專題06 一次二次方程-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；
2.會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等；
3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型；
4.能利用一元二次方程解決實際應(yīng)用問題，并根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理．
本考點內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右，預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個題型，為避免丟分,學(xué)生應(yīng)扎實掌握。
?考向一一元二次方程的解
1．（2023?綿陽）若x＝3是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，下面對a的值估計正確的是（）
A．＜a＜1B．1＜a＜C．＜a＜2D．2＜a＜
【思路點撥】將方程的根代入方程，解關(guān)于a的一元二次方程并估值即可．
【規(guī)范解答】解：將x＝3代入方程得，
9﹣5a﹣a2＝0，
解得，
又a＞0，
所以a＝．
又因為7＜＜8，
所以2＜＜3，
，
即1＜a＜．
故選：B．
【真題剖析】本題考查一元二次方程的解，能正確解出關(guān)于a的一元二次方程及對求出的a進行估值是解題的關(guān)鍵．
2．（2023?棗莊）若x＝3是關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝6的解，則2023﹣6a+2b的值為 2019 ．
【思路點撥】把x＝3代入方程求出3a﹣b的值，代入原式計算即可求出值．
【規(guī)范解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，
則原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．
故答案為：2019．
【真題剖析】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
3．（2023?株洲）已知實數(shù)m、x滿足：（mx1﹣2）（mx2﹣2）＝4．
①若，則x2＝ 18 ；
②若m、x1、x2為正整數(shù)，則符合條件的有序?qū)崝?shù)對（x1，x2）有 7 個．
【思路點撥】①把m＝，x1＝9代入求值即可；
②由題意知：（mx1﹣2），（mx2﹣2）均為整數(shù)，mx1≥1，mx2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，則4＝1×4＝2×2＝4×1，再分三種情況討論即可．
【規(guī)范解答】解：①把m＝，x1＝9時，（×9﹣2）×（x2﹣2）＝4，
解得：x2＝18；
故答案為：18．
②當(dāng)m，x1，x2為正整數(shù)時，
（mx1﹣2），（mx2﹣2）均為整數(shù)，mx1≥1，mx2≥1，mx1﹣2≥﹣1，mx2﹣2≥﹣1，
而4＝1×4＝2×2＝4×1，
∴或或，
∴或或，
當(dāng)時，m＝1時，x1＝3，x2＝6；m＝3時，x1＝1，x2＝2，
故（x1，x2）為（3，6），（1，2），共2個；
當(dāng)時，m＝1時，x1＝4，x2＝4；m＝2時，x1＝2，x2＝2，m＝4時，x1＝1，x2＝1，
故（x1，x2）為（4，4），（2，2），（1，1），共3個；
當(dāng)時，m＝1時，x1＝6，x2＝3；m＝3時，x1＝2，x2＝1，
故（x1，x2）為（6，3），（2，1），共2個；
綜上所述：共有2+3+2＝7個．
故答案為：7．
【真題剖析】本題考查了整式方程的代入求值、整式方程的整數(shù)解，因式分解的應(yīng)用，及分類討論的思想方法．本題的關(guān)鍵及難點是運用分類討論的思想方法解題．
?考向二解一元二次方程-直接開平方法
4．（2022?臺灣）已知一元二次方程式（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，求2a+b之值為何？（）
A．9B．﹣3C．6+D．﹣6+
【思路點撥】先利用直接開平方法解方程得到a＝2+，b＝2﹣，然后計算代數(shù)式2a+b的值．
【規(guī)范解答】解：（x﹣2）2＝3，
x﹣2＝或x﹣2＝﹣，
所以x1＝2+，x2＝2﹣，
即a＝2+，b＝2﹣，
所以2a+b＝4+2+2﹣＝6+．
故選：C．
【真題剖析】此題主要考查了直接開平方法解方程，正確掌握解題方法是解題關(guān)鍵．
5．（2020?揚州）方程（x+1）2＝9的根是 x1＝2，x2＝﹣4 ．
【思路點撥】根據(jù)直接開平方法的步驟先把方程兩邊分別開方，再進行計算即可．
【規(guī)范解答】解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
故答案為：x1＝2，x2＝﹣4．
【真題剖析】此題考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移到等號的右邊，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解，本題直接開方求解即可．
?考向三解一元二次方程-配方法
6．（2023?新疆）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（）
A．（x+6）2＝28B．（x﹣6）2＝28C．（x+3）2＝1D．（x﹣3）2＝1
【思路點撥】利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答．
【規(guī)范解答】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故選：D．
【真題剖析】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關(guān)鍵．
7．（2022?無錫）（1）解方程：x2+6x﹣1＝0；
（2）解不等式組：．
【思路點撥】（1）用配方法解方程即可；
（2）求出每個不等式的解集，再找公共解集即可．
【規(guī)范解答】解：（1）∵x2+6x﹣1＝0，
∴（x+3）2＝10，
∴x+3＝或x+3＝﹣，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣﹣3；
（2）解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣3，
∴不等式組的解集為﹣3＜x≤2．
【真題剖析】本題考查解一元二次方程和解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握配方法和求公共解集的方法．
8．（2022?徐州）（1）解方程：x2﹣2x﹣1＝0；
（2）解不等式組：．
【思路點撥】（1）方程移項后，利用完全平方公式配方，開方即可求出解；
（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可．
【規(guī)范解答】解：（1）方程移項得：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
開方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
則不等式組的解集為x＞2．
【真題剖析】此題考查了解一元一次不等式組，以及解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握不等式組的解法及方程的解法是解本題的關(guān)鍵．
?考向四解一元二次方程-公式法
9．（2023?臺灣）利用公式解可得一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的兩解為a、b，且a＞b，求a值為何（）
A．B．C．D．
【思路點撥】利用公式法即可求解．
【規(guī)范解答】解：3x2﹣11x﹣1＝0，
這里a＝3，b＝﹣11，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣11）2﹣4×3×（﹣1）＝133＞0，
∴x＝＝，
∵一元二次方程式3x2﹣11x﹣1＝0 的兩解為a、b，且a＞b，
∴a的值為．
故選：D．
【真題剖析】本題考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟練運用公式法解答方程是解此題的關(guān)鍵．
10．（2022?東營）一元二次方程x2+4x﹣8＝0的解是（）
A．x1＝2+2，x2＝2﹣2B．x1＝2+2，x2＝2﹣2
C．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2D．x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2
【思路點撥】根據(jù)公式法解一元二次方程的步驟求解即可．
【規(guī)范解答】解：∵a＝1，b＝4，c＝﹣8，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，
則x＝＝＝﹣2±2，
∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2，
故選：D．
【真題剖析】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．
?考向五解一元二次方程-因式分解法
11．（2022?包頭）若x1，x2是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，則x1?x22的值為（）
A．3或﹣9B．﹣3或9C．3或﹣6D．﹣3或6
【思路點撥】先用因式分解法解出方程，然后分情況討論，然后計算．
【規(guī)范解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x＝3或x＝﹣1，
①x1＝3，x2＝﹣1時，＝3，
②x1＝﹣1，x2＝3時，＝﹣9，
故選：A．
【真題剖析】本題主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，掌握因式分解法解出方程的步驟，分情況討論是解題關(guān)鍵．
12．（2022?云南）方程2x2+1＝3x的解為 x1＝1，x2＝．
【思路點撥】方程利用因式分解法求出解即可．
【規(guī)范解答】解：2x2+1＝3x，
2x2﹣3x+1＝0，
（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
解得：x1＝1，x2＝．
故答案為：x1＝1，x2＝．
【真題剖析】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：掌握十字相乘法解方程是本題的關(guān)鍵．
13．（2022?貴陽）（1）a，b兩個實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示．
用“＜”或“＞”填空：a ＜ b，ab ＜ 0；
（2）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法；它們分別是配方法、公式法和因式分解法，請從下列一元二次方程中任選兩個，并解這兩個方程．
①x2+2x﹣1＝0；②x2﹣3x＝0；③x2﹣4x＝4；④x2﹣4＝0．
【思路點撥】（1）先根據(jù)數(shù)軸確定a、b的正負，再利用乘法法則確定ab；
（2）根據(jù)方程的系數(shù)特點，選擇配方法、公式法或因式分解法．
【規(guī)范解答】解：（1）由數(shù)軸上點的坐標(biāo)知：a＜0＜b，
∴a＜b，ab＜0．
故答案為：＜，＜．
（2）①利用公式法：x2+2x﹣1＝0，
Δ＝22﹣4×1×（﹣1）
＝4+4
＝8，
∴x＝
＝
＝
＝﹣1±．
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
②利用因式分解法：x2﹣3x＝0，
∴x（x﹣3）＝0．
∴x1＝0，x2＝3；
③利用配方法：x2﹣4x＝4，
兩邊都加上4，得x2﹣4x+4＝8，
∴（x﹣2）2＝8．
∴x﹣2＝±2．
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2；
④利用因式分解法：x2﹣4＝0，
∴（x+2）（x﹣2）＝0．
∴x1＝﹣2，x2＝2．
【真題剖析】本題考查了數(shù)軸、一元二次方程的解法，掌握數(shù)軸的意義、一元二次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
?考向六配方法的應(yīng)用
14．（2023?連云港）若W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3（x、y為實數(shù)），則W的最小值為 ﹣2 ．
【思路點撥】將原式進行配方，然后根據(jù)偶次冪的非負性即可求得答案．
【規(guī)范解答】解：W＝5x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝x2+4x2﹣4xy+y2﹣2y+8x+3
＝4x2﹣4xy+y2﹣2y+x2+8x+3
＝（4x2﹣4xy+y2）﹣2y+x2+8x+3
＝（2x﹣y）2﹣2y+x2+4x+4x+3
＝（2x﹣y）2+4x﹣2y+x2+4x+3
＝（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1﹣1+x2+4x+4﹣4+3
＝[（2x﹣y）2+2（2x﹣y）+1]+（x2+4x+4）﹣2
＝（2x﹣y+1）2+（x+2）2﹣2，
∵x，y均為實數(shù)，
∴（2x﹣y+1）2≥0，（x+2）2≥0，
∴原式W≥﹣2，
即原式的W的最小值為：﹣2，
解法二：由題意5x2+（8﹣4y）x+（y2﹣2y+3﹣W）＝0，
∵x為實數(shù)，
∴（8﹣4y）2﹣20（y2﹣2y+3﹣W）≥0，
即5W≥（y+3）2﹣10≥﹣10，
∴W≥﹣2，
∴W的最小值為：﹣2，
故答案為：﹣2．
【真題剖析】本題考查配方法的應(yīng)用及偶次冪的非負性，利用配方法把原式整理為“平方+常數(shù)”的形式是解題的關(guān)鍵．
15．（2022?樂山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，則m﹣n＝ 4 ．
【思路點撥】根據(jù)完全平方公式得出m和n的值即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，
∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，
即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝4，
故答案為：4．
【真題剖析】本題主要考查完全平方公式，根據(jù)完全平方公式得出m和n的值是解題的關(guān)鍵．
?考向七根的判別式
16．（2023?眉山）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）
A．B．m＞3C．m≤3D．m＜3
【思路點撥】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＞0，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍，對照四個選項即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0，
解得：m＜3．
故選：D．
【真題剖析】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
17．（2023?鞍山）若關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣a＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是 a＞﹣ ．
【思路點撥】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝32﹣4×1×（﹣a）＞0，然后解不等式即可．
【規(guī)范解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+3x﹣a＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＞0，即Δ＝32﹣4×1×（﹣a）＞0，
解得a＞﹣．
故答案為：a＞﹣．
【真題剖析】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
18．（2023?揚州）若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍為 k＜1 ．
【思路點撥】根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案為：k＜1．
【真題剖析】本題考查了根的判別式，根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根結(jié)合根的判別式得出4﹣4k＞0是解題的關(guān)鍵．
?考向八根與系數(shù)的關(guān)系
19．（2023?錦州）若關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）
A．k＜B．k≤C．k＜且k≠0D．k≤且k≠0
【思路點撥】根據(jù)一元二次方程的定義，得k≠0，根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，得出Δ≥0，求出k的取值范圍即可得出答案．
【規(guī)范解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，
∴k≠0，
∵方程有兩個實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，
解得k≤，
∴k的取值范圍是k≤且k≠0，
故選：D．
【真題剖析】此題考查了根的判別式，掌握一元二次方程的定義，以及一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
20．（2023?岳陽）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2，且x1+x2+x1?x2＝2，則實數(shù)m＝ 3 ．
【思路點撥】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式Δ＞0，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2﹣m+2，結(jié)合x1+x2+x1?x2＝2，可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0，
∴m＞2．
∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝﹣2m，x1?x2＝m2﹣m+2，
∵x1+x2+x1?x2＝2，
∴﹣2m+m2﹣m+2＝2，
解得：m1＝0（不符合題意，舍去），m2＝3，
∴實數(shù)m的值為3．
故答案為：3．
【真題剖析】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x1+x2+x1?x2＝2，找出關(guān)于m的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
21．（2023?南充）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求證：無論m為何值，方程總有實數(shù)根；
（2）若x1，x2是方程的兩個實數(shù)根，且+＝﹣，求m的值．
【思路點撥】（1）由判別式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由+＝﹣進行變形直接代入得到5m2﹣7m+2＝0，求解可得．
【規(guī)范解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程總有實數(shù)根；
（2）解：由題意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵+＝＝＝﹣，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m＝．
【真題剖析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判別式．
?考向九一元二次方程的應(yīng)用
22．（2023?重慶）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個，并按計劃逐月增長，預(yù)計八月份將提供崗位1815個，設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為x，根據(jù)題意，可列方程為 1501（1+x）2＝1815 ．
【思路點撥】根據(jù)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個，并按計劃逐月增長，預(yù)計八月份將提供崗位1815個，列一元二次方程即可．
【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意，得1501（1+x）2＝1815，
故答案為：1501（1+x）2＝1815．
【真題剖析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
23．（2023?牡丹江）張師傅去年開了一家超市，今年2月份開始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利達到7200元，從3月到5月，每月盈利的平均增長率都相同，則每月盈利的平均增長率是 20% ．
【思路點撥】設(shè)每月盈利的平均增長率是x，利用5月份盈利＝3月份盈利×（1+每月盈利的平均增長率）2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：設(shè)每月盈利的平均增長率是x，
根據(jù)題意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去），
∴每月盈利的平均增長率是20%．
故答案為：20%．
【真題剖析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
24．（2023?東營）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）．
（1）當(dāng)羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？
（2）羊圈的面積能達到650m2嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由．
【思路點撥】（1）根據(jù)BC＝柵欄總長﹣2AB，再利用矩形面積公式即可求出；
（2）把S＝650代入x（72﹣2x）中函數(shù)解析式中，解方程，取在自變量范圍內(nèi)的值即可．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)矩形ABCD的邊AB＝xm，則邊BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根據(jù)題意，得x（72﹣2x）＝640，
化簡，得 x2﹣36x+320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
當(dāng)x＝16時，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），
當(dāng)x＝20時，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．
答：當(dāng)羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由題意，得x（72﹣2x）＝650，
化簡，得 x2﹣36x+325＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程沒有實數(shù)根．
∴羊圈的面積不能達到 650m2．
【真題剖析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到周長等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
1．（2023?赤峰）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0時，配方后正確的是（）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝17C．（x﹣2）2＝5D．（x﹣2）2＝17
【思路點撥】先把﹣1移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據(jù)完全平方公式寫成完全平方的形式即可．
【規(guī)范解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5．
故選：C．
【真題剖析】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n（n≥0）的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
2．（2023?福建）根據(jù)福建省統(tǒng)計局數(shù)據(jù)，福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元．設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（）
A．43903.89（1+x）＝53109.85
B．43903.89（1+x）2＝53109.85
C．43903.89x2＝53109.85
D．43903.89（1+x2）＝53109.85
【思路點撥】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)福建省2020年的地區(qū)生產(chǎn)總值為43903.89億元，2022年的地區(qū)生產(chǎn)總值為53109.85億元，據(jù)此列方程．
【規(guī)范解答】解：設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，
根據(jù)題意得，43903.89（1+x）2＝53109.85，
故選：B．
【真題剖析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程．
3．（2023?廣西）據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（）
A．3.2（1﹣x）2＝3.7B．3.2（1+x）2＝3.7
C．3.7（1﹣x）2＝3.2D．3.7（1+x）2＝3.2
【思路點撥】根據(jù)2020年的人均可支配收入×（1+年平均增長率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．
【規(guī)范解答】解：由題意得：3.2（1+x）2＝3.7，
故選：B．
【真題剖析】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?黑龍江）如圖，在長為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m2，則小路的寬是（）
A．5mB．70mC．5m或70mD．10m
【思路點撥】設(shè)小路的寬是x m，則余下的部分可合成長為（100﹣2x）m，寬為（50﹣2x）m的矩形，根據(jù)花圃的面積是3600m2，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：設(shè)小路的寬是x m，則余下的部分可合成長為（100﹣2x）m，寬為（50﹣2x）m的矩形，
根據(jù)題意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600，
整理得：x2﹣75x+350＝0，
解得：x1＝5，x2＝70（不符合題意，舍去），
∴小路的寬是5m．
故選：A．
【真題剖析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?鎮(zhèn)江）若x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一個根，則m＝ 5 ．
【思路點撥】把x＝1代入原方程得到1+m﹣6＝0，然后解一次方程即可．
【規(guī)范解答】解：把x＝1代入方程x2+mx﹣6＝0得1+m﹣6＝0，
解得m＝5．
故答案為：5．
【真題剖析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．
6．（2023?寧夏）方程x2﹣4x﹣m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為 ﹣4 ．
【思路點撥】根據(jù)根的判別式的意義得到Δ＝（﹣4）2+4m＝0，然后解不等式即可．
【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣4）2+4m＝0，
解得m＝﹣4，
即m的值為﹣4．
故答案為：﹣4．
【真題剖析】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．
7．（2023?邵陽）某校截止到2022年底，校園綠化面積為1000平方米．為美化環(huán)境，該校計劃2024年底綠化面積達到1440平方米．利用方程思想，設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長率為x，則依題意列方程為 1000（1+x）2＝1440 ．
【思路點撥】根據(jù)2022年底綠化面積×（1+年平均增長率）2＝2024年底綠化面積，列出一元二次方程即可．
【規(guī)范解答】解：根據(jù)題意得：1000（1+x）2＝1440，
故答案為：1000（1+x）2＝1440．
【真題剖析】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?巴中）（1）計算：|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2．
（2）求不等式組的解集．
（3）先化簡，再求值（+x﹣1）÷，其中x的值是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【思路點撥】（1）根據(jù)絕對值的定義，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)，計算即可；
（2）根據(jù)不等式組的解法解不等式組即可；
（3）根據(jù)整式的混合運算化簡后代入x的值計算即可．
【規(guī)范解答】解：（1）|3﹣|+（）﹣1﹣4sin60°+（）2
＝2﹣3+3﹣4×+2
＝2﹣2+2
＝2；
（2）解不等式①得，x＜2；
解不等式②得，x≥﹣3，
∴原不等式組的解集為﹣3≤x＜2；
（3）（+x﹣1）÷
＝
＝x+1，
解方程x2﹣2x﹣3＝0得x1＝3，x2＝﹣1，
∵x2（x+1）2≠0，
∴x≠0，x≠﹣1，
∴x＝3，
∴原式＝3+1＝4．
【真題剖析】本題考查了一元二次方程的解，實數(shù)的運算，分式的化簡和求值，解一元一次不等式，正確地進行運算是解題的關(guān)鍵．
9．（2022?齊齊哈爾）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【思路點撥】方程開方轉(zhuǎn)化為一元一次方程，求出解即可．
【規(guī)范解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
開方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1．
【真題剖析】此題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵．
10．（2023?無錫）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（2）解不等式組：．
【思路點撥】（1）方程利用公式法求解即可；
（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【規(guī)范解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0，
∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17，
∴x＝＝，
∴，；
（2），
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式組的解集為：﹣1＜x＜3．
【真題剖析】本題考查的是解一元二次方程以及解一元一次不等式組，掌握公式法和解一元一次不等式的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．
11．（2023?青海）為豐富學(xué)生課余生活，提高學(xué)生運算能力，數(shù)學(xué)小組設(shè)計了如下的解題接力游戲：
（1）解不等式組：；
（2）當(dāng)m?。?）的一個整數(shù)解時，解方程x2﹣2x﹣m＝0．
【思路點撥】（1）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）根據(jù)（1）中不等式的解集得出m的一個值，求出x的值即可．
【規(guī)范解答】解：（1）由①得，x＜4，由②得，x＞1，
故不等式組的解集為：1＜x＜4；
（2）由（1）知1＜x＜4，
∴令m＝2，
則方程變?yōu)閤2﹣2x﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12，
∴x＝＝＝1±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣（答案不唯一）．
【真題剖析】本題考查的是解一元二次方程及解一元一次不等式組，先根據(jù)題意得出x的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
12．（2023?齊齊哈爾）解方程：x2﹣3x+2＝0．
【思路點撥】把方程的左邊利用十字相乘法因式分解為（x﹣1）（x﹣2），再利用積為0的特點求解即可．
【規(guī)范解答】解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
【真題剖析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，當(dāng)把方程通過移項把等式的右邊化為0后方程的左邊能因式分解時，一般情況下是把左邊的式子因式分解，再利用積為0的特點解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．
13．（2023?鹽城）課堂上，老師提出了下面的問題：
已知3a＞b＞0，M＝，N＝，試比較M與N的大?。?br>小華：整式的大小比較可采用“作差法”．
老師：比較x2+1與2x﹣1的大小．
小華：∵（x2+1）﹣（2x﹣1）＝x2+1﹣2x+1＝（x﹣1）2+1＞0，
∴x2+1＞2x﹣1．
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？
…
（1）請用“作差法”完成老師提出的問題．
（2）比較大?。? ＜．（填“＞”“＝”或“＜”）
【思路點撥】（1）根據(jù)“作差法”比較整式的大小即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)“作差法”即可得到結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：（1）M﹣N＝﹣＝＝＝，
∵3a＞b＞0，
∴3a﹣b＞0，b（b+1）＞0，
∴＞0，
∴M＞N；
（2）﹣＝＝﹣＜0，
∴＜．
故答案為：＜．
【真題剖析】本題考查了配方法的應(yīng)用，有理數(shù)大小的比較，熟練掌握“作差法”是解題的關(guān)鍵．
14．（2023?湖北）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)該方程的兩個實數(shù)根為a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值．
【思路點撥】（1）要證明方程都有兩個不相等的實數(shù)根，即證明Δ＝b2﹣4ac＞0即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得a+b＝2m+1，ab＝m2+m，再將（2a+b）（a+2b）＝20變形可得2（a+b）2+ab＝20，將a+b，ab的代入可得關(guān)于m的一元二次方程，求解即可．
【規(guī)范解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）
＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m
＝1＞0，
∴無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解：∵該方程的兩個實數(shù)根為a，b，
∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m，
∵（2a+b）（a+2b）
＝2a2+4ab+ab+2b2
＝2（a2+2ab+b2）+ab
＝2（a+b）2+ab，
∴2（a+b）2+ab＝20，
∴2（2m+1）2+m2+m＝20，
整理得：m2+m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣2，m2＝1，
∴m的值為﹣2或1．
【真題剖析】本題主要考查一元二次方程根的判別式的應(yīng)用、根與系數(shù)的關(guān)系的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根．根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，，．
15．（2023?通遼）閱讀材料：
材料1：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個實數(shù)根x1，x2和系數(shù)a，b，c，有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．
材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數(shù)根分別為m，n，求m2n+mn2的值．
解：∵m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，
∴m+n＝1，mn＝﹣1．
則 m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：
（1）應(yīng)用：一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝ ﹣ ，x1x2＝ ﹣ ．
（2）類比：已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0 的兩個實數(shù)根為m，n，求m2+n2的值；
（3）提升：已知實數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0 且s≠t，求的值．
【思路點撥】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出m+n＝﹣，mn＝﹣，將其代入m2+n2＝（m+n）2﹣2mn中，即可求出結(jié)論；
（3）由實數(shù)s、t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，可得出s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出s+t＝﹣，st＝﹣，結(jié)合（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st，可求出s﹣t的值，再將其代入＝中，即可求出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：（1）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個根為x1，x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣；
故答案為：﹣，﹣；
（2）∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩根分別為m，n，
∴m+n＝﹣，mn＝﹣，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝+1＝；
（3）∵實數(shù)s，t滿足2s2+3s﹣1＝0，2t2+3t﹣1＝0，且s≠t，
∴s，t是一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，
∴s+t＝﹣，st＝﹣，
∵（t﹣s）2＝（t+s）2﹣4st＝（﹣）2﹣4×（﹣）＝，
∴t﹣s＝±，
∴＝＝＝±．
【真題剖析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和等于﹣，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．
16．（2023?郴州）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．
（1）求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；
（2）預(yù)計5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？
【思路點撥】（1）設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x，由2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人，列出方程可求解；
（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是a萬人，由增長率不會超過前兩個月的月平均增長率，列出不等式，即可求解．
【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為x，
由題意可得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x＝25%，x＝﹣（不合題意舍去），
答：這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率為25%；
（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是a萬人，
由題意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%），
解得：a≤0.1，
答：5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是0.1萬人．
【真題剖析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵
知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準(zhǔn)把握重難點）
考點回歸（梳理基礎(chǔ)考點，清晰明了，便于識記）
重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一一元二次方程的解
?考向二解一元二次方程-直接開平方法
?考向三解一元二次方程-配方法
?考向四解一元二次方程-公式法
?考向五解一元二次方程-因式分解法
?考向六配方法的應(yīng)用
?考向七根的判別式
?考向八根與系數(shù)的關(guān)系
最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）
一元二次方程
1.一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：（其中為常數(shù)，），其中分別叫做二次項、一次項和常數(shù)項，分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因為當(dāng)時，不含有二次項，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
一元二次方程的解
1.一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
2.一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解．這是一元二次方程（a≠0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．
，．
直接開平方法
形如或（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等號左邊是一個數(shù)的平方的形式而等號右邊是一個非負數(shù)．
②降次的實質(zhì)是由一個二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程．
③方法是根據(jù)平方根的意義開平方．
配方法
1.將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
2.用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；
③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；
⑤如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負數(shù)，則判定此方程無實數(shù)解．
公式法
1.把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程（a≠0）的求根公式．
2.用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
3.用公式法解一元二次方程的一般步驟為：
①把方程化成一般形式，進而確定a，b，c的值（注意符號）；
②求出的值（若，方程無實數(shù)根）；
③在的前提下，把a、b、c的值代入公式進行計算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個：
①a≠0；②．
因式分解法
1.因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
2.因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項，使方程的右邊化為零；
②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；
③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；
④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（）判斷方程的根的情況．
一元二次方程（a≠0）的根與有如下關(guān)系：
①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；
②當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；
③當(dāng)時，方程無實數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．
一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系
1.當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
2.當(dāng)時，方程有1個（兩個相等的）實數(shù)根；
3.當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．
根與系數(shù)關(guān)系
1.若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：是方程的兩根時，，，反過來可得，，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．
2.若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：是一元二次方程（a≠0）的兩根時，，，反過來也成立，即，．
3.常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：
①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根．
②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)．
③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，等等．
④判斷兩根的符號．
⑤求作新方程．
⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．
利用一元二次方程解決實際問題
列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”
1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．
2．設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)．
3．列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程．
4．解：準(zhǔn)確求出方程的解．
5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題．
6．答：寫出答案．
增長率等量關(guān)系
1.增長率=增長量÷基礎(chǔ)量．
2.設(shè)為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；當(dāng)為平均下降率時，則有．
利潤等量關(guān)系
1.利潤=售價－成本．
2.利潤率=×100％．
面積問題
1.類型1：如圖1所示的矩形長為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．
2.類型2：如圖2所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．
3.類型3：如圖3所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．

圖1 圖2 圖3
碰面問題（循環(huán)問題）
1.重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m。
∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場
∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場
∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分.
∴m=n（n－1）
2.不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m。
∵1支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場
∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場.
∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊.
∴m=n（n－1）
解題技巧/易錯易混/特別提醒
緊扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化簡變形求解
解題技巧/易錯易混/特別提醒
一元二次方程的常見解法及適用情形：
一般形式：
直接開平方法
形如的方程，可直接開方求解，則，
因式分解法
可化為的方程，用因式分解法求解，則，
配方法
若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為，再直接開方求解
公式法
利用求根公式：
解題技巧/易錯易混/特別提醒
1.當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
2.當(dāng)時，方程有1個（兩個相等的）實數(shù)根；
3.當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．
解題技巧/易錯易混/特別提醒
列一元二次方程解實際問題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程．其中分析實際問題是解決問題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合實際問題．

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