例1(2023深圳中考21題)蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間．
如圖1，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構(gòu)成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點(diǎn)E，若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．
請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）如圖2，拋物線AED的頂點(diǎn)E（0，4），求拋物線的解析式；
（2）如圖3，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長(zhǎng)；
（3）如圖4，在某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線透過(guò)A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為CK，求CK的長(zhǎng)．
解：（1）∵AB＝3m，AD＝BC＝4m，E（0，4），∴A（﹣2，3），B（﹣2，0），C（2，0），D（2，3），設(shè)拋物線表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，將A、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)代入表達(dá)式，
得4a?2b+c=34a+2b+c=3c=4，解得a=?14b=0c=4．
∴拋物線表達(dá)式為y=?14x2+4．
（2）設(shè)G（﹣t，3），則L（﹣t?34，3+34），
∴3+34=?14(?t?34)2+4，解得t=14（負(fù)值舍去），
∴GM＝2t=12．
（3）取最右側(cè)光線與拋物線切點(diǎn)為F，如圖4，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴?2k+b=32k+b=0，解得k=?34b=32，
∴直線AC的解析式為y=?34x+32，
∵FK∥AC，設(shè)lFK：y=?34x+m，∴y=?34x+my=?14x2+4，得?14x2+34x+4?m=0，∴Δ=(34)2?4×(?14)(4?m)=0，解得m=7316，∴直線FK的解析式為y=?34x+7316，令y＝0，得x=7312，
∴BK=7312+2=9712．∴CK＝BK﹣BC=9712?4=4912
例2(2024南山育才中考模擬)【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】
項(xiàng)目主題：設(shè)計(jì)澆地窗的遮陽(yáng)篷
項(xiàng)目背景：小明家的窗戶朝南，窗戶的高度AB=2m，為了遮擋太陽(yáng)光，小明做了遮陽(yáng)篷的設(shè)計(jì)方案，請(qǐng)根據(jù)不同的設(shè)計(jì)方案完成以下任務(wù).
方案1：直角形遮陽(yáng)篷
如圖1：小明設(shè)計(jì)的第一個(gè)方案為直角遮陽(yáng)篷BCD，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上CD⊥AC.
(1)若BC=0.5m，CD=1m，則支撐桿BD=________m.
(2)小明發(fā)現(xiàn)上述方案不能很好發(fā)揮遮陽(yáng)作用，如圖2，他觀察到此地一年中的正午時(shí)刻，太陽(yáng)光與地平面的最小夾角為α，最大夾角為β，小明查閱資料，計(jì)算出tanα=,tanβ=,為了讓遮陽(yáng)篷既能最大限度的使冬天溫暖的陽(yáng)光射入室內(nèi)(太陽(yáng)光與BD平行)，又能最大限度的遮擋夏天火熱的陽(yáng)光(太陽(yáng)光與AD平行)，請(qǐng)求出圖2中的BC、CD的長(zhǎng)度.
方案2：拋物線形遮陽(yáng)篷
(3)如圖3，為了美觀及實(shí)用性，小明在(2)的基礎(chǔ)上將CD邊改為拋物線形可伸縮的遮陽(yáng)篷(F為拋物線的頂點(diǎn)，DF段可伸縮)，且∠CFD=90°，BC、CD的長(zhǎng)保持不變，若以C為原點(diǎn)，CD方向?yàn)閤軸，BC方向?yàn)閥軸,①求該二次函數(shù)的表達(dá)式；②若某時(shí)刻太陽(yáng)光與水平地面夾角的正切值tan=，使陽(yáng)光最大限度的射入室內(nèi)，求遮陽(yáng)篷點(diǎn)D上長(zhǎng)升的高度的最小值(即點(diǎn)D'到CD的距離)
解：(1)由勾股定理直接計(jì)算BD=
如圖所示，設(shè)EF=m，則AE=3m,DE=4m，故2+m=4m得m=，故BC=，CD=2m；
①易知點(diǎn)F(1,1)設(shè)二次函數(shù)解析式為，將(0,0)代入得a=-1,故二次函數(shù)的解析式為
②如圖，設(shè)光線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)I，與拋物線交于點(diǎn)D,則易知BI的解析式為，與拋物線聯(lián)立得x1=,x2=(舍去)，此時(shí)y=，故上升的最小高度為
全真模擬練習(xí)
1.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)
如何探測(cè)彈射飛機(jī)的軌道設(shè)計(jì)
素材1：圖1是某科技興趣小組的同學(xué)們制作出的一款彈射飛機(jī)，為驗(yàn)證飛機(jī)的一些性能，通過(guò)測(cè)試收集了飛機(jī)相對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的飛行水平距離s與飛行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為：x=3t，飛行高度y(單位：m)隨飛機(jī)時(shí)間t(單位：s)的變化滿足二次函數(shù)關(guān)系，數(shù)據(jù)如表所示
素材2：圖2是興趣小組同學(xué)在室內(nèi)操場(chǎng)的水平地面上設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺(tái)PQ，當(dāng)彈射口高度變化時(shí)，飛機(jī)飛行的軌跡可視為拋物線上下平移得到，線段AB為飛機(jī)回收區(qū)域，已知AP=42m，AB=(18-24)m,問(wèn)題解決
任務(wù)1：確定函數(shù)表達(dá)式，求y關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；
任務(wù)2：探究飛行距離，當(dāng)飛機(jī)落地(高度為0m)時(shí)，求飛機(jī)飛行的水平距離；
任務(wù)3：確定彈射口高度，當(dāng)飛機(jī)落到AB內(nèi)(不包含端點(diǎn)A、B)，求發(fā)射臺(tái)彈射口高度(結(jié)果為整數(shù))
2.利用素材解決：《橋梁的設(shè)計(jì)》
3.根據(jù)以下素材，探究完成任務(wù)
4.九年級(jí)某班級(jí)同學(xué)進(jìn)行項(xiàng)目式學(xué)習(xí)如下：
5.陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．如圖是從正面看到的一個(gè)“老碗”,其橫截面可以近似的看成是如圖(1)所示的以AB 為直徑的半圓 O，MN 為臺(tái)面截線，半圓 O 與 MN 相切于點(diǎn) P，連結(jié) OP 與 CD 相 交于點(diǎn) E.水面截線 CD= 6cm，MN//CD，AB=12cm.
(1)如圖(1)求水深 EP；
(2)將圖(1)中的老碗先沿臺(tái)面 MN 向左作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)到如圖(2)的位置，使
得 A、C 重合，求此時(shí)最高點(diǎn) B 和最低點(diǎn) P 之間的距離 BP 的長(zhǎng)；
(3)將碗從（2）中的位置開(kāi)始向右邊滾動(dòng)到圖(3)所示時(shí)停止，若此時(shí)∠BOP=75°，
求滾動(dòng)過(guò)程中圓心 O 運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).
6．某廠家特制了一批高腳杯，分為男士杯和女士杯（如圖1），相關(guān)信息如下：
根據(jù)以上素材內(nèi)容，嘗試求解以下問(wèn)題：
（1）求拋物線DCE和拋物線FCG的解析式；
（2）當(dāng)杯子水平放置及杯內(nèi)液體靜止時(shí)，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度均為4cm，求兩者液體最上層表面圓面積之差；（結(jié)果保留π）
（3）當(dāng)杯子水平放置及杯內(nèi)液體靜止時(shí)，若男士杯中的液體與女士杯中的液體深度相等，兩者液體最上層表面圓面積相差4πcm2，求杯中液體的深度．
7．中新社上海3月21日電（記者繆璐）21日在上海舉行的2023年全國(guó)跳水冠軍賽女子單人10米跳臺(tái)決賽中，陳芋汐以416.25分的總分奪得冠軍，全紅嬋位列第二，掌敏潔獲得銅牌．在精彩的比賽過(guò)程中，全紅嬋選擇了一個(gè)極具難度的207C（向后翻騰三周半抱膝）．如圖2所示，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．如果她從點(diǎn)A（3，10）起跳后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作拋物線的一部分，從起跳到入水的過(guò)程中，她的豎直高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平時(shí)訓(xùn)練完成一次跳水動(dòng)作時(shí)，全紅蟬的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下：
根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出k的值為 ，直接寫出滿足的函數(shù)關(guān)系式： ；
（2）比賽當(dāng)天的某一次跳水中，全紅嬋的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝﹣5x2+40x﹣68，記她訓(xùn)練的入水點(diǎn)的水平距離為d1；比賽當(dāng)天入水點(diǎn)的水平距離為d2，則d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情況下，全紅嬋起跳后到達(dá)最高點(diǎn)B開(kāi)始計(jì)時(shí)，若點(diǎn)B到水平面的距離為c，則她到水面的距離y與時(shí)間t之間近似滿足y＝﹣5t2+c，如果全紅嬋在達(dá)到最高點(diǎn)后需要1.6秒的時(shí)間才能完成極具難度的270C動(dòng)作，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，她當(dāng)天的比賽能否成功完成此動(dòng)作？
8．【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】
一天放學(xué)后，媽媽帶小麗到面館去吃牛肉面，愛(ài)思考的小麗仔細(xì)觀察盛面的碗，如圖1，她發(fā)現(xiàn)面碗的軸截面（不包含碗足部分）可以近似看成是拋物線的一部分．
【提出問(wèn)題】
碗體（碗體的厚度忽略不計(jì)）上一點(diǎn)到碗底內(nèi)部所在平面的距離y（cm）與這一點(diǎn)到碗的中軸線（面碗的上、下兩個(gè)底面圓的圓心所在直線）m的距離x（cm）之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？
【分析問(wèn)題】
小麗從書包里拿出刻度尺、筆和本，向服務(wù)員借來(lái)一個(gè)空的面碗，把面碗正放在桌面上，對(duì)面碗進(jìn)行了簡(jiǎn)單的測(cè)量，并根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)畫出面碗的軸截面，如圖2，面碗的上口徑AB＝24cm，碗底直徑CD＝EF＝6cm，面碗的邊沿上一點(diǎn)B到桌面EF的距離BG＝8cm，碗足高DF＝1cm．小麗又進(jìn)一步建立以CD所在直線為x軸，以直線m為y軸的平面直角坐標(biāo)系（如圖3），從而求出y與x的關(guān)系式．
【解決問(wèn)題】
（1）請(qǐng)你幫助小麗求出y與x的關(guān)系式；
（2）小麗向空面碗中倒入一些水，當(dāng)水面寬度為20cm時(shí)，求此時(shí)面碗中水的深度；
（3）小麗將（2）中面碗中的水傾倒至如圖4所示，水面剛好與BC重合，直接寫出此時(shí)面碗中水的最大深度．
9.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．
10．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)：
飛行時(shí)間t/s
0
2
4
6
8
...
飛行高度y/m
0
10
16
18
16
...
問(wèn)題驅(qū)動(dòng)
某地欲修建一座搭橋，橋的底邊兩端間的水平寬AB=L，稱跨度，橋面最高點(diǎn)到AB的距離CD=h稱拱高，拱橋的輪廓可以設(shè)計(jì)成是圓弧或拋物線型，若修建拱橋的距離L=32米，拱高h(yuǎn)=8米.
設(shè)計(jì)方案
方案一
方案二
設(shè)計(jì)類型
圓弧型
拋物線型
任務(wù)一
設(shè)計(jì)成圓弧型，求該圓弧所在圓的半徑
設(shè)計(jì)成拋物線型，以AB所在直線為x軸,AB的垂直平分為y軸建立坐標(biāo)系，求橋拱的函數(shù)表達(dá)式
任務(wù)二
如圖，一艘船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測(cè)得EF=6.1米,EH=16米，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明貨船能否分別順利通過(guò)這兩座橋梁.
設(shè)計(jì)求碗中面湯液面寬度的方案
素材1
圖1是一個(gè)瓷碗，圖2是其截面圖，碗體DEC呈拋物線狀(碗體厚度不計(jì))碗高GF=7cm,碗底寬AB=3cm，當(dāng)瓷碗中裝滿面湯時(shí)，液面寬CD=12cm，此時(shí)面湯最大深度EG=6cm.
素材2
如圖3，把瓷碗繞點(diǎn)B緩緩傾斜倒出部分面湯，當(dāng)點(diǎn)A離MN距離為1.8cm時(shí)停止
任務(wù)1
確定碗體形狀
在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式
任務(wù)2
擬定設(shè)計(jì)方案1
根據(jù)圖2位置，把碗中面湯喝掉一部分，當(dāng)碗中液面高度(離桌面MN距離)為5cm時(shí)，求此時(shí)碗中液面寬度.
任務(wù)3
擬定設(shè)計(jì)方案2
如圖3，當(dāng)碗停止傾斜時(shí)，求此時(shí)碗中液面寬度CH.
綠化帶灌溉車的操作探究
項(xiàng)目?jī)?nèi)容
項(xiàng)目素材
項(xiàng)目任務(wù)
【項(xiàng)目一】
明確灌溉方式
如圖 1，灌溉車沿著平行于綠化 帶底部邊線 I 的方向行駛，為 綠化帶澆水．噴水口 H 離地豎 直高度為h（單位：m ），灌溉
車到l 的距離OD長(zhǎng)度為d（單 位：m ）．
“博學(xué)小組”經(jīng)過(guò)實(shí)際測(cè)量，建 立如下數(shù)學(xué)模型：如圖 2，可以 把灌溉車噴出水的上、下邊緣 抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到；把綠化帶橫截面抽象為矩形 DEFG，其水平寬度 DE ??3m，豎直高度 EF ? 0.5m 噴水口離開(kāi)地面高h(yuǎn) ? 1.5米，上邊緣拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為2m ，高出噴水口 0.5m．
【任務(wù)一】結(jié)合圖象和數(shù)據(jù)，請(qǐng)你求出灌溉車的最大射程OC 的長(zhǎng)度
【項(xiàng)目二】提倡有效灌溉
“篤志小組”實(shí)地調(diào)查發(fā)現(xiàn)：為了節(jié)約用水，進(jìn)行有效灌溉，灌溉車在進(jìn)行行業(yè)時(shí)，要保證噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶(上邊緣拋物線不低于點(diǎn)F，點(diǎn)D不在下邊緣拋物線內(nèi))
【任務(wù)二】請(qǐng)你求出灌溉車有效灌溉時(shí)，灌溉車到綠化帶底邊緣的距離OD的取值范圍.
素材
內(nèi)容
素材1
如圖1，這種高腳杯從下往上分為三部分：
杯托，杯腳，杯體．杯托為一個(gè)圓，水平放置時(shí)候，杯腳經(jīng)過(guò)杯托圓心，并垂直任意直徑，杯體的水平橫截面都為圓，這些圓的圓心都在杯腳所在直線上．
素材2

圖2坐標(biāo)系中，特制男士杯可以看作由線段AB，OC，拋物線DCE（實(shí)線部分），線段DF，線段EG繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形（不考慮杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由線段AB，OC，拋物線FCG（虛線部分）繞y軸旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形．
素材3
已知，圖2坐標(biāo)系中，OC＝5cm，記為C（0，5），D（?52，152），E（52，152），F(xiàn)（?52，15），G（52，15）．
水平距離x/m
0
3
3.5
4
4.5
豎直高度y/m
10
10
k
10
6.25
如何調(diào)整蔬菜大棚的結(jié)構(gòu)？
素材1
我國(guó)的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟，一塊土地上有一個(gè)蔬菜大棚，其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在墻體OA上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE，F(xiàn)G，相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2所示，其中DE＝BC，OF＝DF＝BD．

素材2
已知大棚有200根長(zhǎng)為DE的支架和200根長(zhǎng)為FG的支架，為增加棚內(nèi)空間，擬將圖2中棚頂向上調(diào)整，支架總數(shù)不變，對(duì)應(yīng)支架的長(zhǎng)度變化如圖3所示，調(diào)整后C與E上升相同的高度，增加的支架單價(jià)為60元/米（接口忽略不計(jì)），現(xiàn)有改造經(jīng)費(fèi)32000元．

問(wèn)題解決
任務(wù)1
確定大棚形狀
在圖2中以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
任務(wù)2
嘗試改造方案
當(dāng)CC′＝1米，只考慮經(jīng)費(fèi)情況下，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明能否完成改造．
任務(wù)3
擬定最優(yōu)方案
只考慮經(jīng)費(fèi)情況下，求出CC′的最大值．
素材一
太陽(yáng)光線與地面的夾角叫做太陽(yáng)高度角．冬至是北半球各地白晝時(shí)間最短、黑夜最長(zhǎng)的一天；夏至是北半球各地黑夜時(shí)間最短、白晝最長(zhǎng)的一天．設(shè)冬至這天正午時(shí)刻太陽(yáng)高度角為α，夏至這天正午時(shí)刻太陽(yáng)高度角為β．
素材二
廠家設(shè)計(jì)了可伸縮拋物線型遮陽(yáng)棚，其側(cè)面示意圖如圖1所示．曲線QM為遮陽(yáng)棚，PQ為遮陽(yáng)棚安裝在窗戶上方的支架，PQ⊥QM，線段QM的長(zhǎng)度稱為遮陽(yáng)棚的跨度．已知遮陽(yáng)棚QM所在的拋物線與拋物線y=?14x2的形狀相同．

素材三
如圖2，AB為小明家的朝南窗戶，測(cè)得tanα=14，∠β＝45°，窗戶AB的高度為1.5米．為能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽(yáng)光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽(yáng)光射入室內(nèi)，在安裝遮陽(yáng)棚時(shí)，需根據(jù)實(shí)際計(jì)算遮陽(yáng)棚的跨度（QM的長(zhǎng)）．

素材四
春節(jié)前期，小明想在遮陽(yáng)棚頂部掛一盞高為0.3米的燈籠（如圖3）．如圖4，燈籠CD與窗戶的水平距離為m米，燈籠的底端（點(diǎn)D）與窗戶的上沿（點(diǎn)B）的鉛垂高度為n米，燈籠頂端（點(diǎn)C）與懸掛點(diǎn)（點(diǎn)N）的距離為d米．
解決問(wèn)題
任務(wù)1
求小明家所需的遮陽(yáng)棚的跨度QM．
任務(wù)2
當(dāng)d＝0.16時(shí)，求m的值．
任務(wù)3
現(xiàn)要求0.6≤m≤1.5且0.1≤n≤0.2，求d的取值范圍．

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