北京市北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（共10小題；共40分）
1. 已知為等差數(shù)列，，則（）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)，，求出式子的值.
【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以.
故選：C.
2. 函數(shù) 在處的瞬時(shí)變化率為（）
A. 4aB. C. bD.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義直接求解.
【詳解】由可知，
所以，
即在處的瞬時(shí)變化率為.
故選：B
3. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用公式求出，再由第k項(xiàng)滿足可得答案．
【詳解】時(shí)，，
，，
由得，解得，
因?yàn)?，所以?br>故選：C.
4. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論正確的是（）
A. B. 沒有極大值
C. 時(shí)，有極大值D. 時(shí)，有極小值
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，有極大值，的值無(wú)法確定，再根據(jù)的圖象確定的單調(diào)性，從而可說明不是函數(shù)的極值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).
【詳解】解：如圖所示，設(shè)函數(shù)的圖象在原點(diǎn)與之間的交點(diǎn)為．
由圖象可知：.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．
可得：是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)．
不是函數(shù)的極值點(diǎn)，不一定成立．且由圖知，有極大值.
故選：D．
5. 已知等比數(shù)列中，，則“”是“”的（）
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件
C. 充要條件D. 既非充分又非必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造不等式求得的范圍，進(jìn)而依次驗(yàn)證充分性和必要性即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由得：，又，，解得：，
，即，充分性成立；
由得：，又，，即，解得：或，
當(dāng)時(shí)，，，必要性不成立；
綜上所述：“”是“”的充分非必要條件.
故選：A.
6. 與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，如果當(dāng)（，）時(shí)該命題成立，則可推得當(dāng)時(shí)該命題成立．現(xiàn)得知時(shí)命題不成立，那么可推得（）
A. 當(dāng)時(shí)，該命題不成立B. 當(dāng)時(shí)，該命題不成立
C. 當(dāng)時(shí)，該命題成立D. 當(dāng)時(shí)，該命題成立
【答案】A
【解析】
【分析】利用原命題與它的逆否命題的真假性相同，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法可得結(jié)論
【詳解】解：由于原命題與它逆否命題的真假性相同，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)命題成立，則可以推出當(dāng)時(shí)該命題也成立，
所以當(dāng)時(shí)命題不成立，則可以得到當(dāng)時(shí)命題不成立，
故選：A
7. 世界上最早在理論上計(jì)算出“十二平均律”的是我國(guó)明代杰出的律學(xué)家朱載堉，他當(dāng)時(shí)稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它前一個(gè)單音的頻率的比都相等，且最后一個(gè)單音是第一個(gè)單音頻率的2倍.已知第十個(gè)單音的頻率，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是（）
A. 880B. 622C. 311D. 220
【答案】C
【解析】
【分析】依題意，每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，由，算出公比，結(jié)合，即可求出.
【詳解】設(shè)第一個(gè)單音的頻率為，則最后一個(gè)單音的頻率為，
由題意知，且每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比為，
則，解得：
又，
則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是311,
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分析題意將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
8. 若函數(shù)恰好有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)恰好有兩個(gè)極值，說明導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，從而求出a的取值范圍.
【詳解】因，所以，
由函數(shù)恰好有兩個(gè)極值，得有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，
故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，
則，且，解得或，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：D.
9. 若一個(gè)數(shù)列的第 m 項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前 m 項(xiàng)的乘積，則稱這個(gè)數(shù)列為“m 積特征列”，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列為“6 積特征列”，且，則當(dāng) 的前n 項(xiàng)之積最大時(shí)，n 的最大值為（）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)“m積特征列”的定義求出數(shù)列的和之間的關(guān)系，再求前n項(xiàng)之積的最大值.
【詳解】是等比數(shù)列，；
因?yàn)槭恰?積特征列”，，即，，，；
因?yàn)槭钦龜?shù)列，；
設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，則有，
，當(dāng)指數(shù) 最小時(shí)，最大；當(dāng)時(shí)，最小，又，或時(shí)最大；
故選：C.
10. 設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系．
【詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，
，（3），即，
，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．
二、填空題（共5小題；共25分）
11. 已知，，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)，再代值計(jì)算即可
【詳解】解：，
，
，
故答案為：
12. 已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，則公差_________，的最大值為_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件可求得的值，求出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.
【詳解】，即，解得，
所以，，
當(dāng)或時(shí)，取得最大值.
故答案為：；.
13. 函數(shù) 在內(nèi)是遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．
【答案】
【解析】
【分析】由題可得在內(nèi)恒成立，分類討論滿足不等式成立情況下，a的取值范圍即可.
【詳解】由題知在內(nèi)是遞增函數(shù)，
則在內(nèi)恒成立，
當(dāng)時(shí)，上式成立，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
因，所以，
則.
故答案為：
14. 已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極小值．寫出符合上述要求的一組a，b的值為a= _______ ，b=_______ ．
【答案】 ①. 4（不唯一） ②. 5（不唯一）
【解析】
【分析】由極小值的概念及求導(dǎo)法則即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，無(wú)極小值，故，
，
由可得或，
當(dāng)時(shí)，由時(shí)，有極小值可知，即，
當(dāng)時(shí)，由時(shí)，有極小值可知，即.
所以的一組取值可取，
故答案為：4；5（答案不唯一，滿足或即可）.
15. 項(xiàng)數(shù)為的有限數(shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，滿足，其中.給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，則；
②若，則滿足條件的數(shù)列有4個(gè)；
③存在的數(shù)列；
④所有滿足條件數(shù)列中，首項(xiàng)相同.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】根據(jù)有限數(shù)列的性質(zhì)，，及滿足，其中，利用不等式放縮，結(jié)合等比數(shù)列求和可得，即可確定的值，從而可判斷①③④的正誤，若，得，結(jié)合，求得的關(guān)系，根據(jù)不等式求得的范圍，一一列舉得數(shù)列，即可判斷②.
【詳解】由于有限數(shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，所以，，
又因，
所以
所以，且，為整數(shù)，所以，故③不正確，④正確；
當(dāng)時(shí)，得，所以，則，故①正確；
當(dāng)時(shí)，得，因?yàn)?，所以，則，
所以，為整數(shù)，則的可能取值為，對(duì)應(yīng)的的取值為，
故數(shù)列可能為；；；，共4個(gè)，故②正確.
故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：項(xiàng)數(shù)為的有限數(shù)列的性質(zhì)入手，
從各項(xiàng)，結(jié)合不等式放縮，確定的范圍，從而得的值，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.
三、解答題（共6小題；共85分）
16. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，求滿足的最大正整數(shù)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可求得等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)果；
（2）利用等差數(shù)列求和公式可求得，解不等式即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
成等差數(shù)列，，即，
等比數(shù)列的公比為，，解得：，
.
【小問2詳解】
由（1）得：，，
，
令，即，解得：，又，
滿足的最大正整數(shù).
17. 已知函數(shù)在處取得極值.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)極值的定義可以求出實(shí)數(shù)的值；
（2）求導(dǎo)，求出時(shí)的極值，比較極值和之間的大小的關(guān)系，最后求出函數(shù)的最小值.
【詳解】（1），函數(shù)在處取得極值，所以有；
（2）由（1）可知：，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極大值，因此，
，，故函數(shù)的最小值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了求閉區(qū)間上函數(shù)的最小值，考查了極值的定義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
18. 在數(shù)列中，，（，常數(shù)），且，，成等比數(shù)列．
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）．
【解析】
【詳解】試題分析：（1）由遞推公式寫出的表達(dá)式，再由等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程求出的值；
（2）根據(jù)遞推公式的特點(diǎn)，可知組成一個(gè)等比數(shù)列，于是可根據(jù)
用疊和法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
試題解析：解：（1）由題知，，，，
因?yàn)椋?，成等比數(shù)列，所以，
解得或，又，故．
（2）當(dāng)時(shí)，由得
，
，
，
以上各式相加，得，
又，，故，
當(dāng)時(shí)，上式也成立，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）．
考點(diǎn)：1、數(shù)列的遞推公式；2、等比中項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用；3、數(shù)列求通項(xiàng)．
19. 如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方形地塊，邊為，為．地塊的一角是濕地（圖中陰影部分），其邊緣線是以直線為對(duì)稱軸，以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線上一點(diǎn)的直線隔離帶，，分別在邊，上（隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計(jì)）．設(shè)點(diǎn)到邊的距離為（單位：），的面積為（單位：）．

（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；
（2）是否存在點(diǎn)，使隔離出來(lái)的的面積超過？并說明理由．
【答案】（1），
（2）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)拋物線的方程求出邊緣線的方程，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的方程，即可求解；
（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系求解.
【小問1詳解】

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，
由題意：可設(shè)拋物線，
代入點(diǎn)，可得，故拋物線，
由題意直線為拋物線的切線，
點(diǎn)到邊的距離為，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，
，故直線的斜率為，
故直線的方程為：，即，
令，得，故，
令，得，故，
，
故，
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以,
因?yàn)椋裕?br>所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，
所以，
所以不存在點(diǎn)，使隔離出來(lái)的的面積超過.
20. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，
（?。┣笄€在點(diǎn)處的切線方程；
（ⅱ）求證：，.
（2）若在上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】（1）（?。┣芯€方程為；（ⅱ）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解切點(diǎn)坐標(biāo)與斜率，即可得切線方程；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得函數(shù)的最值，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)極值點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，對(duì)進(jìn)行討論，確定導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)進(jìn)行判斷，即可求得的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，
（?。?，又，所以切線方程為.
（ⅱ），，因?yàn)?，所?
所以，所以
所以在單調(diào)遞增，所以；
【小問2詳解】
，
當(dāng)時(shí)，所以，
,
由（1）知，，
所以在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)榕c在單調(diào)遞增.
所以在單調(diào)遞增.
所以，.
所以使得.
所以當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增.
故函數(shù)在上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，的取值范圍是.
21. 設(shè)正整數(shù)集合，且．若對(duì)于任意的，當(dāng) 時(shí)，都有，則稱集合 A 為“子列封閉集合”．
（1）若，判斷集合 A 是否為“子列封閉集合”，說明理由；
（2）若數(shù)列的最大項(xiàng)為，且，證明：集合 A 不是“子列封閉集合”；
（3）設(shè)為數(shù)列，若，且集合 A 為“子列封閉集合”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）集合 A 是為“子列封閉集合”，理由見解析
（2）證明見解析（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)“子列封閉集合”的定義判斷即可；
（2）可用反證法證明集合不是“子列封閉集合”．
（3）根據(jù)集合是“子列封閉集合”時(shí)，，利用數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【小問1詳解】
因?yàn)椋?br>所以對(duì)于任意的，，，當(dāng)時(shí)，
都有，
所以集合為“子列封閉集合”，
【小問2詳解】
假設(shè)集合是“子列封閉集合”，
因?yàn)椋?，所以存在正整?shù)，
使得，，
即，，
因?yàn)椋?，?br>與為集合的最大元素矛盾，
所以假設(shè)錯(cuò)誤，即集合不是“子列封閉集合”．
【小問3詳解】
由（2）知，集合是“子列封閉集合”時(shí)，有，；
因?yàn)閿?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，，所以，或，．
①當(dāng)，時(shí)，因?yàn)?，?br>則；
若，此時(shí)，，
由于，所以，
因?yàn)?，，與，矛盾，
所以，又，所以；
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
②當(dāng)，，時(shí)，因?yàn)?，?br>則；
若，由于，所以，
因?yàn)?，所以，與，矛盾；
若，此時(shí)，，
由于，所以，
因?yàn)?，所以，與，矛盾；
所以，又，所以，；
所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為或．

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