【特例感知】
(1)如圖1，E是正方形ABCD外一點，將線段AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AF，連接DE、BF，求證：DE=BF
【類比遷移】
(2)如圖2，在菱形ABCD中，AB=4，B=60°，P是AB的中點，將線段PA、PD分別繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到PE、PF，PF交BC于點G，連接CE、CF，求四邊形CEGF的面積.
【拓展提升】
(3)如圖3，在平行四邊形ABCD中AB=12，AD=10，B為銳角且滿足sinB=,P是射線BA上一動點，點C、D同時繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到C、D，當△BCD為直角三角形時，直接寫出BP的長.
解：(1)易證△ABF≌△ADE，可得BF=DE
(2)連接EF，易知CP⊥AB，∠DPF=90°得∠APD=∠EPF，而PD=PF，PA=PE，得△PAD≌△PEF，故EF=AD=4；過點P作MN⊥AD，易知△PDM~△GPN，易知MA=1，PM=PN=，由此可得NG=，故GC=，由∠NPG=∠ADP，∠PFE=∠ADP得∠NPG=∠PFE，得EF||PN，即有EF⊥GC，故SCEGF=4××=(此處注意：因為是旋轉(zhuǎn)90°，故EF與BC始終保持垂直，這在第三問有大用處)
(3)由(2)知CD的對應(yīng)線段C′D′始終垂直于AB，當點C′、D′在直線AB上時，△BC′D′即為直角三角形，
①當C′落在AB上時，如圖所示，此時BP=6；
②當D′落在AB上時，如圖所示，此時PD=8，AP=6，故BP=18；
③如下左圖所示，作出一系列輔助線，設(shè)AP=5m，則PJ=HI=4m，AJ=3m，△CPH≌△PCG,△PDJ≌△PDK，PG=CH，GC=PH，PK=4m，DI=，CI=CM=+7m,BM=+m,BN=-m,DN=7m-,△BMC~△DNB,得,得m=，故BP=10+或10-(此值為下右圖同理可求得)
綜上所述BP的值為6或18或10+或10-
2.(2024深圳中學(xué)開學(xué)考22題)如圖1，在矩形ABCD中，CD=BC=4，點E、G分別是AD、AB的中點，過點E、G分別作EF⊥AD，GF⊥AB，F(xiàn)G與EF交于點F，連接CF
特別感知
以下結(jié)論中正確的序號有_______；
①四邊形AGFE是矩形；②矩形ABCD與四邊形AGFE位似；③以ED、CF、BG為邊圍成的三角形不是直角三角形
類比發(fā)現(xiàn)
如圖2，將圖1中的四邊形AGFE繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接BG，觀察CF與BG之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明你的發(fā)現(xiàn)；
拓展應(yīng)用
連接CE，當CE的長度最大時，
①求BG的長度；②連接AC、AF、CF，若在△ACF內(nèi)存在一點P，使CP+AP+PF的值最小，并求出最小值.
(2)連接AF、AC，易知AF：AG=AC：AB=2：，同時∠BAC=∠GAF，故∠CAF=∠BAG，故△BAG~△CAF，故CF：BG=2：
(3)易知點E在以A為圓心，2為半徑的圓上運動，當C、A、E共線時，CE取最大值，當CE最大時，AC=8，EF=2，故CF=4，故BG=2
②將AP繞點A旋轉(zhuǎn)30°至M且使AM=AP，連接PM，易知PM=PA；同時將AF繞點A旋轉(zhuǎn)30°點N且使AN=AM，易得△APF~△AMN，得NM=PF，故PA+PC+PF=PC+PM+MN，當C、P、M、N共線時，故最小值，即CN，此時∠CAN=150°，AN=4，CN=4，故最小值為4
3.(2024重慶模擬24題)在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點D是邊BC上一點，連接AD，∠ABD的角平分線交AD于點E，
(1)如圖1所示，∠BAD=30°，若CD=2，求DE的長；
(2)如圖2所示，點F為AC上一點，過點F作FO⊥AD于點O,若點O恰好平分線段AD，求證：CF=BE+CD；
(3)如圖3所示，點P為邊AC上一點，且滿足AP=BE，過點P作PQ⊥AD于點Q，連接BQ，當BQ最短時，請直接寫出的值.
解：(1)如圖，設(shè)BD=m,則AB=m,而BA=BC，得m+2=m,得m=+1，AD=2+2，由角平分線定理得AE：DE=AB：BD，故DE=2
另法，連接CE，易知△BEA≌△BEC，得∠DCE=30°，而∠ADB=60°，故∠DEC=30°，故DE=DC=2
過點D作DM⊥AC于點M，連接OB、OM,O為AD的中點，故OB=OM=OA=OD，設(shè)∠CAD=α，∠BAD=β，則∠BOD=2β，∠MOD=2α，故∠BOM=90°，而∠DOF=90°，故∠BOE=∠MOF；而∠BEO=180°-β-45°=135°-β，∠OFM=90°+α=90°+45°-β=135°-β，即有∠BEO=∠OFM，于是△BOE≌△MOF，BE=FM，而CM=CD，故CF=BE+CD
過點A作AG⊥AB交QP延長線于點G，作BFAD于點F，∠BEF=45°+∠BAD，∠APQ=90°-∠PAQ=90°-(45°-∠BAD)=45°+∠BAD,故∠BEF=∠APQ，而AP=BE,∠AQP=∠BFE,故△APQ≌△BEF，
而AQ=BF,∠BAF+∠GAQ=90°，∠ABF+∠ABF=90°得∠GAQ=∠ABF,∠BFA=∠AQG=90°,得△AGQ≌△BAF，AG=AB，設(shè)AB=2，則點Q在以AG為直徑的圓上運動，圓心為M，當B、Q、M共線時BQ取最小值；此時BQ=-1，,而BD=-1，由角平分線定理知SABE：SBDE=2:(-1),,故
4.(2024安徽中考23題)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點E是AC上一動點，連接BE，將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BD，連接DE交BC于點F
(1)如圖1，若AB=4，∠C=30°，BE⊥AC，求DE的長；
(2)如圖2，若CB=CE，連接CD，在EC上截取EM=CD，過點M作EC的垂線交BC于點N，交ED于點K，當CF=2AE時，求證：NF+DF=MN；
(3)如圖3，△ABC中，若BE=CE，且∠BEC=45°，BE=4，點P為射線EA上一動點，連接BP，將BP點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BQ，連接EQ，請直接寫出線段EQ的最小值.
解：(1)如圖，易知AE=2，DE=2；
(2)過點D作DG⊥EC于點G，交CF于點H，設(shè)∠CED=ɑ，△BDE為等腰直角三角形，CB=CE，得∠BCE=90°-2ɑ，于是∠CHF=∠CHG=2ɑ，而∠HDF=90°-ɑ得∠DFH=90°-ɑ，故DH=FH，可得NF=NK；易知△BAE≌△BHD，DH=AE，
又CF=2AE，故HD=HC=HF，故∠CDF=90°；∠DCF=ɑ=∠MEK，CD=EM，∠EMK=∠CDF，得△EMK≌△CDF，DF=KM
于是MN=NK+MK=NF+DF即有MN=NF=DF
(3)以BE為邊長作等邊△BEH，連接QH，易知△BPE≌△BQH，由瓜豆原理可知點Q在直線QH上運動，當EQ⊥QH時，EQ取最小值，此時∠EHQ=75°，EH=4，由sin75°=，故EQmin=
5.(2024重慶中考模擬24題)在△ABC中，D為直線AC上一動點，連接BD，將BD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BE，連接DE與AB相交于點F
如圖1，若D為AC的中點，∠BAC=90°，AC=4，BD=，連接AE，求線段AE的長；
如圖2，G是線段BA延長線上一點，D在線段AC上，連接DG、EC，若∠BAC

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