?2016年天津市高考數(shù)學試卷（理科）
　
一、選擇題
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，則A∩B=（　?。?br /> A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
2．（5分）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=2x+5y的最小值為（　?。?br /> A．﹣4 B．6 C．10 D．17
3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，則AC=（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（5分）閱讀如圖的程序圖，運行相應的程序，則輸出S的值為（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
5．（5分）設{an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”的（　?。?br /> A．充要條件 B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件
6．（5分）已知雙曲線﹣=1（b＞0），以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為（　?。?br /> A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則?的值為（　?。?br /> A．﹣ B． C． D．
8．（5分）已知函數(shù)f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上單調遞減，且關于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（　　）
A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
　
二、填空題
9．（5分）已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若（1+i）（1﹣bi）=a，則的值為　 ?。?br /> 10．（5分）（x2﹣）8的展開式中x7的系數(shù)為　 　（用數(shù)字作答）
11．（5分）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為
　 　m3

12．（5分）如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長為　 ?。?br />
13．（5分）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調遞增，若實數(shù)a滿足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），則a的取值范圍是　 ?。?br /> 14．（5分）設拋物線（t為參數(shù)，p＞0）的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設C（p，0），AF與BC相交于點E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為3，則p的值為　 ?。?br /> 　
三、計算題
15．（13分）已知函數(shù)f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定義域與最小正周期；
（2）討論f（x）在區(qū)間[﹣，]上的單調性．
16．（13分）某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為2，4，4．現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．
（I）設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；
（ II）設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．
17．（13分）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2．
（1）求證：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）設H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值．

18．（13分）已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中項．
（1）設cn=bn+12﹣bn2，n∈N+，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；
（2）設a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求證：＜．
19．（14分）設橢圓+=1（a＞）的右焦點為F，右頂點為A．已知+=，其中O為原點，e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸于點H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．
20．（14分）設函數(shù)f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；
（3）設a＞0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于．
　

2016年天津市高考數(shù)學試卷（理科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題
1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，則A∩B=（　?。?br /> A．{1} B．{4} C．{1，3} D．{1，4}
【分析】把A中元素代入y=3x﹣2中計算求出y的值，確定出B，找出A與B的交集即可．
【解答】解：把x=1，2，3，4分別代入y=3x﹣2得：y=1，4，7，10，即B={1，4，7，10}，
∵A={1，2，3，4}，
∴A∩B={1，4}，
故選：D．
【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．
　
2．（5分）設變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=2x+5y的最小值為（　?。?br /> A．﹣4 B．6 C．10 D．17
【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出直線l0：2x+5y=0，平移直線l0，可得經過點（3，0）時，z=2x+5y取得最小值6．
【解答】解：作出不等式組表示的可行域，
如右圖中三角形的區(qū)域，
作出直線l0：2x+5y=0，圖中的虛線，
平移直線l0，可得經過點（3，0）時，z=2x+5y取得最小值6．
故選：B．

【點評】本題考查簡單線性規(guī)劃的應用，涉及二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，關鍵是準確作出不等式組表示的平面區(qū)域．
　
3．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，則AC=（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，
AB2=BC2+AC2﹣2AC?BCcosC，
可得：13=9+AC2+3AC，
解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．
故選：A．
【點評】本題考查三角形的解法，余弦定理的應用，考查計算能力．
　
4．（5分）閱讀如圖的程序圖，運行相應的程序，則輸出S的值為（　?。?br />
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根據(jù)程序進行順次模擬計算即可．
【解答】解：第一次判斷后：不滿足條件，S=2×4=8，n=2，i＞4，
第二次判斷不滿足條件n＞3：
第三次判斷滿足條件：S＞6，此時計算S=8﹣6=2，n=3，
第四次判斷n＞3不滿足條件，
第五次判斷S＞6不滿足條件，S=4．n=4，
第六次判斷滿足條件n＞3，
故輸出S=4，
故選：B．
【點評】本題主要考查程序框圖的識別和運行，根據(jù)條件進行模擬計算是解決本題的關鍵．
　
5．（5分）設{an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”的（　?。?br /> A．充要條件 B．充分而不必要條件
C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】利用必要、充分及充要條件的定義判斷即可．
【解答】解：{an}是首項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，
若“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，
例如：當首項為2，q=﹣時，各項為2，﹣1，，﹣，…，此時2+（﹣1）=1＞0，+（﹣）=＞0；
而“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，
則“q＜0”是“對任意的正整數(shù)n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分條件，
故選：C．
【點評】此題考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵．
　
6．（5分）已知雙曲線﹣=1（b＞0），以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為（　?。?br /> A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【分析】以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為x2+y2=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x，利用四邊形ABCD的面積為2b，求出A的坐標，代入圓的方程，即可得出結論．
【解答】解：以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為x2+y2=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x，
設A（x，x），則∵四邊形ABCD的面積為2b，
∴2x?bx=2b，
∴x=±1
將A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，∴b2=12，
∴雙曲線的方程為﹣=1，
故選：D．
【點評】本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
　
7．（5分）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D、E分別是邊AB、BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則?的值為（　　）
A．﹣ B． C． D．
【分析】由題意畫出圖形，把、都用表示，然后代入數(shù)量積公式得答案．
【解答】解：如圖，

∵D、E分別是邊AB、BC的中點，且DE=2EF，
∴?==
==
===
=．
故選：C．
【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查向量加減法的三角形法則，是中檔題．
　
8．（5分）已知函數(shù)f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上單調遞減，且關于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（　?。?br /> A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}
【分析】利用函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)對數(shù)的圖象和性質判斷出a的大致范圍，再根據(jù)f（x）為減函數(shù)，得到不等式組，利用函數(shù)的圖象，方程的解的個數(shù)，推出a的范圍．
【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）遞減，則0＜a＜1，
函數(shù)f（x）在R上單調遞減，則：
；
解得，；
由圖象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且僅有一個解，
故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同樣有且僅有一個解，
當3a＞2即a＞時，聯(lián)立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，
則△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，
解得a=或1（舍去），
當1≤3a≤2時，由圖象可知，符合條件，
綜上：a的取值范圍為[，]∪{}，
故選：C．

【點評】本題考查了方程的解個數(shù)問題，以及參數(shù)的取值范圍，考查了學生的分析問題，解決問題的能力，以及數(shù)形結合的思想，屬于中檔題．
　
二、填空題
9．（5分）已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若（1+i）（1﹣bi）=a，則的值為　2?。?br /> 【分析】根據(jù)復數(shù)相等的充要條件，構造關于a，b的方程，解得a，b的值，進而可得答案．
【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，
∴，
解得：，
∴=2，
故答案為：2
【點評】本題考查的知識點是復數(shù)的乘法運算，復數(shù)相等的充要條件，難度不大，屬于基礎題．
　
10．（5分）（x2﹣）8的展開式中x7的系數(shù)為　﹣56?。ㄓ脭?shù)字作答）
【分析】利用通項公式即可得出．
【解答】解：Tr+1==x16﹣3r，
令16﹣3r=7，解得r=3．
∴（x2﹣）8的展開式中x7的系數(shù)為=﹣56．
故答案為：﹣56．
【點評】本題考查了二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
　
11．（5分）已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為
　2　m3

【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，進而可得答案．
【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱錐，
棱錐的底面是底為2，高為1的平行四邊形，故底面面積S=2×1=2m2，
棱錐的高h=3m，
故體積V==2m3，
故答案為：2
【點評】本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據(jù)已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關鍵．
　
12．（5分）如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長為　　．

【分析】由BD=ED，可得△BDE為等腰三角形，過D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．
【解答】解：如圖，
過D作DH⊥AB于H，
∵BE=2AE=2，BD=ED，
∴BH=HE=1，則AH=2，BH=1，
∴DH2=AH?BH=2，則DH=，
在Rt△DHE中，則，
由相交弦定理可得：CE?DE=AE?EB，
∴．
故答案為：．

【點評】本題考查與圓有關的比例線段，考查相交弦定理的應用，是中檔題．
　
13．（5分）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調遞增，若實數(shù)a滿足f（2|a﹣1|）＞f（﹣），則a的取值范圍是?。ǎ。?br /> 【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行轉化進行求解即可．
【解答】解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣∞，0）上單調遞增，
∴f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞減，
則f（2|a﹣1|）＞f（﹣），等價為f（2|a﹣1|）＞f（），
即﹣＜2|a﹣1|＜，
則|a﹣1|＜，即＜a＜，
故答案為：（，）
【點評】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系將不等式進行轉化是解決本題的關鍵．
　
14．（5分）設拋物線（t為參數(shù)，p＞0）的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設C（p，0），AF與BC相交于點E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面積為3，則p的值為　?。?br /> 【分析】化簡參數(shù)方程為普通方程，求出F與l的方程，然后求解A的坐標，利用三角形的面積列出方程，求解即可．
【解答】解：拋物線（t為參數(shù)，p＞0）的普通方程為：y2=2px焦點為F（，0），如圖：過拋物線上一點A作l的垂線，垂足為B，設C（p，0），AF與BC相交于點E．|CF|=2|AF|，
|CF|=3p，|AB|=|AF|=p，A（p，），
△ACE的面積為3，，
可得=S△ACE．
即：=3，
解得p=．
故答案為：．

【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，拋物線的參數(shù)方程的應用，考查分析問題解決問題的能力．
　
三、計算題
15．（13分）已知函數(shù)f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
（1）求f（x）的定義域與最小正周期；
（2）討論f（x）在區(qū)間[﹣，]上的單調性．
【分析】（1）利用三角函數(shù)的誘導公式以及兩角和差的余弦公式，結合三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡求解即可．
（2）利用三角函數(shù)的單調性進行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=4tanxsin（﹣x）cos（x﹣）﹣．
∴x≠kπ+，即函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ+，k∈Z}，
則f（x）=4tanxcosx?（cosx+sinx）﹣
=4sinx（cosx+sinx）﹣
=2sinxcosx+2sin2x﹣
=sin2x+（1﹣cos2x）﹣
=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣），
則函數(shù)的周期T=；
（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函數(shù)的增區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
當k=0時，增區(qū)間為[﹣，]，k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此時x∈[﹣，]，
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，即函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈Z，
當k=﹣1時，減區(qū)間為[﹣，﹣]，k∈Z，
∵x∈[﹣，]，∴此時x∈[﹣，﹣]，
即在區(qū)間[﹣，]上，函數(shù)的減區(qū)間為∈[﹣，﹣]，增區(qū)間為[﹣，]．

【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，利用三角函數(shù)的誘導公式，兩角和差的余弦公式以及輔助角公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．
　
16．（13分）某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為2，4，4．現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．
（I）設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；
（ II）設X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．
【分析】（ I）由相互獨立事件的概率計算公式求出事件A發(fā)生的概率；
（Ⅱ）根據(jù)題意知隨機變量X的所有可能取值，
計算對應的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學期望值．
【解答】解：（ I）由已知得：，
所以，事件A發(fā)生的概率為；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（Ⅱ）隨機變量X的所有可能取值為0，1，2；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
計算，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
所以，隨機變量X的分布列為
X
0
1
2
P



隨機變量X的數(shù)學期望為
．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算問題，是基礎題．
　
17．（13分）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB=BE=2．
（1）求證：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）設H為線段AF上的點，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值．

【分析】（1）取AD的中點I，連接FI，證明四邊形EFIG是平行四邊形，可得EG∥FI，利用線面平行的判定定理證明：EG∥平面ADF；
（2）建立如圖所示的坐標系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）求出=（﹣，，），利用向量的夾角公式求出直線BH和平面CEF所成角的正弦值．
【解答】（1）證明：取AD的中點I，連接FI，
∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，
∵G，I是中點，
∴GI∥BD，GI=BD．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OB=BD．
∴EF∥GI，EF=GI，
∴四邊形EFIG是平行四邊形，
∴EG∥FI，
∵EG?平面ADF，F(xiàn)I?平面ADF，
∴EG∥平面ADF；
（2）解：建立如圖所示的坐標系O﹣xyz，則B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），
F（0，0，2），
設平面CEF的法向量為=（x，y，z），則，取=（，0，1）
∵OC⊥平面OEF，
∴平面OEF的法向量為=（1，0，0），
∵|cos＜，＞|=
∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值為=；
（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．
設H（a，b，c），則=（a+，b，c）=（，0，）．
∴a=﹣，b=0，c=，
∴=（﹣，，），
∴直線BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．

【點評】本題考查證明線面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直線BH和平面CEF所成角的正弦值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
　
18．（13分）已知{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中項．
（1）設cn=bn+12﹣bn2，n∈N+，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；
（2）設a1=d，Tn=（﹣1）kbk2，n∈N*，求證：＜．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質，建立方程關系，根據(jù)條件求出數(shù)列{cn}的通項公式，結合等差數(shù)列的定義進行證明即可．
（2）求出Tn=（﹣1）kbk2的表達式，利用裂項法進行求解，結合放縮法進行不等式的證明即可．
【解答】證明：（1）∵{an}是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對任意的n∈N+，bn是an和an+1的等比中項．
∴cn=b﹣b=an+1an+2﹣anan+1=2dan+1，
∴cn+1﹣cn=2d（an+2﹣an+1）=2d2為定值；
∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；
（2）Tn=（﹣1）kbk2=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=2d（a2+a4+…+a2n）=2d
=2d2n（n+1），
∴==（1﹣…+﹣）=（1﹣）．
即不等式成立．
【點評】本題主要考查遞推數(shù)列的應用以及數(shù)列與不等式的綜合，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質分別求出對應的通項公式以及利用裂項法進行求解是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．
　
19．（14分）設橢圓+=1（a＞）的右焦點為F，右頂點為A．已知+=，其中O為原點，e為橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與y軸于點H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍．
【分析】（1）由題意畫出圖形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，轉化為關于a的方程，解方程求得a值，則橢圓方程可求；
（2）由已知設直線l的方程為y=k（x﹣2），（k≠0），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系求得B的坐標，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐標與k的關系，由∠MOA≤∠MAO，得到x0≥1，轉化為關于k的不等式求得k的范圍．
【解答】解：（1）由+=，得，
即，
∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．
∴橢圓方程為；
（2）由已知設直線l的方程為y=k（x﹣2），（k≠0），
設B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），
∵∠MOA≤∠MAO，
∴x0≥1，
再設H（0，yH），
聯(lián)立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．
△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．
由根與系數(shù)的關系得，
∴，，
MH所在直線方程為，
令x=0，得，
∵BF⊥HF，
∴，
即1﹣x1+y1yH=，
整理得：，即8k2≥3．
∴或．

【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，體現(xiàn)了“整體運算”思想方法和“設而不求”的解題思想方法，考查運算能力，是難題．
　
20．（14分）設函數(shù)f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值點x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，求證：x1+2x0=3；
（3）設a＞0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于．
【分析】（1）求出f（x）的導數(shù)，討論a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；當a＞0時，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（2）f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，分別計算f（x0），f（3﹣2x0），化簡整理即可得證；
（3）要證g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于，即證在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥．討論當a≥3時，當0＜a＜3時，運用單調性和極值，化簡整理即可得證．
【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=（x﹣1）3﹣ax﹣b的導數(shù)為
f′（x）=3（x﹣1）2﹣a，
當a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；
當a＞0時，當x＞1+或x＜1﹣時，f′（x）＞0，
當1﹣＜x＜1+，f′（x）＜0，
可得f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），減區(qū)間為（1﹣，1+）；
（2）證明：f′（x0）=0，可得3（x0﹣1）2=a，
由f（x0）=（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，
f（3﹣2x0）=（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b
=（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b=（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，
即為f（3﹣2x0）=f（x0）=f（x1），
即有3﹣2x0=x1，即為x1+2x0=3；
（3）證明：要證g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于，
只需證在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）≥．
當a≥3時，f（x）在[0，2]遞減，f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，
f（0）﹣f（2）=2a﹣2≥4＞，遞減，成立；
當0＜a＜3時，f（1﹣）=（﹣）3﹣a（1﹣）﹣b=﹣﹣a+a﹣b
=﹣a﹣b，
f（1+）=（）3﹣a（1+）﹣b=﹣a﹣a﹣b
=﹣﹣a﹣b，
f（2）=1﹣2a﹣b，f（0）=﹣1﹣b，
f（2）﹣f（0）=2﹣2a，
若0＜a≤時，f（2）﹣f（0）=2﹣2a≥成立；
若a＞時，f（1﹣）﹣f（1+）=＞成立．
綜上可得，g（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值不小于．
【點評】本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和最值，考查不等式的證明，注意運用分類討論的思想方法和轉化思想，考查分析法的證明，以及化簡整理的運算能力，屬于難題．
　

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