指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù) 一、 指數(shù)冪運(yùn)算 1. 次方根 一般地，如果一個(gè)實(shí)數(shù) 滿足  （  ），那么稱 為 的 次實(shí)數(shù)方根. 若 （ ）， 當(dāng) 時(shí)，若 ,則 ，若 ,則 ; 當(dāng) 時(shí)，若 ,則 ，若 ,則 在實(shí)數(shù)內(nèi)無(wú)解! 我們規(guī)定： 的 次實(shí)數(shù)方根等于0． 其中，式子 叫做根式，其中 叫做根指數(shù)， 叫做被開方數(shù)． 2. 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 一般地，我們規(guī)定， （ ， ， 均為正整數(shù)）， 這就是正數(shù) 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義. 我們規(guī)定 （ ， ， 均為正整數(shù)）， 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 ， 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 沒(méi)有意義！ 3. 有理數(shù)指數(shù)冪 規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義之后，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即： 其中 ， . 4. 實(shí)數(shù)指數(shù)冪 一般地，當(dāng)  且 是一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)， 也是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)實(shí)數(shù)指 數(shù)冪同樣適用. 其中 , . 經(jīng)典例題 1. 化簡(jiǎn) 的值等于 ． 2. 計(jì)算： ． 3. 已知 ，其中 ，求 ． 鞏固練習(xí) 4. 已知 ，則 化為（ ）． A. B. C. D. 5. 計(jì)算 ． 6. 已知 ，則 的值是 ． 二、 冪函數(shù)補(bǔ)充（分?jǐn)?shù)指數(shù)） 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪函數(shù) ， 互質(zhì) ： ①當(dāng) 為偶數(shù)， 為奇數(shù)時(shí)， 為 ； ②當(dāng) 為奇數(shù)， 為奇數(shù)時(shí)， 為 ； ③當(dāng) 為偶數(shù)， 為奇數(shù)時(shí)， 的定義域不關(guān)于 軸對(duì)稱，是 ； ）的單調(diào)性取決于 的正負(fù)，指數(shù)的正負(fù)也影響函數(shù)定義域． 經(jīng)典例題 7. 如圖所示是函數(shù) A. 、 是奇數(shù)，且 （ 、 且 與 互質(zhì)）的圖象，則（ ）． B. 是偶數(shù)， 是奇數(shù)，且 C. D. 是偶數(shù)， 是奇數(shù)，且是奇數(shù)， 是偶數(shù)，且 鞏固練習(xí) 8. 給定一組函數(shù)解析式① ．② ．③ ．④ ．⑤ ．⑥ 和一組 函數(shù)圖象．請(qǐng)把圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼填在下圖的括號(hào)內(nèi)． （ 1 ） （ ）．（ 2 ） （ ）．（ 3 ） （ ）．（ 4 ） （ ）． （ 5 ） （ ）． （ 6 ） （ ）． 三、 指數(shù)函數(shù) 1. 指數(shù)函數(shù)的定義 一般地，形如 （ 且 ） 的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，它的定義域是 . 經(jīng)典例題 9. 在下列的關(guān)系式中，是指數(shù)函數(shù)的有 ． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） （ 且 ）． A. （ ）（ ） B. （ ）（ ） C. （ ）（ ） D. （ ）（ ） 鞏固練習(xí) 10. 已知 是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù) （ ）． A. B. C. D. 2. 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 圖 象 定義域值域定點(diǎn)  過(guò)定點(diǎn) 單調(diào)性 在 上是 函數(shù) 在 上是 函數(shù) 性 時(shí)， 時(shí)， 質(zhì) 值變化 時(shí)， 時(shí)， 對(duì)稱性 與 的圖象關(guān)于 軸對(duì)稱 底數(shù)對(duì)圖象的影響 越小，圖象越靠近 軸 越大，圖象越靠近 軸 經(jīng)典例題 11. 函數(shù) 的圖象過(guò)定點(diǎn)（ ）． A. B. C. D. 12. 函數(shù) 的圖象一定經(jīng)過(guò)（ ）． A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 13. 如圖是指數(shù)函數(shù) ； ； ； 的圖象，則 、 、 、 與 的大小關(guān)系是（ ）． y x O A. B. C. D. 14. 設(shè) 且 ，則函數(shù) 與 在同一坐標(biāo)系中的圖象可. 能. 是（ ）． A. y B. y x x C. y D. y x x 15. 已知函數(shù) 是定義域 上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 16. 函數(shù) （ 且 ）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（ ）． A. B. C. D. 17. 若函數(shù) 的圖象在第二、三、四象限內(nèi)，則（ ）． A. B. ，且 C. ，且 D. 18. 已知 ， ， ， ，則在同一坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖像為（ ）． A. B. C. D. 19. 在下圖中，二次函數(shù) 與指數(shù)函數(shù) 的圖象只能是（ ）． A. B. C. D. 20. 已知 是 上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ）． A. B. C. D. 21. 已知函數(shù) 滿足： 且 ， ．（ ）． A. B. C. D. 若若若若 ，則，則，則，則 3. 指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 (一) 解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程 我們把指數(shù)里含有未知數(shù)的方程叫做指數(shù)方程． 解指數(shù)方程時(shí)，常利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：  ，其中  將指數(shù)式作為一 個(gè)整體，將指數(shù)方程化為整式方程求解． 經(jīng)典例題 22. 方程 的解集是( )． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 23. 設(shè)關(guān)于 的方程 ． （ 1 ）若常數(shù) （ 2 ）若該方程在 ，求此方程的解． 內(nèi)有解，求 的取值范圍． （二）利用指數(shù)函數(shù)比大小 （1）化同底：化為同底后即可仿照同底指數(shù)比較大小的步驟比較大小，因此能夠化成同底的盡量化成同底． （2）商比法：不同底但是可以化為同指數(shù)的兩數(shù)比較大小，用商比法即可迎刃而解，但是此時(shí)要注意除數(shù)的正負(fù)． （3）取中間值：不同底也不同指數(shù)時(shí)比較大小，宜先與中間值 或 比較，然后利用不等式傳遞性得到答案． （4）估算法：利用估算法可以快速達(dá)到比較大小的目的，它是一種必備的數(shù)學(xué)技能，需要有意識(shí)培養(yǎng)并深造． （5）圖解法：涉及到同一自變量的不同函數(shù)值比較大小時(shí)，可以抽取出所有函數(shù)，將其畫在同一坐標(biāo)系中，然后按照給出范圍選取自變量的值觀察函數(shù)值大小即可． 經(jīng)典例題 24. 設(shè) ， ， ，則（ ） A. B. C. D. 25. 設(shè) ， ， ，則 ， ， 的大小關(guān)系是（ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 26. 已知 ， ， ，則（ ）． A. B. C. D. 27. 已知 ， ， 則 ， ， 的大小關(guān)系是（ ）． A. B. C. D. (三) 解簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式 解指數(shù)不等式時(shí)，同樣將指數(shù)式作為一個(gè)整體，先求解不等式中指數(shù)式整體的范圍，再根據(jù)指數(shù)式 的單調(diào)性等求解未知數(shù) 的范圍． 經(jīng)典例題 28. 不等式 恒成立，則 的取值范圍是（ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 29. 若  ，  恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍． 30. 已知函數(shù) ， ，若 ， ，使得 ，則 實(shí)數(shù) 的取值范圍是( ) A. B. C. D. 四、 指數(shù)型復(fù)合函數(shù) 1. 型 經(jīng)典例題 31. 函數(shù) 的圖象大致為（ ）． A. y B. y O x O x C. D. y x O 32. 函數(shù) 的最小值為（ ）． A. B. C. D. 33. 已知 ， 是實(shí)數(shù)，且 ，則下式中成立的是（ ）． A. B. C. D. 34. 已知函數(shù) ，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù) 滿足 ，則稱函數(shù) 為“局部奇函數(shù)”， 若函數(shù) 是定義在 上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ． 35. 如果函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，那么實(shí)數(shù) 的取值范 圍是（ ）． A. B. C. D. 鞏固練習(xí) 36. 某同學(xué)在研究函數(shù) 時(shí)，分別給出下面幾個(gè)結(jié)論： ①函數(shù) 是奇函數(shù)；②函數(shù) 的值域?yàn)?；③函數(shù) 在 上是增函數(shù)； 其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 37. 函數(shù) （ 且 ）在區(qū)間 上的最大值為 ，則它在這個(gè)區(qū)間上 的最小值為 ． 38. 已知集合 ， ，若 ，則實(shí)數(shù) 的取值 范圍為（ ）． A. B. C. D. 39. 已知函數(shù) （ 且 ）在 上的最大值與最小值之差為 ． （ 1 ）求實(shí)數(shù) 的值． （ 2 ）若  ，當(dāng)  時(shí)，解不等式  . 40. 已知函數(shù) （ 1 ）求 的值． （ 2 ）若函數(shù) （ ， ），且 在區(qū)間 上的最大值比最小值大 ． 在區(qū)間 的最小值是 ，求實(shí)數(shù) 的 值． 2. 型 經(jīng)典例題 41. 已知函數(shù) （ 1 ）若  ，求 ． 的單調(diào)區(qū)間． （ 2 ）若 有最大值 ，求 的值． （ 3 ）若 的值域是 ，求 的取值范圍． 42. 已知函數(shù) 在 上有最小值 ，則 等于（ ）． A. B. C. 或 D. 鞏固練習(xí) 43. 已知函數(shù) （ ， 是常數(shù)，且 ）在區(qū)間 上有最大值 ，最小值 ，則 的值是（ ）． A. B. C. D. 44. 函數(shù) 的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是 ． 導(dǎo)圖總結(jié) 你學(xué)會(huì)了嗎？快來(lái)用思維導(dǎo)圖總結(jié)本節(jié)課所學(xué)吧！ 出門測(cè) 45. 函數(shù) 且 在 上的最大值比最小值大 ，則 的值是 ． 46. 已知函數(shù) ， ，且 ，則下列結(jié)論中，一定成立的是（ ）． A. ， ， B. ， ， C. D. 47. 函數(shù) A. 定義域： B. 定義域： C. 定義域： D. 定義域： 的定義域和值域分別為（ ）． ，值域：，值域：，值域：，值域： 12

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