D在線段延長線上，則________，________，（用含的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，點A，E在直線同側，求證：平分；
（3）若，，將圖3中的繞點C按順時針方向旋轉，當時，直線交于點G，點M是中點，請直接寫出的長．
15．（2021·山東日照·中考真題）問題背景：
如圖1，在矩形中，，，點是邊的中點，過點作交于點．
實驗探究：
（1）在一次數(shù)學活動中，小王同學將圖1中的繞點按逆時針方向旋轉，如圖2所示，得到結論：①_____；②直線與所夾銳角的度數(shù)為______．
（2）小王同學繼續(xù)將繞點按逆時針方向旋轉，旋轉至如圖3所示位置.請問探究（1）中的結論是否仍然成立？并說明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，當旋轉至、、三點共線時，則的面積為______．
16．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學科研訓處模擬預測）（1）如圖1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝39°，連接AC，BD交于點M．填空：的值為 ，∠AMB的度數(shù)為 ；
（2）如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OBA＝∠ODC＝60°，連接AC交BD的延長線于點M．請判斷的值，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉，AC，BD所在直線交于點M，若OD＝1，OB＝；點Q為CD的中點，則在旋轉的過程中，AQ的最大值為 ．
17．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預測）【操作與發(fā)現(xiàn)】
如圖①，在正方形ABCD中，點N，M分別在邊BC、CD上．連接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點A順時針旋轉90°，點D與點B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而可得：DM+BN＝MN．
(1)【實踐探究】在圖①條件下，若CN＝6，CM＝8，則正方形ABCD的邊長是______．
(2)如圖②，在正方形ABCD中，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，若tan∠BAN，求證：M是CD的中點．
(3)【拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝16，點M、N分別在邊DC、BC上，連接AM、AN，已知∠MAN＝45°，BN＝4，則DM的長是______．
18．（2021·四川樂山·三模）在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點P是平面內(nèi)不與點A，C重合的任意一點，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，BD，CP．
(1)觀察猜想
如圖1，當α＝60°時，的值是 ，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是 ．
(2)類比探究
如圖2，當α＝90°時，請寫出，并就圖2的情形說明理由．
(3)解決問題
當α＝90°時，若點E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點，點P在直線EF上，請直接寫出點C，P，D在同一直線上時的值．
19．（2021·山東濟南·一模）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點D，E分別為AC，BC的中點．△CDE繞點C順時針旋轉，設旋轉角為α（0°≤α≤360°），記直線AD與直線BE的交點為點P．
(1)如圖1，當α＝0°時，AD與BE的數(shù)量關系為______，AD與BE的位置關系為______；
(2)當0°＜α≤360°時，上述結論是否成立？若成立，請僅就圖2的情形進行證明；若不成立，請說明理由；
(3)△CDE繞點C順時針旋轉一周，請直接寫出運動過程中P點運動軌跡的長度和P點到直線BC距離的最大值．
20．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市富拉爾基區(qū)教師進修學校三模）綜合與實踐
如圖①，Rt△ABC中，∠ACB= 90° ，CD為Rt△ABC的斜邊上的中線，在證明CD=AD= BD的過程中，我們可以延長CD到E，使得CD=DE ，連接BE．很容易證明∠ACD≌△BED，進而證明△ABC≌△ECB，所以AB=CE，所以CD= AD= BD．我們可以得到直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半．
實踐操作：
將兩個全等的Rt△ABD，Rt△ACE拼在一起 ，如圖②，△ABD不動．
問題解決：
（1）將△ACE繞點A逆時針旋轉，連接DE，M是DE的中點，連接MB，MC，如圖③，求證：MB=MC；
拓展延伸：
（2）若將圖②中的CE向上平移，且∠CAE不變，連接DE ，M是DE的中點，連接MB ，MC，如圖④，則線段MB，MC的數(shù)量關系為 ；
問題再探：
（3）在（2）的條件下，若∠CAE改變大小，如圖⑤，其他條件不變，請你判斷線段MB ，MC的數(shù)量關系還成立嗎?請說明理由．

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