?2022年天津市高考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）
1．（5分）（2022?天津）設(shè)全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，則A∩（?UB）＝（　　）
A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{0，﹣1，1，2}
2．（5分）（2022?天津）“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的（　?。l件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
3．（5分）（2022?天津）函數(shù)f（x）＝的圖像為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
4．（5分）（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（　　）

A．8 B．12 C．16 D．18
5．（5分）已知a＝20.7，b＝（）0.7，c＝log2，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＞c＞b B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞a＞b
6．（5分）（2022?天津）化簡（2log43+log83）（log32+log92）的值為（　?。?br /> A．1 B．2 C．4 D．6
7．（5分）（2022?天津）已知拋物線y2＝4x，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點F1，與雙曲線的漸近線交于點A，若∠F1F2A＝，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　?。?br /> A．﹣y2＝1 B．x2﹣＝1 C．x2﹣＝1 D．﹣y2＝1
8．（5分）（2022?天津）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120°，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（　?。?br />
A．23 B．24 C．26 D．27
9．（5分）（2022?天津）已知f（x）＝sin2x，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：
①f（x）的最小正周期為2π；
②f（x）在[﹣，]上單調(diào)遞增；
③當(dāng)x∈[，]時，f（x）的取值范圍為[﹣，]；
④f（x）的圖象可由g（x）＝sin（2x+）的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數(shù)為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分）
10．（5分）（2022?天津）已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為 　 ?。?br /> 11．（5分）（2022?天津）（+）5的展開式中的常數(shù)項為 　 ?。?br /> 12．（5分）（2022?天津）若直線x﹣y+m＝0（m＞0）與圓（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3相交所得的弦長為m，則m＝　 ?。?br /> 13．（5分）（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為 　 ??；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為 　 　．
14．（5分）（2022?天津）在△ABC中，＝，＝，D是AC中點，＝2，試用，表示為 　 　，若⊥，則∠ACB的最大值為 　 ?。?br /> 15．（5分）（2022?天津）設(shè)a∈R，對任意實數(shù)x，記f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為 　 ?。?br /> 三、解答題（本大題共5小題，共75分）
16．（15分）（2022?天津）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a＝，b＝2c，cosA＝﹣．
（1）求c的值；
（2）求sin B的值；
（3）求sin（2A﹣B）的值．
17．（15分）（2022?天津）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D為A1B1中點，E為AA1中點，F(xiàn)為CD中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求直線BE與平面CC1D的正弦值；
（3）求平面A1CD與平面CC1D夾角的余弦值．

18．（15分）（2022?天津）設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1．
（1）求{an}與{bn}的通項公式；
（2）設(shè){an}的前n項和為Sn，求證：（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn；
（3）求[ak+1﹣（﹣1）kak]bk．
19．（15分）（2022?天津）橢圓+＝1（a＞b＞0）的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足＝．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
20．（15分）（2022?天津）已知a，b∈R，函數(shù)f（x）＝ex﹣asinx，g（x）＝b．
（1）求函數(shù)y＝f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）若y＝f（x）和y＝g（x）有公共點．
（?。┊?dāng)a＝0時，求b的取值范圍；
（ⅱ）求證：a2+b2＞e．

2022年天津市高考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共9小題，每小題5分，共45分）
1．（5分）（2022?天津）設(shè)全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，則A∩（?UB）＝（　?。?br /> A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{0，﹣1，1，2}
【考點】交、并、補集的混合運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；綜合法；高考數(shù)學(xué)專題；集合；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．
【分析】直接利用集合的補集與交集的運算法則求解即可．
【解答】解：全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，
則A∩（?UB）＝{0，1，2}∩{﹣2，0，1}＝{0，1}．
故選：A．
【點評】本題考查集合的交集，補集的運算法則的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
2．（5分）（2022?天津）“x為整數(shù)”是“2x+1為整數(shù)”的（　?。l件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【考點】充分條件與必要條件．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】對應(yīng)思想；定義法；簡易邏輯；邏輯推理．
【分析】分別判斷充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解：x為整數(shù)時，2x+1也是整數(shù)，充分性成立；
2x+1為整數(shù)時，x不一定是整數(shù)，如x＝時，所以必要性不成立，是充分不必要條件．
故選：A．
【點評】本題考查了充分必要條件的判斷問題，是基礎(chǔ)題．
3．（5分）（2022?天津）函數(shù)f（x）＝的圖像為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】對應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象．
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和特殊點，即可判斷．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∴f（﹣x）＝＝﹣f（x），
∴該函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯誤；
x＞0時，x→0，f（x）→+∞；x＝1，f（x）＝0；x→+∞，f（x）→+∞，
故BC錯誤，D正確．
故選：D．
【點評】本題考查函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題．
4．（5分）（2022?天津）為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（　?。?br />
A．8 B．12 C．16 D．18
【考點】頻率分布直方圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．
【分析】結(jié)合已知條件和頻率分布直方圖求出志愿者的總?cè)藬?shù)，進而求出第三組的總?cè)藬?shù)，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：志愿者的總?cè)藬?shù)為＝50，
∴第3組的人數(shù)為50×0.36＝18，
有療效的人數(shù)為18﹣6＝12人．
故選：B．
【點評】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
5．（5分）已知a＝20.7，b＝（）0.7，c＝log2，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＞c＞b B．b＞c＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞a＞b
【考點】對數(shù)值大小的比較．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理．
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，判斷a＞1＞b＞0＞c．
【解答】解：因為y＝2x是定義域R上的單調(diào)增函數(shù)，所以20.7＞20＝1，即a＝20.7＞1；
因為y＝是定義域R上的單調(diào)減函數(shù)，所以＜＝1，且b＝（）0.7，所以0＜b＜1；
因為y＝log2x是定義域（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)，所以log2＜log21＝0，即c＝log2＜0；
所以a＞b＞c．
故選：C．
【點評】本題考查了根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷函數(shù)值大小的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
6．（5分）（2022?天津）化簡（2log43+log83）（log32+log92）的值為（　?。?br /> A．1 B．2 C．4 D．6
【考點】對數(shù)的運算性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．
【分析】利用對數(shù)的換底公式計算即可．
【解答】解：（2log43+log83）（log32+log92）＝（+）（+）
＝（+）（+）
＝?
＝2．
故選：B．
【點評】本題考查了對數(shù)的換底公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．
7．（5分）（2022?天津）已知拋物線y2＝4x，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點F1，與雙曲線的漸近線交于點A，若∠F1F2A＝，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　?。?br /> A．﹣y2＝1 B．x2﹣＝1 C．x2﹣＝1 D．﹣y2＝1
【考點】雙曲線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算．
【分析】先由拋物線方程的準(zhǔn)線方程，得雙曲線的半焦距c，再聯(lián)立拋物線準(zhǔn)線方程與雙曲線的漸近線方程解得|yA|，接著由∠F1F2A＝，可得|yA|＝|F1F2|，從而得b＝2a，最后再通過c2＝a2+b2建立方程即可求解．
【解答】解：由題意可得拋物線的準(zhǔn)線為x＝，又拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點F1，
∴c＝，聯(lián)立，可得|yA|＝，又∠F1F2A＝，
∴|yA|＝|F1F2|，
∴，∴b＝2a，∴b2＝4a2，
又c2＝a2+b2，
∴5＝a2+4a2，
∴a2＝1，b2＝4，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故選：C．
【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)，方程思想，屬基礎(chǔ)題．
8．（5分）（2022?天津）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120°，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（　?。?br />
A．23 B．24 C．26 D．27
【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；整體思想；綜合法；立體幾何；直觀想象；數(shù)學(xué)運算．
【分析】根據(jù)題目插圖和題干對“十字歇山”的結(jié)構(gòu)特征的描述，作出幾何體直觀圖，再求出該組合體的體積．
【解答】解：如圖，該組合體由直三棱柱AFD﹣BHC和直三棱柱AEB﹣DGC組成，且ABCD為正方形，
設(shè)重疊后的EG與FH交點為I，
作HM⊥CB于M，因為CH＝BH＝3，∠CHB＝120°，
所以CM＝BM＝，HM＝，BC＝AB＝3，

方法①：四個形狀相同的三棱錐（I﹣AEB、I﹣BCH，I﹣CDG、I﹣ADF）的體積之和，加上正四棱錐I﹣ABCD的體積：
在直三棱柱AFD﹣BHC中，AB⊥平面BHC，則AB⊥HM，
由AB∩BC＝B可得HM⊥平面ADCB，
正四棱錐I﹣ABCD的高等于HM的長，
VI﹣AEB＝××3××＝，VI﹣ABCD＝＝，
該組合體的體積V＝VI﹣AEB×4+VI﹣ABCD＝×4+＝27；

方法②：兩個直三棱柱體積相加，再減去重疊部分（正四棱錐I﹣ABCD）的體積：
在直三棱柱AFD﹣BHC中，AB⊥平面BHC，則AB⊥HM，
由AB∩BC＝B可得HM⊥平面ADCB，
正四棱錐I﹣ABCD的高等于HM的長，
VI﹣ABCD＝＝，VAFD﹣BHC＝＝，
該組合體的體積V＝VAFD﹣BHC×2﹣VI﹣ABCD＝2×＝27．
故選：D．

【點評】本題主要考查組合體結(jié)構(gòu)的認(rèn)識即體積的求法，需要具備一定的直觀想象能力，屬于中檔題．
9．（5分）（2022?天津）已知f（x）＝sin2x，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：
①f（x）的最小正周期為2π；
②f（x）在[﹣，]上單調(diào)遞增；
③當(dāng)x∈[，]時，f（x）的取值范圍為[﹣，]；
④f（x）的圖象可由g（x）＝sin（2x+）的圖象向左平移個單位長度得到．
以上四個說法中，正確的個數(shù)為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【考點】正弦函數(shù)的圖象；正弦函數(shù)的單調(diào)性．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算．
【分析】由題意，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【解答】解：對于f（x）＝sin2x，它的最小正周期為＝π，故①錯誤；
在[﹣，]，2x∈[﹣，]，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故②正確；
當(dāng)x∈[，]時，2x∈[﹣，]，f（x）的取值范圍為[﹣，]，故③錯誤；
f（x）的圖象可由g（x）＝sin（2x+）的圖象向右平移個單位長度得到，故④錯誤，
故選：A．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分）
10．（5分）（2022?天津）已知i是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為 　1﹣5i　．
【考點】復(fù)數(shù)的運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；整體思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算．
【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡即可．
【解答】解：＝＝＝1﹣5i，
故答案為：1﹣5i．
【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，屬于基礎(chǔ)題．
11．（5分）（2022?天津）（+）5的展開式中的常數(shù)項為 　15　．
【考點】二項式定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題．
【分析】先寫出二項式的展開式的通項，整理出最簡形式，要求展開式的常數(shù)項，只要使得變量的指數(shù)等于0，求出r的值，代入系數(shù)求出結(jié)果．
【解答】解：∵的展開式的通項是＝
要求展開式中的常數(shù)項只要使得5﹣5r＝0，即r＝1
∴常數(shù)項是×3＝15，
故答案為：15
【點評】本題考查二項式定理，本題解題的關(guān)鍵是寫出展開式的通項，這是解決二項式定理有關(guān)題目的通法，本題是一個基礎(chǔ)題．
12．（5分）（2022?天津）若直線x﹣y+m＝0（m＞0）與圓（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3相交所得的弦長為m，則m＝　2?。?br /> 【考點】直線與圓的位置關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算．
【分析】先求出圓心到直線的距離，再根據(jù)圓中的弦長公式建立方程，最后解方程即可得解．
【解答】解：∵圓心C（1，1）到直線x﹣y+m＝0（m＞0）的距離d＝，
又直線與圓相交所得的弦長為m，
∴m＝，
∴，
解得m＝2．
故答案為：2．
【點評】本題考查直線與圓相交的弦長問題，點到直線的距離公式，方程思想，屬基礎(chǔ)題．
13．（5分）（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為 　　；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為 　?。?br /> 【考點】條件概率與獨立事件．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計算題；整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算．
【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率．
【解答】解：由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B，第二次抽到A的事件為C，
則P（BC）＝＝，P（B）＝＝，
∴P（C|B）＝＝＝，
故答案為：；．
【點評】本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，考查了條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）（2022?天津）在△ABC中，＝，＝，D是AC中點，＝2，試用，表示為 　　，若⊥，則∠ACB的最大值為 　?。?br /> 【考點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算．
【分析】由題意，利用兩個向量加減法及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積公式，基本不等式，求出cosC的最小值，可得∠ACB的最大值．
【解答】解：∵△ABC中，＝，＝，D是AC中點，＝2，如圖：
∴＝﹣＝+﹣＝+﹣＝．
∵＝﹣＝﹣，⊥，
∴?＝（﹣）?＝（3﹣4+）＝0，即4＝+3，
即4?a?b?cosC＝a2+3b2，即cosC＝≥＝，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝3b時，等號成立，故cosC的最小值為，故C的最大值為，
即∠ACB的最大值為，
故答案為：；．

【點評】本題主要考查兩個向量加減法及其幾何意義，兩個向量的數(shù)量積公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
15．（5分）（2022?天津）設(shè)a∈R，對任意實數(shù)x，記f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍為 　[10，+∞）?。?br /> 【考點】函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】分類討論；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；直觀想象；數(shù)學(xué)運算．
【分析】設(shè)g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，分析可知函數(shù)g（x）至少有一個零點，可得出Δ≥0，求出a的取值范圍，然后對實數(shù)a的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)a的不等式，綜合可求得實數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：設(shè)g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，由|x|﹣2＝0可得x＝±2．
要使得函數(shù)f（x）至少有3個零點，則函數(shù)g（x）至少有一個零點，
則Δ＝a2﹣4（3a﹣5）≥0，
解得a≤2或a≥10．
①當(dāng)a＝2時，g（x）＝x2﹣2x+1，作出函數(shù)g（x）、h（x）的圖象如圖所示：

此時函數(shù)f（x）只有兩個零點，不滿足題意；
②當(dāng)a＜2時，設(shè)函數(shù)g（x）的兩個零點分別為x1、x2（x1＜x2），
要使得函數(shù)f（x）至少有3個零點，則x2≤﹣2，
所以，，解得a∈?；
③當(dāng)a＝10時，g（x）＝x2﹣10x+25，作出函數(shù)g（x）、h（x）的圖象如圖所示：

由圖可知，函數(shù)f（x）的零點個數(shù)為3，滿足題意；
④當(dāng)a＞10時，設(shè)函數(shù)g（x）的兩個零點分別為x3、x4（x3＜x4），
要使得函數(shù)f（x）至少有3個零點，則x3≥2，
可得，解得a＞4，此時a＞10．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[10，+∞）．
故答案為：[10，+∞）．
【點評】本題考查了函數(shù)的零點、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中難題．
三、解答題（本大題共5小題，共75分）
16．（15分）（2022?天津）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a＝，b＝2c，cosA＝﹣．
（1）求c的值；
（2）求sin B的值；
（3）求sin（2A﹣B）的值．
【考點】三角形中的幾何計算；兩角和與差的三角函數(shù)；正弦定理；余弦定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】整體思想；綜合法；解三角形；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．
【分析】（1）由余弦定理及題中條件可得c邊的值；
（2）由正弦定理可得sinC的值，再由b＝2c及正弦定理可得sinB的值；
（3）求出2A及B角的正余弦值，由兩角差的正弦公式可得2A﹣B的正弦值．
【解答】解（1）因為a＝，b＝2c，cosA＝﹣，
由余弦定理可得cosA＝＝＝﹣，
解得：c＝1；
（2）cosA＝﹣，A∈（0，π），所以sinA＝＝，
由b＝2c，可得sinB＝2sinC，
由正弦定理可得＝，即＝，
可得sinC＝，
所以sinB＝2sinC＝2×＝；
（3）因為cosA＝﹣，sinA＝，
所以sin2A＝2sinAcosA＝2×（﹣）×＝﹣，cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝﹣，
sinB＝，可得cosB＝，
所以sin（2A﹣B）＝sin2AcosB﹣cos2AsinB＝﹣×﹣（﹣）×＝，
所以sin（2A﹣B）的值為．
【點評】本題考查正余弦定理及兩角差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
17．（15分）（2022?天津）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝2，AA1⊥AB，AC⊥AB，D為A1B1中點，E為AA1中點，F(xiàn)為CD中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求直線BE與平面CC1D的正弦值；
（3）求平面A1CD與平面CC1D夾角的余弦值．

【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】數(shù)形結(jié)合；向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)建模．
【分析】利用中位線可證（1），建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)＝（x，y，z）是平面CC1D的法向量，平面A1CD的法向量為＝（x，y，z），可解．
【解答】解：（1）證明：取BB1的中點G，連接FG，EG，連接AD交EG于K，
再連接FK，
∵EK∥A1B1，且E是AA1的中點，則K是AD的中點，
∴FK∥AC，EG∥AB，
又FK?平面ABC，AC?平面ABC，
∴FK∥平面ABC，
同理可得，EG∥平面ABC，
又FK∩EG＝K，
∴平面EFG∥平面ABC，
∴EF∥平面ABC，
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
又AA1＝AB＝AC＝2，D為A1B1中點，E為AA1中點，F(xiàn)為CD中點．
故B（2，2，0），E（1，0，0），C（2，0，2），C1（0，0，2），D（0，1，0），
則＝（﹣1，﹣2，0），＝（﹣2，0，0），＝（﹣2，1，﹣2），
設(shè)＝（x，y，z）是平面CC1D的法向量，則有：＝0，?＝0，即，令z＝1，則x＝0，y＝2，
所以，
設(shè)直線BE與平面CC1D的夾角為θ，則sinθ＝|cos|＝||＝，
（3）∵A1（0，0，0），則＝（2，0，2），＝（0，1，0），
設(shè)平面A1CD的法向量為＝（x，y，z），則有＝0，＝0，
即，令x＝1，則y＝0，z＝﹣1，故，
設(shè)平面A1CD與平面CC1D的夾角為β，
所以cosβ＝|cos|＝||＝．

【點評】本題考查了利用空間向量求線面角以及二面角的大小，屬于較難題．
18．（15分）（2022?天津）設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1．
（1）求{an}與{bn}的通項公式；
（2）設(shè){an}的前n項和為Sn，求證：（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn；
（3）求[ak+1﹣（﹣1）kak]bk．
【考點】數(shù)列遞推式；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運算．
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，由a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1，可得1+d﹣q＝1，1+2d﹣q2＝1，解得d，q，即可得出an．
（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式與前n項和的關(guān)系結(jié)合分析法能證明（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn；
（3）先求出[]b2k﹣1+[a2k+1﹣（﹣1）2k2k]b2k＝2k?4k，利用并項求和，結(jié)合錯位相減法能求出結(jié)果．
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，
∵a1＝b1＝a2﹣b2＝a3﹣b3＝1，
∴1+d﹣q＝1，1+2d﹣q2＝1，
解得d＝q＝2，
∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，bn＝2n﹣1．
（2）證明：∵bn+1＝2bn≠0，
∴要證明（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn，
即證明（Sn+1+an+1）bn＝2Sn+1?bn﹣Snbn，
即證明Sn+1+an+1＝2Sn+1﹣Sn，
即證明an+1＝Sn+1﹣Sn，
由數(shù)列的通項公式和前n項和的關(guān)系得：an+1＝Sn+1﹣Sn，
∴（Sn+1+an+1）bn＝Sn+1bn+1﹣Snbn．
（3）∵[]b2k﹣1+[a2k+1﹣（﹣1）2k2k]b2k
＝（4k﹣1+4k﹣3）×22k﹣2+[4k+1﹣（4k﹣1）]×22k﹣1＝2k?4k，
∴[ak+1﹣（﹣1）kak]bk＝{[a2k﹣（﹣1）2k﹣1a2k﹣1]b2k﹣1+[a2k]b2k}
＝2k?4k，
設(shè)Tn＝．
則+???+2n×4n，①
∴4Tn＝2×42+4×43+6×44+???+2n×4n+1，②
①﹣②，得：
﹣3Tn＝2（4+42+43+44+???+4n）﹣2n?4n+1
＝
＝，
∴Tn＝，
∴[ak+1﹣（﹣1）kak]bk＝．
【點評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
19．（15分）（2022?天津）橢圓+＝1（a＞b＞0）的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足＝．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標(biāo)原點，若|OM|＝|ON|，且△OMN的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【考點】直線與橢圓的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)運算．
【分析】（1）根據(jù)＝建立a，b的等式，再轉(zhuǎn)化為a，c的等式，從而得離心率e的值；
（2）先由（1）將橢圓方程轉(zhuǎn)化為x2+3y2＝a2，再設(shè)直線l為y＝kx+m，聯(lián)立橢圓方程求出點M的坐標(biāo)，再由Δ＝0及|OM|＝|ON|，且△OMN的面積為建立方程組，再解方程組即可得解．
【解答】解：（1）∵＝＝，∴，
∴a2＝3b2，
∴a2＝3（a2﹣c2），∴2a2＝3c2，
∴e＝＝；
（2）由（1）可知橢圓為，
即x2+3y2＝a2，
設(shè)直線l：y＝kx+m，聯(lián)立x2+3y2＝a2，消去y可得：
（3k2+1）x2+6kmx+（3m2﹣a2）＝0，又直線l與橢圓只有一個公共點，
∴Δ＝36k2m2﹣4（3k2+1）（3m2﹣a）＝0，∴3m2＝a2（3k2+1），
又，∴，
又|OM|＝|ON|，∴，
解得，∴k＝±，
又△OMN的面積為＝＝，
∴，∴m2＝4，
又k＝，3m2＝a2（3k2+1），∴a2＝6，b2＝2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
【點評】本題考橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓相切的位置關(guān)系，方程思想，屬中檔題．
20．（15分）（2022?天津）已知a，b∈R，函數(shù)f（x）＝ex﹣asinx，g（x）＝b．
（1）求函數(shù)y＝f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）若y＝f（x）和y＝g（x）有公共點．
（?。┊?dāng)a＝0時，求b的取值范圍；
（ⅱ）求證：a2+b2＞e．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的斜截式方程即可求解；
（2）（ⅰ）將y＝f（x）和y＝g（x）有公共點轉(zhuǎn)化為b＝在（0，+∞）上有解，再構(gòu)造函數(shù)h（x）＝，（x＞0），接著利用導(dǎo)數(shù)求出h（x）的值域，從而得b的取值范圍；
（ⅱ）令交點的橫坐標(biāo)為x0，則，再利用柯西不等式及結(jié)論：x＞0時，x＞sinx，ex＞ex，ex＞x+1放縮即可證明．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ex﹣asinx，∴f′（x）＝ex﹣acosx，
∴f（0）＝1，f′（0）＝1﹣a，
∴函數(shù)y＝f（x）在（0，1）處的切線方程為y＝（1﹣a）x+1；
（2）（?。遖＝0，∴f（x）＝ex，又y＝f（x）和y＝g（x）有公共點，
∴方程f（x）＝g（x）有解，
即有解，顯然x≠0，
∴b＝在（0，+∞）上有解，
設(shè)h（x）＝，（x＞0），
∴h′（x）＝，
∴當(dāng)x∈（0，）時，h′（x）＜0；當(dāng)x∈（，+∞）時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，
∴，且當(dāng)x→0時，h（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時，h（x）→+∞，
∴h（x）∈[，+∞），
∴b的范圍為[，+∞）；
（ⅱ）證明：令交點的橫坐標(biāo)為x0，則，
∴由柯西不等式可得≤（a2+b2）（sin2x0+x0）
∴a2+b2≥，
又易證x＞0時，x＞sinx，ex＞ex，ex＞x+1，
∴＝＞＝e，
故a2+b2＞e．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的斜截式方程，將方程有解轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域，柯西不等式，常見不等式的結(jié)論，屬中檔題．

考點卡片
1．交、并、補集的混合運算
【知識點的認(rèn)識】
集合交換律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 　　
集合結(jié)合律 ?。ˋ∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．　　
集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．　　
集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．　　
集合求補律 　A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．

【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．

【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎(chǔ)題．
2．充分條件與必要條件
【知識點的認(rèn)識】
1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．
2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．

【解題方法點撥】
充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判斷充要條件的方法是：
①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．
⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．

【命題方向】
充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．
3．函數(shù)的圖象與圖象的變換
【函數(shù)圖象的作法】函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟 （1）列表； （2）描點； （3）連線．
解題方法點撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對應(yīng)法則，列出表格，然后在直角坐標(biāo)系中，準(zhǔn)確描點，然后連線（平滑曲線）．
命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性知識結(jié)合命題．

【圖象的變換】
1．利用描點法作函數(shù)圖象
其基本步驟是列表、描點、連線．
首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）．
其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標(biāo)軸的交點等），描點，連線．
2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象
（1）平移變換：
y＝f（x）a＞0，右移a個單位（a＜0，左移|a|個單位）?y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b個單位（b＜0，下移|b|個單位）?y＝f（x）+b．
（2）伸縮變換：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸為原來的A倍（0＜A＜1，縮為原來的A倍）?y＝Af（x）．
（3）對稱變換：
y＝f（x）關(guān)于x軸對稱?y＝﹣f（x）；
y＝f（x）關(guān)于y軸對稱?y＝f（﹣x）；
y＝f（x）關(guān)于原點對稱?y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折變換：
y＝f（x）去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊?y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y＝|f（x）|．

解題方法點撥
1、畫函數(shù)圖象的一般方法
（1）直接法：當(dāng)函數(shù)表達式（或變形后的表達式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．
（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．
（3）描點法：當(dāng)上面兩種方法都失效時，則可采用描點法．為了通過描少量點，就能得到比較準(zhǔn)確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論．
2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系的方法
（1）知圖選式：
①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；
②從圖象的變化趨勢，觀察函數(shù)的單調(diào)性；
③從圖象的對稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；
④從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀察函數(shù)的周期性．
利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確的選項．
（2）知式選圖：
①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；
②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化 趨勢；
③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．
④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．
利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項．
注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當(dāng)選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．
3、（1）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．
（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)
有關(guān)方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值．
4、方法歸納：
（1）1個易錯點﹣﹣圖象變換中的易錯點
在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關(guān)系式中的x，y變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯．
（2）3個關(guān)鍵點﹣﹣正確作出函數(shù)圖象的三個關(guān)鍵點
為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點：
①正確求出函數(shù)的定義域；
②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x+的函數(shù)；
③掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．
（3）3種方法﹣﹣識圖的方法
對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：
①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；
②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；
③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．
4．對數(shù)的運算性質(zhì)
【知識點的認(rèn)識】
對數(shù)的性質(zhì)：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
5．對數(shù)值大小的比較
【知識點歸納】
1、若兩對數(shù)的底數(shù)相同，真數(shù)不同，則利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較．
2、若兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量（1，﹣1，0）進行比較
3、若兩對數(shù)的底數(shù)不同，真數(shù)也不同，則利用函數(shù)圖象或利用換底公式化為同底的再進行比較．（畫圖的方法：在第一象限內(nèi)，函數(shù)圖象的底數(shù)由左到右逐漸增大）
6．正弦函數(shù)的圖象
【知識點的知識】
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù)
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
圖象



定義域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
單調(diào)性
遞增區(qū)間：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
遞減區(qū)間：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
遞增區(qū)間：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
遞減區(qū)間：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
遞增區(qū)間：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最　值
x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）時，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 時，
ymin＝﹣1
無最值
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對稱性
對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）
對稱軸：x＝kπ+，k∈Z
對稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）
對稱軸：x＝kπ，k∈Z
對稱中心：（，0）（k∈Z）
無對稱軸
周期
2π
2π
π
7．正弦函數(shù)的單調(diào)性
【知識點的知識】
三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法
1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．
8．兩角和與差的三角函數(shù)
【知識點的認(rèn)識】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
9．函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系
【函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系】
函數(shù)的零點表示的是函數(shù)與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實質(zhì)是一樣的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不多講了．我們重點來探討一下函數(shù)零點的求法（配方法）．
例題：求函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）
∴函數(shù)f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通過這個題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數(shù)的乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點或者說求基本函數(shù)等于0時的解即可．
【考查趨勢】
考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可．
10．?dāng)?shù)列遞推式
【知識點的知識】
1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．
2、數(shù)列前n項和Sn與通項an的關(guān)系式：an＝．
在數(shù)列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個重點，要認(rèn)真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統(tǒng)一為一個式子．
（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．
3、數(shù)列的通項的求法：
（1）公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時，常需運用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含 或 的關(guān)系式，然后再求解．
（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知遞推關(guān)系求an，有時也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．
②形如an＝的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項．
（7）求通項公式，也可以由數(shù)列的前幾項進行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．
11．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
【知識點的知識】
1、等差數(shù)列的性質(zhì)
（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；
（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；
（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當(dāng)s+t＝2p時，有
as+at＝2ap；
（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．
（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）．

2、等比數(shù)列的性質(zhì)．
（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an
（3）若{an}，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．
（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動數(shù)列．
12．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
【考點描述】
利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點的切線方程是高考中的一個常考點，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因為包含了幾個比較重要的基本點，所以在高考出題時備受青睞．我們在解答這類題的時候關(guān)鍵找好兩點，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的情況下可以用點斜式把直線方程求出來．
【實例解析】
例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個函數(shù)的圖象在點x＝1處的切線方程．
解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1
又當(dāng)x＝1時，y＝0，所以切點為（1，0）
∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我們通過這個例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié)．
13．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【知識點的知識】
1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：
設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：
（1）＝＝||cosθ；
（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）
（3）當(dāng)，方向相同時，＝||||；當(dāng)，方向相反時，＝﹣||||；
特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）
（4）cosθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）
（5）||≤||||

2、平面向量數(shù)量積的運算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；
（3）分配律：（）?≠?（）

【平面向量數(shù)量積的運算】
平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的，有些不一樣．
【例題解析】
例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；
④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；
⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；
⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是?、佗凇。?br /> 解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，
∴“mn＝nm”類比得到“”，
即①正確；
∵向量的數(shù)量積滿足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，
即②正確；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，
即③錯誤；
∵||≠|(zhì)|?||，
∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；
即④錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，
∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，
即⑤錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴”不能類比得到，
即⑥錯誤．
故答案為：①②．
向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．
【考點分析】
本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個常考點，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．
14．?dāng)?shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系
【概念】
向量是有方向的，那么在一個空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時候，我們就說這兩條向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么與垂直，有?＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它們的乘積為0．
【例題解析】
例：與向量，垂直的向量可能為（　?。?br /> A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：對于A：∵，?（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；
對于B：∵，?（﹣4，3）＝，∴B不成立；
對于C：∵，?（4，3）＝，∴C成立；
對于D：∵，?（4，﹣3）＝，∴D不成立；
故選：C．
點評：分別求出向量，和A，B，C，D四個備選向量的乘積，如果乘積等于0，則這兩個向量垂直，否則不垂直．
【考點分析】
向量垂直是比較喜歡考的一個點，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個關(guān)系并靈活運用．
15．正弦定理
【知識點的知識】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
變形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況

A為銳角
A為鈍角或直角
圖形




關(guān)系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
由上表可知，當(dāng)A為銳角時，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時，a≤b，無解．
2、三角形常用面積公式
1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
【正余弦定理的應(yīng)用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識
（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；
②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．
16．余弦定理
【知識點的知識】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
變形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
【正余弦定理的應(yīng)用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識
（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；
②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．
17．三角形中的幾何計算
【知識點的知識】
1、幾何中的長度計算：
（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可以求解：
①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．
②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判斷三角形的形狀；
③實現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化．包括：a、已知三邊，求三個角；b、已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．

2、與面積有關(guān)的問題：
（1）三角形常用面積公式
①S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
（2）面積問題的解法：
①公式法：三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形，可用相應(yīng)面積公式解決．
②割補法：若是求一般多邊形的面積，可采用作輔助線的辦法，通過分割或補形把不是三角形的幾何圖形分割成不重疊的幾個三角形，再由三角形的面積公式求解．

3、幾何計算最值問題：
（1）常見的求函數(shù)值域的求法：
①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；
②逆求法（反求法）：通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍；
④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；
⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；
⑥單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域．
⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域．
（2）正弦，余弦，正切函數(shù)值在三角形內(nèi)角范圍內(nèi)的變化情況：
①當(dāng)角度在0°～90°間變化時，
正弦值隨著角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值隨著角度的增大而減小，且0≤cosα≤1；
正切值隨著角度的增大而增大，tanα＞0．
②當(dāng)角度在90°～180°間變化時，
正弦值隨著角度的增大而減小，且0≤sinα≤1；
余弦值隨著角度的增大而減小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值隨著角度的增大而增大，tanα＜0．
18．復(fù)數(shù)的運算
復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則

19．棱柱、棱錐、棱臺的體積
【知識點的知識】
柱體、錐體、臺體的體積公式：
V柱＝sh，V錐＝Sh．
20．直線與平面平行
【知識點的知識】
1、直線與平面平行的判定定理：
如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．
2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．

1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：
如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．
用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．
2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：
已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．
由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．
正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．
21．二面角的平面角及求法
【知識點的知識】
1、二面角的定義：
從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時為了方便，也可在α、β內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角﹣﹣
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點O的位置無關(guān)，也就是說，我們可以根據(jù)需要來選擇棱l上的點O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定義；
（2）三垂線定理及其逆定理；
①定理內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直．
②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延長（展）線（面）法；
（5）射影公式；
（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角；
（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：
設(shè)平面α和β的法向量分別為和，若兩個平面的夾角為θ，則
（1）當(dāng)0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此時cosθ＝cos＜，＞＝．
（2）當(dāng)＜＜，＞≤π時，θ＝cos（π﹣＜，＞）＝﹣cos＜，＞＝﹣＝．
22．直線與圓的位置關(guān)系
【知識點的認(rèn)識】
1．直線與圓的位置關(guān)系

2．判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法
直線Ax+By+C＝0與圓（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置關(guān)系的判斷方法：
（1）幾何方法：利用圓心到直線的d和半徑r的關(guān)系判斷．
圓心到直線的距離d＝
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相離：d＞r
（2）代數(shù)方法：聯(lián)立直線與圓的方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用判別式△判斷．
由消元，得到一元二次方程的判別式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相離：△＜0．
23．直線與橢圓的綜合
v．
24．雙曲線的性質(zhì)
【知識點的知識】
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
圖形








性





質(zhì)
焦點
F1（﹣c，0），F(xiàn)2（ c，0）
F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范圍
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
對稱
關(guān)于x軸，y軸和原點對稱
頂點
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
軸
實軸長2a，虛軸長2b
離心率
e＝（e＞1）
準(zhǔn)線
x＝±
y＝±
漸近線
±＝0
±＝0
25．條件概率與獨立事件
【知識點的知識】
1、條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P（B|A）來表示．
（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．
（3）條件概率的求法：
①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）＝

【解題方法點撥】
典例1：利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是 　?。?br /> 解：由題意得，利用計算機產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機數(shù)a和b，基本事件的總個數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，
事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個，
“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個，
故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P＝＝
故答案為：

典例2：甲乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為，，，乙隊每人答對的概率都是．設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊總得分．
（Ⅰ）求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率．
分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．
（Ⅱ）設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出結(jié)果．
解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，
P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，
P（ξ＝2）＝++＝，
P（ξ＝3）＝＝，
∴隨機變量ξ的分布列為：
ξ
0
1
2
3
P




數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．
（Ⅱ）設(shè)“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，
則P（A）＝++＝，
P（AB）＝＝，
P（B|A）＝＝＝．

【解題方法點撥】
1、P（B|A）的性質(zhì)：
（1）非負(fù)性：對任意的A∈Ω，0≤P（B|A）≤1；
（2）規(guī)范性：P（Ω|B）＝1；P（?|B）＝0；
（3）可列可加性：如果是兩個互斥事件，則P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A）．
2、概率P（B|A）和P（AB）的區(qū)別與聯(lián)系：（1）聯(lián)系：事件A和B都發(fā)生了；
（2）區(qū)別：
a、P（B|A）中，事件A和B發(fā)生有時間差異，A先B后；在P（AB）中，事件A、B同時發(fā)生．
b、樣本空間不同，在P（B|A）中，樣本空間為A，事件P（AB）中，樣本空間仍為Ω．
26．頻率分布直方圖
【知識點的認(rèn)識】
1．頻率分布直方圖：在直角坐標(biāo)系中，橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比值，將頻率分布表中的各組頻率的大小用相應(yīng)矩形面積的大小來表示，由此畫成的統(tǒng)計圖叫做頻率分布直方圖．

2．頻率分布直方圖的特征
①圖中各個長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率的數(shù)值，所有小矩形面積和為1．
②從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢．
③從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉．
3．頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)
①眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標(biāo)．
②平均數(shù)：頻率分布直方圖各個小矩形的面積乘底邊中點的橫坐標(biāo)之和．
③中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于y軸的直線橫坐標(biāo)．
【解題方法點撥】
繪制頻率分布直方圖的步驟：

27．二項式定理
【二項式定理】又稱牛頓二項式定理．公式（a+b）n＝?nian﹣i?bi．通過這個定理可以把一個多項式的多次方拆開．
例1：用二項式定理估算1.0110＝　1.105?。ň_到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101?19×0.01+C102?18?0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案為：1.105．
這個例題考查了二項式定理的應(yīng)用，也是比較常見的題型．
例2：把把二項式定理展開，展開式的第8項的系數(shù)是．
解：由題意T8＝C107×＝120×3i＝360i．
故答案為：360i．
通過這兩個例題，大家可以看到二項式定理的重點是在定理，這類型的題都是圍著這個定理運作，解題的時候一定要牢記展開式的形式，能正確求解就可以了．
【性質(zhì)】
1、二項式定理
一般地，對于任意正整數(shù)n，都有

這個公式就叫做二項式定理，右邊的多項式叫做（a+b）n的二項展開式．其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)．
注意：
（1）二項展開式有n+1項；
（2）二項式系數(shù)與二項展開式系數(shù)是兩個不同的概念；
（3）每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開；
（4）二項式定理通常有如下變形：
①；
②；
（5）要注意逆用二項式定理來分析問題、解決問題．
2、二項展開式的通項公式
二項展開式的第n+1項叫做二項展開式的通項公式．它體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定的項及其系數(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用．
注意：
（1）通項公式表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是?nr；
（2）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；
（3）a與b的次數(shù)之和為n．
3、二項式系數(shù)的性質(zhì)．
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即；
（2）增減性與最大值：當(dāng)k＜時，二項式系數(shù)是逐漸增大的．由對稱性知，它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取最大值．當(dāng)n為偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，則中間的兩項，相等，且同時取得最大值．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/1/5 11:04:12；用戶：陳元；郵箱：17666135761；學(xué)號：42949630

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