2020-2021學(xué)年江蘇省無錫市新吳區(qū)輔仁高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為　　A．0 B． C． D．2．（5分）如圖，已知等腰三角形△，是一個平面圖形的直觀圖，斜邊，則這個平面圖形的面積是　　A． B．1 C． D．3．（5分）已知中，，，，那么角等于　　A． B． C． D．4．（5分）軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的底面積是側(cè)面積的　　A． B． C． D．5．（5分）在中，為上異于，的任一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于　　A． B． C． D．6．（5分）在中，若，，，則此三角形　　A．無解 B．有兩解 C．有一解 D．解的個數(shù)不確定7．（5分）歐拉是一位杰出的數(shù)學(xué)家，為數(shù)學(xué)發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)．著名的歐拉公式：，將三角函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．結(jié)合歐拉公式，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（5分）半徑為2的圓上有三點(diǎn)、、滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為　　A．， B．， C．， D．，二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．（5分）下列命題中正確的有　　A．空間內(nèi)三點(diǎn)確定一個平面 B．棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形 C．分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線如果相交，則交點(diǎn)只可能在兩個平面的交線上 D．一條直線與三角形的兩邊都相交，則這條直線必在三角形所在的平面內(nèi)10．（5分）下列說法正確的是　　A．若，則 B．若復(fù)數(shù)，滿足，則 C．若復(fù)數(shù)的平方是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等 D．“”是“復(fù)數(shù)是虛數(shù)”的必要不充分條件11．（5分）是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論中正確的是　　A．為單位向量 B．為單位向量 C． D．12．（5分）在中，，，分別是角，，的對邊，為鈍角，且，則下列結(jié)論中正確的是　　A． B． C． D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)　　．14．（5分）已知向量與的夾角為，且，那么的值為 　　．15．（5分）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為20的球面上，其上、下底面半徑分別為8和10，則該圓臺的體積為　　．16．（5分）在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，且，則角　　；若角的平分線為，則線段的長為　　．四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）已知，其中是虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)為純虛數(shù)時，求的值；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限時，求的取值范圍．18．（12分）已知的角、、所對的邊分別是、、．設(shè)向量，，．（1）若，求證：為等腰三角形；（2）若，邊長，角，求的面積．19．（12分）如圖，在平行四邊形中，，，，為的中點(diǎn)，為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，記，．（1）用，表示，；（2）求線段的長．20．（12分）在①；②；③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知______．（1）求角；（2）若，求周長的最大值．21．（12分）已知半圓圓心為，直徑，為半圓弧上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，若為半徑上的動點(diǎn)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．（1）若，求與夾角的大??；（2）試確定點(diǎn)的位置，使取得最小值，并求此最小值．22．（12分）如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地，其中，，．當(dāng)?shù)卣媱潓⑦@塊空地改造成一個旅游景點(diǎn)，擬在中間挖一個人工湖，其中，都在邊上，且，挖出的泥土堆放在地帶上形成假山，剩下的地帶開設(shè)兒童游樂場．為安全起見，需在的周圍安裝防護(hù)網(wǎng)．設(shè)．（1）當(dāng)時，求的值，并求此時防護(hù)網(wǎng)的總長度；（2）若，問此時人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的多少倍？（3）為節(jié)省投入資金，人工湖的面積要盡可能小，問如何設(shè)計施工方案，可使的面積最??？最小面積是多少？
2020-2021學(xué)年江蘇省無錫市新吳區(qū)輔仁高級中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．【分析】按照多項式的乘法展開，然后復(fù)數(shù)化簡為的形式，確定虛部即可．【解答】解：復(fù)數(shù)它的虛部為：故選：．2．【分析】根據(jù)所給的直觀圖是一個等腰直角三角形且斜邊長是2，得到直角三角形的直角邊長，做出直觀圖的面積，根據(jù)平面圖形的面積是直觀圖的倍，得到結(jié)果．【解答】解：△是一平面圖形的直觀圖，斜邊，直角三角形的直角邊長是，直角三角形的面積是，原平面圖形的面積是，故選：．3．【分析】先根據(jù)正弦定理將題中所給數(shù)值代入求出的值，進(jìn)而求出，再由確定、的關(guān)系，進(jìn)而可得答案．【解答】解析：由正弦定理得：，或故選：．4．【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出圓錐的母線與底面半徑的關(guān)系，代入底面積和側(cè)面積公式得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)等邊圓錐的底面半徑為，則圓錐的母線為，，故選：．5．【分析】根據(jù)條件即可得出，然后根據(jù)，，三點(diǎn)共線即可得出，從而可得出的值．【解答】解：為的中點(diǎn)，且，，且，，三點(diǎn)共線，，．故選：．6．【分析】由，，的值，利用正弦定理求出的值，利用三角形邊角關(guān)系及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷即可得到結(jié)果．【解答】解：在中，，，，由正弦定理，得：，，，的度數(shù)有兩解，則此三角形有兩解．故選：．7．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、歐拉公式化簡可得，再利用幾何意義即可得出．【解答】解：．．．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)，位于第四象限．故選：．8．【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，由題意可得四邊形是菱形，利用菱形的性質(zhì)以及數(shù)量積運(yùn)算可得，由，即可求得的取值范圍．【解答】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，由，得四邊形是菱形，且，則，，由圖知，，而，所以，同理，，而，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，所以．即的取值范圍為，．故選：．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．【分析】利用公理及推論，棱柱的定義等逐一判斷即可．【解答】解：對于選項，要強(qiáng)調(diào)該三點(diǎn)不在同一直線上，故錯誤；對于選項，由棱柱的定義可知，其側(cè)面一定是平行四邊形，故正確；對于選項，交點(diǎn)分別含于兩條直線，也分別含于兩個平面，必然在交線上，故正確；對于選項，要強(qiáng)調(diào)該直線不經(jīng)過給定兩邊的交點(diǎn)，故錯誤．故選：．10．【分析】由求得判斷；設(shè)出，，證明在滿足時，不一定有判斷；舉例說明錯誤；由充分必要條件的判定說明正確．【解答】解：．若，則，故正確；．設(shè)，，，．由，得，則，而不一定等于0，故錯誤；．，為純虛數(shù)，其實(shí)部與虛部不等，故錯誤；．復(fù)數(shù)是虛數(shù)則，即，故“”是“復(fù)數(shù)是虛數(shù)”的必要不充分條件，故正確．故選：．11．【分析】利用向量的三角形法則以及向量數(shù)量積的公式對各結(jié)論分別分析選擇．【解答】解：是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則，又，，即為單位向量，故正確；，，，故錯誤；向量，的夾角即為與的夾角，也就是的補(bǔ)角，其大小為，故錯誤；，故正確．故選：．12．【分析】選項，利用余弦定理將已知等式中的角化邊，再化簡整理，即可得解；選項，利用正弦定理將已知等式中的邊化角，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與正弦的兩角和公式可推出，進(jìn)而得解；由，，且，，可求出角和的范圍，從而判斷選項和．【解答】解：由余弦定理知，，，，化簡得，即選項正確；由正弦定理知，，，，又，，為鈍角，，即，故選項正確；，，且，，，，，，即選項錯誤，選項正確．故選：．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．【分析】先求出復(fù)數(shù)，進(jìn)而求得其共軛復(fù)數(shù)．【解答】解：，．故答案為：．14．【分析】先根據(jù)數(shù)量積的分配律將所求式子展開，再由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可得解．【解答】解：．故答案為：．15．【分析】依題意，圓臺的下底面在外接球的大圓上，作出圖形，求得圓臺的高，進(jìn)而求得圓臺的體積．【解答】解：圓臺的下底面半徑為10，故下底面在外接球的大圓上，如圖所示，設(shè)球的球心為，圓臺上底面的圓心為，則圓臺的高為，．故答案為：．16．【分析】根據(jù)正弦定理求出，求出的值即可，結(jié)合正弦定理以及余弦定理求出即可．【解答】解：由，，由正弦定理，，，，或，是銳角三角形，，如圖示：平分，由正弦定理得：，，，，，，，，，在中，，，在中，，，故答案為：，．四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．【分析】（1）直接由實(shí)部為0且虛部不為0列式求解值；（2）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部小于0且虛部大于0聯(lián)立不等式組求解．【解答】解：（1）為純虛數(shù)，，解得；（2）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，，解得或．的取值范圍是，，．18．【分析】（1）利用向量平行的條件，寫出向量平行坐標(biāo)形式的條件，得到關(guān)于三角形的邊和角之間的關(guān)系，利用余弦定理變形得到三角形是等腰三角形．（2）利用向量垂直數(shù)量積為零，寫出三角形邊之間的關(guān)系，結(jié)合余弦定理得到求三角形面積所需的兩邊的乘積的值，求出三角形的面積．【解答】證明：（1）即．其中為外接圓半徑．為等腰三角形． （2）由題意，由余弦定理或（舍去）19．【分析】（1）根據(jù)向量基本定理進(jìn)行求解．（2）根據(jù)向量長度與向量數(shù)量積的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（1）．．（2），即，即．20．【分析】（1）若選條件①，化簡可得，可得，由此得解；若選條件②，化簡可得，由此得解；若選條件③，化簡可得，由此得解；（2）由（1）知，，由余弦定理及基本不等式可得，由此求得周長的最大值．【解答】解：（1）若選條件①，由，可得，又，，，又，故，又，故；若選條件②，由，可得，即，又，故，又，故；若選條件③，由，可得，即，，又，故，又，故；（2）由（1）知，不管選擇哪個條件，，由余弦定理有，，又，則，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，即周長的最大值為．21．【分析】（1）根據(jù)題意求出，，三點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出與，再利用夾角公式即可求得結(jié)論；（2）設(shè)，求出向量，，由向量的數(shù)量積運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最小值．【解答】解：（1）因?yàn)榘雸A的直徑，由題意易知，，又，，所以，，，所以，，設(shè)與的夾角為，則，又因?yàn)?/span>，，所以，即與夾角的大小為．（2）設(shè)，由（1）知，，，，，，所以，又因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時，有最小值為，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，．22．【分析】（1）在三角形中，由余弦定理得的值，利用勾股定理可得三角形是直角三角形，可求的值，求得是等邊三角形，即可得解．（2）由已知利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求，由于以為頂點(diǎn)時，和的高相同，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．（3）由已知利用正弦定理求出，，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求的面積關(guān)于的函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最小值．【解答】解：（1）在三角形中，由余弦定理得，所以，所以三角形是直角三角形，所以，．由于，所以，所以是等邊三角形，周長為，也即防護(hù)網(wǎng)的總長度為．（2）時，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，，由正弦定理得．所以．以為頂點(diǎn)時，和的高相同，所以，即人工湖用地的面積是堆假山用地的面積的倍．（3）在三角形中，，由正弦定理得．在三角形中，，由正弦定理得．所以．由于，所以當(dāng)，時，最小值為．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:16:05；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號：42412367

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