第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11． 12． 4 13． 1 14．4 3或4 15．②③
三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
16．（14分）
【分析】（1）由等腰三角形和直棱柱的性質(zhì)，得出和，根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證出平面；
（2）連接，交于點(diǎn)，連接，結(jié)合三角形的中位線得出，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證出平面；
（3）連，交于點(diǎn)，分別取、中點(diǎn)、，連接、、，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證出平面和平面，從而得出就是二面角的平面角，最后利用幾何法求出二面角的余弦值．
【詳解】解：（1）證明：，是中點(diǎn)，，
又在直三棱柱中，平面，平面，
，
又，平面，平面，
平面．
（2）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，
、分別是、的中點(diǎn)，
是的中位線，，
平面，平面，
平面
（3）解：連，交于點(diǎn)，分別取、中點(diǎn)、，連接、、，
四邊形是正方形且、分別是、的中點(diǎn)，故，
在中，，，
，，
又，分別是，中點(diǎn)且，
，
又在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
，
，平面，平面，
平面，
平面，平面，
，，
又，，平面，平面，
平面，
平面，，
又平面平面
就是二面角的平面角，
設(shè)，則在中，，
，
故，
故，
即二面角的余弦值為.
【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直和線面平行的判定定理，以及利用幾何法求解二面角余弦值，還涉及三角形中位線和勾股定理的逆定理的運(yùn)用，考查推理證明能力和運(yùn)算能力.
17．（13分）
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合同角公式計(jì)算即得.
（2）選擇條件①，利用余弦定理及三角形面積公式計(jì)算求解；選擇條件②，利用正弦定理計(jì)算判斷三角形不唯一；選擇條件③，利用正弦定理計(jì)算判斷，再求出三角形面積.
【詳解】（1）由得：，而，
則，為銳角，又，解得，
所以且為銳角.
（2）若選條件①，由，為銳角，得，
由余弦定理得，又，則，
解得唯一確定，所以.
若選條件②，由正弦定理得，則，
由，得，因此角有兩解，分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)三角形，不符合題意.
若選條件③，由，為銳角，得，
又，得，，則，
因此唯一確定，
由正弦定理得，則，所以.
18．（13分）
【分析】（1）由題意得，，從而求解，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)與學(xué)生總?cè)藬?shù)求解；（2）先求解樣本符合題意的概率，然后由樣本估計(jì)總體，得全市學(xué)生符合題意的概率，從而利用對(duì)立事件的概率公式求解；（3）表示出參賽學(xué)生理論競(jìng)賽的平均成績(jī)與方差，從而得關(guān)于二次函數(shù)，由的取值范圍與二次函數(shù)的性質(zhì)從而求解得答案.
【詳解】（1）由題意，理論或操作至少一項(xiàng)成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生
共有人，則，
得，又，
得
（2）由（1）知，從20位理論成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生中抽取1人，
操作成績(jī)也為300分的概率為，所以從全市理論成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生中，
隨機(jī)抽取2人，至少有一個(gè)人操作的成績(jī)?yōu)?00分的概率為
（3）由題意，，
設(shè)理論競(jìng)賽的分?jǐn)?shù)為，則取值為，
對(duì)應(yīng)的人數(shù)分別為，所以參賽學(xué)生理論競(jìng)賽的平均成績(jī)?yōu)?br>，
所以參賽學(xué)生理論成績(jī)的方差為
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，最小.
【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是將理論競(jìng)賽分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)的人數(shù)表示為的多項(xiàng)式，然后求解均值與方差，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)的最值問題.
19．（15分）
【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合斜率的計(jì)算公式，可整理橢圓方程，建立方程，可得答案；
（2）由題意，利用三角形中線性質(zhì)，分割三角形，整理三角形面積表達(dá)式，聯(lián)立直線與橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，求得面積表達(dá)式中的變量，利用基本不等式，可得答案.
【詳解】（1）由已知得，且，即，
因此有，得．
因此，得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）顯然直線經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)，設(shè)，，
則由橢圓的對(duì)稱性得，
聯(lián)立，消去x得．
恒成立，所以，．
．
令，顯然有，于是，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．
因此的面積S的最大值為．
20．（15分）
【分析】（1）對(duì)，進(jìn)行求導(dǎo)，已知在交點(diǎn)處有相同的切線，從而解出的值及該切線的方程；
（2）由條件知，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，分兩種情況進(jìn)行討論：①；②，從而求其最小值的解析式；
【詳解】（1）解：，
由已知得，解得，
兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線的斜率為，
切線的方程為，即切線的方程為.
（2）解：由條件知
①當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞增，
是在上的唯一極值點(diǎn)，從而也是的最小值點(diǎn)，
最小值點(diǎn)，.
②當(dāng)時(shí)，在上遞增，無最小值，故的最小值的解析式為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求最值、分類討論思想.屬于難題.分類討論思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn). 充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.
21．（15分）
【分析】（1）直接利用信息求出數(shù)列的項(xiàng)．
（2）利用恒成立問題和函數(shù)的單調(diào)性，求出λ的取值范圍．
（3）直接利用分類討論思想求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【詳解】（1）數(shù)列為“Γ數(shù)列”中，，
所以：當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
又，即：，
，．
（2）因?yàn)閿?shù)列是“Γ數(shù)列”，且，所以：，
則：數(shù)列前4n項(xiàng)中的項(xiàng)b4n-3是以2為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．
易知{b4n}的項(xiàng)后按原來的順序構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．
所以：
，
．
由于不等式對(duì)恒成立，
所以：，
設(shè)，
則：，
所以：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以：
所以的最大值為．
即．
（3）為等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公比，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：，
當(dāng)時(shí)，，
即：，
①，則，故：．
②當(dāng)時(shí)，則：，
所以為常數(shù)，則，k為偶數(shù)時(shí)，
經(jīng)檢驗(yàn)，滿足條件數(shù)列的通項(xiàng)公式為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)是數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
D
C
D
B
A
B
B
D
C

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