[解析] (1)設雙曲線方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由焦點坐標可知c＝2eq \r(5)，
則由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5)可得a＝2，b＝eq \r(c2－a2)＝4，
雙曲線方程為eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1.
(2)由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
顯然直線MN的斜率不為0，所以設直線MN的方程為x＝my－4，且－eq \f(1,2)0，b>0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，點A1，A2分別是雙曲線的左、右頂點，點Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)b))，且A2B∥OP，|F1A2|＝2＋eq \r(3).
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(2eq \r(3)，0)作直線l分別交雙曲線左右兩支于C，D兩點，直線A1C與直線A2D交于點M，證明：點M在定直線上．
[解析] (1)有題意可知Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，\f(b2,a)))，A2(a,0)，
因為A2B∥OP，所以－eq \f(b2,ac)＝－eq \f(b,2a)，即c＝2b，
所以a＝eq \r(3)b.
因為|F1A2|＝2＋eq \r(3)，所以a＋c＝(2＋eq \r(3))b＝2＋eq \r(3)，
所以b＝1，c＝2，a＝eq \r(3)
所以雙曲線的方程為eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)設C(x1，y1)，D(x2，y2)，直線CD：x＝ty＋2eq \r(3)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)－y2＝1，,x＝ty＋2\r(3)，))可得，(t2－3)y2＋4eq \r(3)ty＋9＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2－3≠0，,Δ>0，,\f(9,t2－3)>0，))可得t>eq \r(3)或t

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