高一數(shù)學(xué)
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．在中，已知，則角為（ ）
A．B．C．D．
2．在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若：：：2：3，則a：b：（ ）
A．1：2：3B．3：2：1C．2：：1D．1：：2
3．已知中，為邊上一點，且，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（ ）
A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D
5．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為，，.向量，.若，則角的大小為（ ）
A．B．
C．D．
6．在中，是對角線上靠近點的三等分點，點是的中點，若，則＝（ ）

A．B．C．D．
7．如圖，是等腰直角斜邊的三等分點，則等于（ ）

A．B．C．D．
8．在中，，是的外心，為的中點，，是直線上異于、的任意一點，則（ ）
A．3B．6C．7D．9
二、多選題：本題共3題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．設(shè)向量，滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．向量，夾角為
10．已知是夾角為的單位向量，且，則（ ）
A．B．C．與的夾角為D．在方向上的投影向量為
11．中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為的面積，且，，下列選項正確的是（ ）
A．
B．若，則有兩解
C．若為銳角三角形，則b取值范圍是
D．若D為邊上的中點，則的最大值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．如圖，在菱形ABCD中，，，則 ．
13．如圖，正方形的邊長為，是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點，則 .
14．如圖，已知的面積為，分別為邊，上的點，且，交于點，則的面積為 .
四、解答題：本小題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．已知向量為向量的夾角.
(1)求的值；
(2)若，求實數(shù)的值.
16．為直角三角形，斜邊上一點，滿足.
（1）若，求；
（2）若，，求.
17．已知向量，設(shè).
(1)，求當(dāng)取最小值時實數(shù)t的值；
(2)若，問：是否存在實數(shù)t，使得向量與向量的夾角為？若存在，求出實數(shù)t；若不存在，請說明理由.
18．如圖，在等腰梯形中，，，M為線段中點，與交于點N，P為線段上的一個動點．
(1)用和表示；
(2)求；
(3)設(shè)，求的取值范圍．
19．如圖，已知為平行四邊形．

(1)若，，，求及的值；
(2)記平行四邊形的面積為，設(shè)，，求證：
1．B
【分析】
利用余弦定理的推論即可求解.
【詳解】由及余弦定理的推論，得，
因為，
所以.
故選：B.
2．D
【分析】
根據(jù)題意利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為運算求解.
【詳解】
∵：：：2：3，且，
∴，，，則，
故
故選：
3．A
【分析】
利用向量的線性運算即可求得.
【詳解】在中，.
因為，所以.
所以.
故選：A
4．A
【分析】
根據(jù)給定條件，求出，再利用共線向量定理逐項判斷作答.
【詳解】
向量，不共線，且，，，
，則有，而有公共點B，有A，B，D共線，A是；
，不存在實數(shù)，使得，因此不共線，A，B，C不共線，B不是；
，不存在實數(shù)，使得，因此不共線，B，C，D不共線，C不是；
，不存在實數(shù)，使得，因此不共線，A，C，D不共線，D不是.
故選：A
5．B
【分析】
根據(jù)，得，由余弦定理可求.
【詳解】因為向量，，
因為，
所以，即，
由余弦定理可得.
因為，所以，
故選：B.
6．C
【分析】根據(jù)平面向量基本定理，由對應(yīng)系數(shù)相等求解即可.
【詳解】由題可知，
∵點是的中點，
∴，
∴
∴，
∴．
故選：C．
7．D
【分析】
由全等以及余弦定理得，結(jié)合平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系即可得解.
【詳解】由題意及圖形：設(shè)三角形的直角邊為3，則斜邊為，又由于為三等分點，
所以，又，
在中有余弦定理得：，
在中，利用余弦定理得：，
在中利用同角間的三角函數(shù)關(guān)系可知：．
故選：D.
8．B
【分析】
根據(jù)外心的性質(zhì)得到，設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，再由數(shù)量積的定義及幾何意義求出，從而得解.
【詳解】因為是的外心，為的中點，設(shè)的中點為，連接，

所以，，設(shè)，
則
，
又是的外心，所以
，
所以.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是根據(jù)外接圓的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，再一個就是利用數(shù)量積的幾何意義求出.
9．AC
【分析】
對進(jìn)行平方運算，可求，可判斷AD選項，再對BC選項進(jìn)行平方運算，代入，可判斷BC選項.
【詳解】
，又因為，所以，故，
所以A正確，D不正確；
，故，所以B不正確，
，所以，C正確.
故選：AC
10．ABD
【分析】
利用向量數(shù)量積運算，模、夾角公式，計算出夾角的余弦值，還有投影的定義求解.
【詳解】設(shè)與的夾角為，
對B，因為，B正確；
對A，，A正確；
對C，，
所以，C錯誤；
對D，在方向上的投影為，D正確.
故選：ABD
11．BCD
【分析】由數(shù)量積的定義及面積公式求得角，然后根據(jù)三角形的條件求解判斷各ABC選項，利用，平方后應(yīng)用基本不等式求得最大值，判斷D．
【詳解】因為，所以，，又，所以，A錯；
若，則，三角形有兩解，B正確；
若為銳角三角形，則，，所以，，
，，C正確；
若D為邊上的中點，則，，
又，，
由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，D正確．
故選：BCD．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查解三角形的應(yīng)用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面積公式是解題關(guān)鍵．在用正弦定理解三角形時可能會出現(xiàn)兩解的情形，實際上不一定要死記結(jié)論，可以按正常情況求得，然后根據(jù)的大小關(guān)系判斷角是否有兩種情況即可．
12．
【分析】
根據(jù)向量加法運算結(jié)合菱形的性質(zhì)及角度，求出模長即可
【詳解】如圖所示，設(shè)菱形對角線交點為O,．
因為，所以，
所以為等邊三角形．
又，，
所以．
在中，，
所以．
故答案為:
13．
【分析】如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標(biāo)系，就是，的夾角，利用向量的夾角公式求解.
【詳解】如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標(biāo)系.
則，，，，
，.
由于就是，的夾角.
.
的余弦值為.
故答案為：
14．4
【分析】以，建立一組基底向量，再利用點與點分別共線的性質(zhì)表示出，建立二元一次方程，再采用間接法，根據(jù)求出答案，屬于難題
【詳解】設(shè)，以，為一組基底，則.
∵點與點分別共線，
∴存在實數(shù)和，使.
又∵，
∴解得
∴，
∴.
【點睛】復(fù)雜的三角形線段關(guān)系問題，借鑒向量法進(jìn)行求解時，還是需要根據(jù)向量基底進(jìn)行基礎(chǔ)運算，如本題中面積問題最終轉(zhuǎn)化成線段比例問題，在處理正面入手不好解決的問題時，可從對立面入手，采用間接法來進(jìn)行求解
15．(1)
(2)0或
【分析】
（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求得，代入公式夾角公式即可得結(jié)果；
（2）分別用坐標(biāo)表示出，利用模長相等即可解得或.
【詳解】（1）
）由可得，
所以.
（2）
由，
可得，
即，解得或.
即實數(shù)的值為0或.
16．（1）（2）
【解析】（1）利用正弦定理以及的范圍，得出的值，再借助即可得解；
（2）設(shè)，根據(jù)已知條件和勾股定理求出，進(jìn)而得到的值，再利用余弦定理即可得解.
【詳解】（1）由正弦定理：，
得，
，，，
，.
（2）設(shè)，
，，，
從而，
由余弦定理，即，
解得，所以.
【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在平面幾何中的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.
平面幾何中解三角形問題的求解思路：
（1）把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；
（2）尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.
17．(1)時
(2)或
【分析】（1）首先求出，再根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示得到，最后求出的模；
（2）根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，，，再根據(jù)得到方程，解得即可；
【詳解】（1）解：當(dāng)時，，
所以
所以，所以當(dāng)時
（2）解：依題意，
若，則，又，，
所以，
又因為，
所以，，
，
則有，且，
整理得，解得或，
所以存在或滿足條件．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）由向量的線性運算法則計算；
（2）由題意得，由共起點的三向量終點共線的充要條件求出，即可得出答案；
（3）由題意，可設(shè)，代入中并整理可得，又，根據(jù)平面向量基本定理得出方程組，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】（1）由向量的線性運算法則，可得，①
，②
因為M為線段中點，則，
聯(lián)立①②得：，
整理得：．
（2）由AM與BD交于點N，得，
由共起點的三向量終點共線的充要條件知，，解得：．
所以，即．
（3）由題意，可設(shè)，
代入中并整理可得
．
又，故，可得：，．
因為，所以，．
在單調(diào)遞增，
則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，的取值范圍為．
19．(1)，
(2)證明見解析
【分析】
（1）由，根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，再根據(jù)計算可得；
（2）由面積公式得到，將兩邊平方，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、夾角公式及數(shù)量積、模的坐標(biāo)表示計算可得.
【詳解】（1）在平行四邊形中，
所以
，
即，解得，
所以
.
（2）因為，將兩邊平方可得，
又，
所以，
整理得，
又，，，
所以，
所以.

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