2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可．【詳解】．故選：D．2．若，則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了排列數(shù)計(jì)算公式，帶入公式計(jì)算可得.【詳解】由排列數(shù)計(jì)算公式可得，解得或.由于且，故.故選：C.3．若函數(shù)，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的定義，由此可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，則.故選: B4．從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析可知只需從、、、這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字全排即可，利用排列計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，只需從這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字全排即可，因此，滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.故選：B.5．已知過(guò)點(diǎn)的直線與曲線的相切于點(diǎn)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)切點(diǎn)的切線方程，代入已知點(diǎn)求出，即可求出切點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，則過(guò)切點(diǎn)的切線方程為，把點(diǎn)代入切線方程得，，即，又，所以，則，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A6．已知名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別讓每位同學(xué)選擇社區(qū)，每人都有3種選擇，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，分別讓每位同學(xué)選擇社區(qū)，每人都有3種選擇，則共有種，故選：C.7．下列不等式中，對(duì)任意的不恒成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】ACD選項(xiàng)，作差后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的性質(zhì)判斷；B選項(xiàng)用特值法判斷.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，則．故A不合題意；當(dāng)時(shí)，，故B符合題意；令，則，則在上單調(diào)遞增，故，則．故C不合題意；令，則，則在上單調(diào)遞增，故，則．故D不合題意.故選：B.8．設(shè)函數(shù)（），則“”是“在定義域上是增函數(shù)”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷充要條件即可．【詳解】函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)是增函數(shù)，所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充分條件；在定義域上是增函數(shù)，可知恒成立，此時(shí)，所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的必要條件；綜上，“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充要條件；故選：C．9．已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在處取得極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ） A． B．C． D．【答案】D【分析】分、、三種情況說(shuō)明單調(diào)性，從而可求解.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，可得，得或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；或時(shí)，單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；或時(shí)，單調(diào)遞增；所以在處取得極小值，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；或時(shí)，單調(diào)遞增；所以在處取得極大值，符合題意.實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D10．已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意作出函數(shù)圖象，可得的范圍，得到，令，再由導(dǎo)數(shù)求最小值即可．【詳解】已知函數(shù)，作出函數(shù)圖象如圖：  當(dāng)時(shí)，．由，得，則．令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，即的最小值為．故選：A． 二、填空題11．      ．【答案】【分析】利用階乘的定義直接求解即可【詳解】，故答案為：612．若甲、乙、丙、丁人站成一排，甲不站兩端，則不同排法的種數(shù)為      ．【答案】【分析】若甲、乙、丙、丁4人站成一排，先排乙、丙、丁3人，排好之后形成4個(gè)空，甲不站兩端，則有2種選擇，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，計(jì)算即可．【詳解】若甲、乙、丙、丁4人站成一排，先排乙、丙、丁3人，共有種，排好之后形成4個(gè)空，甲不站兩端，則有2種選擇，則不同排法的種數(shù)為．故答案為：12． 三、雙空題13．已知函數(shù)．則      ；若，則      ．【答案】          【分析】求出，代值計(jì)算可得出的值，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得.【詳解】因?yàn)?/span>，則，所以，，因?yàn)?/span>，則.故答案為：；. 四、填空題14．設(shè)函數(shù)．能說(shuō)明“對(duì)于任意的，都有成立”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是      ．【答案】－1（答案不唯一，只要滿足即可）【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)條件得到a的范圍，再結(jié)合題意確定a的值即可．【詳解】“對(duì)于任意的，都有成立”，即函數(shù)在上單調(diào)遞增．由函數(shù)，可得，令，可得，時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)；時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，故“對(duì)于任意的，都有成立”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是－1（答案不唯一，只要滿足即可）．故答案為：－1（答案不唯一，只要滿足即可)．15．某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的高度（單位：）與跳起后的時(shí)間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系，的圖象如圖所示，已知曲線在處的切線平行于軸，根據(jù)圖象，給出下列四個(gè)結(jié)論：  ①在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為；②曲線在附近比在附近下降得慢；③曲線在附近比在附近上升得快；④設(shè)在和時(shí)該運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度分別為和，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是      ．【答案】①③④【分析】對(duì)于①，因?yàn)榍€在處的切線平行于軸，所以切線的斜率為0，即；對(duì)于②，比較大小即可；對(duì)于③，比較大小即可；對(duì)于④，，，比較大小即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.對(duì)于①，因?yàn)榍€在處的切線平行于軸，所以切線的斜率為0，即，所以在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為，故①正確；對(duì)于②，由題意知，所以，即曲線在附近比在附近下降得快，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由題意知，所以，即曲線在附近比在附近上升得快，故③正確；對(duì)于④，由題意知且，所以，，所以，所以.即，故④正確；故答案為：①③④. 五、解答題16．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）最大值為18，最小值為.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.令，解得，.隨著x的變化，，變化情況如下表：x100極大值極小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題17．已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)比較的大小，并畫(huà)出的大致圖像；(3)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極小值，無(wú)極大值(2)，作圖見(jiàn)解析(3) 【分析】（1）求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出單調(diào)性和極值；（2）利用（1）中的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷；（3）結(jié)合（2）的圖像，將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)【詳解】（1）的定義域?yàn)?/span>，，于是時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減，又，則在處取到極小值，無(wú)極大值.（2）由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減．故． 又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故，所以．因?yàn)?/span>，所以．結(jié)合（1）中的單調(diào)性，大致圖像如下： （3）的解的個(gè)數(shù)可以看成和直線在同一坐標(biāo)系下圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由（2）的圖像知，當(dāng)的取值不小于最小值即可，即18．某校舉辦乒乓球團(tuán)體比賽，該比賽采用場(chǎng)勝制，每場(chǎng)均為單打，若某隊(duì)先勝場(chǎng)，則比賽結(jié)束，要求每隊(duì)派名運(yùn)動(dòng)員參賽，每名參賽運(yùn)動(dòng)員在團(tuán)體賽中至多參加場(chǎng)比賽，前場(chǎng)比賽每名運(yùn)動(dòng)員各出場(chǎng)次，若場(chǎng)不能決出勝負(fù)，則由第位或第位出場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)員參加后續(xù)的比賽．(1)若某隊(duì)從名運(yùn)動(dòng)員中選名參加此團(tuán)體賽，求該隊(duì)前場(chǎng)比賽有幾種出場(chǎng)情況；(2)已知某隊(duì)派甲、乙、丙這名運(yùn)動(dòng)員參加此團(tuán)體賽．①若場(chǎng)決出勝負(fù)，列出該隊(duì)所有可能出場(chǎng)情況；②若場(chǎng)或場(chǎng)決出勝負(fù)，求該隊(duì)共有幾種出場(chǎng)情況．【答案】(1)60(2)①答案見(jiàn)解析；②24 【分析】（1）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)即可；（2）①根據(jù)題意列舉所有情況即可；②前場(chǎng)共有種出場(chǎng)情況，分場(chǎng)決出勝負(fù)和場(chǎng)決出勝負(fù)兩種情況，討論求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，該球隊(duì)前場(chǎng)比賽有種出場(chǎng)情況．（2）①因?yàn)?/span>場(chǎng)決出勝負(fù)，所以該球隊(duì)所有可能出場(chǎng)有6種情況如下：甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲．②由①知，前場(chǎng)共有種出場(chǎng)情況．所以場(chǎng)決出勝負(fù)時(shí)，前3場(chǎng)有6種，后1場(chǎng)有2種，該球隊(duì)共有種出場(chǎng)情況．場(chǎng)決出勝負(fù)時(shí)，前3場(chǎng)有6種，后2場(chǎng)有2種，該球隊(duì)共有種出場(chǎng)情況．所以場(chǎng)或場(chǎng)決出勝負(fù)時(shí)，該球隊(duì)共有種出場(chǎng)情況．19．已知函數(shù)（）．  (1)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．①直接寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間，并求的值；② 若有且只有1個(gè)零點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性．【答案】(1)①單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；；②．(2)答案見(jiàn)解析 【分析】（1）①由圖象確定的單調(diào)區(qū)間，由列出方程組求得；②求得的極大值與極小值，結(jié)合條件列出不等式可求得的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí)，，分為，，三種情況討論，得出的單調(diào)性．【詳解】（1）①由圖象知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．因?yàn)?/span>，所以．由圖知．即，解得.②由①知，，當(dāng)時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，由題意得：或，∴的取值范圍是．（2）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減． 當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．20．已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，；(3)對(duì)任意的，判斷與的大小關(guān)系，并證明結(jié)論．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)，證明見(jiàn)解析 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意求解即可；（2）對(duì)求導(dǎo)，可判斷出當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而可證得結(jié)論；（3）不妨假設(shè)中的定值，令，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后可判斷在上單調(diào)遞減，則，從而可比較出大小.【詳解】（1）由，得．因?yàn)?/span>，．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）依題意，．所以．當(dāng)時(shí)，，所以．所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，．（3）不妨假設(shè)中的定值，令，，則，，．由（2）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，所以．從而在上單調(diào)遞減．因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，即．綜上，對(duì)任意的，有【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題第（3）問(wèn)解題的關(guān)鍵是假設(shè)中的定值，令，，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，從而得結(jié)果.21．已知函數(shù)，．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，證明：的圖象在的圖象的上方．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)題意列方程組可求得答案；（2）令，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的，恒成立，等價(jià)于證明當(dāng)，的最小值大于零，然后利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以． 依題設(shè)，，，且．解得，．（2）令， ， 證明的圖象在圖象的上方，等價(jià)于證明對(duì)任意的，恒成立， 等價(jià)于證明當(dāng)，的最小值大于零．由，得，，令，則，且當(dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間上單調(diào)遞增， 因?yàn)?/span>，，所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，所以，即．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 所以． 因?yàn)?/span>，且，所以．因?yàn)?/span>，所以．故． 所以． 故對(duì)任意的，恒成立，即的圖象在圖象的上方．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的，恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題. 

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