突破02 方程（組）、不等式、函數(shù)等代數(shù)應(yīng)用題-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學真題題源解密（全國通用）-試卷下載-教習網(wǎng)

目錄一覽
代數(shù)應(yīng)用題以實際問題為背景，一般為生活中常見的分析決策問題.該題型借鑒PISA理念，考查數(shù)學抽象和數(shù)學建模以及閱讀能力，學會把實際問題變成數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程（組）、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系，并設(shè)計出適當?shù)慕鉀Q問題的方案，培養(yǎng)應(yīng)用意識和模型思想，提高解決實際問題的能力.
?考向一購買、分配類問題
1．（2023·淄博）某古鎮(zhèn)為發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，吸引更多的游客前往游覽，助力鄉(xiāng)村振興，決定在“五一”期間對團隊*旅游實行門票特價優(yōu)惠活動，價格如下表：
*題中的團隊人數(shù)均不少于10人
現(xiàn)有甲、乙兩個團隊共102人，計劃利用“五一”假期到該古鎮(zhèn)旅游，其中甲團隊不足50人，乙團隊多于50人．
（1）如果兩個團隊分別購票，一共應(yīng)付5580元，問甲、乙團隊各有多少人？
（2）如果兩個團隊聯(lián)合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節(jié)省的費用不少于1200元，問甲團隊最少多少人？
【答案】（1）解：設(shè)甲團隊有人，則乙團隊有人，
依題意得，，
解得，，
∴（人），
∴甲團隊有48人，乙團隊有54人；
（2）解：設(shè)甲團隊有人，則乙團隊有人，
依題意得，，
解得，，
∴甲團隊最少18人．
【思路點撥】（1）設(shè)甲團隊有人，則乙團隊有人，根據(jù)兩個團隊分別購票，一共應(yīng)付5580元，即可得出方程，，解方程即可得出答案；
（2）設(shè)甲團隊有人，則乙團隊有人，根據(jù)兩個團隊聯(lián)合起來作為一個“大團隊”購票，比兩個團隊各自購票節(jié)省的費用不少于1200元，可列出不等式：，解不等式，即可得出不等式的解集，再求出a的最小整數(shù)即可。
2．（2023·雅安）李叔叔批發(fā)甲、乙兩種蔬菜到菜市場去賣，已知甲、乙兩種蔬菜的批發(fā)價和零售價如下表所示：
（1）若他批發(fā)甲、乙兩種蔬菜共花元．求批發(fā)甲乙兩種蔬菜各多少千克？（列方程或方程組求解）
（2）若他批發(fā)甲、乙兩種蔬菜共花m元，設(shè)批發(fā)甲種蔬菜，求m與n的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，全部賣完蔬菜后要保證利潤不低于元，至少批發(fā)甲種蔬菜多少千克？
【答案】（1）解：設(shè)批發(fā)甲蔬菜，乙蔬菜，
由題意得：，
解得：，
乙蔬菜，
答：故批發(fā)甲蔬菜，乙蔬菜，
（2）解：設(shè)批發(fā)甲種蔬菜，乙蔬菜，
由題意得：，
答：m與n的函數(shù)關(guān)系為：，
（3）解：設(shè)批發(fā)甲種蔬菜，乙蔬菜，
由題意得，
解得，
答：至少批發(fā)甲種蔬菜．
【思路點撥】（1）設(shè)批發(fā)甲蔬菜，乙蔬菜，根據(jù)表格數(shù)據(jù)即可列出一元一次方程，進而即可求解；
（2）設(shè)批發(fā)甲種蔬菜，乙蔬菜，根據(jù)題意即可得到m與n的關(guān)系式；
（3）設(shè)批發(fā)甲種蔬菜，乙蔬菜，根據(jù)題意列出不等式，進而即可得到n的取值范圍，再結(jié)合題意即可求解。
3．（2023·湘潭）我國航天事業(yè)發(fā)展迅速，2023年5月30日9時31分，神舟十六號載人飛船成功發(fā)射，某玩具店抓住商機，先購進了1000件相關(guān)航天模型玩具進行試銷，進價為50元/件．
（1）設(shè)每件玩具售價為x元，全部售完的利潤為y元．求利潤y（元）關(guān)于售價x（元/件）的函數(shù)表達式；
（2）當售價定為60元/件時，該玩具銷售火爆，該店繼續(xù)購進一批該種航天模型玩具，并從中拿出這兩批玩具銷售利潤的20%用于支持某航模興趣組開展活動，在成功銷售完畢后，資助經(jīng)費恰好10000元，請問該商店繼續(xù)購進了多少件航天模型玩具？
【答案】（1）解：因每件玩具售價為x元，
依題意得；
（2）解：設(shè)商店繼續(xù)購進了m件航天模型玩具，則總共有件航天模型玩具，
依題意得：，
解得，
答：該商店繼續(xù)購進了件航天模型玩具．
【思路點撥】（1）設(shè)每件玩具售價為x元，全部售完的利潤為y元，根據(jù)“先購進了1000件相關(guān)航天模型玩具進行試銷，進價為50元/件”即可列出y與x的關(guān)系式，進而即可求解；
（2）設(shè)商店繼續(xù)購進了m件航天模型玩具，則總共有件航天模型玩具，根據(jù)“當售價定為60元/件時，該玩具銷售火爆，該店繼續(xù)購進一批該種航天模型玩具，并從中拿出這兩批玩具銷售利潤的20%用于支持某航模興趣組開展活動，在成功銷售完畢后，資助經(jīng)費恰好10000元”即可列出方程，進而即可求解。
4．（2023·連云）目前，我市對市區(qū)居民用氣戶的燃氣收費，以戶為基礎(chǔ)、年為計算周期設(shè)定了如下表的三個氣量階梯：
（1）一戶家庭人口為3人，年用氣量為，則該年此戶需繳納燃氣費用為元；
（2）一戶家庭人口不超過4人，年用氣量為，該年此戶需繳納燃氣費用為元，求與的函數(shù)表達式；
（3）甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為5人，某年甲戶、乙戶繳納的燃氣費用均為3855元，求該年乙戶比甲戶多用多少立方米的燃氣？（結(jié)果精確到）
【答案】（1）534
（2）關(guān)于的表達式為
（3）甲戶該年的用氣量達到了第三階梯.
由（2）知，當時，，解得.
又，
且，
乙戶該年的用氣量達到第二階梯，但末達到第三階梯.
設(shè)乙戶年用氣量為.則有，解得，
.
答：該年乙戶比甲戶多用約26立方米的燃氣.
【規(guī)范解答】解：（1）∵人口3人＜4人，年用氣量200m3＜400m3，
∴該年此戶需繳納燃氣費用為2.67×200=534（元）.
故答案是：534.
【思路點撥】（1）根據(jù)人口數(shù)和年用氣量可以判斷，按第一階梯的費用計算方法計算即可.
（2）因為年用氣量x大于1200m3，故需要計算0~400m3，400m3~1200m3，超過1200m3這三個部分的的費用，再相加即可求出y關(guān)于x 的函數(shù)表達式.
（3）先判斷甲、乙兩戶的用氣量到達哪個階段，再根據(jù)不同的收費標準求出相應(yīng)的用氣量，最后再比較.
5．（2023·益陽）某學校為進一步開展好勞動教育實踐活動，用1580元購進A，B兩種勞動工具共145件，A，B兩種勞動工具每件分別為10元，12元．設(shè)購買A，B兩種勞動工具的件數(shù)分別為x，y，那么下面列出的方程組中正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【規(guī)范解答】解：設(shè)購買A，B兩種勞動工具的件數(shù)分別為x，y，由題意得，
故答案為：A
【思路點撥】設(shè)購買A，B兩種勞動工具的件數(shù)分別為x，y，根據(jù)“用1580元購進A，B兩種勞動工具共145件，A，B兩種勞動工具每件分別為10元，12元”即可列出二元一次方程組，進而即可求解。
6．（2023·日照）要制作200個A，B兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，A種規(guī)格是長、寬、高都為的正方體無蓋木盒，B種規(guī)格是長、寬、高各為，，的長方體無蓋木盒，如圖1．現(xiàn)有200張規(guī)格為的木板材，對該種木板材有甲、乙兩種切割方式，如圖2．切割、拼接等板材損耗忽略不計．
（1）設(shè)制作A種木盒x個，則制作B種木盒個；若使用甲種方式切割的木板材y張，則使用乙種方式切割的木板材張；
（2）該200張木板材恰好能做成200個A和B兩種規(guī)格的無蓋木盒，請分別求出A，B木盒的個數(shù)和使用甲，乙兩種方式切割的木板材張數(shù)；
（3）包括材質(zhì)等成本在內(nèi)，用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元．根據(jù)市場調(diào)研，A種木盒的銷售單價定為a元，B種木盒的銷售單價定為元，兩種木盒的銷售單價均不能低于7元，不超過18元．在（2）的條件下，兩種木盒的銷售單價分別定為多少元時，這批木盒的銷售利潤最大，并求出最大利潤．
【答案】（1）；
（2）解：使用甲種方式切割的木板材y張，則可切割出個長、寬均為的木板，
使用乙種方式切割的木板材張，則可切割出個長為、寬為的木板；
設(shè)制作A種木盒x個，則需要長、寬均為的木板個，
制作B種木盒個，則需要長、寬均為的木板個，需要長為、寬為的木板個；
故
解得：，
故制作A種木盒100個，制作B種木盒100個，
使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，
（3）解：∵用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元，且使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，
故總成本為（元）；
∵兩種木盒的銷售單價均不能低于7元，不超過18元，
即，
解得：，
故的取值范圍為；
設(shè)利潤為，則，
整理得：，
∵，故隨的增大而增大，
故當時，有最大值，最大值為，
則此時B種木盒的銷售單價定為（元），
即A種木盒的銷售單價定為18元，B種木盒的銷售單價定為11元時，這批木盒的銷售利潤最大，最大利潤為1750元．
【規(guī)范解答】解：（1）∵要制作200個A，B兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，現(xiàn)有200張規(guī)格為的木板材，
∴制作A種木盒x個，則制作B種木盒個；使用甲種方式切割的木板材y張，則使用乙種方式切割的木板材張，
故答案為：；；
【思路點撥】（1）直接根據(jù)“要制作200個A，B兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，現(xiàn)有200張規(guī)格為的木板材”即可求解。
（2）先根據(jù)題意得到使用甲種方式切割的木板材y張，則可切割出個長、寬均為的木板，使用乙種方式切割的木板材張，則可切割出個長為、寬為的木板；設(shè)制作A種木盒x個，則需要長、寬均為的木板個，則制作B種木盒個，則需要長、寬均為的木板個，需要長為、寬為的木板個，進而列出二元一次方程組即可求解；
（3）先根據(jù)題意計算出總成本，進而即可得到不等式組，即可求出a的取值范圍，設(shè)利潤為，則，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意即可求解。
7．（2023·青島）某服裝店經(jīng)銷A，B兩種T恤衫，進價和售價如下表所示：
（1）第一次進貨時，服裝店用6000元購進A，B兩種T恤衫共120件，全部售完獲利多少元？
（2）受市場因素影響，第二次進貨時，A種T恤衫進價每件上漲了5元，B種T恤衫進價每件上漲了10元，但兩種T恤衫的售價不變．服裝店計劃購進A，B兩種T恤衫共150件，且B種T恤衫的購進量不超過A種T恤衫購進量的2倍．設(shè)此次購進A種T恤衫m(xù)件，兩種T恤衫全部售完可獲利W元．
①請求出W與m的函數(shù)關(guān)系式；
②服裝店第二次獲利能否超過第一次獲利？請說明理由．
【答案】（1）解：設(shè)購進A種T恤衫件，購進B種T恤衫件，根據(jù)題意列出方程組為：
，
解得，
全部售完獲利（元）．
（2）①設(shè)第二次購進種恤衫件，則購進種恤衫件，根據(jù)題意，即，
，
②服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利，理由如下：
由①可知，，
，一次函數(shù)隨的增大而減小，
當時，取最大值，（元），
，
服裝店第二次獲利不能超過第一次獲利．
【思路點撥】(1) 設(shè)購進A種T恤衫件，購進B種T恤衫件，購進A，B兩種T恤衫共120件，可得方程：x+y=120①，根據(jù)服裝店購進貨物總金額為6000元，可列方程：45x+60y=6000②，聯(lián)立①②即可得出方程組，解方程組求得解后，再根據(jù)利潤計算公式，求得總利潤即可；
（2）①根據(jù)題意，可得，整理即可得出答案；
②首先根據(jù)二次函數(shù)最大值，求得服裝店第二次獲利的最大利潤，然后與（1）進行比較大小，即可得出答案。
8．（2023·婁底）為落實“五育并舉”，綠化美化環(huán)境，學校在勞動周組織學生到校園周邊種植甲、乙兩種樹苗．已知購買甲種樹苗3棵，乙種樹苗2棵共需12元；購買甲種樹苗1棵，乙種樹苗3棵共需11元．
（1）求每棵甲、乙樹苗的價格．
（2）本次活動共種植了200棵甲、乙樹苗，假設(shè)所種的樹苗若干年后全部長成了參天大樹，并且平均每棵樹的價值（含生態(tài)價值，經(jīng)濟價值）均為原來樹苗價的100倍，要想獲得不低于5萬元的價值，請問乙種樹苗種植數(shù)量不得少于多少棵？
【答案】（1）解：設(shè)每棵甲種樹苗的價格為x元，每棵乙種樹苗的價格y元，由題意可得：
，解得：，
答：每棵甲種樹苗的價格為2元，每棵乙種樹苗的價格3元；
（2）解：設(shè)乙種樹苗種植數(shù)量為m棵，則甲種樹苗數(shù)量為棵，
∴，
解得：，
∴的最小整數(shù)解為100．
答：乙種樹苗種植數(shù)量不得少于100棵．
【思路點撥】（1）設(shè)每棵甲種樹苗的價格為x元，每棵乙種樹苗的價格y元，根據(jù)“已知購買甲種樹苗3棵，乙種樹苗2棵共需12元；購買甲種樹苗1棵，乙種樹苗3棵共需11元”即可列出二元一次方程組，進而即可求解；
（2）設(shè)乙種樹苗種植數(shù)量為m棵，則甲種樹苗數(shù)量為棵，結(jié)合題意即可列出不等式，進而即可得到m的取值范圍，從而即可求解。
9．（2023·廣安）“廣安鹽皮蛋”是小平故里的名優(yōu)特產(chǎn)，某超市銷售兩種品牌的鹽皮蛋，若購買9箱種鹽皮蛋和6箱種鹽皮蛋共需390元；若購買5箱種鹽皮蛋和8箱種鹽皮蛋共需310元．
（1）種鹽皮蛋、種鹽皮蛋每箱價格分別是多少元？
（2）若某公司購買兩種鹽皮蛋共30箱，且種的數(shù)量至少比種的數(shù)量多5箱，又不超過種的2倍，怎樣購買才能使總費用最少？并求出最少費用．
【答案】（1）解：設(shè)種鹽皮蛋每箱價格是元，種鹽皮蛋每箱價格是元，
由題意得：，
解得，
答：種鹽皮蛋每箱價格是30元，種鹽皮蛋每箱價格是20元．
（2）解：設(shè)購買種鹽皮蛋箱，則購買種鹽皮蛋箱，
購買種的數(shù)量至少比種的數(shù)量多5箱，又不超過種的2倍，
，
解得，
又為正整數(shù)，
所有可能的取值為18，19，20，
①當，時，購買總費用為（元），
②當，時，購買總費用為（元），
③當，時，購買總費用為（元），
所以購買種鹽皮蛋18箱，種鹽皮蛋12箱才能使總費用最少，最少費用為780元．
【思路點撥】（1）設(shè)種鹽皮蛋每箱價格是元，種鹽皮蛋每箱價格是元，根據(jù)“購買9箱種鹽皮蛋和6箱種鹽皮蛋共需390元；若購買5箱種鹽皮蛋和8箱種鹽皮蛋共需310元”即可列出二元一次方程組，進而即可求解；
（2）設(shè)購買種鹽皮蛋箱，則購買種鹽皮蛋箱，根據(jù)“種的數(shù)量至少比種的數(shù)量多5箱，又不超過種的2倍”即可列出不等式組，進而即可求出m的取值范圍，再根據(jù)題意即可列出方案。
10．（2023·丹東）某品牌大米遠近聞名，深受廣大消費者喜愛，某超市每天購進一批成本價為每千克元的該大米，以不低于成本價且不超過每千克元的價格銷售當每千克售價為元時，每天售出大米；當每千克售價為元時，每天售出大米，通過分析銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：每天銷售大米的數(shù)量與每千克售價元滿足一次函數(shù)關(guān)系．
（1）請直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）超市將該大米每千克售價定為多少元時，每天銷售該大米的利潤可達到元？
（3）當每千克售價定為多少元時，每天獲利最大？最大利潤為多少？
【答案】（1）解：根據(jù)題意設(shè)y=kx+b，
當每千克售價為5元時，每天售出大米950kg；
當每千克售價為6元時，每天售出大米900kg，
則5k+b=9506k+b=900，
解得：k=-50b=1200，
則y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
（2）解：定價為x元，每千克利潤(x-4)元，
由(1)知銷售量為，
則，
解得：舍，，
超市將該大米每千克售價定為6元時，每天銷售該大米的利潤可達到1800元；
（3）解：設(shè)利潤為W元，
根據(jù)題意可得：，
即，
，對稱軸為，
當時，W隨x的增大而增大，
又，
時，元
當每千克售價定為7元時，每天獲利最大，最大利潤為2550元.
【思路點撥】（1）根據(jù)題意設(shè)y=kx+b，根據(jù)每千克售價為5元時，每天售出大米950kg；當每千克售價為6元時，每天售出大米900kg，列出二元一次方程組，求解可得k、b的值，從而即可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）定價為x元，每千克利潤（x-4）元，根據(jù)每千克的利潤×銷售數(shù)量=總利潤，列一元二次方程，解方程即可；
（3）設(shè)利潤為W，根據(jù)每千克的利潤×銷售數(shù)量=總利潤可建立出W關(guān)于x的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出合適的值.
11．（2023·黃岡）加強勞動教育，落實五育并舉．孝禮中學在當?shù)卣闹С窒拢ǔ闪艘惶巹趧訉嵺`基地.2023年計劃將其中的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲種蔬菜種植成本y（單位；元/）與其種植面積x（單位：）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中；乙種蔬菜的種植成本為50元/．
（1）當時，元/；
（2）設(shè)2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為W元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使W最小？
（3）學校計劃今后每年在這土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術(shù)改進，預(yù)計種植成本逐年下降，若甲種蔬菜種植成本平均每年下降，乙種蔬菜種植成本平均每年下降，當a為何值時，2025年的總種植成本為元？
【答案】（1）500
（2）解：當時，，
∵，
∴拋物線開口向上，
∴當時，有最小值，最小值為，
當時，，
∵，
∴隨著x的增大而減小，
∴當時，有最小值，最小值為，
綜上可知，當甲種蔬菜的種植面積為，乙種蔬菜的種植面積為時，W最小；
（3）由題意可得，
解得（不合題意，舍去），
∴當a為時，2025年的總種植成本為元．
【規(guī)范解答】解：（1）當200≤x≤600時，設(shè)y=kx+b，將（200，20）、（600，40）代入可得
解得，
∴y=x+10.
令y=35，得35=x+10，
解得x=500.
故答案為：500.
【思路點撥】（1）當200≤x≤600時，設(shè)y=kx+b，將（200，20）、（600，40）代入求出k、b的值，得到對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后令y=35，求出x的值即可；
（2）當200≤x≤600時，根據(jù)甲種蔬菜種植成本×種植面積+乙的種植成本×面積=總種植成本可得W與x的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答；當6000，
隨的增大而增大．
當時，取得最小值，最小值為56800．
答：該段時間內(nèi)體育中心至少需要支付施工費用56800元．
【思路點撥】（1）利用表中數(shù)據(jù)，根據(jù)甲工程隊施工1800m2所需天數(shù)與乙工程隊施工1200m2所需天數(shù)相等，可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值.
（1）設(shè)甲工程隊先單獨施工a天，體育中心共支付施工費用W元，根據(jù)題意可得到W關(guān)于a的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可求解.
19．（2023·武漢）我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程（單位：步）關(guān)于善行者的行走時間的函數(shù)圖象，則兩圖象交點的縱坐標是．
【答案】250
【規(guī)范解答】解：由題意可知，善行者的函數(shù)解析式為s=100t，不善行者的函數(shù)解析式為s=60t+100，
解之：
∴點P（2.5，250），
∴點P的縱坐標為250.
故答案為：250
【思路點撥】利用函數(shù)圖象和已知條件，可得到兩函數(shù)解析式，再將兩函數(shù)解析式聯(lián)立方程組，解方程組求出點P的坐標，即可求解.
?考向三銷售、利潤類問題
20．（2019·天水）一名在校大學生利用“互聯(lián)網(wǎng)+”自主創(chuàng)業(yè)，銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價10元/件，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價不高于16元/件，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量（件與銷售價（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）求每天的銷售利潤W（元與銷售價（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）解：設(shè) 與的函數(shù)解析式為，
將、代入，得：，
解得：，
所以與的函數(shù)解析式為
（2）解：根據(jù)題意知，
，
，
當時，隨的增大而增大，
，
當時，取得最大值，最大值為144，
答：每件銷售價為16元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是144元．
【思路點撥】（1）根據(jù)圖象可知：與之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)，由（10，30）、（16，24）利用待定系數(shù)法，即可求出其函數(shù)關(guān)系式；
（2）每件的利潤為（x-10）元，根據(jù)總利潤等于單件的利潤乘以銷售數(shù)量，即可建立出W與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題。
21．（2023·宿遷）某商場銷售兩種商品，每件進價均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出種20件，種10件，銷售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷售總額為660元．
（1）求兩種商品的銷售單價．
（2）經(jīng)市場調(diào)研，種商品按原售價銷售，可售出40件，原售價每降價1元，銷售量可增加10件；種商品的售價不變，種商品售價不低于種商品售價．設(shè)種商品降價元，如果兩種商品銷售量相同，求取何值時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？
【答案】（1）解：設(shè)的銷售單價為元、的銷售單價為元，則
，解得，
答：的銷售單價為元、的銷售單價為元；
（2）解：種商品售價不低于種商品售價，
，解得，即，
設(shè)利潤為，則
，
，
在時能取到最大值，最大值為，
當時，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大，最大利潤是元．
【思路點撥】（1）設(shè)A的銷售單價為x元、B的銷售單價為y元，根據(jù)售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元可得20x+10y=840；根據(jù)售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元可得10x+15y=660，聯(lián)立求解即可；
（2）根據(jù)A種商品售價不低于B種商品售價可得30-m≥24，求出m的范圍，由題意可得A商品可售出(40+10m)件，A商品每件的利潤為(30-m-20)元，B商品可售出(40+10m)件，B商品每件的利潤為(24-20)元，根據(jù)每件的利潤×銷售量=總利潤可得W與m的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答.
22．（2023·湖州）某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經(jīng)驗可知，這種淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表所示：
（1）試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達式．
（2）設(shè)該經(jīng)銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？
【答案】（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝kx+b（k≠0）．
將x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分別代入，得：，
解得：，
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達式是：y＝-10x+600．
（2）W＝（x-30）（-10x+600）＝-10x2+900x-18000．
當時，在30≤x＜60的范圍內(nèi)，W取到最大值，最大值是2250．
答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元．
【思路點撥】（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達式為y＝kx+b（k≠0），將表中數(shù)據(jù)代入可得到關(guān)于k，b的方程組，解方程組求出k，b的值，可得到函數(shù)解析式.
（2）利用銷售利潤W=每一千克的利潤×銷售量，可得到W與x的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合x的取值范圍，可求出結(jié)果.
23．（2023·黃石）某工廠計劃從現(xiàn)在開始，在每個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為萬元件設(shè)第個生產(chǎn)周期設(shè)備的售價為萬元件，售價與之間的函數(shù)解析式是，其中是正整數(shù)當時，；當時，．
（1）求，的值；
（2）設(shè)第個生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為件，且與滿足關(guān)系式．
當時，工廠第幾個生產(chǎn)周期獲得的利潤最大？最大的利潤是多少萬元？
當時，若有且只有個生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）把時，；時，代入得：
，
解得，；
（2）設(shè)第個生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤為萬元，
由知，當時，，
，
，，
當時，取得最大值，最大值為，
工廠第個生產(chǎn)周期獲得的利潤最大，最大的利潤是萬元；
當時，，
，
則與的函數(shù)圖象如圖所示：
由圖象可知，若有且只有個生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，
則只能為，，，
當，時，
的取值范圍．
【思路點撥】(1)將兩對x、z的值代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m，n的方程組求解；
（2）由（1）得到用x表示z，根據(jù)利潤算法，列出函數(shù)表達式，利用增減性求最值；
根據(jù)得到分段函數(shù)，再根據(jù)x的取值求得a的范圍.
24．（2023·哈爾濱）佳衣服裝廠給某中學用同樣的布料生產(chǎn)，兩種不同款式的服裝，每套款服裝所用布料的米數(shù)相同，每套款服裝所用布料的米數(shù)相同，若套款服裝和套款服裝需用布料米，套款服裝和套款服裝需用布料米．
（1）求每套款服裝和每套款服裝需用布料各多少米；
（2）該中學需要，兩款服裝共套，所用布料不超過米，那么該服裝廠最少需要生產(chǎn)多少套款服裝？
【答案】（1）解：每套A款服裝用布料a米，每套B款服裝需用布料b米，根據(jù)題意得，
，
解得：，
答：每套A款服裝用布料1.8米，每套B款服裝需用布料1.6米；
（2）解：設(shè)服裝廠需要生產(chǎn)x套B款服裝，則生產(chǎn)（100-x）套A款服裝，根據(jù)題意得，
，
解得：，
∵為正整數(shù)，
∴的最小值為60，
答：服裝廠需要生產(chǎn)60套B款服裝．
【思路點撥】（1）每套A款服裝用布料a米，每套B款服裝需用布料b米，根據(jù)1套A款服裝和2套B款服裝需用布料5米，3套A款服裝和1套B款服裝需用布料7米列出方程組，求解即可；
（2）設(shè)服裝廠需要生產(chǎn)x套B款服裝，則生產(chǎn)（100-x）套A款服裝，由生產(chǎn)x套B款服裝所用的布料+生產(chǎn)（100-x）套A款服裝所用布料不超過168米建立不等式，求出其最小整數(shù)解即可.
25．（2023·撫順）電商平臺銷售某款兒童組裝玩具，進價為每件100元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每周的銷售量y（件）與每件玩具售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系（其中，且x為整數(shù)）．當每件玩具售價為120元時，每周的銷量為80件；當每件玩具售價為140元時，每周的銷量為40件．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當每件玩具售價為多少元時，電商平臺每周銷售這款玩具所獲的利潤最大？最大周利潤是多少元？
【答案】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，
由已知得，
解得，
因此y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中，且x為整數(shù)）；
（2）解：設(shè)每周銷售這款玩具所獲的利潤為W，
由題意得，
，
W關(guān)于x的二次函數(shù)圖象開口向上，
，且x為整數(shù)，
當時，W取最大值，最大值為1800，
即當每件玩具售價為130元時，電商平臺每周銷售這款玩具所獲的利潤最大，最大周利潤是1800元．
【思路點撥】（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，再將x，y的兩組對應(yīng)值分別代入函數(shù)解析式，可得到關(guān)于k、b的方程組，解方程組求出k、b的值，可得到函數(shù)解析式.
（2）利用總利潤W=每一件的利潤×銷售量，可得到W與x的函數(shù)解析式，將其函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出結(jié)果.
?考向四最優(yōu)方案問題
26．（2023·河南）某健身器材專賣店推出兩種優(yōu)惠活動，并規(guī)定購物時只能選擇其中一種．
活動一：所購商品按原價打八折；
活動二：所購商品按原價每滿300元減80元．（如：所購商品原價為300元，可減80元，需付款220元；所購商品原價為770元，可減160元，需付款610元）
（1）購買一件原價為450元的健身器材時，選擇哪種活動更合算？請說明理由．
（2）購買一件原價在500元以下的健身器材時，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價．
（3）購買一件原價在900元以下的健身器材時，原價在什么范圍內(nèi)，選擇活動二比選擇活動一更合算？設(shè)一件這種健身器材的原價為a元，請直接寫出a的取值范圍．
【答案】（1）解：選擇活動1時，需花費元
選擇活動2時，需花費元
選擇活動1更合算。
（2）解：設(shè)一件這種健身器材的原價是元
根據(jù)題意得：
解得：
答：一件這種健身器材的原價是400元.
（3）或.
【規(guī)范解答】解：（3）當300≤a

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多