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1.了解二次根式、最簡二次根式的概念；
2. 了解二次根式(根號下僅限于數(shù))加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)的簡單四則運算；
3.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍．
二次根式是歷年中考的考察重點，年年考查，分值為10分左右。預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)重視對二次根式的有關(guān)概念、二次根式的性質(zhì)和二次根式的混合運算等的考查，且考查形式多樣，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實掌握.
?考向一 二次根式有意義的條件
1．（2023?江西）若有意義，則a的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．2D．6
2．（2023?濟寧）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠2
3．（2023?丹東）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 ．
?考向二 二次根式的性質(zhì)與化簡
4．（2023?泰州）計算等于（ ）
A．±2B．2C．4D．
5．（2023?臺灣）化簡的結(jié)果為下列何者（ ）
A．3B．C．D．
6．（2023?內(nèi)蒙古）實數(shù)m在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：＝ ．
?考向三 二次根式的乘除法
7．（2023?衡陽）對于二次根式的乘法運算，一般地，有?＝．該運算法則成立的條件是（ ）
A．a(chǎn)＞0，b＞0B．a(chǎn)＜0，b＜0C．a(chǎn)≤0，b≤0D．a(chǎn)≥0，b≥0
8．（2022?呼和浩特）下列運算正確的是（ ）
A．×＝±2
B．（m+n）2＝m2+n2
C．﹣＝﹣
D．3xy÷＝﹣
9．（2023?益陽）計算：＝ ．
?考向四 分母有理化
10．（2023?阜新）在下列計算中，正確的是（ ）
A．5+（﹣6）＝﹣1B．C．3×（﹣2）＝6D．sin30°＝
11．（2021?婁底）計算：（﹣π）0++（）﹣1﹣2cs45°．
?考向五 同類二次根式
12．（2023?煙臺）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2020?上海）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．6B．C．D．
?考向六 二次根式的加減法
14．（2023?內(nèi)蒙古）下列運算正確的是（ ）
A．+2＝2B．（﹣a2）3＝a6
C．+＝D．÷＝
15．（2023?十堰）下列計算正確的是（ ）
A．+＝B．（﹣2a）3＝﹣8a3
C．a(chǎn)8÷a4＝a2D．（a﹣1）2＝a2﹣1
16．（2023?哈爾濱）計算的結(jié)果是 2 ．
?考向七 二次根式的混合運算
17．（2023?青島）下列計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023?濰坊）從﹣，，中任意選擇兩個數(shù)，分別填在算式 （□+〇）2÷里面的“□”與“〇”中，計算該算式的結(jié)果是 ．（只需寫出一種結(jié)果）
19．（2023?金昌）計算：÷×2﹣6．
?考向八 二次根式的化簡求值
20．（2023?河北）若，，則＝（ ）
A．2B．4C．D．
21．（2022?內(nèi)蒙古）已知x，y是實數(shù)，且滿足y＝++，則的值是 ．
?考向九 二次根式的應(yīng)用
22．（2023?內(nèi)蒙古）不等式x﹣1＜的正整數(shù)解的個數(shù)有（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
23．（2023?常州）如圖，小紅家購置了一臺圓形自動掃地機，放置在屋子角落（書柜、衣柜與地面均無縫隙）．在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機能自動從底座脫離后打掃全屋地面．若這臺掃地機能從角落自由進出，則圖中的x至少為 （精確到個位，參考數(shù)據(jù)：≈4.58）．
1．（2023?金華）要使有意義，則x的值可以是（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．2
2．（2023?通遼）二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023?上海）下列運算正確的是（ ）
A．a(chǎn)5÷a2＝a3B．a(chǎn)3+a3＝a6C．（a3）2＝a5D．＝a
4．（2020?荊州）若x為實數(shù)，在“（+1）□x”的“□”中添上一種運算符號（在“+，﹣，×，÷”中選擇）后，其運算的結(jié)果為有理數(shù)，則x不可能是（ ）
A．B．﹣1C．D．
（多選）5．（2021?濰坊）下列運算正確的是（ ）
A．（a﹣）2＝a2﹣a+B．（﹣a﹣1）2＝
C．＝D．＝2
6．（2021?泰州）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（ ）
A．與B．與C．與D．與
7．（2023?西寧）下列運算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021?包頭）若x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+2的值為（ ）
A．7B．4C．3D．3﹣2
9．（2023?常德）要使二次根式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是 ．
10．（2022?隨州）已知m為正整數(shù)，若是整數(shù)，則根據(jù)＝＝3可知m有最小值3×7＝21．設(shè)n為正整數(shù)，若是大于1的整數(shù)，則n的最小值為 ，最大值為 ．
11．（2022?山西）計算：×的結(jié)果為 ．
12．（2023?杭州）計算：＝ ．
13．（2023?盤錦）計算：﹣＝ ．
14．（2022?荊州）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），則＝ ．
15．（2023?陜西）計算：．
16．（2023?張家界）閱讀下面材料：
將邊長分別為a，a+，a+2，a+3的正方形面積分別記為S1，S2，S3，S4．
則S2﹣S1＝（a+）2﹣a2
＝[（a+）+a]?[（a+）﹣a]
＝（2a+）?
＝b+2a
例如：當(dāng)a＝1，b＝3時，S2﹣S1＝3+2
根據(jù)以上材料解答下列問題：
（1）當(dāng)a＝1，b＝3時，S3﹣S2＝ ，S4﹣S3＝ ；
（2）當(dāng)a＝1，b＝3時，把邊長為a+n的正方形面積記作Sn+1，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出Sn+1﹣Sn等于多少嗎？并證明你的猜想；
（3）當(dāng)a＝1，b＝3時，令t1＝S2﹣S1，t2＝S3﹣S2，t3＝S4﹣S3，…，tn＝Sn+1﹣Sn，且T＝t1+t2+t3+…+t50，求T的值．知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）
中考解密（分析中考考察方向，厘清命題趨勢，精準(zhǔn)把握重難點）
考點回歸（梳理基礎(chǔ)考點，清晰明了，便于識記）
重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）
?考向一 二次根式有意義的條件
?考向二 二次根式的性質(zhì)與化簡
?考向三 二次根式的乘除法
?考向四 分母有理化
?考向五 同類二次根式
?考向六 二次根式的加減法
?考向七 二次根式的混合運算
?考向八 二次根式的化簡求值
?考向九 二次根式的應(yīng)用
最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優(yōu)化解題技巧）
二次根式的定義
二次根式的定義：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
①“”稱為二次根號
②a（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)；
二次根式有意義的條件
判斷二次根式有意義的條件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．
（3）二次根式具有非負(fù)性．（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)．
二次根式的基本性質(zhì)
1.≥0； a≥0（雙重非負(fù)性）．
2.（a≥0）（任何一個非負(fù)數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）．
3.＝|a|＝（算術(shù)平方根的意義）
二次根式的化簡
1.二次根式的化簡：
（1）利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；
（2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡．
＝?（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）
2.化簡二次根式的步驟：
（1）把被開方數(shù)分解因式；
（2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；
（3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．
最簡二次根式
1.最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．
2.最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．
如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、 、 、 等．
二次根式的乘除法
1.積的算術(shù)平方根性質(zhì)：＝?（a≥0，b≥0）
2.二次根式的乘法法則：?＝（a≥0，b≥0）
3.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：＝（a≥0，b＞0）
4.二次根式的除法法則：＝（a≥0，b＞0）
規(guī)律方法總結(jié)：
在使用性質(zhì)?＝（a≥0，b≥0）時一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會使二次根式無意義，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運算也是如此．
分母有理化
1.分母有理化是指把分母中的根號化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項）或與原分母組成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
2.兩個含二次根式的代數(shù)式相乘時，它們的積不含二次根式，這樣的兩個代數(shù)式成互為有理化因式．
一個二次根式的有理化因式不止一個．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），這里的a可以是任意有理數(shù)．
同類二次根式
1.同類二次根式的定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．
2.同類二次根式的理解：同類二次根式類似于整式中的同類項．幾個同類二次根式在沒有化簡之前，被開方數(shù)完全可以互不相同．判斷兩個二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡二次根式，然后再看被開方數(shù)是否相同．
2.合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．
二次根式的加減法
1.法則：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．
2.步驟：
（1）如果有括號，根據(jù)去括號法則去掉括號．
（2）把不是最簡二次根式的二次根式進行化簡．
（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式．
3.合并被開方數(shù)相同的二次根式的方法：
二次根式化成最簡二次根式，如果被開方數(shù)相同則可以進行合并．合并時，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．
二次根式的化簡求值
二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．
二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．
二次根式的應(yīng)用
把二次根式的運算與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識的整體性，不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力．
二次根式的應(yīng)用主要是在解決實際問題的過程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運算的方法．
解題技巧/易錯易混/特別提醒
①如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．
②如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．
解題技巧/易錯易混/特別提醒
（1）把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù)) ；
（2）把各因式(或因數(shù))積的算術(shù)平方根化為每個因式(或因數(shù))的算術(shù)平方根的積；
（3）如果因式中有平方式(或平方數(shù))，應(yīng)用關(guān)系式(eq \r(a))2＝a(a≥0)把這個因式(或因數(shù))開出來，將二次根式化簡。
解題技巧/易錯易混/特別提醒
二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。
解題技巧/易錯易混/特別提醒
二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運算應(yīng)注意以下幾點：
①與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的．
②在運算中每個根式可以看做是一個“單項式“，多個不同類的二次根式的和可以看作“多項式“．
③二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式．
④在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
解題技巧/易錯易混/特別提醒
常見二次根式化簡求值的九種技巧
一、估算法
二、公式法
三、拆項法
四、換元法
五、整體代入法
六、因式分解法
七、配方法
八、輔元法
九、先判后算法

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