命題人：王文俊 審核人：李聰
一.單項(xiàng)選擇題
1. 已知平面向量，，且，則（ ）
A. B. C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意知，所以，解得.
故選：D
2. 設(shè)是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 若，，，，則
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)空間中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，，則或，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，，則，C正確，
對(duì)于D，少了與相交的條件，故D錯(cuò)誤.
故選：C
3. 在△中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，△的面積等于，則的大小為（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，利用三角形面積公式求，再應(yīng)用余弦定理求即可；
【詳解】∵，，△的面積等于，
∴，解得，
∵由余弦定理可得，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理的應(yīng)用，利用三角形面積公式解三角形，根據(jù)余弦定理的邊角關(guān)系求邊；
4. 古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)．已知，若，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，
由題意得，則，，，，，，．
因?yàn)椋?br>解得所以．
故選：B．
5. 如圖，實(shí)心正方體的棱長(zhǎng)為2，其中上、下底面的中心分別為．若從該正方體中挖去兩個(gè)圓錐，且其中一個(gè)圓錐以為頂點(diǎn)，以正方形的內(nèi)切圓為底面，另一個(gè)圓錐以為頂點(diǎn)，以正方形的內(nèi)切圓為底面，則該正方體剩余部分的體積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】計(jì)算出正方體體積、兩圓錐的體積及其公共部分的體積即可得.
【詳解】?jī)蓤A錐的體積都為，
則其公共部分為，
故該正方體剩余部分的體積為.
故選：D.
6. 已知是單位向量，且，在上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量可求得，利用可求得，根據(jù)向量夾角公式可求得結(jié)果.
【詳解】在上的投影向量為，，
，解得：，
，又，.
故選：B.
7. 滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而名傳千古，流芳后世．如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得閣頂端點(diǎn)P的仰角分別為，，，且米，則滕王閣的高度（ ）米．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，利用直角三角形邊角關(guān)系、余弦定理建立方程，再解方程組求解作答.
【詳解】設(shè)，在中，，，
在中，，，在中，，，
在中，，即，
在中，，即，
由，得，于是，解得，
所以滕王閣的高度（米）.
故選：B
8. 如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)在矩形內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），，分別為的中點(diǎn)，若平面，當(dāng)取得最小值時(shí)，的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分別為的中點(diǎn)，證明平面平面，得點(diǎn)在線段上，取得最小值時(shí)為線段的中點(diǎn)，求出，余弦定理求的余弦值即可.
【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，所以，
又分別為的中點(diǎn)，所以，故，
平面，平面，所以平面，
又，，所以四邊形為平行四邊形，故，
平面，平面，平面，
又平面，，故平面平面，
所以當(dāng)平面時(shí)，平面，則點(diǎn)在線段上，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，易知，
此時(shí)為線段的中點(diǎn).
由平面幾何知識(shí)可知，，，，
所以的余弦值為.
故選：D.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：平面，則點(diǎn)在過(guò)與平面平行的平面內(nèi)，分別為的中點(diǎn)，由平面平面得點(diǎn)在線段上，且為線段的中點(diǎn)，三角形中余弦定理求的余弦值.
二.多項(xiàng)選擇題
9. 已知是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列也是平面內(nèi)一個(gè)基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)向量是否共線即可結(jié)合選項(xiàng)判斷.
【詳解】對(duì)于A，由于，故共線，不能成為基底，
對(duì)于B，不共線，可以作為基底，
對(duì)于C，由于，所以共線，故不可以作為基底，
對(duì)于D，不共線，可以作為基底，
故選：BD
10. 中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池”的幾何體，該幾何體是上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，垂直于底面，，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為，弧的長(zhǎng)度是弧長(zhǎng)度的3倍，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 弧長(zhǎng)度為B. 曲池的體積為
C. 曲池的表面積為D. 三棱錐的體積為5
【答案】ACD
【解析】
【分析】設(shè)弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，根據(jù)弧的長(zhǎng)度是弧長(zhǎng)度的倍及求出、，再根據(jù)體積、表面積公式計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)弧所在圓的半徑為，弧所在圓的半徑為，
因?yàn)榛〉拈L(zhǎng)度是弧長(zhǎng)度的倍，，即，
，，，
所以弧的長(zhǎng)度為，故A正確；
曲池的體積為，故B錯(cuò)誤；
曲池的表面積為
，故C正確；
三棱錐的體積為，故D正確．
故選：ACD．
11. 在中，分別為的對(duì)邊，則下列敘述正確的是（ ）
A. 若，則是等腰三角形.
B. 若，則.
C. 若，則解此三角形的結(jié)果有一解.
D. 若角為鈍角，則.
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A，利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角和的正弦公式及三角形內(nèi)角和定理即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)大角對(duì)大邊，再根據(jù)正弦定理化邊為角，結(jié)合降冪公式即可判斷；對(duì)于C，利用正弦定理求解即可；對(duì)于D，由題意可得，再結(jié)合不等式的性質(zhì)即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>由正弦定理得，即，
所以，由正弦定理得，
所以是等腰三角形，故A正確；
對(duì)于B，若，則，
由正弦定理得，所以，
即，所以，故B正確；
對(duì)于C，若，
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>而，所以或，
所以解此三角形的結(jié)果有兩解，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)榻菫殁g角，所以，所以，
即，故D正確.
故選：ABD.
三.填空題
12. 中，角的對(duì)邊分別為，若，則______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理有，利用余弦定理求出，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求.
【詳解】中，若，由正弦定理有，
不妨設(shè)，則有，
由，得.
故答案為：
13. 下列四個(gè)正方體圖形中，?為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，??分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出與是異面直線的序號(hào)是______；能得出面的圖形的序號(hào)是______(寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào)①②③④).
【答案】 ①. ①②④ ②. ①③
【解析】
【分析】根據(jù)直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，結(jié)合異面直線的定義，線面平行的判定定理一一判斷即可.
【詳解】對(duì)于圖①，取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)樵谄矫嬷?，且與平行，
由線面平行的判定定理可知，面，又與相交，
則與是異面直線；
對(duì)于圖②，連接且相交于點(diǎn)，連接，
由中位線定理得，由于與平面相交，
則與平面不平行，由圖可知，顯然與是異面直線；
對(duì)于圖③，易知，則與不是異面直線，
由線面平行的判定定理可知面；
對(duì)于圖④，取的中點(diǎn)為，連接，易知，
且與平面相交于點(diǎn)，則與平面不平行，
由于與相交，則與是異面直線；
綜上可得，能得出與是異面直線的序號(hào)是①②④；
能得出面的圖形的序號(hào)是①③
故答案為：①②④；①③
【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線的判定以及判斷圖形中的線面關(guān)系，屬于中檔題.
14. 已知函數(shù)，設(shè)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)從左至右依次為，，，…，與軸的交點(diǎn)從左至右依次為，，，…，在線段上取10個(gè)不同的點(diǎn)，，，…，，則______.
【答案】
【解析】
【分析】由題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出函數(shù)圖象，進(jìn)而可得，，，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得即，連接，由平面向量線性運(yùn)算法則可得，再利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)運(yùn)算即可得解.
【詳解】函數(shù)的最小正周期，將函數(shù)位于 x軸上方的圖象不變、位于 x軸下方的圖象翻折到x軸上方后即可得函數(shù)的圖象，如圖所示：
可得，，，
所以，，所以，
由在線段上可得，
連接，則，
所以
，，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查了平面向量線性運(yùn)算、數(shù)量積的應(yīng)用與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
四.解答題
15. 如圖，四棱錐中，底面為梯形，，，，點(diǎn)在棱上.
（1）求證：平面；
（2）若平面，求的值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知結(jié)合線面平行的判定定理可得出結(jié)論；
（2）連接交于，連接，由線面平行的性質(zhì)定理可得出，利用計(jì)算出的值，進(jìn)而可求得的值.
【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>（2）連接交于，連接，
因?yàn)槠矫?，且平面，平面平面，所以，，?br>，易得，則，
因此，.
【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，同時(shí)也考查了線段長(zhǎng)度比值的計(jì)算，涉及線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
16. 如圖，在中，，點(diǎn)E為中點(diǎn)，點(diǎn)F為上的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)C，設(shè).

（1）用表示；
（2）如果，且，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）結(jié)合圖形，利用向量加，減，和數(shù)乘，即可用基底表示向量；
（2）由，可得，從而可得，結(jié)合已知可得，最后利用數(shù)量模的運(yùn)算公式結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?br>所以，
；
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>所以，由，可得，
又，所以，
所以.
17. 在①，②，③這三個(gè)條件中選擇符合題意的一個(gè)條件，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并求解.在中，角的對(duì)邊分別為.已知，，且滿(mǎn)足______.
（1）請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇，并求出邊的值；
（2）在（1）的結(jié)論下，已知點(diǎn)在線段上，且，求長(zhǎng).
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角函數(shù)的性質(zhì)和余弦定理判斷條件①②不成立，選擇條件③，利用余弦定理求出邊的值；
（2）余弦定理求出，得，可求出，中，正弦定理求長(zhǎng).
【小問(wèn)1詳解】
若選擇條件①，得，不符合題意；
若選擇條件②，由余弦定理知，化簡(jiǎn)得，所以，不符合題意；
若選擇條件③，由余弦定理得，所以，所以，即.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，因?yàn)椋裕?br>，因?yàn)?，所?
所以.
在中，因?yàn)?，所?
18. 如圖，在平面四邊形中，，，．
（1）若，，求的長(zhǎng)；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由已知可求在中，，可得，可求，在中，由余弦定理可得的值．
（2）設(shè)，則，，在中，由正弦定理可得，代入，可得：，結(jié)合為銳角，可求的值．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>在中，，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以．
（2）設(shè)，則，，
在中，由正弦定理可得，化簡(jiǎn)可得：，
代入，可得：，
又為銳角，所以，即．
19. 如圖正方體的棱長(zhǎng)為2，是線段的中點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn).
（1）畫(huà)出平面截正方體所得的截面，并簡(jiǎn)要敘述理由或作圖步驟；
（2）求（1）中截面多邊形的面積；
（3）平面截正方體，把正方體分為兩部分，求較小的部分與較大的部分的體積的比值.
【答案】（1）截面見(jiàn)解析，理由或作圖步驟見(jiàn)解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，利用平行線的傳遞性可證得，可知四點(diǎn)共面，再由于三點(diǎn)不共線，可得出面即為平面截正方體所得的截面；
（2）分析可知，四邊形為等腰梯形，求出該等腰梯形的高，利用梯形的面積公式可求得截面面積；
（3）利用臺(tái)體的體積公式可求得三棱臺(tái)的體積，并求出剩余部分幾何體的體積，由此可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
如圖，取的中點(diǎn)，連接.
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.
正方體中，，，
所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，
所以四點(diǎn)共面
因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以四點(diǎn)共面于平面，
所以面即為平面截正方體所得的截面.
小問(wèn)2詳解】
由（1）可知，截面為梯形，，
，，
同理可得，
如圖所示：
分別過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，，垂足分別為點(diǎn)，
則，，，
所以，則，
因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，
所以，，則，
所以，
故梯形的面積為.
【小問(wèn)3詳解】
多面體為三棱臺(tái)，，，
該棱臺(tái)的高為2，所以，該棱臺(tái)的體積為
，
故剩余部分體積為.
故較小的那部分與較大的那部分的體積的比值為.

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