1．理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，會(huì)比較有理數(shù)的大?。?br>2．借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，會(huì)求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值（絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)不含字母）．
3．理解乘方的意義，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算（以三步為主）．
4．理解有理數(shù)的運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算.
5．能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
6．了解無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的概念，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)．能求實(shí)數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值．
7．能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的大致范圍．
1.實(shí)數(shù)與運(yùn)算在歷年中考中以考查基礎(chǔ)為主，也是考查重點(diǎn)，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為14~28分。
2.預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)重視對(duì)正負(fù)數(shù)的意義、相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)、數(shù)軸等實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及實(shí)數(shù)的分類(lèi)的考查，也會(huì)對(duì)有理數(shù)的運(yùn)算、科學(xué)記數(shù)法、數(shù)的開(kāi)方、零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式及運(yùn)算等進(jìn)行考查，且考查形式多樣，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。
?考向一 正負(fù)數(shù)與具有相反意義的量
1．（2023?南充）如果向東走10m記作+10m，那么向西走8m記作（ ）
A．﹣10mB．+10mC．﹣8mD．+8m
【思路點(diǎn)撥】首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．
【完整解答】解：如果向東走10m記作+10m，那么向西走8m記作﹣8m．
故選：C．
【真題剖析】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．
2．（2023?吉林）月球表面的白天平均溫度零上126℃記作+126℃，夜間平均溫度零下150℃應(yīng)記作（ ）
A．+150℃B．﹣150℃C．+276℃D．﹣276℃
【思路點(diǎn)撥】正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可得出答案．
【完整解答】解：零上126℃記作+126℃，
則零下150℃應(yīng)記作﹣150℃，
故選：B．
【真題剖析】本題考查正數(shù)和負(fù)數(shù)的意義，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
3．（2023?江西）下列各數(shù)中，正整數(shù)是（ ）
A．3B．2.1C．0D．﹣2
【思路點(diǎn)撥】整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)，整數(shù)包括正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【完整解答】解：A．3是正整數(shù)，
則A符合題意；
B．2.1是有限小數(shù)，即為分?jǐn)?shù)，
則B不符合題意；
C．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，
則C不符合題意；
D．﹣2是負(fù)整數(shù)，
則D不符合題意；
故選：A．
【真題剖析】本題考查了有理數(shù)的分類(lèi)，其相關(guān)定義是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
?考向二 相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值
4．（2023?自貢）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是2023，OA＝OB，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．﹣
【思路點(diǎn)撥】結(jié)合已知條件，根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可求得答案．
【完整解答】解：∵OA＝OB，點(diǎn)A表示的數(shù)是2023，
∴OB＝2023，
∵點(diǎn)B在O點(diǎn)左側(cè)，
∴點(diǎn)B表示的數(shù)為：0﹣2023＝﹣2023，
故選：B．
【真題剖析】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
5．（2023?張家界）的相反數(shù)是（ ）
A．B．﹣C．2023D．﹣2023
【思路點(diǎn)撥】只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．
【完整解答】解：的相反數(shù)是﹣，
故選：B．
【真題剖析】本題主要考查的是相反數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題型．解決這個(gè)問(wèn)題只要明確相反數(shù)的定義即可．
6．（2023?隨州）﹣2023的絕對(duì)值是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．﹣
【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意，由絕對(duì)值的性質(zhì)即可得解．
【完整解答】解：由題意，根據(jù)一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，
∴|﹣2023|＝2023．
故選：A．
【真題剖析】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，解題時(shí)需要熟練掌握并理解．
7．（2023?臺(tái)灣）（新情境）業(yè)者販?zhǔn)酆Х纫蝻嬃蠒r(shí)通常會(huì)以紅、黃、綠三色來(lái)表示每杯飲料的咖啡因含量，各顏色的意義如表（一）所示．
表（一）
表（二）
中國(guó)建議每位成人一日的咖啡因攝取量不超過(guò)300毫克，歐盟則建議一日不超過(guò)400毫克．表（二）為某商店美式咖啡的容量及咖啡因含量標(biāo)示，已知該店美式咖啡每毫升的咖啡因含量相同，判斷一位成人一日喝2杯該店中杯的美式咖啡，其中咖啡因攝取量是否符合我國(guó)或歐盟的建議（ ）
A．符合中國(guó)也符合歐盟
B．不符合中國(guó)也不符合歐盟
C．符合中國(guó)，不符合歐盟
D．不符合中國(guó)，符合歐盟
【思路點(diǎn)撥】求出2杯該店中杯的咖啡因含量的取值范圍即可得出答案．
【完整解答】解：設(shè)咖啡因含量為x毫克，
根據(jù)題意可知一杯中杯的咖啡因含量為100＜x≤200，
所以2杯該店中杯的咖啡因含量為200＜2x≤400，
所以符合我國(guó)，符合歐盟．
故選：A．
【真題剖析】本題考查了有理數(shù)的大小比較，正確理解題意，表示出取值范圍是關(guān)鍵．
?考向三 有理數(shù)的加減運(yùn)算
8．（2023?溫州）如圖，比數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)大3的數(shù)是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【思路點(diǎn)撥】結(jié)合數(shù)軸得出A對(duì)應(yīng)的數(shù)，再利用有理數(shù)的加法計(jì)算得出答案．
【完整解答】解：由數(shù)軸可得：A表示﹣1，則比數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)大3的數(shù)是：﹣1+3＝2．
故選：D．
【真題剖析】此題主要考查了有理數(shù)的加法以及數(shù)軸，正確掌握有理數(shù)的加法是解題關(guān)鍵．
9．（2023?紹興）計(jì)算2﹣3的結(jié)果是（ ）
A．﹣1B．﹣3C．1D．3
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)有理數(shù)減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)．即：a﹣b＝a+（﹣b），即可得出答案．
【完整解答】解：2﹣3＝﹣1．
故選：A．
【真題剖析】此題主要考查了有理數(shù)的減法，正確掌握有理數(shù)的減法運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
10．（2023?濱州）計(jì)算2﹣|﹣3|的結(jié)果為 ﹣1 ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)及有理數(shù)減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【完整解答】解：原式＝2﹣3
＝﹣（3﹣2）
＝﹣1，
故答案為：﹣1．
【真題剖析】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，其相關(guān)運(yùn)算法則是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
?考向四 有理數(shù)的混合運(yùn)算
11．（2023?臺(tái)灣）有多少個(gè)正整數(shù)是18的倍數(shù)，同時(shí)也是216的因數(shù)（ ）
A．2B．6C．10D．12
【思路點(diǎn)撥】找到18的倍數(shù)，216的因數(shù)即可求解．
【完整解答】解：18的倍數(shù)：18，36，54，72，90，108，126，144，162，180，198，216，
216的因數(shù)：1，2，3，4，6，9，12，18，24，36，54，72，108，216．
故有6個(gè)正整數(shù)是18的倍數(shù)，同時(shí)也是216的因數(shù)．
故選：B．
【真題剖析】本題考查了因數(shù)、倍數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握因數(shù)、倍數(shù)的定義并靈活運(yùn)用．
12．（2023?西藏）已知a，b都是實(shí)數(shù)，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，則（a+b）2023的值是（ ）
A．﹣2023B．﹣1C．1D．2023
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性可求解a，b的值，再代入計(jì)算可求解．
【完整解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，（a+2）2≥0，|b﹣1|≥0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故選：B．
【真題剖析】此題考查了絕對(duì)值與偶次方非負(fù)性的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用非負(fù)性求出a、b的值．
13．（2023?營(yíng)口）有下列四個(gè)算式：①（﹣5）+（+3）＝﹣8；②﹣（﹣2）3＝6；③（+）+（﹣）＝；④﹣3÷（﹣）＝9，其中，正確的有（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則，有理數(shù)的乘方等運(yùn)算法則進(jìn)行逐項(xiàng)分析計(jì)算即可．
【完整解答】解：①（﹣5）+（+3）＝﹣2，原來(lái)的計(jì)算錯(cuò)誤；
②﹣（﹣2）3＝8，原來(lái)的計(jì)算錯(cuò)誤；
③，原來(lái)的計(jì)算正確；
④，原來(lái)的計(jì)算正確．
正確的有2個(gè)．
故選：C．
【真題剖析】本題主要考查有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的加法、除法等運(yùn)算法則，關(guān)鍵在于正確的進(jìn)行計(jì)算．
14．（2023?廣西）計(jì)算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．
【思路點(diǎn)撥】先算括號(hào)里面的，再算乘方，乘除，最后算加減即可．
【完整解答】解：原式＝（﹣1）×（﹣4）+4÷2
＝4+2
＝6．
【真題剖析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟知有理數(shù)混合運(yùn)算的順序是解題的關(guān)鍵．
?考向五 科學(xué)記數(shù)法和有效數(shù)字
15．（2023?青島）中歐班列是共建“一帶一路”的旗艦項(xiàng)目和明星品牌，是亞歐各國(guó)深化務(wù)實(shí)合作的重要載體．中歐班列“青島號(hào)”自膠州開(kāi)往哈薩克斯坦，全程7900公里．將7900用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．0.79×103B．7.9×102C．7.9×103D．79×102
【思路點(diǎn)撥】將一個(gè)數(shù)表示為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．
【完整解答】解：7900＝7.9×103，
故選：C．
【真題剖析】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義是解題的關(guān)鍵．
16．（2023?泰州）溶度積是化學(xué)中沉淀的溶解平衡常數(shù)．常溫下CaCO3的溶度積約為0.0000000028，將數(shù)據(jù)0.0000000028用科學(xué)記數(shù)法表示為 2.8×10﹣9 ．
【思路點(diǎn)撥】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
【完整解答】解：0.0000000028＝2.8×10﹣9．
故答案為：2.8×10﹣9．
【真題剖析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，
n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．
17．（2023?東營(yíng)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之推算出π的近似值為，它與π的誤差小于用科學(xué)記數(shù)法表示為 3×10﹣7 ．
【思路點(diǎn)撥】將一個(gè)數(shù)表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案．
【完整解答】解：0.0000003＝3×10﹣7，
故答案為：3×10﹣7．
【真題剖析】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
?考向六 平方根與立方根
18．（2023?淄博）若實(shí)數(shù)m，n分別滿(mǎn)足下列條件：
（1）2（m﹣1）2﹣7＝﹣5；
（2）n﹣3＞0．
試判斷點(diǎn)P（2m﹣3，）所在的象限．
【思路點(diǎn)撥】解方程2（m﹣1）2﹣7＝﹣5可得：m1＝0，m2＝2，解不等式n﹣3＞0可得：n＞3，把m和n代入P（2m﹣3，），即可判斷點(diǎn)P所在的象限．
【完整解答】解：由（1）得：（m﹣1）2＝1，
∴m1＝0，m2＝2，
由（2）得：n＞3，
∴當(dāng)m＝0，n＞3時(shí)，
2m﹣3＝2×0﹣3＝﹣3＜0，
＞＞0，
∴點(diǎn)P（2m﹣3，）在第二象限；
當(dāng)m＝2，n＞3時(shí)，
2m﹣3＝2×2﹣3＝1＞0，
＞＞0，
∴點(diǎn)P（2m﹣3，）在第一象限；
綜上所述，點(diǎn)P（2m﹣3，）在第一象限或第二象限．
【真題剖析】本題考查了點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)特征，解不等式，不等式的性質(zhì)，解方程等，利用不等式性質(zhì)判斷點(diǎn)P的坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵．
19．（2023?云南）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a，，，，，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（ ）
A．B．C．D．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題干所給單項(xiàng)式總結(jié)規(guī)律即可．
【完整解答】解：第1個(gè)單項(xiàng)式為a，即a1，
第2個(gè)單項(xiàng)式為a2，
第3個(gè)單項(xiàng)式為a3，
．．．
第n個(gè)單項(xiàng)式為an，
故選：C．
【真題剖析】本題考查數(shù)式規(guī)律問(wèn)題，根據(jù)已知單項(xiàng)式總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
20．（2023?大連）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．（）0＝B．＝9
C．＝4D．（﹣）＝3﹣
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)零指數(shù)冪、二次根式的加法以及二次根式的性質(zhì)、立方根的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可．
【完整解答】解：A．（）0＝1，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B.＝3，該該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C.＝2，該該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D.×（﹣）＝3﹣，該選項(xiàng)正確，符合題意．
故選：D．
【真題剖析】本題考查平方根與立方根，掌握平方根與立方根的定義便可解決問(wèn)題．
?考向七 實(shí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與運(yùn)算
21．（2023?淮安）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．a(chǎn)＜﹣2B．b＜2C．a(chǎn)＞bD．﹣a＜b
【思路點(diǎn)撥】由數(shù)軸得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，于是有a＜b，﹣a＜b，逐一判斷即可．
【完整解答】解：由數(shù)軸得，﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴a＜b，﹣a＜b，
∴A選項(xiàng)不符合題意，
B選項(xiàng)不符合題意，
C選項(xiàng)不符合題意，
D選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【真題剖析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，觀察數(shù)軸得出a、b的范圍是解題的關(guān)鍵．
22．（2023?徐州）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A、B、C、D分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a、b、c、d，下列各式的值最小的是（ ）
A．|a|B．|b|C．|c|D．|d|
【思路點(diǎn)撥】結(jié)合數(shù)軸得出a，b，c，d四個(gè)數(shù)的絕對(duì)值大小進(jìn)行判斷即可．
【完整解答】解：由數(shù)軸可得點(diǎn)A離原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)，其次是D點(diǎn)，再次是B點(diǎn)，C點(diǎn)離原點(diǎn)距離最近，
則|a|＞|d|＞|b|＞|c|，
其中值最小的是|c|，
故選：C．
【真題剖析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系及絕對(duì)值的幾何意義，離原點(diǎn)越近的點(diǎn)所表示的數(shù)的絕對(duì)值越小是解題的關(guān)鍵．
23．（2023?青海）寫(xiě)出一個(gè)比﹣大且比小的整數(shù) ﹣1（或0或1） ．
【思路點(diǎn)撥】估算出的取值范圍即可求解．
【完整解答】解：∵1＜2＜4，
∴，
∴﹣2＜﹣＜﹣1，
∴比﹣大且比小的整數(shù)有﹣1，0，1．
故答案為：﹣1（或0或1）．
【真題剖析】本題考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小，估算出的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．
24．（2023?懷化）定義新運(yùn)算：（a，b）?（c，d）＝ac+bd，其中a，b，c，d為實(shí)數(shù)．例如：（1，2）?（3，4）＝1×3+2×4＝11．如果（2x，3）?（3，﹣1）＝3，那么x＝ 1 ．
【思路點(diǎn)撥】直接利用運(yùn)算公式將原式變形，進(jìn)而計(jì)算得出答案．
【完整解答】解：（2x，3）?（3，﹣1）＝3，
6x﹣3＝3，
解得：x＝1．
故答案為：1．
【真題剖析】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．
1．（2023?杭州）已知數(shù)軸上的點(diǎn)A，B分別表示數(shù)a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，數(shù)c在數(shù)軸上用點(diǎn)C表示，則點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)a，b的范圍，可得a×b的范圍，從而可得點(diǎn)C在數(shù)軸上的位置，從而得出答案．
【完整解答】解：∵﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
∴﹣1＜a×b＜0，
即﹣1＜c＜0，
那么點(diǎn)C應(yīng)在﹣1和0之間，
則A，C，D不符合題意，B符合題意，
故選：B．
【真題剖析】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，結(jié)合已知條件求得﹣1＜a×b＜0是解題的關(guān)鍵．
2．（2023?蘇州）有理數(shù)的相反數(shù)是（ ）
A．B．C．﹣D．±
【思路點(diǎn)撥】絕對(duì)值相等，但符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，特別地，0的相反數(shù)是0；據(jù)此即可得出答案．
【完整解答】解：的相反數(shù)是﹣，
故選：A．
【真題剖析】本題考查相反數(shù)的定義，此為基礎(chǔ)概念，必須熟練掌握．
3．（2023?盤(pán)錦）|﹣3|的倒數(shù)是（ ）
A．﹣3B．C．3D．
【思路點(diǎn)撥】先計(jì)算|﹣3|＝3，再求3的倒數(shù)，即可得出答案．
【完整解答】解：∵|﹣3|＝3，3的倒數(shù)是，
∴|﹣3|的倒數(shù)是．
故選：D．
【真題剖析】本題考查了倒數(shù)、絕對(duì)值的概念，熟練掌握絕對(duì)值與倒數(shù)的意義是解題關(guān)鍵．
4．（2023?湘潭）已知實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足（a﹣2）2+|b+1|＝0，則ab＝ ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)偶次冪及絕對(duì)值的非負(fù)性求得a，b的值，然后代入ab中計(jì)算即可．
【完整解答】解：∵（a﹣2）2+|b+1|＝0，（a﹣2）2≥0，|b+1|≥0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
∴a＝2，b＝﹣1，
則ab＝2﹣1＝，
故答案為：．
【真題剖析】本題考查偶次冪及絕對(duì)值的非負(fù)性和代數(shù)式求值，結(jié)合已知條件求得a，b的值是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?常德）下面算法正確的是（ ）
A．（﹣5）+9＝﹣（9﹣5）B．7﹣（﹣10）＝7﹣10
C．（﹣5）×0＝﹣5D．（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)有理數(shù)的加法法則可以判斷A；根據(jù)有理數(shù)的減法法則可以判斷B；根據(jù)任何數(shù)和零相乘都得零可以判斷C；根據(jù)有理數(shù)的除法可以判斷D．
【完整解答】解：（﹣5）+9＝﹣5+9＝﹣（5﹣9），故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；
7﹣（﹣10）＝7+10，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；
（﹣5）×0＝0≠﹣5，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；
（﹣8）÷（﹣4）＝8÷4，故選項(xiàng)D正確，符合題意；
故選：D．
【真題剖析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
6．（2023?隨州）計(jì)算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝ 0 ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算順序，先計(jì)算乘方，再計(jì)算乘法，后計(jì)算加法即可．
【完整解答】解：（﹣2）2+（﹣2）×2
＝4+（﹣4）
＝0．
故答案為：0．
【真題剖析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2023?天津）據(jù)2023年5月21日《天津日?qǐng)?bào)》報(bào)道，在天津舉辦的第七屆世界智能大會(huì)通過(guò)“百網(wǎng)同播、萬(wàn)人同屏、億人同觀”，全球網(wǎng)友得以共享高端思想盛宴，總瀏覽量達(dá)到935000000人次，將數(shù)據(jù)935000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A．0.935×109B．9.35×108C．93.5×107D．935×106
【思路點(diǎn)撥】將一個(gè)數(shù)表示為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可得出答案．
【完整解答】解：935000000＝9.35×108，
故選：B．
【真題剖析】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，科學(xué)記數(shù)法是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
8．（2023?煙臺(tái)）如圖，利用課本上的計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序及結(jié)果如下：
①按鍵的結(jié)果為4；
②按鍵的結(jié)果為8；
③按鍵的結(jié)果為0.5；
④按鍵的結(jié)果為25．
以上說(shuō)法正確的序號(hào)是 ①③ ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)計(jì)算器按鍵，寫(xiě)出式子，進(jìn)行計(jì)算即可．
【完整解答】解：①按鍵的結(jié)果為＝4；故①正確，符合題意；
②按鍵的結(jié)果為4+（﹣2）3＝﹣4；故②不正確，不符合題意；
③按鍵的結(jié)果為sin（45°﹣15° ）＝sin30°＝0.5；故③正確，符合題意；④按鍵的結(jié)果為（3﹣）×22＝10；故④不正確，不符合題意；
綜上：正確的有①③．
故答案為：①③．
【真題剖析】本題主要考查了科學(xué)計(jì)算器的使用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握和了解科學(xué)計(jì)算器各個(gè)按鍵的含義．
9．（2023?淄博）實(shí)數(shù)25的平方根是 ±5 ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平方根的定義求解即可．
【完整解答】解：∵（±5）2＝25，
∴25的平方根是±5．
故答案為：±5．
【真題剖析】本題考查了平方根的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是熟練掌握基礎(chǔ)概念．
10．（2023?荊州）在實(shí)數(shù)﹣1，，，3.14中，無(wú)理數(shù)是（ ）
A．﹣1B．C．D．3.14
【思路點(diǎn)撥】無(wú)理數(shù)即無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【完整解答】解：實(shí)數(shù)﹣1，，，3.14中，無(wú)理數(shù)是，
故選：B．
【真題剖析】本題考查無(wú)理數(shù)的識(shí)別，其定義是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
11．（2023?雅安）在0，，﹣，2四個(gè)數(shù)中，負(fù)數(shù)是（ ）
A．0B．C．﹣D．2
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義即可判斷．
【完整解答】解：在0，，﹣，2四個(gè)數(shù)中，，2是正數(shù)，﹣是負(fù)數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．
故選：C．
【真題剖析】本題考查了實(shí)數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確區(qū)分正數(shù)與負(fù)數(shù)．
12．（2023?涼山州）下列各數(shù)中，為有理數(shù)的是（ ）
A．B．3.232232223…
C．D．
【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念進(jìn)行逐一辨別、求解．
【完整解答】解：∵＝2，
∴選項(xiàng)A符合題意；
∵3.232232223…，，是無(wú)理數(shù)，
∴選項(xiàng)B，C，D不符合題意，
故選：A．
【真題剖析】此題考查了實(shí)數(shù)的分類(lèi)能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用實(shí)數(shù)的概念進(jìn)行辨別、求解．
13．（2023?內(nèi)江）若a、b互為相反數(shù)，c為8的立方根，則2a+2b﹣c＝ ﹣2 ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)及立方根定義求得a+b，c的值，然后將原代數(shù)式變形為2（a+b）﹣c后代入數(shù)值計(jì)算即可．
【完整解答】解：∵a、b互為相反數(shù)，
∴a+b＝0，
∵c為8的立方根，
∴c＝2，
則2a+2b﹣c
＝2（a+b）﹣c
＝2×0﹣2
＝﹣2，
故答案為：﹣2．
【真題剖析】本題考查相反數(shù)的性質(zhì)和立方根的定義，實(shí)數(shù)的相關(guān)概念及性質(zhì)是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
14．（2023?寧夏）如圖，點(diǎn)A，B，C在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣1，點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，線段AB＝，則點(diǎn)C表示的數(shù)是 2﹣1 ．
【思路點(diǎn)撥】先表示出點(diǎn)B表示的數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)進(jìn)行求解．
【完整解答】解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣1，線段AB＝，
∴點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣1+，
∵點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，
∴線段BC＝AB＝，
∴點(diǎn)C表示的數(shù)是：﹣1+＝2﹣1，
故答案為：2﹣1．
【真題剖析】此題考查了用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識(shí)．
15．（2023?陜西）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示，點(diǎn)B與點(diǎn)A位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且與原點(diǎn)的距離相等．則點(diǎn)B表示的數(shù)是 ﹣ ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，由絕對(duì)值的定義可得答案．
【完整解答】解：由題意得：點(diǎn)B表示的數(shù)是﹣．
故答案為：．
【真題剖析】此題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值，掌握絕對(duì)值的意義是解本題的關(guān)鍵．
16．（2023?徐州）的值介于（ ）
A．25與30之間B．30與35之間
C．35與40之間D．40與45之間
【思路點(diǎn)撥】一個(gè)正數(shù)越大，其算術(shù)平方根越大，據(jù)此進(jìn)行估算即可．
【完整解答】解：∵1600＜2023＜2025，
∴＜＜，
故選：D．
【真題剖析】本題考查無(wú)理數(shù)的估算，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
17．（2023?內(nèi)蒙古）若a，b為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且a＜＜b，則a+b＝ 3 ．
【思路點(diǎn)撥】先估算在哪兩個(gè)連續(xù)整數(shù)之間求得a，b的值，然后將其代入a+b中計(jì)算即可．
【完整解答】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴a＝1，b＝2，
則a+b＝1+2＝3，
故答案為：3．
【真題剖析】本題考查無(wú)理數(shù)的估算和代數(shù)式求值，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
18．（2023?天津）的值等于（ ）
A．1B．C．D．2
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值及二次根式的加法法則計(jì)算即可．
【完整解答】解：原式＝+
＝，
故選：B．
【真題剖析】本題考查二次根式的運(yùn)算及特殊銳角的三角函數(shù)，其相關(guān)運(yùn)算法則是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
19．（2023?棗莊）計(jì)算＝ 3 ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則求解即可．
【完整解答】解：
＝1+2
＝3
故答案為：3．
【真題剖析】本題主要考查了零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵，注意非零
底數(shù)的零指數(shù)冪的結(jié)果為1．
知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢(shì)，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）
考點(diǎn)回歸（梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)，清晰明了，便于識(shí)記）
重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一 正負(fù)數(shù)與具有相反意義的量
?考向二 相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值
?考向三 有理數(shù)的加減運(yùn)算
?考向四 有理數(shù)的混合運(yùn)算
?考向五 科學(xué)記數(shù)法和有效數(shù)字
?考向六 平方根與立方根
?考向七 實(shí)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與運(yùn)算
最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）
基礎(chǔ)概念
定義
有理數(shù)
有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng)，是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合。
整數(shù)也可看做是分母為一的分?jǐn)?shù)。不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)稱(chēng)為無(wú)理數(shù)，即無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分是無(wú)限不循環(huán)的數(shù)。
正數(shù)
大于零的數(shù)稱(chēng)為正數(shù)，絕對(duì)值是它本身，相反數(shù)在它前面加“-”。
負(fù)數(shù)
在正數(shù)前面加上“-”就是負(fù)數(shù)；
負(fù)數(shù)的絕對(duì)值就是把負(fù)號(hào)去掉，也就是她的相反數(shù)；
負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)
0
0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，0的相反數(shù)還是0，絕對(duì)值還是0
絕對(duì)值
絕對(duì)值是指一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，用“||”來(lái)表示。|b-a|或|a-b|表示數(shù)軸上表示a的點(diǎn)和表示b的點(diǎn)的距離。
在數(shù)學(xué)中，絕對(duì)值或模數(shù)|x|的非負(fù)值，而不考慮其符號(hào)，即|x|=x表示正x，|x|=-x表示負(fù)x（在這種情況下-x為正），|0|=0。
例如，3的絕對(duì)值為3，-3的絕對(duì)值也為3。數(shù)字的絕對(duì)值可以被認(rèn)為是與零的距離。
相反數(shù)
相反數(shù)是一個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)，指絕對(duì)值相等，正負(fù)號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。相反數(shù)的性質(zhì)是他們的絕對(duì)值相同。
例如：-2與+2互為相反數(shù)。用字母表示a與-a是相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。這里a便是任意一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0。
a-b的相反數(shù)是b-a；a+b的相反數(shù)是-（a+b）；
倒數(shù)
倒數(shù)是指設(shè)一個(gè)數(shù)x與其相乘的積為1的數(shù)，記為，除了0以外的數(shù)都存在倒數(shù)，分子和分母相倒并且兩個(gè)乘積是1的數(shù)互為倒數(shù)，0沒(méi)有倒數(shù)。
比較大小
有理數(shù)比較大小有三種情況：
①正數(shù)與正數(shù)比較大?。哼@一類(lèi)是我們小學(xué)學(xué)過(guò)了，不在贅述；
②正數(shù)與負(fù)數(shù)比較大?。喝我庖粋€(gè)正數(shù)大于任意一個(gè)負(fù)數(shù)；
③負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)比較大小：負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小，絕對(duì)值小的反而大；例如：，這一類(lèi)也是錯(cuò)誤較多類(lèi)型；
數(shù)軸
用一條規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線來(lái)表示有理數(shù)，規(guī)定右邊為正方向。數(shù)軸上的數(shù)有以下幾個(gè)特點(diǎn)：
①正數(shù)在原點(diǎn)右邊，負(fù)數(shù)在原點(diǎn)左側(cè)；
②在數(shù)軸上任意兩個(gè)有理數(shù)，只要確定了位置，右邊數(shù)減去左邊的數(shù)一定大于零；左邊的數(shù)減去右邊的數(shù)小于零；
【例】在數(shù)軸上點(diǎn)A代表a，點(diǎn)B代表b，那么
①a-b＜0；②b-a＞0；③|a-b|=b-a；④|b-a|=b-a；
相反意義
的量
具有相反意義的量必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件：
①：他們是同一屬性的量如上升9米與向東運(yùn)動(dòng)了7米,表示的運(yùn)動(dòng)方式不同,所以不是同一屬性.
②：他們的意義相反如收入與支出,零上與零下,向東與向西,存入與支出,上升與下降,增加與減少,運(yùn)進(jìn)與運(yùn)出,盈利與虧損等都表示相反的意義.
相反意義的量只要求是同一屬性的具有相反意義的量而對(duì)于量的大小不做要求,如上升9米與下降3米是相反意義的量,而上升9米與下降7米也是一對(duì)相反意義的量,也就是說(shuō),具有相反意義的量有無(wú)數(shù)多個(gè).
科學(xué)記數(shù)法
定義
把一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，n是整數(shù)
確定n
①當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，n為正整數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1或者原數(shù)變?yōu)閍時(shí)小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)的位數(shù)。
②當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值在0-1之間時(shí)，n為負(fù)整數(shù)，n的絕對(duì)值等于原數(shù)左起第一個(gè)非零數(shù)前所有零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前的零），或者原數(shù)變?yōu)閍時(shí)小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)的位數(shù)。
小技巧
熟記常用的計(jì)數(shù)單位：1千=；1萬(wàn)=；1億=；
1mm=；1μm=；1nm=m
有理數(shù)的計(jì)算
有理數(shù)
加法
1、同號(hào)兩數(shù)相加，取與加數(shù)相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。
2、異號(hào)兩數(shù)相加，若絕對(duì)值相等則互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0；若絕對(duì)值不相等，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。
3、互為相反數(shù)的兩數(shù)相加得0。
4、一個(gè)數(shù)同0相加仍得這個(gè)數(shù)。
5、互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，可以先相加。
6、符號(hào)相同的數(shù)可以先相加。
7、分母相同的數(shù)可以先相加。
8、幾個(gè)數(shù)相加能得整數(shù)的可以先相加。
有理數(shù)
減法
減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即把有理數(shù)的減法利用數(shù)的相反數(shù)變成加法進(jìn)行運(yùn)算。
有理數(shù)
乘法
乘法運(yùn)算
1、同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。
2、任何數(shù)與零相乘，都得零。
3、幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。
4、幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為零，積就為零。
5、幾個(gè)不等于零的數(shù)相乘，首先確定積的符號(hào)，然后后把絕對(duì)值相乘。
有理數(shù)
除法
1、除以一個(gè)不等于零的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
2、兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。零除以任意一個(gè)不等于零的數(shù)，都得零。
注意：
零不能做除數(shù)和分母。
有理數(shù)的除法與乘法是互逆運(yùn)算。
在做除法運(yùn)算時(shí)，根據(jù)同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)的法則先確定符號(hào)，再把絕對(duì)值相除。若在算式中帶有帶分?jǐn)?shù)，一般先化成假分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算。若不能整除，則除法運(yùn)算都轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。
實(shí)數(shù)按定義分類(lèi)
有理數(shù)：有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng)，是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的集合。
整數(shù)
正整數(shù)
有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)
零
負(fù)整數(shù)
分?jǐn)?shù)
正分?jǐn)?shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)
無(wú)理數(shù)：也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。
正無(wú)理數(shù)
無(wú)限不循環(huán)小數(shù)
負(fù)無(wú)理數(shù)
實(shí)數(shù)按性質(zhì)分類(lèi)
正實(shí)數(shù)
正有理數(shù)
正整數(shù)
正分?jǐn)?shù)
正無(wú)理數(shù)
零
負(fù)實(shí)數(shù)
負(fù)有理數(shù)
負(fù)整數(shù)
負(fù)分?jǐn)?shù)
負(fù)無(wú)理數(shù)
實(shí)數(shù)運(yùn)算
實(shí)數(shù)和有理數(shù)一樣，可進(jìn)行加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算；
有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算律、運(yùn)算法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍適用.
易錯(cuò)易混
（1）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度（重點(diǎn)）
（2）任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。
（3）數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)從左到右依次增大；原點(diǎn)左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點(diǎn)右邊的數(shù)是正數(shù).
咖啡因含量標(biāo)示
咖啡因含量
紅色
超過(guò)200毫克
黃色
超過(guò)100毫克，但不超過(guò)200毫克
綠色
不超過(guò)100毫克
容量
咖啡因含量標(biāo)示
中杯
360毫升
黃色
大杯
480毫升
紅色
解題技巧/易錯(cuò)易混
規(guī)則：運(yùn)用減法法則將加減混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法進(jìn)行運(yùn)算
步驟：（1）減法化加法；
（2）省略括號(hào)和加號(hào)；
（3）運(yùn)用加法運(yùn)算律使計(jì)算簡(jiǎn)便；
（4）運(yùn)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算。
注：運(yùn)用加法運(yùn)算律時(shí)，可按如下幾點(diǎn)進(jìn)行：
（1）同號(hào)的先結(jié)合；
（2）同分母的分?jǐn)?shù)或者比較容易通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合；
（3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；
（4）能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；
（5）帶分?jǐn)?shù)一般化為假分?jǐn)?shù)或者分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，再分別相加
解題技巧
多個(gè)有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：
（1）幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)；
負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)。
確定符號(hào)后，把各個(gè)因數(shù)的絕對(duì)值相乘。
（2）幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積為0；反之，如果積為0，那么至少有一個(gè)因數(shù)是0.
注：帶分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，通常把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再與分?jǐn)?shù)相乘

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