A．k＝2 B．m＝3
C．|AB|＝5 D．OA⊥OB
[解析] 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝k?x－1?，,y2＝4x，))得y2－eq \f(4,k)y－4＝0，所以y1＋y2＝eq \f(4,k)＝2，y1·y2＝－4，所以k＝2，又點(diǎn)M(m,1)在直線l上，所以m＝eq \f(3,2)，所以A正確，B錯誤；
因?yàn)橹本€l經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝5，所以C正確；
因?yàn)閥1·y2＝－4，所以x1·x2＝eq \f(y\\al(2,1),4)·eq \f(y\\al(2,2),4)＝1，
所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－3.所以D錯誤，故選AC.
2．(2024·山西運(yùn)城調(diào)研)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2，圓M：(x－1)2＋y2＝1，過F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點(diǎn)，則9|AP|＋4|BQ|的最小值為 12 .
[解析] 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x，如圖，|PF|＝|QF|＝1，又eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)＝1,9|AP|＋4|BQ|＝9(|AF|－|PF|)＋4(|BF|－|QF|)＝9|AF|＋4|BF|－13＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,|AF|)＋\f(1,|BF|)))(9|AF|＋4|BF|)－13＝eq \f(9|AF|,|BF|)＋eq \f(4|BF|,|AF|)≥2eq \r(9×4)＝12.(當(dāng)且僅當(dāng)3|AF|＝2|BF|時取等號)∴9|AP|＋4|BQ|的最小值為12.
3．(2024·遼寧名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)A(m,2)(m>0)到F的距離為3.
(1)求拋物線C的方程和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)設(shè)斜率為k的直線l過點(diǎn)B(2,0)，且與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BN,\s\up6(→))，λ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))，求斜率k的取值范圍．
[解析] (1)由題意知2＋eq \f(p,2)＝3，得p＝2，所以拋物線C的方程為x2＝4y.
將點(diǎn)A(m,2)(m>0)代入x2＝4y，得m＝2eq \r(2).
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2eq \r(2)，2)．
(2)直線l：y＝k(x－2)與拋物線C：x2＝4y聯(lián)立，消去y得x2－4kx＋8k＝0，Δ＝16k2－32k>0，
解得k2.
設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1＋x2＝4k，x1x2＝8k，
eq \(BM,\s\up6(→))＝(x1－2，y1)，eq \(BN,\s\up6(→))＝(x2－2，y2)，
則y1＝λy2，即λ＝eq \f(y1,y2)，
因?yàn)閤eq \\al(2,1)＝4y1，xeq \\al(2,2)＝4y2，所以λ＝eq \f(x\\al(2,1),x\\al(2,2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))，
則eq \f(x1,x2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，
因?yàn)閑q \f(?x1＋x2?2,x1x2)＝eq \f(x1,x2)＋eq \f(x2,x1)＋2＝eq \f(16k2,8k)＝2k，
設(shè)t＝eq \f(x1,x2)，則2k＝t＋eq \f(1,t)＋2，
因?yàn)閠∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，
則t＋eq \f(1,t)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－2))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))，
所以k∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(9,4)))，
又因?yàn)閗2，
所以k的取值范圍是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(9,4))).
名師點(diǎn)撥：
1．直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要將兩方程聯(lián)立，消元，用根與系數(shù)的關(guān)系“整體代入”求解．注意根據(jù)拋物線方程確定消x還是消y，一般消一次項(xiàng)變量．
2．求解拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)．若過拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．
3．“中點(diǎn)弦”問題的處理方法
遇到中點(diǎn)弦問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解．在橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k＝－eq \f(b2x0,a2y0)；在雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k＝eq \f(b2x0,a2y0)；在拋物線y2＝2px(p>0)中，以P(x0，y0)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k＝eq \f(p,y0).
【變式訓(xùn)練】
1．(2023·安徽卓越縣中聯(lián)盟聯(lián)考)過拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，若eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，則l的傾斜角θ＝( D )
A.eq \f(π,2) B．eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
C.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
[解析] 如圖作AM⊥l1于M，
BN⊥l1于N，BH⊥AM于H，
(l1為準(zhǔn)線)．設(shè)|eq \(BF,\s\up6(→))|＝a，由eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，
知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4a，|eq \(AH,\s\up6(→))|＝2a，
∴∠HAB＝eq \f(π,3)，∴l(xiāng)的傾斜角為eq \f(π,3)，同理當(dāng)A在第四象限時，l的傾斜角為eq \f(2π,3).故選D.
2．(2024·江西穩(wěn)派大聯(lián)考)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)O到直線l的距離最大時，|AB|＝4.
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，記線段BD的中點(diǎn)為P，且△OAF與△OPF的面積之和為S，求S的最小值．
[解析] (1)由題意知，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直線l斜率不為0，當(dāng)AB⊥x軸時，點(diǎn)O到直線l的距離為|OF|，最大．事實(shí)上，若AB與x軸不垂直時，作OH⊥l于H，顯然|OH|

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