（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，直線交拋物線于，兩點，若，求的面積；
（3）如圖2，已知（2）中點坐標，點是第二象限拋物線上一點，是否存在點，使得，若存在，請求出點坐標，若不存在，請說明理由．
【例2】（2022?江岸區(qū)校級模擬）拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，且，．
（1）如圖1，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，若，是拋物線上兩點，在對稱軸右側(cè)，且，求點坐標；
（3）如圖3，是點右側(cè)拋物線上的一動點，、兩點關于軸對稱，直線、分別交直線于、兩點，交軸于，求的值．
【例3】（2022?沈陽模擬）如圖1，直線分別交軸，軸于點，，經(jīng)過點，的拋物線交軸正半軸于點．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖2，是第三象限內(nèi)的拋物線上動點，軸交直線于點，若是等腰三角形，求點坐標；
（3）是拋物線的頂點，直線上存在點，使，請直接寫出點坐標．
【例4】（2022?湖北）拋物線與直線交于原點和點，與軸交于另一點，頂點為．
（1）直接寫出點和點的坐標；
（2）如圖1，連接，為軸上的動點，當時，求點的坐標；
（3）如圖2，是點關于拋物線對稱軸的對稱點，是拋物線上的動點，它的橫坐標為，連接，，與直線交于點．設和的面積分別為和，求的最大值．
【例5】（2022?南充）拋物線與軸分別交于點，，與軸交于點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖1，頂點在拋物線上，如果面積為某值時，符合條件的點有且只有三個，求點的坐標．
（3）如圖2，點在第二象限的拋物線上，點在延長線上，，連接并延長到點，使．交軸于點，與均為銳角，，求點的坐標．
【例6】（2022?無錫）已知二次函數(shù)圖象的對稱軸與軸交于點，圖象與軸交于點，、為該二次函數(shù)圖象上的兩個動點（點在點的左側(cè)），且．
（1）求該二次函數(shù)的表達式；
（2）若點與點重合，求的值；
（3）點是否存在其他的位置，使得的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
一．解答題（共20題）
1．（2022秋?工業(yè)園區(qū)期中）已知拋物線的圖象與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸正半軸交于點，頂點為，直線軸于點．
（1）當時，知，求的長；
（2）當時，若，，求拋物線的解析式；
2．（2022春?德化縣期中）在平面直角坐標系中，經(jīng)過原點的拋物線與軸的正半軸交于點，為拋物線的頂點，且．
（1）已知．
①求二次函數(shù)的解析式；
②直線平行于，且將分成面積相等的兩部分，求直線的解析式．
（2）若為對稱軸右側(cè)的二次函數(shù)圖象上的一點，且直線交對稱軸于點，點，關于點對稱，求證：直線過定點．
3．（2021秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，已知拋物線與軸交于點，與軸交于點、，
（1）若點的坐標為；
①求該拋物線的解析式．
② ；
③點是線段上的動點．過點作，交線段于點，連接，設點的橫坐標為，的面積為，求關于的函數(shù)關系式；當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標；
（2）已知、是拋物線上兩點；將拋物線上位于、兩點間的部分記為；把的最高點與最低點的縱坐標的差記為，當時，求的取值范圍．
4．（2022?長春模擬）在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為，且該拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)）．我們規(guī)定拋物線與軸圍成的封閉區(qū)域稱為“區(qū)域”（不包括邊界）；橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點．
（1）如果拋物線經(jīng)過點．
①求的值；
②直接寫出“區(qū)域”內(nèi)整數(shù)點的個數(shù)；
（2）當時，如果拋物線在“區(qū)域”內(nèi)有4個整數(shù)點，求的取值范圍；
（3）當時，拋物線與直線交于點，把點向左平移5個單位長度得到點，以為邊作等腰直角三角形，使，點與拋物線的頂點始終在的兩側(cè)，線段與拋物線交于點，當時，直接寫出的值．
5．（2022?長沙二模）如果三角形的兩個內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“三角形”．
（1）判斷下列三角形是否為“三角形”？如果是，請在對應橫線上畫“”，如果不是，請在對應橫線上畫“”；
①其中有兩內(nèi)角分別為，的三角形 ；
②其中有兩內(nèi)角分別為，的三角形 ；
③其中有兩內(nèi)角分別為，的三角形 ；
（2）如圖1，點在雙曲線上且橫坐標為1，點，為中點，為軸負半軸上一點，若．
①求的值，并求證：為“三角形”；
②若與相似，直接寫出的坐標；
（3）如圖2，在中，，，，為邊上一點，且是“三角形”，已知，記，過，作拋物線，在右側(cè)，且在軸上，點在拋物線上，使得，若符合條件的點個數(shù)為3個，求拋物線的解析式．
6．如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，點是拋物線上一動點，過點，作直線．
（1）求拋物線的解析式及的值；
（2）當點到直線的距離為時，求點的坐標；
（3）過點作軸于點，交直線于點，若，求點的坐標．
7．（2022?中山市三模）如圖，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸為直線，點，過的直線交軸于點，交拋物線于，且．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線第四象限的圖象上找一點，使得的面積最大，求出點的坐標；
（3）點是線段上的一點，求的最小值，并求出此時點的坐標．
8．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點、點分別在的正半軸和的正半軸上，，拋物線經(jīng)過、兩點，頂點為．
（1）求拋物線的表達式；
（2）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，點落到點的位置，求四邊形的面積；
（3）將該拋物線沿軸向上或向下平移，使其經(jīng)過點，若點在平移后的拋物線上，且滿足，求點的坐標．
9．（2022?沈陽模擬）如圖，已知點，點，直線過點，交軸于點，拋物線經(jīng)過點，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）為直線上方的拋物線上一點，且，求點的坐標；
（3）平面內(nèi)任意一點，與點距離始終為2，連接，．直接寫出的最小值．
10．（2022春?西山區(qū)校級月考）已知對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過，兩點，拋物線與軸的另一個交點為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若點為第四象限拋物線上一點，連接，交于點，連接，求的最大值；
（3）如圖2，若點為拋物線上一點，且當，求點的坐標．
11．（2022春?漢川市校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，頂點為的拋物線經(jīng)過點，且與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求的值；
（3）點在第二象限內(nèi)的拋物線上，點在軸上，且，當與相似時，求點的坐標．
12．（2022秋?道里區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，直線交軸于點，軸于點，拋物線與軸交于，兩點，交軸于點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第三象限拋物線上，點橫坐標為，連接、，的面積為，求關于的函數(shù)關系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（3）在（2）的條件下，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，與線段相交于點，且，過點作交于，軸于點，連接，若，求線段的長．
13．（2022?荊門模擬）拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，頂點的坐標為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，點在第一象限的拋物線上，且，求點的坐標；在線段上確定一點，使平分四邊形的面積，求點的坐標；
（3）點是拋物線對稱軸上的一個動點，連接、，設的外心為，當?shù)闹底畲髸r，請直接寫出點的坐標．
14．（2022春?磐安縣期中）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點，已知．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若點在軸上，在該拋物線的對稱軸上，是否存在唯一的點，滿足？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）若點在軸上，滿足的點是否存在？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．
15．（2022?合肥模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，，與直線交于軸上的點，直線與軸交于點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點是拋物線上第一象限內(nèi)的一一個動點，連接、，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標；
（3）將拋物線的對稱軸向左平移3個長度單位得到直線，點是直線上一點，連接、，若直線上存在使最大的點，請直接寫出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．
16．（2022?高州市一模）在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，為拋物線頂點．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）如圖1，連接，交軸于點，點是第一象限的拋物線上的一個動點，連接交軸于，連接、，若，求點的坐標．
（3）點是拋物線對稱軸上一動點，連接、，設外接圓圓心為，當?shù)闹底畲髸r，請求出點的坐標．
17．（2022?夏津縣模擬）如圖，拋物線與軸交于，兩點，且，與軸交于點，連接，拋物線對稱軸為直線．為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點作于點，與交于點，設點的橫坐標為．
（1）求拋物線的表達式；
（2）當線段的長度最大時，求的值；
（3）點是拋物線對稱軸上的一點，點是坐標平面內(nèi)的一點，是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
18．（2022?黃岡模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交點為、，與軸交于點，為拋物線上一點，過點作于．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，若在直線上方，軸于，交于．
①求的值；
②求線段的最大值．
（3）如圖2，連接，當與相似時，直接寫出點的坐標．
19．（2022?廣東模擬）在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，為拋物線頂點．
（1）連接，交軸于點，是拋物線上的一個動點．
①如圖一，點是第一象限的拋物線上的一點，連接交軸于，連接、，若，求點的坐標．
②如圖二，點在第四象限的拋物線上，連接、交于點，設，則有最大值還是最小值？的最值是多少？
（2）如圖三，點是第四象限拋物線上的一點，過、、三點作圓，過點作軸，垂足為，交圓于點，點在運動過程中線段是否變化？若有變化，求出的取值范圍；若不變，求線段長度的定值．
（3）點是拋物線對稱軸上一動點，連接、，設外接圓圓心為，當?shù)闹底畲髸r，請直接寫出點的坐標．
20．（2022?甌海區(qū)校級自主招生）如圖，在平面直角坐標系中，點從原點出發(fā)，沿軸向右以每秒一個單位長的速度運動秒，拋物線經(jīng)過點和點．
（1）求，（用的代數(shù)式表示）；
（2）拋物線與直線和分別交于，兩點，當時，
①在點的運動過程中，你認為的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出的值；
②的面積與的函數(shù)關系式；
③是否存在這樣的值，使得以，、，為頂點的四邊形為梯形？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．

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