專題02 整式與因式分解-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、能并用代數(shù)式表示，會(huì)求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定問(wèn)題找到所需要的公式，并會(huì)代入具體的值進(jìn)行計(jì)算．
2、掌握同類項(xiàng)及合并同類項(xiàng)的概念，并能熟練進(jìn)行合并；掌握同類項(xiàng)的有關(guān)應(yīng)用．
3、掌握去括號(hào)與添括號(hào)法則，充分注意變號(hào)法則的應(yīng)用；會(huì)用整式的加減運(yùn)算法則，熟練進(jìn)行整式的化簡(jiǎn)及求值．
4、同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)的過(guò)程，感受冪的意義，發(fā)展推理能力和表達(dá)能力，提高計(jì)算能力．
5、了解整式的概念和有關(guān)法則，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加、減、乘、除運(yùn)算．
6、會(huì)推導(dǎo)平方差公式和完全平方公式，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算；會(huì)用提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解.
1.以考查整式的加減、乘除、乘法公式、冪的運(yùn)算、因式分解、探究規(guī)律為主，也是考查重點(diǎn)，年年考查，是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為12分左右。
2.預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查冪的運(yùn)算性質(zhì)、因式分解、整式的化簡(jiǎn)、代入求值、探究規(guī)律，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.
?考向一整式的加減與化簡(jiǎn)求值
1．（2023?德陽(yáng)）在“點(diǎn)燃我的夢(mèng)想，數(shù)學(xué)皆有可能”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中，“智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)；對(duì)依次排列的兩個(gè)整式m，n按如下規(guī)律進(jìn)行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作規(guī)則為：每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動(dòng)命名為“回頭差”游戲．
則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式串各項(xiàng)之和是（）
A．m+nB．mC．n﹣mD．2n
【思路點(diǎn)撥】依據(jù)題意，先逐步分析前面幾次操作，可得整式串每6個(gè)整式一循環(huán)，再求解每6個(gè)整式的整式之和為：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2023次后出現(xiàn)2025個(gè)整式，結(jié)合2025÷6＝337…3，從而可以得解．
【規(guī)范解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；
第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；
第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
……
第 2023次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025個(gè)整式；
歸納可得，以上整式串每六次一循環(huán)．每6個(gè)整式的整式之和為：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，
∵2025÷6＝337…3，
∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三項(xiàng)之和即可．
∴這個(gè)和為m+n+（n﹣m）＝2n．
故選：D．
【真題剖析】本題主要考查的是整式的加減運(yùn)算，代數(shù)式的規(guī)律探究，掌握探究的方法，并總結(jié)概括規(guī)律，并能靈活運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2023?重慶）（定義新運(yùn)算）在多項(xiàng)式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間任意添加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱此為“絕對(duì)操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列說(shuō)法：
①存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；
②不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；
③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果．
其中正確的個(gè)數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．3
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)給定的定義，舉出符合條件的說(shuō)法①和②．說(shuō)法③需要對(duì)絕對(duì)操作分析添加一個(gè)和兩個(gè)絕對(duì)值的情況，并將結(jié)果進(jìn)行比較排除相等的結(jié)果，匯總得出答案．
【規(guī)范解答】解：|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，故說(shuō)法①正確．
無(wú)論怎加絕對(duì)值，運(yùn)算結(jié)果中都不會(huì)出現(xiàn)﹣x+y+z+m+n，因此不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；故說(shuō)法②正確．
當(dāng)添加一個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有4種情況，分別是|x﹣y|﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n；x﹣|y﹣z|﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；x﹣y﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n．當(dāng)添加兩個(gè)絕對(duì)值時(shí)，共有3種情況，分別是|x﹣y|﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n；x﹣|y﹣z|﹣|m﹣n|＝x﹣y+z﹣m+n．共有7種情況；
有兩對(duì)運(yùn)算結(jié)果相同，故共有5種不同運(yùn)算結(jié)果，故說(shuō)法③不符合題意．
故選：C．
【真題剖析】本題考查新定義題型，根據(jù)多給的定義，舉出符合條件的代數(shù)式進(jìn)行情況討論；
需要注意去絕對(duì)值時(shí)的符號(hào)，和所有結(jié)果可能的比較．主要考查絕對(duì)值計(jì)算和分類討論思想的應(yīng)用．
3．（2023?沈陽(yáng)）當(dāng)a+b＝3時(shí)，代數(shù)式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值為 2 ．
【思路點(diǎn)撥】先將原式去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)可得﹣a﹣b+5，再把前兩項(xiàng)提取﹣1，然后把a(bǔ)+b的值代入可得結(jié)果．
【規(guī)范解答】解：2（a+2b）﹣（3a+5b）+5
＝2a+4b﹣3a﹣5b+5
＝﹣a﹣b+5
＝﹣（a+b）+5
當(dāng)a+b＝3時(shí)，原式＝﹣3+5＝2．
故答案為：2．
【真題剖析】此題主要是考查了整式的化簡(jiǎn)求值，能夠熟練運(yùn)用去括號(hào)法則，合并同類項(xiàng)法則化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?泰州）若2a﹣b+3＝0，則2（2a+b）﹣4b的值為 ﹣6 ．
【思路點(diǎn)撥】直接利用整式的加減運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，進(jìn)而把已知代入得出答案．
【規(guī)范解答】解：2（2a+b）﹣4b
＝4a+2b﹣4b
＝4a﹣2b
＝2（2a﹣b），
∵2a﹣b+3＝0，
∴2a﹣b＝﹣3，
∴原式＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案為：﹣6．
【真題剖析】此題主要考查了整式的加減—化簡(jiǎn)求值，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．
?考向二單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法
5．（2023?瀘州）下列運(yùn)算正確的是（）
A．m3﹣m2＝mB．3m2?2m3＝6m5
C．3m2+2m3＝5m5D．（2m2）3＝8m5
【思路點(diǎn)撥】各式計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷．
【規(guī)范解答】解：A、原式不能合并，不符合題意；
B、原式＝6m5，符合題意；
C、原式不能合并，不符合題意；
D、原式＝8m6，不符合題意．
故選：B．
【真題剖析】此題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)，以及冪的乘方與積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
6．（2023?金昌）計(jì)算：a（a+2）﹣2a＝（）
A．2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2+2aD．a(chǎn)2﹣2a
【思路點(diǎn)撥】直接利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再合并同類項(xiàng)得出答案．
【規(guī)范解答】解：原式＝a2+2a﹣2a
＝a2．
故選：B．
【真題剖析】此題主要考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
7．（2023?隨州）設(shè)有邊長(zhǎng)分別為a和b（a＞b）的A類和B類正方形紙片、長(zhǎng)為a寬為b的C類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，需要1張A類紙片、1張B類紙片和2張C類紙片．若要拼一個(gè)長(zhǎng)為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為（）
A．6B．7C．8D．9
【思路點(diǎn)撥】用長(zhǎng)乘寬，列出算式，根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開，然后根據(jù)A、B、C類卡片的形狀可得答案．
【規(guī)范解答】解：∵（3a+b）（2a+2b）
＝6a2+6ab+2ab+2b2
＝6a2+8ab+2b2，
∴若要拼一個(gè)長(zhǎng)為3a+b、寬為2a+2b的矩形，則需要C類紙片的張數(shù)為8張．
故選：C．
【真題剖析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式在幾何圖形問(wèn)題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并明確多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
?考向三完全平方公式
8．（2023?赤峰）下列運(yùn)算正確的是（）
A．（a2b3）2＝a4b6B．3ab﹣2ab＝1
C．（﹣a）3?a＝a4D．（a+b）2＝a2+b2
【思路點(diǎn)撥】利用積的乘方法則，合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪乘法法則，完全平方公式將各項(xiàng)計(jì)算后進(jìn)行判斷即可．
【規(guī)范解答】解：A．（a2b3）2
＝（a2）2?（b3）2
＝a4b6，
則A符合題意；
B．3ab﹣2ab＝ab，
則B不符合題意；
C．（﹣a）3?a
＝﹣a3?a
＝﹣a4，
則C不符合題意；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，
則D不符合題意；
故選：A．
【真題剖析】本題考查整式的運(yùn)算，其相關(guān)運(yùn)算法則是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
9．（2023?大慶）1261年，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱為“楊輝三角”．
觀察“楊輝三角”與右側(cè)的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，（a+b）7展開的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為 128 ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圖示可得出一般規(guī)律，利用規(guī)律計(jì)算即可．
【規(guī)范解答】解：∵（a+b）0＝1，系數(shù)之和是20＝1；
（a+b）1＝a+b，系數(shù)之和是21＝2；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，系數(shù)之和是22；
……
（a+b）n，展開各項(xiàng)系數(shù)之和是2n．
∴（a+b）7展開各項(xiàng)的系數(shù)之和為27＝128．
故答案為：128．
【真題剖析】本題考查了完全平方公式的延伸應(yīng)用，屬于規(guī)律性探究題型，從特殊到一般規(guī)律的推出是數(shù)學(xué)探究的常用方法．
10．（2023?攀枝花）我們可以利用圖形中的面積關(guān)系來(lái)解釋很多代數(shù)恒等式．給出以下4組圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式：
其中，圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【思路點(diǎn)撥】觀察各個(gè)圖形及相應(yīng)的代數(shù)恒等式即可得到答案．
【規(guī)范解答】解：圖形的面積關(guān)系能正確解釋相應(yīng)的代數(shù)恒等式的有①②③④，
故選：D．
【真題剖析】本題考查用圖形面積解釋代數(shù)恒等式，解題的關(guān)鍵是用兩種不同的方法表示同
一個(gè)圖形的面積．
?考向四平方差公式
10．（2023?東營(yíng)）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）
A．x3?x3＝x9B．2x3+3x3＝5x6
C．（2x2）3＝6x6D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2
【思路點(diǎn)撥】利用同底數(shù)冪乘法法則，合并同類項(xiàng)法則，積的乘方法則及平方差公式將各項(xiàng)計(jì)算后進(jìn)行判斷即可．
【規(guī)范解答】解：A．x3?x3＝x6，
則A不符合題意；
B．2x3+3x3＝5x3，
則B不符合題意；
C．（2x2）3＝8x6，
則C不符合題意；
D．（2+3x）（2﹣3x）
＝22﹣（3x）2
＝4﹣9x2，
則D符合題意；
故選：D．
【真題剖析】本題考查整式的運(yùn)算，其相關(guān)運(yùn)算法則是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
11．（2023?湖州）計(jì)算：（a+1）（a﹣1）＝ a2﹣1 ．
【思路點(diǎn)撥】直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【規(guī)范解答】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，
故答案為：a2﹣1．
【真題剖析】本題主要考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟記平方差公式．
12．（2023?無(wú)錫）（1）計(jì)算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；
（2）化簡(jiǎn)：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）利用平方差公式和單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可．
【規(guī)范解答】解：（1）原式＝9﹣5+4＝8；
（2）原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy．
【真題剖析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
?考向五整式的混合運(yùn)算
13．（2023?麗水）如圖，分別以a，b，m，n為邊長(zhǎng)作正方形，已知m＞n且滿足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，則圖1陰影部分的面積是 25 ；
（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正方形的面積公式列得代數(shù)式，然后代入數(shù)值計(jì)算即可；
（2）結(jié)合已知條件可得a2+b2＝3，利用梯形面積公式可得（m+n）2＝10，然后將題干中的兩個(gè)等式分別平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，繼而求得m2+n2＝，再結(jié)合（m+n）2＝10可求得mn＝，根據(jù)正方形性質(zhì)可得圖2中陰影部分是一個(gè)直角三角形，利用勾股定理求得其兩直角邊長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積公式可得其面積為mn＝．
【規(guī)范解答】解：（1）由題意可得圖1陰影部分面積為：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案為：25；
（2）由題意可得a2+b2＝3，圖2中四邊形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高為：（m+n），
∴（m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴將兩式分別平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，
∴m2+n2＝，
∵（m+n）2＝10，
∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，
整理得：2mn＝，
即mn＝，
∵圖2中陰影部分的三角形的其中兩邊是兩正方形的對(duì)角線，
∴這兩邊構(gòu)成的角為：45°+45°＝90°，
那么陰影部分的三角形為直角三角形，其兩直角邊的長(zhǎng)分別為：＝m，＝n，
故陰影部分的面積為：×m×n＝mn＝，
故答案為：．
【真題剖析】本題考查整式運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，（2）中將題干中的兩個(gè)等式分別平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解題的關(guān)鍵．
14．（2023?宿遷）若實(shí)數(shù)m滿足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，則（m﹣2023）（2024﹣m）＝ ﹣1012 ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)a2+b2＝（a+b）2﹣2ab即可得答案．
【規(guī)范解答】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，
[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），
（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，
故答案為：﹣1012．
【真題剖析】本題考查整式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式的變形是解題關(guān)鍵．
15.（2023?涼山州）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（）2023，y＝22022．
【思路點(diǎn)撥】利用整式的相應(yīng)的法則對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．
【規(guī)范解答】解：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y）
＝4x2+4xy+y2﹣4x2+y2﹣2xy﹣2y2
＝2xy，
當(dāng)x＝（）2023，y＝22022時(shí)，
原式＝2×（）2023×22022
＝2××（）2022×22022
＝2××（×2）2022
＝2××12022
＝2×
＝1．
【真題剖析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
?考向六因式分解
16．（2023?黃石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝（y﹣1）（x﹣4）．
【思路點(diǎn)撥】將整式x（y﹣1）+4（1﹣y）變形含有公因式（y﹣1），提取即可．
【規(guī)范解答】解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝（y﹣1）（x﹣4）．
【真題剖析】本題考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，找到公因式是本題分解因式的關(guān)鍵．
17．（2023?益陽(yáng)）下列因式分解正確的是（）
A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2
B．a(chǎn)2+ab+a＝a（a+b）
C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b）
D．a(chǎn)3b﹣ab3＝ab（a﹣b）2
【思路點(diǎn)撥】利用提公因式法、公式法逐個(gè)分解得結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：A選項(xiàng)，2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2，故該選項(xiàng)符合題意；
B選項(xiàng)，a2+ab+a＝a（a+b+1），故該選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)，4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），故該選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)，a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a+b）（a﹣b），故該選項(xiàng)不符合題意．
故選：A．
【真題剖析】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．
18．（2023?綏化）因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝（x+y）（x﹣z）．
【思路點(diǎn)撥】利用分組分解法及提公因式法因式分解即可．
【規(guī)范解答】解：原式＝（x2+xy）﹣z（x+y）
＝x（x+y）﹣z（x+y）
＝（x+y）（x﹣z），
故答案為：（x+y）（x﹣z）．
19．（2023?濟(jì)寧）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a(chǎn)2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a(chǎn)2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【思路點(diǎn)撥】本題考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相關(guān)知識(shí)．
【規(guī)范解答】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故選項(xiàng)C正確，
D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故答案為：C．
【真題剖析】本題考查因式分解，提公因式等相關(guān)知識(shí)．解題的關(guān)鍵是能夠熟悉因式分解的定義，熟練運(yùn)用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
?考向七因式分解的應(yīng)用
20．（2023?浙江）一個(gè)多項(xiàng)式，把它因式分解后有一個(gè)因式為（x+1），請(qǐng)你寫出一個(gè)符合條件的多項(xiàng)式： x2﹣1（答案不唯一）．．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可以寫出分解因式中含有（x+1）的一個(gè)多項(xiàng)式，本題答案不唯一，符合題意即可．
【規(guī)范解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
∴符合條件的一個(gè)多項(xiàng)式是x2﹣1，
故答案為：x2﹣1（答案不唯一）．
【真題剖析】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出符合題意的一個(gè)多項(xiàng)式．
21．（2023?涼山州）已知x2﹣2x﹣1＝0，則3x3﹣10x2+5x+2027的值等于 2023 ．
【思路點(diǎn)撥】由x2﹣2x﹣1＝0，得x2﹣2x＝1，將所求式子變形為3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027，再整體代入計(jì)算即可．
【規(guī)范解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴3x3﹣10x2+5x+2027
＝3x（x2﹣2x）﹣4（x2﹣2x）﹣3x+2027
＝3x×1﹣4×1﹣3x+2027
＝3x﹣4﹣3x+2027
＝2023，
故答案為：2023．
【真題剖析】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是整體代入思想的應(yīng)用．
1．（2023?重慶）對(duì)于一個(gè)四位自然數(shù)M，若它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．如：四位數(shù)7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真數(shù)”；四位數(shù)8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真數(shù)”，則最小的“天真數(shù)”為 6200 ；一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d，記P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，則滿足條件的M的最大值為 9313 ．
【思路點(diǎn)撥】它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，則稱M為“天真數(shù)”．分為兩部分：第一部分千位數(shù)和個(gè)位數(shù)之間的關(guān)系，第二部分百位數(shù)和十位數(shù)之前的關(guān)系．
【規(guī)范解答】解：求最小的“天真數(shù)”，首先知道最小的自然數(shù)的0．
先看它的千位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字多6，個(gè)位數(shù)為最小的自然數(shù)0時(shí)，千位數(shù)為6；百位數(shù)字比十位數(shù)字多2，十位數(shù)為最小的自然數(shù)0時(shí)．百位數(shù)是2；則最小的“天真數(shù)”為6200．
故答案為：6200．
一個(gè)“天真數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個(gè)位數(shù)字為d．
由“天真數(shù)”的定義得a＝d+6，所以6≤a≤9，b＝c+2，所以0≤c≤7，
又P（M）＝3（a+b）+c+d＝3（a+c+2）+c+a﹣6＝4a+4c；
Q（M）＝a﹣5.＝若能被10整除當(dāng)a取最大值9時(shí)，
即當(dāng)a＝9時(shí)，滿足能被10整除，則c＝1，“天真數(shù)”M為9313．
故答案為：9313．
【真題剖析】新定義題型，各數(shù)字的取值范圍，最值：最小自然數(shù)0．
2．（2023?陜西）計(jì)算：＝（）
A．3x4y5B．﹣3x4y5C．3x3y6D．﹣3x3y6
【思路點(diǎn)撥】利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．
【規(guī)范解答】解：
＝6×（﹣）x1+3y2+3
＝﹣3x4y5．
故選：B．
【真題剖析】本題主要考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
3．（2023?揚(yáng)州）若（）?2a2b＝2a3b，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是（）
A．a(chǎn)B．2aC．a(chǎn)bD．2ab
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則（或根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則）求出答案即可．
【規(guī)范解答】解：2a3b÷2a2b＝a，
即括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是a，
故選：A．
【真題剖析】本題考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則，能熟記掌握單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則是解此題的關(guān)鍵．
4．（2023?河北）現(xiàn)有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長(zhǎng)如圖所示（a＞1）．某同學(xué)分別用6張卡片拼出了兩個(gè)矩形（不重疊無(wú)縫隙），如表2和表3，其面積分別為S1，S2．
表2
表3
（1）請(qǐng)用含a的式子分別表示S1，S2，當(dāng)a＝2時(shí)，求S1+S2的值；
（2）比較S1與S2的大小，并說(shuō)明理由．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圖形，利用長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算即可；
（2）利用作差法比較即可．
【規(guī)范解答】解：（1）由圖可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，
當(dāng)a＝2時(shí)，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；
（2）S1＞S2，
理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，
又∵a＞1，
∴（a﹣1）2＞0，
∴S1＞S2．
【真題剖析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，關(guān)鍵是能列出整式或算式表示幾何圖形的面積．
5．（2023?浙江）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1．
（2）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)解一元一次不等式的步驟進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）將原代數(shù)式化簡(jiǎn)整理后結(jié)合已知條件即可求得答案．
【規(guī)范解答】解：（1）2x﹣3＞x+1，
移項(xiàng)得：2x﹣x＞1+3，
合并同類項(xiàng)得：x＞4；
（2）∵a2+3ab＝5，
∴（a+b）（a+2b）﹣2b2
＝a2+2ab+ab+2b2﹣2b2
＝a2+3ab
＝5．
【真題剖析】本題考查解一元一次不等式和整式的化簡(jiǎn)求值，解不等式的步驟及整式的運(yùn)算法則是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
6．（2023?臺(tái)州）下列運(yùn)算正確的是（）
A．2（a﹣1）＝2a﹣2B．（a+b）2＝a2+b2
C．3a+2a＝5a2D．（ab）2＝ab2
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)去括號(hào)法則，完全平方公式，合并同類項(xiàng)法則，積的乘方法則將各項(xiàng)計(jì)算后進(jìn)行判斷即可．
【規(guī)范解答】解：A．2（a﹣1）
＝2a﹣2×1
＝2a﹣2，
則A符合題意；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，
則B不符合題意；
C．3a+2a
＝（3+2）a
＝5a，
則C不符合題意；
D．（ab）2＝a2b2，
則D不符合題意；
故選：A．
【真題剖析】本題考查整式的運(yùn)算，其相關(guān)運(yùn)算法則是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
7．（2023?日照）下列計(jì)算正確的是（）
A．a(chǎn)2?a3＝a6B．（﹣2m2）3＝﹣8m6
C．（x+y）2＝x2+y2D．2ab+3a2b＝5a3b2
【思路點(diǎn)撥】分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法公式，積的乘方公式，完全平方公式，合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果．
【規(guī)范解答】解：A．a(chǎn)2?a3＝a2+3＝a5，所以A運(yùn)算錯(cuò)誤；
B．（﹣2m2）3＝（﹣2）3m6＝﹣8m6，所以B運(yùn)算正確；
C．（x+y）2＝x2+2xy+y2，所以C運(yùn)算錯(cuò)誤；
D．2ab與3a2b不是同類項(xiàng)，所以不能合并計(jì)算，所以D運(yùn)算錯(cuò)誤．
故選：B．
【真題剖析】此題主要是考查了同底數(shù)冪的乘法公式，積的乘方公式，完全平方公式，合并同類項(xiàng)法則，能夠熟練運(yùn)用各種法則是解答此題的關(guān)鍵．
8．（2023?淄博）下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）
A．3a+2a＝5aB．3a﹣2a＝1
C．3a?2a＝6aD．（3a）÷（2a）＝a
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)整式的加減和整式的乘除解答即可．
【規(guī)范解答】解：A、3a+2a＝5a，計(jì)算正確，符合題意；
B、3a﹣2a＝a，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C、3a?2a＝6a2，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D，（3a）÷（2a）＝，計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
【真題剖析】此題考查整式的混合計(jì)算，關(guān)鍵是根據(jù)整式的加減和整式的乘除解答．
9．（2023?金華）如圖是一塊矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面積為s（m2），現(xiàn)將邊AB增加1m．
（1）如圖1，若a＝5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是 6 ．
（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個(gè)a的值，使得到的矩形面積為2s（m2），則s的值是 6+4 ．
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，得5b＝（5+1）×（b﹣1），可解得答案；
（2）由邊AB增加1m，邊AD增加2m，得到的矩形面積為2s（m2），知（a+1）（b+2）＝2s，故（a+1）（+2）＝2s，2a2+（2﹣s）a+s＝0，又有且只有一個(gè)a的值使得到的矩形面積為2s，可得（2﹣s）2﹣8s＝0，可解得答案．
【規(guī)范解答】解：（1）∵邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，
∴5b＝（5+1）×（b﹣1），
解得：b＝6，
故答案為：6；
（2）根據(jù)題意知b＝，
∵邊AB增加1m，邊AD增加2m，得到的矩形面積為2s（m2），
∴（a+1）（b+2）＝2s，
∴（a+1）（+2）＝2s，
整理得：2a++2﹣s＝0，
∴2a2+（2﹣s）a+s＝0，
∵有且只有一個(gè)a的值使得到的矩形面積為2s，
∴Δ＝0，即（2﹣s）2﹣8s＝0，
解得s＝6﹣4（不符合題意舍去）或s＝6+4，
故答案為：6+4．
【真題剖析】本題考查整式的混合運(yùn)算，涉及矩形面積，一元二次方程的判別式等，解題的關(guān)鍵是由有且只有一個(gè)a的值，使得到的矩形面積為2s列出關(guān)于s的方程．
10．（2023?內(nèi)蒙古）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則以及合并同類項(xiàng)法則把原式化簡(jiǎn)，把x、y的值代入計(jì)算即可．
【規(guī)范解答】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy，
當(dāng)x＝﹣1，y＝﹣1時(shí)，原式＝9（﹣1）（+1）＝9×（6﹣1）＝45．
【真題剖析】本題考查的是整式的化簡(jiǎn)求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
11．（2023?內(nèi)蒙古）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）其中a＝﹣1，b＝．
【思路點(diǎn)撥】直接利用乘法公式化簡(jiǎn)，再合并同類項(xiàng)，把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．
【規(guī)范解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2
＝2a2+4ab，
當(dāng)a＝﹣1，b＝時(shí)，
原式＝2×（﹣1）2+4×（﹣1）×
＝2﹣1
＝1．
【真題剖析】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值，正確運(yùn)用乘法公式化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．
12．（2023?廣西）分解因式：a2+5a＝ a（a+5）．
【思路點(diǎn)撥】由提公因式am+bm＝m（a+b），可直接得出結(jié)論．
【規(guī)范解答】解：∵a2+5a公有因式為a，
∴原式＝a（a+5），
故答案為：a（a+5）．
【真題剖析】本題考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解題的關(guān)鍵．
13．（2023?杭州）分解因式：4a2﹣1＝（）
A．（2a﹣1）（2a+1）B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1）D．（4a﹣1）（a+1）
【思路點(diǎn)撥】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【規(guī)范解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12
＝（2a﹣1）（2a+1）．
故選：A．
【真題剖析】此題主要考查了公式法分解因式，正確運(yùn)用平方差公式分解因式是解題關(guān)鍵．
14．（2023?遼寧）分解因式：2m2﹣18＝ 2（m+3）（m﹣3）．
【思路點(diǎn)撥】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【規(guī)范解答】解：原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案為：2（m+3）（m﹣3）．
【真題剖析】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
【真題剖析】本題考查因式分解，將原式分組為（x2+xy）﹣z（x+y）是解題的關(guān)鍵．
15．（2023?攀枝花）以下因式分解正確的是（）
A．a(chǎn)x2﹣a＝a（x2﹣1）B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
【思路點(diǎn)撥】利用平方差公式，x2﹣1還可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）．
【規(guī)范解答】解：（A）ax2﹣a＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）；
故A不正確，不符合題意．
（B）m3+m＝m（m2+1）；
故B正確，符合題意．
（C）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
故CD不正確，不符合題意．
故選：B．
【真題剖析】本題考查因式分解，靈活掌握因式分解的方法是本題的關(guān)鍵．
16．（2023?成都）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)m，n的平方差，且m﹣n＞1，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”．例如，16＝52﹣32，16就是一個(gè)智慧優(yōu)數(shù)，可以利用m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）進(jìn)行研究．若將智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列，則第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 15 ；第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是 57 ．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)新定義m2﹣n2，可以分別列出m2和n2的值，進(jìn)而即可求解．
【規(guī)范解答】解：注意到m﹣n＞1，知m﹣n≥2，∴m≥n+2．當(dāng)m＝n+2時(shí)，由（n+2）2﹣n2＝4+4n產(chǎn)生的智慧優(yōu)數(shù)為：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，……當(dāng)m＝n+3時(shí)，由（n+3）2﹣n2＝9+6n產(chǎn)生的智慧優(yōu)數(shù)為：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，……當(dāng)m＝n+4時(shí)，由（n+4）2﹣n2＝16+8n產(chǎn)產(chǎn)生的智慧優(yōu)數(shù)為：24，32，40，48，56，64，72，80，……當(dāng)m＝n+5時(shí)，由（n+5）2﹣n2＝25+10n產(chǎn)生的智慧優(yōu)數(shù)為：35，45，55，65，75，85，……當(dāng)m＝n+6時(shí)，由（n+6）2﹣n2＝36+12n產(chǎn)生的智慧優(yōu)數(shù)為：48，60，72，84，……當(dāng)m＝n+7時(shí)，由（n+7）2﹣n2＝49+14n．產(chǎn)生的智慧優(yōu)數(shù)為：63，77，91，……當(dāng)m＝n+8時(shí)，由（n+8）2﹣n2＝64+16n產(chǎn)生的智慧優(yōu)數(shù)為：80，96，…………綜上，將上述產(chǎn)生的智慧優(yōu)數(shù)從小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，55，56，57，60，63，64，65，68，69，……故第3個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是15；第23個(gè)智慧優(yōu)數(shù)是57．故答案為：15，57．
【真題剖析】本題考查新定義下智慧優(yōu)數(shù)的計(jì)算和分類，根據(jù)規(guī)律計(jì)算求解，解題的關(guān)鍵是能有分類進(jìn)行求解
知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢(shì)，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）
考點(diǎn)回歸（梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)，清晰明了，便于識(shí)記）
重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一整式的加減與化簡(jiǎn)求值
?考向二單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法
?考向三完全平方公式
?考向四平方差公式
?考向五整式的混合運(yùn)算
?考向六因式分解
?考向七因式分解的應(yīng)用
最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）
代數(shù)式的有關(guān)概念
1．代數(shù)式：用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.
2.代數(shù)式的書寫要注意規(guī)范，如乘號(hào)“×”用“·”表示或省略不寫；分?jǐn)?shù)不要用帶分?jǐn)?shù)；除號(hào)用分?jǐn)?shù)線表示等.
3．代數(shù)式的值：用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母，按運(yùn)算順序計(jì)算出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。
4.求代數(shù)式的值分兩步：第一步，代數(shù)；第二步，計(jì)算.要充分利用“整體”思想求代數(shù)式的值。
整式的有關(guān)概念
1．整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．
2．單項(xiàng)式：?jiǎn)雾?xiàng)式是指由數(shù)字或字母的乘積組成的式子；單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)；單項(xiàng)式中所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)．
【注意】單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號(hào)
3.多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式；多項(xiàng)式中，每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)；多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．
4.同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng).
冪的運(yùn)算
1.同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.
【式子表達(dá)】：. （都是正整數(shù)）
【代表的廣泛性】代表數(shù)，字母，單項(xiàng)式，多項(xiàng)式.
【拓展】（都是正整數(shù)）等.
【要點(diǎn)】①同底數(shù)冪，區(qū)別非同底數(shù)冪.
②相乘，區(qū)別相加.
③底數(shù)不變. 區(qū)別合并同類項(xiàng)，將底數(shù)的系數(shù)相加.
④指數(shù)相加，區(qū)別相乘.
【數(shù)學(xué)思想】將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，即將二級(jí)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為一級(jí)運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.
2.冪的乘方是指幾個(gè)相同的冪相乘.
法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（m，n都是正整數(shù)）．
3．積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方．
法則：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘（n是正整數(shù)）．
4.同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
(m,n都是正整數(shù),且m>n);
(a≠0).
【溫馨提示】
1．冪的乘方法則的條件是“冪”的乘方，結(jié)論是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”．這里的“底數(shù)不變”是指“冪”的底數(shù)“a”不變．例如：(a3)2=a6，其中，“冪”的底數(shù)是“a”，而不是“a2”，指數(shù)相乘是指“3×2”．
2．冪的乘方的指數(shù)中若有多項(xiàng)式，指數(shù)相乘時(shí)要帶括號(hào)．
3．同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方在應(yīng)用時(shí)，不要發(fā)生混淆．
4．式子不可以寫成，因?yàn)槔ㄌ?hào)內(nèi)的a與b是“加”的關(guān)系，不是“乘”的關(guān)系．
5．應(yīng)用積的乘方時(shí)，特別注意觀察底數(shù)含有幾個(gè)因式都分別乘方；要特別注意系數(shù)及系數(shù)符號(hào)，對(duì)于系數(shù)是負(fù)數(shù)的要多加注意.
【方法技巧】
1．冪的乘方：（m，n，p都是正整數(shù)）．
例如：．這一性質(zhì)由乘方運(yùn)算降為乘法運(yùn)算（指數(shù)相乘）．
2．注意逆用冪的乘方法則，例如：．
逆用積的乘方法則有，即指數(shù)相同的冪相乘，可將底數(shù)相乘，相同的指數(shù)作為共同的指數(shù).
整式的加減
幾個(gè)整式相加減，如有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。
整式的乘法
1．單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式
運(yùn)算性質(zhì)：?jiǎn)雾?xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．
注意：①在計(jì)算時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積；②注意按順序運(yùn)算；③不要丟掉只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母因式；④此性質(zhì)對(duì)于多個(gè)單項(xiàng)式相乘仍然成立．
2．單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：
①單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式；②用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)時(shí)，不能漏乘；③注意確定積的符號(hào)．
3．多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb
（1）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：
多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．
（2）運(yùn)用法則時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：
①相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；②多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．
整式的除法
1.單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式。對(duì)于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式。
2.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。
乘法公式
1．完全平方公式
（1）完全平方公式：．
可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．
（2）完全平方公式有以下幾個(gè)特征：①左邊是兩個(gè)數(shù)的和的平方；②右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是兩項(xiàng)的平方，都為正，中間一項(xiàng)是兩項(xiàng)積的2倍；其符號(hào)與左邊的運(yùn)算符號(hào)相同．
（3）完全平方公式的幾何背景
①運(yùn)用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)完全平方公式做出幾何解釋．
②常見驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形
．（用大正方形的面積等于邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的兩個(gè)正方形與兩個(gè)長(zhǎng)寬分別是a，b的長(zhǎng)方形的面積和作為相等關(guān)系）
（4）完全平方式
完全平方式的定義：對(duì)于一個(gè)具有若干個(gè)簡(jiǎn)單變?cè)恼紸，如果存在另一個(gè)實(shí)系數(shù)整式B，使，則稱A是完全平方式．
完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個(gè)整式的和括號(hào)外的平方．另一種是完全平方差公式，就是兩個(gè)整式的差括號(hào)外的平方．算時(shí)有一個(gè)口訣“首末兩項(xiàng)算平方，首末項(xiàng)乘積的2倍中間放，符號(hào)隨中央．（就是把兩項(xiàng)的乘方分別算出來(lái)，再算出兩項(xiàng)的乘積，再乘以2，然后把這個(gè)數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個(gè)數(shù)以前一個(gè)數(shù)間的符號(hào)隨原式中間的符號(hào)，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后邊的符號(hào)都用+）”
2．平方差公式
（1）平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．
（2）平方差公式的幾何背景
①常見驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗(yàn)證平方差公式）．
②運(yùn)用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)平方差公式做出幾何解釋．
探索規(guī)律與說(shuō)理
1.解決規(guī)律探索型問(wèn)題的策略是：
通過(guò)對(duì)所給的一組（或一串）式子及結(jié)論，進(jìn)行全面細(xì)致地觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以應(yīng)用.
2.圖形固定累加規(guī)律：
(1)找關(guān)系：找后一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，一般通過(guò)作差的形式進(jìn)行觀察；
(2)找規(guī)律：若第一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)為a，第二個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)比第一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)多b，且此后每一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)比前一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)多b，則第n個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)為a＋b(n－1)；
(3)驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所求代數(shù)式．
因式分解的概念
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.
因式分解的基本方法
1.提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；
2.公式法：；；。
3.分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)
4.十字相乘法：
分解因式的一般步驟
1.如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式;
2.如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，可以嘗試使用公式法：
為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；
為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式；
為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解;
3.檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.
以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”.
解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒
①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．
②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．
③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來(lái)．
④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào)；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．
⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．
解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒
應(yīng)用完全平方公式時(shí)，要注意：
①公式中的a，b可是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；
②對(duì)形如兩數(shù)和（或差）的平方的計(jì)算，都可以用這個(gè)公式；
③對(duì)于三項(xiàng)的可以把其中的兩項(xiàng)看做一項(xiàng)后，也可以用完全平方公式．
解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒
應(yīng)用平方差公式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題：
①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)；
②右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方；
③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；
④對(duì)形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運(yùn)用這個(gè)公式計(jì)算，且會(huì)比用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則簡(jiǎn)便．
解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒
有關(guān)代數(shù)式的常見題型為用代數(shù)式表示數(shù)字或圖形的變化規(guī)律. 數(shù)與圖形的規(guī)律探索問(wèn)題，關(guān)鍵要能夠通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想與歸納找出數(shù)或圖形的變化規(guī)律，并用代數(shù)式表示出來(lái).
解題技巧/易錯(cuò)易混/特別提醒
因式分解是中考的高頻考點(diǎn)，其題型一般為填空題，難度中等。解此類題的關(guān)鍵在于熟練掌握因式分解的兩種基本方法，即提取公因式法和公式法。
因式分解的一般步驟：

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