【概念理解】（1）如圖1，四邊形ABCD是“對補四邊形”．
①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，則∠D＝ 度．
②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2時．則CD2﹣CB2＝ ．
【類比應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求證：四邊形ABCD是“對補四邊形”．
【例2】．（2022?贛州模擬）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形做“等鄰角四邊形”，例如：如圖1，∠B＝∠C，則四邊形ABCD為等鄰角四邊形．
（1）定義理解：已知四邊形ABCD為等鄰角四邊形，且∠A＝130°，∠B＝120°，則∠D＝ 度．
（2）變式應(yīng)用：如圖2，在五邊形ABCDE中，ED∥BC，對角線BD平分∠ABC．
①求證：四邊形ABDE為等鄰角四邊形；
②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，請判斷△BCD的形狀，并明理由．
（3）深入探究：如圖3，在等鄰角四邊形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足為E，點P為邊BC上的一動點，過點P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分別為M，N．在點P的運動過程中，判斷PM+PN與CE的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
（4）遷移拓展：如圖4，是一個航模的截面示意圖．四邊形ABCD是等鄰角四邊形，∠A＝∠ABC，E為AB邊上的一點，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分別為D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分別為AE、BE的中點，連接DM、CN，求△DEM與△CEN的周長之和．
【例3】（2022?常州二模）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．
（1）如圖I，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形；
（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，E，F(xiàn)在格點上；
（3）如圖3，已知四邊形ABCD是以AB為鄰余線的鄰余四邊形，AB＝15，AD＝6，BC＝3，∠ADC＝135°，求CD的長度．
【例4】（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）【理解概念】
如果一個矩形的一條邊與一個三角形的一條邊能夠重合，且三角形的這條邊所對的頂點恰好落在矩形這條邊的對邊上，則稱這樣的矩形為這個三角形的“矩形框”．如圖①，矩形ABDE即為△ABC的“矩形框”．
（1）三角形面積等于它的“矩形框”面積的 ；
（2）鈍角三角形的“矩形框”有 個；
【鞏固新知】
（3）如圖①，△ABC的“矩形框”ABDE的邊AB＝6cm，AE＝2cm，則△ABC周長的最小值為 cm；
（4）如圖②，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，求△ABC的“矩形框”的周長；
【解決問題】
（5）如圖③，銳角三角形木板ABC的邊AB＝14cm，AC＝15cm，BC＝13cm，求出該木板的“矩形框”周長的最小值．
一．解答題（共20題）
1．（2022?羅湖區(qū)模擬）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形．
根據(jù)以上定義，解決下列問題：
（1）如圖1，正方形ABCD中E是CD上的點，將△BCE繞B點旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時點E的對應(yīng)點F在DA的延長線上，則四邊形BEDF （填“是”或“不是”）“直等補”四邊形；
（2）如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補”四邊形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，過點B作BE⊥AD于E．
①過C作CF⊥BF于點F，試證明：BE＝DE，并求BE的長；
②若M是AD邊上的動點，求△BCM周長的最小值．
2．（2022?越秀區(qū)校級模擬）有一組對邊平行，一個內(nèi)角是它對角的兩倍的四邊形叫做倍角梯形．
（1）已知四邊形ABCD是倍角梯形，AD∥BC，∠A＝100°，請直接寫出所有滿足條件的∠D的度數(shù)；
（2）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD+∠B＝180°，BC＝AD+CD．求證：四邊形ABCD是倍角梯形；
（3）如圖2，在（2）的條件下，連結(jié)AC，當AB＝AC＝AD＝2時，求BC的長．
3．（2022?嘉祥縣一模）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．
（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形．
（2）如圖2，在（1）的條件下，取EF中點M，連接DM并延長交AB于點Q，延長EF交AC于點N．若N為AC的中點，DE＝2BE，QB＝3，求鄰余線AB的長．
4．（2021?任城區(qū)校級三模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”
（1）概念理解：
請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子： ；
（2）問題探究；
如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）應(yīng)用拓展；
如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，將Rt△ABD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時，求出它的面積．
5．（2022春?曾都區(qū)期末）定義：我們把對角線相等的凸四邊形叫做“等角線四邊形”．
（1）在已經(jīng)學(xué)過的“①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角線四邊形”的是 （填序號）；
（2）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且EC＝DF，連接EF，AF，求證：四邊形ABEF是等角線四邊形；
（3）如圖2，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，D為線段AB的垂直平分線上一點，若以點A，B，C，D為頂點的四邊形是等角線四邊形，求這個等角線四邊形的面積．
6．（2022春?南潯區(qū)期末）定義：我們把一組對邊平行另一組對邊相等且不平行的四邊形叫做等腰梯形．
【性質(zhì)初探】如圖1，已知，?ABCD，∠B＝80°，點E是邊AD上一點，連結(jié)CE，四邊形ABCE恰為等腰梯形．求∠BCE的度數(shù)；
【性質(zhì)再探】如圖2，已知四邊形ABCD是矩形，以BC為一邊作等腰梯形BCEF，BF＝CE，連結(jié)BE、CF．求證：BE＝CF；
【拓展應(yīng)用】如圖3，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，AB＝2，∠ABC＝45°，過點O作AC的垂線交BC的延長線于點G，連結(jié)DG．若∠CDG＝90°，求BC的長．
7．（2022春?長汀縣期末）在平面直角坐標系中，如果點p（a，b）滿足a+1＞b且b+1＞a，則稱點p為“自大點”：如果一個圖形的邊界及其內(nèi)部的所有點都不是“自大點”，則稱這個圖形為“自大忘形”．
（1）判斷下列點中，哪些點是“自大點”，直接寫出點名稱；p1（1，0），，．
（2）如果點N（2x+3，2）不是“自大點”，求出x的取值范圍．
（3）如圖，正方形ABCD的初始位置是A（0，6），B（0，4），C（2，4），D（2，6），現(xiàn)在正方形開始以每秒1個單位長的速度向下（y軸負方向）平移，設(shè)運動時間為t秒（t＞0），當正方形成為“自大忘形”時，求t的取值范圍．
8．（2022春?江北區(qū)期末）定義：對于一個四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．
概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是 ．
A．平行四邊形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
性質(zhì)探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關(guān)于四邊形ABCD的兩條結(jié)論：
；
．
問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連結(jié)BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；
拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點，
（1）試探索AC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）若AC＝2，求AB+CD的最小值．
9．（2022春?銅山區(qū)期末）新定義；若四邊形的一組對角均為直角，則稱該四邊形為對直四邊形．
（1）下列四邊形為對直四邊形的是 （寫出所有正確的序號）；
①平行四邊形；②矩形；③菱形，④正方形．
（2）如圖，在對直四邊形ABCD中，已知∠ABC＝90°，O為AC的中點．
①求證：BD的垂直平分線經(jīng)過點O；
②若AB＝6，BC＝8，請在備用圖中補全四邊形ABCD，使四邊形ABCD的面積取得最大值，并求此時BD的長度．
10．（2022春?鹽田區(qū)校級期末）給出如下定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為“鄰余四邊形”，這兩個角的夾邊稱為“鄰余線”．
（1）如圖1，格點四邊形ABCD是“鄰余四邊形”，指出它的“鄰余線”；
（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點．求證：四邊形ABEF是“鄰余四邊形”；
（3）如圖3，四邊形ABCD是“鄰余四邊形”，AB為“鄰余線”，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連接EF，AD＝4，BC＝6．求EF的長．
11．（2022春?玄武區(qū)期末）【概念認識】
在四邊形ABCD中，∠A＝∠B．如果在四邊形ABCD內(nèi)部或邊AB上存在一點P，滿足∠DPC＝∠A，那么稱點P是四邊形ABCD的“映角點”．
【初步思考】
（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，點P在邊AB上且是四邊形ABCD的“映角點”．若DA∥CP，DP∥CB，則∠DPC的度數(shù)為 °；
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B，點P在四邊形ABCD內(nèi)部且是四邊形ABCD的“映角點”，延長CP交邊AB于點E．求證：∠ADP＝∠CEB．
【綜合運用】
在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝α，點P是四邊形ABCD的“映角點”，DE、CF分別平分∠ADP、∠BCP，當DE和CF所在直線相交于點Q時，請直接寫出∠CQD與α滿足的關(guān)系及對應(yīng)α的取值范圍．
12．（2022春?北侖區(qū)期末）定義：對角線相等的四邊形稱為對美四邊形．
（1）我們學(xué)過的對美四邊形有 、 ．（寫出兩個）
（2）如圖1，D為等腰△ABC底邊AB上的一點，連結(jié)CD，過C作CF∥AB，以B為頂點作∠CBE＝∠ACD交CF于點E，求證：四邊形CDBE為對美四邊形．
（3）如圖2，對美四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AC＝BD，DC∥AB．
①若∠AOB＝120°，AB+CD＝6，求四邊形ABCD的面積．
②若AB?CD＝6，設(shè)AD＝x，BD＝y(tǒng)，試求出y與x的關(guān)系式．
13．（2022春?玄武區(qū)校級期中）如圖1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB、EF、CD為鉛直方向的邊，AF、DE、BC為水平方向的邊，點E在AB、CD之間，且在AF、BC之間，我們稱這樣的圖形為“L圖形”，若一條直線將該圖形的面積分為面積相等的兩部分，則稱此直線為該“L圖形”的等積線．
（1）如圖2所示四幅圖中，直線L是該“L圖形”等積線的是 （填寫序號）．
（2）如圖3，直線m是該“L圖形”的等積線，與邊BC、AF分別交于點M、N，過MN中點O的直線分別交邊BC、AF于點P、Q，則直線PQ （填“是”或“不是”）該圖形的等積線．
（3）在圖4所示的“L圖形”中，AB＝6，BC＝10，AF＝2．
①若CD＝2，在圖中畫出與AB平行的等積線l（在圖中標明數(shù)據(jù)）；
②在①的條件下，該圖形的等積線與水平的兩條邊DE、BC分別交于P、Q，求PQ的最大值；
③如果存在與水平方向的兩條邊DE、BC相交的等積線，則CD的取值范圍為 ．
14．（2022?姑蘇區(qū)一模）定義：有兩個內(nèi)角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形．
（1）如圖1，在半對角四邊形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，則∠B+∠C＝ °；
（2）如圖2，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，若邊AB上存在一點D，使得BD＝BO，在OA上取點E，使得DE＝OE，連接DE并延長交AC于點F，∠AED＝3∠EAF．求證：四邊形BCFD是半對角四邊形；
（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DG⊥OB于點H，交BC于點G，OH＝2，DH＝6．
①連接OC，若將扇形OBC圍成一個圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為 ；
②求△ABC的面積．
15．（2022?江北區(qū)開學(xué)）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．
（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點．
求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形．
（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，E，F(xiàn)在格點上．
（3）如圖3，在（1）的條件下，取EF中點M，連接DM并延長交AB于點Q，延長EF交AC于點N．若N為AC的中點，CD＝3BE，QB＝6，求鄰余線AB的長．
16．（2022春?西城區(qū)校級期中）平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的四個頂點坐標分別為：A（﹣，），B（﹣，﹣），C（，﹣），D（，），P、Q是這個正方形外兩點，且PQ＝1．給出如下定義：記線段PQ的中點為T，平移線段PQ得到線段P'Q'（其中P'，Q'分別是點P，Q的對應(yīng)點），記線段P'Q'的中點為T．若點P'和Q'分別落在正方形ABCD的一組鄰邊上，或線段P'Q'與正方形ABCD的一邊重合，則稱線段TT'長度的最小值為線段PQ到正方形ABCD的“回歸距離”，稱此時的點T'為線段PQ到正方形ABCD的“回歸點”．
（1）如圖1，平移線段PQ，得到正方形ABCD內(nèi)兩條長度為1的線段P1Q1和P2Q2，這兩條線段的位置關(guān)系為 ；若T1，T2分別為P1Q1和P2Q2的中點，則點 （填T1或T2）為線段PQ到正方形ABCD的“回歸點”；
（2）若線段PQ的中點T的坐標為（1，1），記線段PQ到正方形ABCD的“回歸距離”為d1，請直接寫出d1的最小值： ，并在圖2中畫出此時線段PQ到正方形ABCD的“回歸點”T'（畫出一種情況即可）；
（3）請在圖3中畫出所有符合題意的線段PQ到正方形ABCD的“回歸點”組成的圖形．
17．（2022秋?福田區(qū)期中）定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑．如圖1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四邊形ABCD是損矩形，則該損矩形的直徑是線段AC．同時我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個三角形角的特點：在公共邊的同側(cè)的兩個角是相等的．如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側(cè)有∠ADB和∠ACB，此時∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在CB同側(cè)有∠BAC和∠BDC，此時∠BAC＝∠BDC．
（1）請在圖1中再找出一對這樣的角來： ＝ ；
（2）如圖2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為一邊向外作菱形ACEF，D為菱形ACEF對角線的交點，連接BD．
①四邊形ABCD 損矩形（填“是”或“不是”）；
②當BD平分∠ABC時，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請說明理由；
③若∠ACE＝60°，AB＝4，BD＝5，求BC的長．
18．（2022春?江陰市校級月考）定義：長寬比為：1（n為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個矩形，如圖a所示．
操作1：將正方形ABEF沿過點A的直線折疊，使折疊后的點B落在對角線AE上的點G處，折痕為AH．
操作2：將FE沿過點G的直線折疊，使點F、點E分別落在邊AF，BE上，折痕為CD．則四邊形ABCD為矩形．
（1）證明：四邊形ABCD為矩形；
（2）在題（1）的矩形ABCD中，點M是邊AB上一動點．
①如圖b，O是對角線AC的中點，若點N在邊BC上，OM⊥ON，連接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，點N在邊BC上，當△DMN的周長最小時，求的值；
③連接CM，作BR⊥CM，垂足為R．若AB＝4，則DR的最小值＝ ．
19．（2022春?柯橋區(qū)月考）定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形．
（1）閱讀與理解：
如圖1，四邊形內(nèi)接于⊙O，點A為弧BD的中點．四邊形ABCD （填“是”或“不是”）等補四邊形．
（2）探究與運用：
①如圖2，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請說明理由；
②如圖3，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F，若CD＝10，AF＝5，求DF的長．
（3）思考與延伸：
在等補四邊形ABCD中，AB＝AD＝3，∠BAD＝120°，當對角線AC長度最大時，以AC為斜邊作等腰直角三角形ACP，直接寫出線段DP的長度．
20．（2021秋?荔灣區(qū)期末）如圖，共頂點的兩個三角形△ABC，△AB′C′，若AB＝AB'，AC＝AC'，且∠BAC+∠B′AC′＝180°，我們稱△ABC與△AB′C'互為“頂補三角形”．
（1）如圖2，△ABC是等腰三角形，△ABE，△ACD是等腰直角三角形，連接DE；求證：△ABC與△ADE互為頂補三角形．
（2）在（1）的條件下，BE與CD交于點F，連接AF并延長交BC于點G．判斷DE與AG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠B＝40°，∠C＝50°．在平面內(nèi)是否存在點P，使△PAD與△PBC互為頂補三角形，若存在，請畫出圖形，并證明；若不存在，請說明理由．

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