2022-2023學(xué)年北京市北京師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知為等差數(shù)列，，則（    ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)，，求出式子的值.【詳解】因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，所以.故選：C.2．函數(shù) 在 處的瞬時(shí)變化率為 （    ）A．4a B． C．b D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義直接求解.【詳解】由可知，所以，即在 處的瞬時(shí)變化率為.故選：B3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用公式求出，再由第k項(xiàng)滿足可得答案．【詳解】時(shí)，，，，由得，解得，因?yàn)?/span>，所以，故選：C.4．已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．沒有極大值C．時(shí)，有極大值 D．時(shí)，有極小值【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象可知，有極大值，的值無法確定，再根據(jù)的圖象確定的單調(diào)性，從而可說明不是函數(shù)的極值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn).【詳解】解：如圖所示，設(shè)函數(shù)的圖象在原點(diǎn)與之間的交點(diǎn)為．由圖象可知：.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．可得：是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)．不是函數(shù)的極值點(diǎn)，不一定成立．且由圖知，有極大值.故選：D．5．已知等比數(shù)列中，，則“”是“”的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造不等式求得的范圍，進(jìn)而依次驗(yàn)證充分性和必要性即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得：，又，，解得：，，即，充分性成立；由得：，又，，即，解得：或，當(dāng)時(shí)，，，必要性不成立；綜上所述：“”是“”的充分非必要條件.故選：A.6．與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，如果當(dāng)（，）時(shí)該命題成立，則可推得當(dāng)時(shí)該命題成立．現(xiàn)得知時(shí)命題不成立，那么可推得（    ）A．當(dāng)時(shí)，該命題不成立 B．當(dāng)時(shí)，該命題不成立C．當(dāng)時(shí)，該命題成立 D．當(dāng)時(shí)，該命題成立【答案】A【分析】利用原命題與它的逆否命題的真假性相同，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法可得結(jié)論【詳解】解：由于原命題與它的逆否命題的真假性相同，因?yàn)楫?dāng)時(shí)命題成立，則可以推出當(dāng)時(shí)該命題也成立，所以當(dāng)時(shí)命題不成立，則可以得到當(dāng)時(shí)命題不成立，故選：A7．世界上最早在理論上計(jì)算出“十二平均律”的是我國明代杰出的律學(xué)家朱載堉，他當(dāng)時(shí)稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它前一個(gè)單音的頻率的比都相等，且最后一個(gè)單音是第一個(gè)單音頻率的2倍.已知第十個(gè)單音的頻率，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是（    ）A．880 B．622 C．311 D．220【答案】C【分析】依題意，每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，由，算出公比，結(jié)合，即可求出.【詳解】設(shè)第一個(gè)單音的頻率為，則最后一個(gè)單音的頻率為，由題意知，且每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，解得：又，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是311,故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分析題意將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．若函數(shù)恰好有兩個(gè)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)恰好有兩個(gè)極值，說明導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，從而求出a的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，由函數(shù)恰好有兩個(gè)極值，得有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則，且，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D. 二、多選題9．若一個(gè)數(shù)列的第 m 項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前 m 項(xiàng)的乘積，則稱這個(gè)數(shù)列為“m 積特征列”，若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 為“6 積特征列”，且 ，則當(dāng) 的前n 項(xiàng)之積最大時(shí)，n 的最大值為  （    ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據(jù)“m積特征列”的定義求出數(shù)列的和之間的關(guān)系，再求前n項(xiàng)之積的最大值.【詳解】是等比數(shù)列，；因?yàn)槭?/span>“6積特征列”，，即，，，；因?yàn)槭钦龜?shù)列，；設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之積為，則有 ，，當(dāng)指數(shù) 最小時(shí)，最大；當(dāng)時(shí)，最小，又，或時(shí)最大；故選：C. 三、單選題10．設(shè)，，，則，，大小關(guān)系是　　A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性可得（3），從而得到，，的大小關(guān)系．【詳解】考查函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，，（3），即，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查了構(gòu)造法和轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題． 四、填空題11．已知，，則_________.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)，再代值計(jì)算即可【詳解】解：，，，故答案為： 五、雙空題12．已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，則公差_________，的最大值為_________．【答案】          【分析】根據(jù)已知條件可求得的值，求出的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】，即，解得，所以，，當(dāng)或時(shí)，取得最大值.故答案為：；. 六、填空題13．函數(shù) 在內(nèi)是遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．【答案】【分析】由題可得在內(nèi)恒成立，分類討論滿足不等式成立情況下，a的取值范圍即可.【詳解】由題知在內(nèi)是遞增函數(shù)，則在內(nèi)恒成立，當(dāng)時(shí)，上式成立，，當(dāng)時(shí)，恒成立，因，所以，則.故答案為： 七、雙空題14．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極小值．寫出符合上述要求的一組a，b的值為a= _______ ，b=_______ ．【答案】     4（不唯一）     5（不唯一）【分析】由極小值的概念及求導(dǎo)法則即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，無極小值，故，，由可得或，當(dāng)時(shí)，由時(shí)，有極小值可知，即，當(dāng)時(shí)，由時(shí)，有極小值可知，即.所以的一組取值可取，故答案為：4；5（答案不唯一，滿足或即可）. 八、填空題15．項(xiàng)數(shù)為的有限數(shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，滿足，其中.給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則滿足條件的數(shù)列有4個(gè)；③存在的數(shù)列；④所有滿足條件的數(shù)列中，首項(xiàng)相同.其中所有正確結(jié)論的序號是_________.【答案】①②④【分析】根據(jù)有限數(shù)列的性質(zhì)，，及滿足，其中，利用不等式放縮，結(jié)合等比數(shù)列求和可得，即可確定的值，從而可判斷①③④的正誤，若，得，結(jié)合，求得的關(guān)系，根據(jù)不等式求得的范圍，一一列舉得數(shù)列，即可判斷②.【詳解】由于有限數(shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，所以，，又因?yàn)?/span>，所以所以，且，為整數(shù)，所以，故③不正確，④正確；當(dāng)時(shí)，得，所以，則，故①正確；當(dāng)時(shí)，得，因?yàn)?/span>，所以，則，所以，為整數(shù)，則的可能取值為，對應(yīng)的的取值為，故數(shù)列可能為；；；，共4個(gè)，故②正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：項(xiàng)數(shù)為的有限數(shù)列的性質(zhì)入手，從各項(xiàng)，結(jié)合不等式放縮，確定的范圍，從而得的值，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可. 九、解答題16．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，求滿足的最大正整數(shù)．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可求得等比數(shù)列的公比，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）利用等差數(shù)列求和公式可求得，解不等式即可得到結(jié)果.【詳解】（1）成等差數(shù)列，，即，等比數(shù)列的公比為，，解得：，.（2）由（1）得：，，，令，即，解得：，又，滿足的最大正整數(shù).17．已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)極值的定義可以求出實(shí)數(shù)的值；（2）求導(dǎo)，求出時(shí)的極值，比較極值和之間的大小的關(guān)系，最后求出函數(shù)的最小值.【詳解】（1），函數(shù)在處取得極值，所以有；（2）由（1）可知：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極大值，因此，，，故函數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了求閉區(qū)間上函數(shù)的最小值，考查了極值的定義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18．在數(shù)列中，，（，常數(shù)），且，，成等比數(shù)列．（1）求的值； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）．【詳解】試題分析：（1）由遞推公式寫出 的表達(dá)式，再由等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程求出的值； （2）根據(jù)遞推公式的特點(diǎn)，可知 組成一個(gè)等比數(shù)列，于是可根據(jù)用疊和法求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式．試題解析：解：（1）由題知，， ，， 因?yàn)?/span>， ，成等比數(shù)列，所以 ， 解得或 ，又，故 ． （2）當(dāng)時(shí)，由 得，，，以上各式相加，得， 又， ，故， 當(dāng)時(shí)，上式也成立， 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）． 【解析】1、數(shù)列的遞推公式；2、等比中項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用；3、數(shù)列求通項(xiàng)．19．如圖，有一個(gè)長方形地塊，邊為，為．地塊的一角是濕地（圖中陰影部分），其邊緣線是以直線為對稱軸，以為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，現(xiàn)要鋪設(shè)一條過邊緣線上一點(diǎn)的直線隔離帶，，分別在邊， 上（隔離帶不能穿越濕地，且占地面積忽略不計(jì)）．設(shè)點(diǎn)到邊的距離為（單位：），的面積為（單位：）．  (1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)是否存在點(diǎn)，使隔離出來的的面積超過？并說明理由．【答案】(1)，(2)不存在，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)拋物線的方程求出邊緣線的方程，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的方程，即可求解；（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與最值的關(guān)系求解.【詳解】（1）  如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，由題意：可設(shè)拋物線，代入點(diǎn)，可得，故拋物線為，由題意直線為拋物線的切線，點(diǎn)到邊的距離為，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，，故直線的斜率為，故直線的方程為：，即，令，得，故，令，得，故，，故，（2）因?yàn)?/span>，所以,因?yàn)?/span>，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，所以，所以不存在點(diǎn)，使隔離出來的的面積超過.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，（ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ⅱ）求證：，.(2)若在上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)（ⅰ）切線方程為；（ⅱ）證明見解析(2) 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求解切點(diǎn)坐標(biāo)與斜率，即可得切線方程；根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得函數(shù)的最值，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)極值點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，對進(jìn)行討論，確定導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)進(jìn)行判斷，即可求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，（ⅰ） ，又，所以切線方程為.（ⅱ），，因?yàn)?/span>，所以,所以，所以所以在單調(diào)遞增，所以；（2），當(dāng)時(shí)，所以， ,由（1）知，，所以在上單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>與在單調(diào)遞增.所以在單調(diào)遞增.所以，.所以使得.所以當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增.故函數(shù)在上恰有一個(gè)極小值點(diǎn)，的取值范圍是.21．設(shè)正整數(shù)集合，且 ．若對于任意的 ，當(dāng) 時(shí)，都有 ，則稱集合 A 為“子列封閉集合”．(1)若 ，判斷集合 A 是否為“子列封閉集合”，說明理由；(2)若數(shù)列的最大項(xiàng)為，且，證明：集合 A 不是“子列封閉集合”；(3)設(shè)為數(shù)列，若 ，且集合 A 為“子列封閉集合”，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式．【答案】(1)集合 A 是為“子列封閉集合”，理由見解析(2)證明見解析(3)或 【分析】（1）根據(jù)“子列封閉集合”的定義判斷即可；（2）可用反證法證明集合不是“子列封閉集合”．（3）根據(jù)集合是“子列封閉集合”時(shí)，，利用數(shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以對于任意的，，，當(dāng)時(shí)，都有，所以集合為“子列封閉集合”，（2）假設(shè)集合是“子列封閉集合”，因?yàn)?/span>，，所以存在正整數(shù)，使得，，即，，因?yàn)?/span>，所以，，與為集合的最大元素矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即集合不是“子列封閉集合”．（3）由（2）知，集合是“子列封閉集合”時(shí)，有，；因?yàn)閿?shù)列為嚴(yán)格遞增數(shù)列，，所以，或，．①當(dāng)，時(shí)，因?yàn)?/span>，，則；若，此時(shí)，，由于，所以，因?yàn)?/span>，，與，矛盾，所以，又，所以；所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．②當(dāng)，，時(shí)，因?yàn)?/span>，，則；若，由于，所以，因?yàn)?/span>，所以，與，矛盾；若，此時(shí)，，由于，所以，因?yàn)?/span>，所以，與，矛盾；所以，又，所以，；所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為或． 

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