A．4 B．8
C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
[解析] 直線l1：x＋y－2＋m(y－2)＝0過定點(diǎn)A(0,2)，直線l2：x－y－2＋m(x－2)＝0過定點(diǎn)B(2,0)，且由1×(m＋1)＋(m＋1)×(－1)＝0知l1⊥l2，即PA⊥PB，|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝8，|PA|＋|PB|≤eq \r(2?|PA|2＋|PB|2?)＝4，當(dāng)|PA|＝|PB|時，等號成立，所以|PA|＋|PB|的最大值為4.故選A.
2．(多選題)(2024·江西梧州一中月考)2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點(diǎn)燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是A(2,4)，軍營所在位置為B(6,2)，河岸線所在直線的方程為x＋y－3＝0，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(“將軍飲馬”)的總路程最短，則( BD )
A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是6x－y－8＝0
B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,8)，\f(11,8)))
C．將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是x－6y＋6＝0
D．“將軍飲馬”走過的總路程為5eq \r(2)
[解析] 由題可知A，B在x＋y－3＝0的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x＋y－3＝0的對稱點(diǎn)為B′(a，b)，如圖所示：
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a＋6,2)＋\f(b＋2,2)－3＝0，,\f(b－2,a－6)×?－1?＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－3，))
即B′(1，－3)．
將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線即為AB′，
又A(2,4)，所以直線AB′的方程為7x－y－10＝0，故A錯誤；
設(shè)將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)為M，則M即為7x－y－10＝0與x＋y－3＝0的交點(diǎn)，
聯(lián)立兩直線方程解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,8)，\f(11,8)))，故B正確；
將軍從河邊回軍營的路線所在直線為BM，又B(6，2)，
所以直線BM的方程為x－7y＋8＝0，故C錯誤；
總路程|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MB′|＝|AB′|＝eq \r(?2－1?2＋?4＋3?2)＝5eq \r(2)，
所以“將軍飲馬”的總路程為5eq \r(2)，故D正確．故選BD.
名師點(diǎn)撥：
有關(guān)角平分線、直線上動點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和的最小值(或差的最大值)問題，轉(zhuǎn)化為對稱問題解決．
【變式訓(xùn)練】
(2024·河南部分地區(qū)聯(lián)考)在△ABC中，已知A(1,1)，B(－3，－5)，若直線m：2x＋y＋6＝0為∠ACB的平分線，則直線AC的方程為( D )
A．x－2y＋1＝0 B．6x＋7y－13＝0
C．2x＋3y－5＝0 D．x＝1
[解析] 過B作B關(guān)于直線m：2x＋y＋6＝0的對稱點(diǎn)B′，則B′在直線AC上，設(shè)B′(m，n)，根據(jù)BB′⊥m且BB′的中點(diǎn)在直線m上，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(m－3,2)×2＋\f(n－5,2)＋6＝0，,\f(n＋5,m＋3)×?－2?＝－1，))解得m＝1，n＝－3，所以B′(1，－3)，又A(1,1)，所以直線AB′方程為x＝1，故AC方程為x＝1，故選D.

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