山東省淄博市高新區(qū)2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 要使二次根式有意義，則x的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件可得，解不等式即可求解．
詳解】解：∵二次根式有意義，
∴，
解得：．
故選A．
2. 下列方程是一元二次方程的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，根據(jù)含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程即可求解，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
B、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意；
C、含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，等號兩邊都是整式，是一元二次方程，符合題意；
D、含有一個未知數(shù)，等號左邊不是整式，不是一元二次方程，不符合題意；
故選： C．
3. 下列計算正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的四則運算，熟知二次根式的四則運算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解；A、與不是同類二次根式，不能合并，原式計算錯誤，不符合題意；
B、，原式計算錯誤，不符合題意；
C、，原式計算錯誤，不符合題意；
D、，原式計算正確，符合題意；
故選：D．
4. 用配方法解方程時，原方程變形正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，根據(jù)配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方得出即可．
【詳解】解：，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
5. 若實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次根式，絕對值的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)數(shù)軸上的位置確定的符號和大小，再根據(jù)二次根式，絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡，結(jié)合整式的混合運算即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，，，
∴，，
∴
，
故選：C ．
6. 實數(shù)定義新運算“”如下：，例如，則方程的根的情況是（）
A. 有兩個不相等的實數(shù)根B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 只有一個實數(shù)根D. 沒有實數(shù)根
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運算“”的定義將方程轉(zhuǎn)化為一般式，由根的判別式，即可得出該方程有兩個相等的實數(shù)根．
【詳解】解：由題可得：方程化為，
即，
∵，
∴方程有兩個相等的實數(shù)根，
故選B．
7. 如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，若∠AOB=60°，AB=3，則對角線BD的長是（）
A. 6B. 3C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【詳解】根據(jù)矩形對角線相等且互相平分的性質(zhì)可得OA=OC=OB=OD=AC=BD,
又因∠AOB=60°，
所以△ABO為等邊三角形；
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OA=OB=AB=3，
所以對角線BD=2OB=6.
故本題答案為A.
考點：矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定及性質(zhì).
8. 已知是方程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為（）
A. 4049B. 4048C. 2024D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【詳解】解：解：∵，是方程的兩個實數(shù)根，
∴，，
故選A
9. 某連鎖超市購進(jìn)一款年貨大禮包，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該款大禮包每盒的售價為元時，每天可售出盒，每盒的售價每降低元，每天的銷量增加盒，要使該款大禮包每天的銷售額達(dá)到元，每盒的售價應(yīng)降低多少元？若設(shè)該款大禮包每盒降價元，則可列方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，設(shè)該款大禮包每盒降價元，根據(jù)題意列出一元二次方程，即可求解．
【詳解】若設(shè)該款大禮包每盒降價元，則可列方程為
故選：D．
10. 如圖1，點從菱形的頂點出發(fā)，沿以的速度勻速運動到點，點運動時的面積隨時間變化的關(guān)系如圖，則的值為（）
A. B. C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，動點問題的函數(shù)圖象，過點作，根據(jù)函數(shù)圖象求出菱形的邊長為a，再根據(jù)圖像的三角形的面積可得，再利用菱形的性質(zhì)和勾股定理列方程可求即可．
【詳解】解：如圖所示，過點作于E，
∵在菱形中，，，
∴當(dāng)點在邊上運動時，的值不變，
，即菱形邊長是，
，即．
當(dāng)點在上運動時，逐漸增大，
，
．
在中，，
，解得．
故選：B．
二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共計20分．不需寫出解答過程，請把最后結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
11. 若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是_____．
【答案】x≥0且x≠1
【解析】
【詳解】解：由題意得，
解得：且
故答案為且
12. 學(xué)習(xí)矩形時，我們從它的邊、角、對角線等方面進(jìn)行了研究，可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的對角線相等．小明參考平行四邊形判定方法的研究過程，得出下面的猜想：①對角線相等的四邊形是矩形；②對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；③對角線互相垂直且相等的四邊形是矩形．其中正確的是_________________．（填序號）
【答案】②
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的判定，根據(jù)矩形的判定逐個判斷即可．
【詳解】對角線相等的四邊形不一定是矩形，所以①不正確；
對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，所以②正確；
對角線互相垂直且相等的四邊形是不一定是矩形，所以③不正確．
所以正確是②．
故答案為：②．
13. 關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，掌握一元二次方程根的判別式的運用是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根可得，由此即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得，，
∴
解得，，
故答案為：．
14. 已知，則的值為________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練運用二次根式運算法則是解題的關(guān)鍵．先求出，，再根據(jù)，代入計算即可．
【詳解】解：，
∴，，
．
故答案為：．
15. 如圖，在矩形中，，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為，得到矩形，點的對應(yīng)點分別為，設(shè)點P為的中點，連結(jié)，在矩形旋轉(zhuǎn)的過程中，面積的最大值___________和最小值___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本題考查矩形性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)．連接，作于．當(dāng)與共線，且時，面積最大，共線面積最小，利用，求出，再根據(jù)計算即可得出答案．
【詳解】解：連接，作于，
，
當(dāng)與共線，且時，面積最大，
由題意：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面積最大值為，
共線，面積最小為0，
故答案為：；．
三、解答題（本題共8小題，共90分，請把解答過程寫在答題紙上）
16 計算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運算，立方根．
（1）根據(jù)二次根式的混合運算解析計算即可求解；
（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及立方根進(jìn)行化簡，即可求解．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：
．
17. 用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程；
（1）根據(jù)配方法解一元二次方程；
（2）先將方程整理成右邊為0的等式，再結(jié)合因式分解法解題．
【小問1詳解】
解：，
∴，
∴，
∴，
解得：；
【小問2詳解】
解：，
∴，
∴，
∴或，
解得：．
18. 已知關(guān)于的方程．
（1）求證：方程總有實數(shù)根；
（2）若方程的兩根為，且滿足，求的值．
【答案】（1）證明方法見詳解
（2）或
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，韋達(dá)定理，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程中根的判別方法，因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)多項式乘以多項式展開，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式“，方程有實數(shù)根；，方程無實數(shù)根”即可求解；
（2）根據(jù)韋達(dá)定理分別表示出，，再根據(jù)，代入計算，幾何因式分解法求一元二次方程的方法即可求解．
【小問1詳解】
證明：已知，
展開得，，
∴，
∵，
∴，
∴方程總有實數(shù)根；
【小問2詳解】
解：已知有兩個根，
∴，，
∵，
∴，
整理得，，
∴，
∴或，
∴或．
19. 如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線與相交于點M，與相交于點O，與相交于N，連接
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，求的長．
【答案】（1）見詳解（2）長為．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出，推出，證△，推出，得出平行四邊形，推出菱形；
（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出，在中，根據(jù)勾股定理得出，推出，求出即可．
【小問1詳解】
證明：∵四邊形是矩形，
∴
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是菱形．
【小問2詳解】
解：∵四邊形是菱形，
∴MB=MD，
設(shè)長為x，則，
在中，
即
解得：．
答：長為．
【點睛】本題考查了矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點的應(yīng)用．注意對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
20. 如圖，點在正方形的邊上．
（1）請用尺規(guī)作圖法，在上分別取點使得且平分正方形的面積．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）求證：
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，作線段的垂線，全等三角形的性質(zhì)與判定．
（1）平分正方形的面積，會經(jīng)過正方形的中心，過點作的垂線即可；
（2）過點作于點，過點作，設(shè)交于點，證明，即可得證．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所作，
【小問2詳解】
解：如圖所示，過點作于點，過點作，設(shè)交于點，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
∴即
在中，
∴
∴
21. 對兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘時，小明觀察發(fā)現(xiàn)如下的結(jié)論：
由，得．
請仿照上面的結(jié)論解決如下問題：
（1）；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的計算與化簡，解題時要熟練掌握并能準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵；
（1）仿照材料中的求解過程即可求解；
（2）先計算出，代入求解即可．
【小問1詳解】
解：
；
【小問2詳解】
解：，
．
22. 如圖1，某小區(qū)的大門是伸縮電動門，安裝驅(qū)動器的門柱是寬度為的矩形，伸縮電動門中有20個全等的菱形，每個菱形邊長為，大門的總寬度為．（門框的寬度忽略不計）（參考數(shù)據(jù)：）
（1）當(dāng)每個菱形的內(nèi)角度數(shù)為（如圖時，大門打開了多少？
（2）當(dāng)每個菱形的內(nèi)角度數(shù)張開至為時，大門未完全關(guān)閉，有一輛寬的轎車需進(jìn)入小區(qū)，計算說明該車能否直接通過．
【答案】（1）大門打開了
（2）該車不能直接通過，說明見解析
【解析】
【分析】（1）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，從而可得是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)可得，最后進(jìn)行計算，即可解答；
（2）根據(jù)已知可得是等腰直角三角形，從而可得，然后進(jìn)行計算即可解答．
小問1詳解】
解：連接，如圖所示：
四邊形是菱形，
，
，
是等邊三角形，
，
，
大門的總寬度為，
大門打開的寬度，
大門打開了；
【小問2詳解】
解：該車不能直接通過，
理由如下：
，，
在等腰中，由勾股定理可得，
，
大門的總寬度為，
大門打開的寬度，
，
該車不能直接通過．
【點睛】本題考查了幾何性質(zhì)綜合應(yīng)用，涉及菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理等知識，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線求解是解題的關(guān)鍵．
23. 整體思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題的重要方法之一，貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程．對于問題1，王老師給出了如下的提示：連接，利用與面積之和是菱形面積的，可求出的值．
（1）如圖1，在菱形中，對角線的長分別為和，點為對角線上一動點（不與點重合），過點分別作和的垂線，垂足為點和，求的值，請你寫出求解過程．
靈活應(yīng)用以上方法解決問題：
（2）如圖2，若為矩形，點分別在邊上，將矩形沿直線折疊，使點恰好與點重合，點落在點處．點為線段上一動點（不與點重合），過點分別作直線的垂線，垂足分別為和，以為鄰邊作平行四邊形，若，求平行四邊形的周長；
（3）如圖3，當(dāng)點是等邊外一點時，過點分別作直線的垂線，垂足分別為點．若，請直接寫出的面積．
【答案】（1）的值為；（2）平行四邊形的周長為；（3）的面積為
【解析】
【分析】（1）如圖所示，連接，根據(jù)對角線可求出菱形的面積，的面積，根據(jù)即可求解；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)可求出的長，是等腰三角形，可求出，如圖所示，連接，過點作與點，可求出的面積，根據(jù)，可求出的值，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解；
（3）如圖所示，過點作于點，連接，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)可求出的值，由此即可求解．
【詳解】解：（1）如圖所示，連接，
∵四邊形是菱形，對角線的長分別為和，
∴，菱形的面積，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
如圖所示，連接，設(shè)對角線交于點，
∴，
在直角中，，
∴，
∴，
∴的值為；
（2）∵四邊形是矩形，
∴，，
∴，
∵折疊，且，
∴，，，
∴，
∴，即是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，且，
在直角中，，
∴，
如圖所示，連接，過點作與點，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，且，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴平行四邊形的周長為；
（3）如圖所示，過點作于點，連接，
∵是等邊三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴
，
∵，即，
∴，
解得，，
∴，
∴的面積為．
【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，幾何圖形面積的計算方法，掌握特殊四邊形的性質(zhì)，幾何圖形面積的構(gòu)造與計算方法是解題的關(guān)鍵．

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