2024年高考押題預(yù)測(cè)卷—數(shù)學(xué)（九省新高考新結(jié)構(gòu)卷01）（全解全析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù) 學(xué)
（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知復(fù)數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得，故，故選A
2．為了了解學(xué)生們的身體狀況，某學(xué)校決定采用分層抽樣的方法，從高一?高二?高三三個(gè)年級(jí)共抽取100人進(jìn)行各項(xiàng)指標(biāo)測(cè)試.已知高三年級(jí)有500人，高二年級(jí)有700人，高一年級(jí)有800人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為（）
A．30B．25C．20D．15
【答案】B
【解析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)可知：
高三年級(jí)抽取的人數(shù)為，故選B
3．已知，，若，則（）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，，?br>所以，解得，故選A.
4．若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以，所以?br>所以.故選：D
5．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意知，解得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選A．
6．我國(guó)元代瓷器元青花團(tuán)菊花紋小盞如圖所示，撇口，深弧壁，圈足微微外撇，底心有一小乳突.器身施白釉，以青花為裝飾，釉質(zhì)潤(rùn)澤，底足露胎，胎質(zhì)致密.碗內(nèi)口沿飾有一周回紋，內(nèi)底心書(shū)有一文字，碗外壁繪有一周纏枝團(tuán)菊紋，下筆流暢，紋飾灑脫.該元青花團(tuán)菊花紋小盞口徑8.4厘米，底徑2.8厘米，高4厘米，它的形狀可近似看作圓臺(tái)，則其側(cè)面積約為（單位：平方厘米）（）（附：）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)該圓臺(tái)的上底面?下底面的半徑分別為，
由題意可知：，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，
所以其側(cè)面積為.
故選：B.
7．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解析】圓即，圓心為，半徑，
又直線，令，則，即直線恒過(guò)點(diǎn)，即直線恒過(guò)圓心，
又直線與圓相交于，兩點(diǎn)，
所以，
所以
.
故選：C
8．在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺(tái)，在的正東方.某次演習(xí)時(shí)，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測(cè)回報(bào)兩炮彈皆命中18公里外的同一目標(biāo)，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)為18公里外的點(diǎn)，則炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為（）
A．7公里B．8公里C．9公里D．10公里
【答案】D
【解析】依題意設(shè)炮彈第一次命中點(diǎn)為，則，，
，，
在中，
即，解得，
所以，又為銳角，解得（負(fù)值舍去），
在中
，
所以，即炮臺(tái)與彈著點(diǎn)的距離為公里.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（）
A．事件與是互斥事件B．事件與是對(duì)立事件
C．事件與是互斥事件D．事件與相互獨(dú)立
【答案】AB
【解析】對(duì)于AB：取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)和取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)不可能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，故事件與是互斥事件，也是對(duì)立事件，AB正確；
對(duì)于C：如果取出的數(shù)為，則事件與事件均發(fā)生，不互斥，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，
則，即事件與不相互獨(dú)立，D錯(cuò)誤；
故選：AB.
10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）
A．
B．的圖象過(guò)點(diǎn)
C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)
D．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
【答案】BCD
【解析】A：設(shè)該函數(shù)的最小正周期為，則有，
即，由函數(shù)的圖象可知：，即，
由圖象可知：，
所以，因此本選項(xiàng)不正確；
B：，
所以本選項(xiàng)正確；
C：因?yàn)椋?br>，
所以，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，因此本選項(xiàng)正確；
D：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，
，
當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)時(shí)，
則有，
故選：BCD
11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱BC的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法中正確的是（）
A．三棱錐的體積為定值
B．若是棱的中點(diǎn)，則過(guò)A，M，N的平面截正方體所得的截面圖形的周長(zhǎng)為
C．若是棱的中點(diǎn)，則四面體的外接球的表面積為
D．若CN與平面所成的角為，則
【答案】AD
【解析】對(duì)于A,連接,因?yàn)?
平面,平面,
所以平面,
又點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），
所以點(diǎn)到平面的距離為定值，設(shè)為，
則，為定值，故A正確；
對(duì)于B,如圖，
四邊形為過(guò)A，M，N的平面截正方體所得的截面圖形，
因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面,
且平面平面,
根據(jù)面面平行的判斷定理知，，
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為四等分點(diǎn)，
則四邊形的周長(zhǎng)為：
,故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C,如圖所示，連接,取的中點(diǎn)為,
連接，設(shè)外接圓圓心為,外接球球心為,
連接,則,
在中，設(shè)其外接圓半徑為，
由正弦定理知，，
所以，即，
依題易得,故,
弦所對(duì)的圓周角相等，故四點(diǎn)共圓，則,
設(shè)外接球半徑為,過(guò)作,交于,
則在中，,
即,①
在中，,即,②
聯(lián)立①②，解得,
故外接球的表面積為,故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則,
則,
設(shè)平面的法向量，
則，
令，則，故，
則,
,
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
又，
綜上可知，，故D正確，
故選：AD.
第二部分（非選擇題共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知集合，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由，得,解得，
所以.
因?yàn)椋?br>所以或，解得或，
所以的取值范圍是.
13．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，一條切線的方程為，則的離心率 .
【答案】
【解析】聯(lián)立直線與橢圓方程，可得，
由為橢圓切線，則有，
化簡(jiǎn)得，又，故，
又橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，故有，
則，故，則.
14．關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為．
【答案】
【解析】令，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，
由，得，
而，
令，
則，所以，
若，
如圖作出函數(shù)的圖象，
由函數(shù)圖象可知，方程有唯一實(shí)數(shù)根，
即，
由，得，
即，
當(dāng)時(shí)，，即，
又，，所以，
所以不成立，
即當(dāng)時(shí)，不恒成立，
綜上所述，的最小值為.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
15．（本小題滿(mǎn)分13分）為促進(jìn)全民閱讀，建設(shè)書(shū)香校園，某校在寒假面向全體學(xué)生發(fā)出“讀書(shū)好、讀好書(shū)、好讀書(shū)”的號(hào)召，并開(kāi)展閱讀活動(dòng)．開(kāi)學(xué)后，學(xué)校統(tǒng)計(jì)了高一年級(jí)共1000名學(xué)生的假期日均閱讀時(shí)間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個(gè)小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個(gè)小矩形的高度比為3：2：1．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)高一年級(jí)1000名學(xué)生假期日均閱讀時(shí)間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)開(kāi)學(xué)后，學(xué)校從高一日均閱讀時(shí)間不低于60分鐘的學(xué)生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學(xué)生作為代表分兩周進(jìn)行國(guó)旗下演講，假設(shè)第一周演講的3名學(xué)生日均閱讀時(shí)間處于[80，100）的人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【解】（1）由題知：各組頻率分別為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，
日均閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：
（分鐘）
（2）由題意，在[60，80），[80，100），[100，120]三組分別抽取3，2，1人
的可能取值為：0，1，2
則
所以的分布列為：
16．（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，在三棱柱中，與的距離為，，．
(1)證明：平面平面ABC；
(2)若點(diǎn)N在棱上，求直線AN與平面所成角的正弦值的最大值．
【解】（1）取棱中點(diǎn)D，連接，因?yàn)?，所?br>因?yàn)槿庵裕?br>所以，所以
因?yàn)椋?，?br>因?yàn)?，，所以，所以?br>同理，
因?yàn)?，且，平面，所以平面?br>因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面；
（2）取中點(diǎn)O，連接，取中點(diǎn)P，連接，則，
由（1）知平面，所以平面
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，，
因?yàn)椋瑒t
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
可設(shè)點(diǎn)，，
，，，
設(shè)面的法向量為，得，
取，則，，所以
設(shè)直線與平面所成角為，
則
若，則，
若，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以直線與平面所成角的正弦值的最大值.
17．（本小題滿(mǎn)分15分）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【解】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?br>又，
所以，
由，解得，此時(shí)單調(diào)遞增；
由，解得，此時(shí)單調(diào)遞減，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由題意知，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；
當(dāng)時(shí)，易知，
故解關(guān)于的方程得，，，
所以，
又，，
所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).
綜上，當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè).
18．（本小題滿(mǎn)分17分）設(shè)拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，.
①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；
②求與面積之和的最小值.
【解】（1）由題意，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，代入拋物線方程得，則，所以，即，所以拋物線.
（2）（i）設(shè)，，直線，
與拋物線聯(lián)立，得，因此，.
設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，得，
因此，，則.同理可得.
所以.
因此直線，由對(duì)稱(chēng)性知，定點(diǎn)在軸上，
令得，
，
所以直線過(guò)定點(diǎn).
（ii）因?yàn)椋?br>，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.
19．（本小題滿(mǎn)分17分）給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱(chēng)集合S為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對(duì)值之和.
(1)判斷、哪個(gè)是規(guī)范數(shù)集，并說(shuō)明理由；
(2)任取一個(gè)元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；
(3)當(dāng)遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時(shí)，求范數(shù)的最小值.
注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).
【解】（1）對(duì)于集合A：因?yàn)?，所以集合A不是規(guī)范數(shù)集；
對(duì)于集合B：因?yàn)椋?br>又，，，，，，
所以B相伴數(shù)集，即，故集合B是規(guī)范數(shù)集.
（2）不妨設(shè)集合S中的元素為，即，
因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
當(dāng)時(shí)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；
綜上所述：.
（3）法一：
不妨設(shè)，
因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則范數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，即范數(shù)的最小值；
當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，
則范數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，即范數(shù)的最小值；
當(dāng)，使得，且，
當(dāng)，即，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則范數(shù)
；
對(duì)于，其開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，
所以，
所以范數(shù)的最小值為；
當(dāng)，即，即時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則范數(shù)
；
對(duì)于，其開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，
所以，
所以范數(shù)；
綜上所述：范數(shù)的最小值.
法二：不妨設(shè)，
因?yàn)镾為規(guī)范數(shù)集，則，則，且，使得，
所以對(duì)于，同樣有，則，
由（2）的證明過(guò)程與結(jié)論可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即，，……，
所以范數(shù)
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以范數(shù)的最小值.0
1
2

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