1．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，菱形的頂點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)．
(1)填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為________，點(diǎn)G的坐標(biāo)為________；
(2)將矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，．設(shè)，矩形與菱形重疊部分的面積為S．

①如圖②，當(dāng)邊與相交于點(diǎn)M、邊與相交于點(diǎn)N，且矩形與菱形重疊部分為五邊形時(shí)，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍：
②當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)矩形及菱形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；
（2）①由題意易得，然后可得，則有，進(jìn)而根據(jù)割補(bǔ)法可進(jìn)行求解面積S；②由①及題意可知當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分的面積是增大的，當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分的面積是減小的，然后根據(jù)題意畫出圖形計(jì)算面積的最大值和最小值即可．
【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，且，
∴，
∴；
連接，交于一點(diǎn)H，如圖所示：

∵四邊形是菱形，且，
∴，，
∴，
∴，
故答案為，；
（2）解：①∵點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，
∴矩形中，軸，軸，．
∴矩形中，軸，軸，．
由點(diǎn)，點(diǎn)，得．
在中，，得．
在中，由，得．
∴．同理，得．
∵，得．
又，
∴，
當(dāng)時(shí)，則矩形和菱形重疊部分為，
∴的取值范圍是．
②由①及題意可知當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分的面積是增大的，當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分的面積是減小的，
∴當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分如圖所示：

此時(shí)面積S最大，最大值為；
當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分如圖所示：

由（1）可知B、D之間的水平距離為，則有點(diǎn)D到的距離為，
由①可知：，
∴矩形和菱形重疊部分為等邊三角形，
∴該等邊三角形的邊長(zhǎng)為，
∴此時(shí)面積S最小，最小值為；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，則．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)、圖形與坐標(biāo)，熟練掌握矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)、圖形與坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上（點(diǎn)P不與點(diǎn)O，C重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點(diǎn)P，并與x軸的正半軸相交于點(diǎn)Q，且，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限．設(shè)．
(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求的大小和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，分別與邊相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，試用含有t的式子表示的長(zhǎng)，并直接寫出t的取值范圍；
(3)若折疊后重合部分的面積為，則t的值可以是___________（請(qǐng)直接寫出兩個(gè)不同的值即可）．
【答案】(1)，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)，其中t的取值范圍是
(3)3，．（答案不唯一，滿足即可）
【分析】（1）先根據(jù)折疊的性質(zhì)得，即可得出，作，然后求出和OH，可得答案；
（2）根據(jù)題意先表示，再根據(jù)，表示QE，然后根據(jù)表示即可，再求出取值范圍；
（3）求出t=3時(shí)的重合部分的面積，可得從t=3之后重合部分的面積始終是，再求出P與C重合時(shí)t的值可得t的取值范圍，問題得解．
【詳解】（1）在中，由，得．
根據(jù)折疊，知，
∴，．
∵，
∴．
如圖，過點(diǎn)O′作，垂足為H，則．
∴在中，得．
由，得，則．
由，
得，．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）∵點(diǎn)，
∴．
又，
∴．
同（1）知，，．
∵四邊形是矩形，
∴．
在中，，得．
∴．
又，
∴.
如圖，當(dāng)點(diǎn)O′與AB重合時(shí)，，，
則，
∴，
∴，
解得t=2，
∴t的取值范圍是；
（3）3，．（答案不唯一，滿足即可），當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，，，
∴，則.
∴t=3時(shí)，重合部分的面積是，從t=3之后重合部分的面積始終是，
當(dāng)P與C重合時(shí)，OP＝6，∠OPQ＝30°，此時(shí)t＝OP·tan30°＝，
由于P不能與C重合，故，
所以都符合題意．
【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何綜合問題，考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等．
3．（2021·天津·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，是等腰直角三角形，，頂點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限，矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在第二象限，射線經(jīng)過點(diǎn)B．
（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（Ⅱ）將矩形沿x軸向右平移，得到矩形，點(diǎn)O，C，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，，設(shè)，矩形與重疊部分的面積為S．
①如圖②，當(dāng)點(diǎn)在x軸正半軸上，且矩形與重疊部分為四邊形時(shí)，與相交于點(diǎn)F，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；
②當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】（Ⅰ）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（Ⅱ）①， t的取值范圍是；②．
【分析】(I)過點(diǎn)B作，垂足為H，由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)得到，再由∠BOH=45°得到△OBH為等腰直角三角形，進(jìn)而，由此求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
(II)①由平移知，四邊形是矩形，得，進(jìn)而得到，再由重疊部分面積即可求解；
②畫出不同情況下重疊部分的圖形，分和和兩種情況，將重疊部分的面積表示成關(guān)于t的二次函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)的最值問題求解．
【詳解】解：(I)如圖，過點(diǎn)B作，垂足為H．
由點(diǎn)，得．
∵，
∴．
又∠BOH=45°，
∴△OBH為等腰直角三角形，
∴．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
(II)①由點(diǎn)，得．由平移知，四邊形是矩形，得．
∴，．
∵，，
∴．
∴
∴．
∴．
∴．
∴．
整理后得到：．
當(dāng)與A重合時(shí)，矩形與重疊部分剛開始為四邊形，如下圖(1)所示：此時(shí)，
當(dāng)與B重合時(shí)，矩形與重疊部分為三角形，接下來(lái)往右平移時(shí)重疊部分一直為三角形直到與A點(diǎn)重合，如下圖(2)所示：
此時(shí)，
∴t的取值范圍是，
故答案為：，其中：；
②當(dāng)時(shí)，矩形與重疊部分的面積如下圖3所示：
此時(shí)，∠BAO=45°，為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴重疊部分面積，
∴是關(guān)于的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為，且開口向下，
故自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，
故將代入，
得到最大值，
將代入，
得到最小值，
當(dāng)時(shí)，矩形與重疊部分的面積如下圖4所示：
此時(shí)，
和均為等腰直角三角形，
∴，
，
∴重疊部分面積，
∴是關(guān)于的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為，且開口向下，
故自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，故將代入，得到最大值，
將代入，
得到最小值，
∴的最小值為，最大值為，
故答案為：．
當(dāng)時(shí)，由①知
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值為，當(dāng)時(shí)，S有最小值為
∴的最小值為，最大值為，
綜上，S的取值范圍為，
∴S的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、平移的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等問題，屬于綜合題，需要畫出動(dòng)點(diǎn)不同狀態(tài)下的圖形求解，本題難度較大，需要分類討論．
4．（2023·天津河西·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，有，，點(diǎn)Q在邊上，過點(diǎn)Q作于Q，且，以PQ為邊向右側(cè)作正方形，設(shè)．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，求t的值；
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)，且正方形與重疊部分為五邊形時(shí)，邊與邊相交于點(diǎn)M，試用含有t的式子表示線段的長(zhǎng)，并直接寫出t的取值范圍；
(3)設(shè)正方形與重疊部分圖形的面積為S．當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得到，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)長(zhǎng)度列式即可得到答案；
（2）根據(jù)，可得到，再根據(jù)線段加減即可得到答案；
（3）由正方形得到，，用t表示出，根據(jù)面積加減直接表示出S與t函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；
【詳解】（1）解∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
∵于Q，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，解得：，
，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，S最大，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴；
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例，二次函數(shù)的性質(zhì)解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)直接得到線段之間的關(guān)系．
5．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明將兩個(gè)形狀相同，大小不同的三角板和三角板放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，．
(1)如圖①，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖②，小明同學(xué)將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周．
①若點(diǎn)，，在同一條直線上，求點(diǎn)到軸的距離；
②連接，取的中點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)到直線的距離的最大值_____________（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)求出根據(jù)勾股定理求出，得到再運(yùn)用勾股定理求出，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）①分點(diǎn)E在上方和下方，利用面積法求解即可；②取的中點(diǎn)M，連接過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，可得為的中位線，可判斷點(diǎn)G在以M為圓心為半徑的圓上，進(jìn)一步可求出點(diǎn)到直線的距離的最大值．
【詳解】（1）
在中，
在中，
又，
解得，（負(fù)值舍去）
又，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
（2）① 分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)E在上方時(shí)，如圖，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，
，
，
；
當(dāng)點(diǎn)E在下方時(shí)，如圖，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，
在中，
∴
∴
∵
∴
∴
綜上，點(diǎn)到軸的距離為或；
②如圖，取的中點(diǎn)M，連接過點(diǎn)M作于點(diǎn)N，
∵M(jìn)為的中點(diǎn)，G為的中點(diǎn)，
∴為的中位線，
∴點(diǎn)G在以M為圓心，以為半徑的圓上，
∵M(jìn)為的中點(diǎn)，
∴，
在中，
當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，此時(shí)三點(diǎn)共線，點(diǎn)G到的距離最大，最大值為

∴點(diǎn)G到的中大距離為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理，面積法，三角形中位線定理以及圓的有關(guān)知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
6．（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）已知，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有四邊形，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別在y軸與x軸上，其中，且點(diǎn)B坐標(biāo)為，y軸上有一點(diǎn)D，將沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在x軸上．
(1)如圖1，求線段的長(zhǎng)度和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)將四邊形沿x軸向右平移，得到四邊形形，點(diǎn)A，O，E，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止平移．設(shè)，四邊形與重疊部分的面積為S．
①如圖2，當(dāng)四邊形與重疊部分的圖形為五邊形時(shí)，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；
②當(dāng)時(shí)，直接寫出S的取值范圍．
【答案】(1)，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)①；②
【分析】（1）過點(diǎn)作，易知四邊形為矩形，可得，，，由勾股定理可求得，由折疊可知，，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，可得，設(shè)，則，由勾股定理，求解即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）分當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，進(jìn)行討論求出與的函數(shù)關(guān)系式；①在所求的函數(shù)關(guān)系式中找到四邊形與重疊部分的圖形為五邊形即可求解；②根據(jù)函數(shù)關(guān)系式結(jié)合求每段函數(shù)的的取值范圍進(jìn)行討論即可．
【詳解】（1）過點(diǎn)作，
∵，，
∴四邊形為矩形，
∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
∴，，，
由勾股定理可得：，
由折疊可知，，，
∴，
又∵，
∴，則，
設(shè)，則，
由勾股定理可得：，即：，
解得：，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）由（1）可知，，則，
∵，，，
∴，，
當(dāng)時(shí)，則由平移可知，，，，則，
當(dāng)，此時(shí)，如圖，不與相交，與交于點(diǎn)，過作，
∴，
則，
此時(shí)四邊形與重疊部分的圖形為四邊形，
重疊部分的面積，
即：；
當(dāng)，此時(shí)，如圖，與相交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，過作，同上，
，則，
此時(shí)四邊形與重疊部分的圖形為五邊形，
重疊部分的面積
即：；
當(dāng)，此時(shí)，如圖，與相交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，過作，同上，
則，，
此時(shí)四邊形與重疊部分的圖形為四邊形，
重疊部分的面積
即：；
綜上：，
①由上可知，當(dāng)四邊形與重疊部分的圖形為五邊形時(shí)，
；
②（i）當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即：；
（ii）當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即：；
（iii）當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即：；
綜上：當(dāng)時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定及性質(zhì)，翻折與勾股定理，二次函數(shù)與動(dòng)態(tài)幾何，數(shù)形結(jié)合，分情況討論是解決問題的關(guān)鍵．
7．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點(diǎn)，并與軸的正半軸相交于點(diǎn)，且，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限．設(shè)．
(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求的大小和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且在直線的下方，，分別與邊相交于點(diǎn)，，試用含有的式子表示重合部分的面積，并直接寫出的取值范圍；
(3)若折疊后重合部分的面積為，求的值（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）在中，由，得．根據(jù)折疊，知，過點(diǎn)作，垂足為．在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得，進(jìn)而根據(jù)，得出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)E作，垂足為．，根據(jù)折疊，知，可得，進(jìn)而即可求解．
（3）當(dāng)在直線的下方，由（2）可知，，解方程即可求解；當(dāng)在直線的上方時(shí)，根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：在中，由，
得．
根據(jù)折疊，知，
∴，．
∴．
如圖，過點(diǎn)作，垂足為．
在中，
，
．
∴．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）如圖，過點(diǎn)E作，垂足為．
∴四邊形為矩形．
∵點(diǎn)，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
根據(jù)折疊，知，可得，
∴．
∴．
當(dāng)在直線上時(shí)，，
∴
即，其中的取值范圍是．
（3）解：當(dāng)在直線的下方，由（2）可知
當(dāng)，即
解得：或（舍去），
當(dāng)在直線的上方時(shí)，如圖所示，
∵
根據(jù)折疊，，
又，則是等邊三角形，
則重疊部分為
由（2）可得，，則
此時(shí)（不合題意）
如圖所示，
當(dāng)時(shí)
∴
∴
解得：或（舍去）
綜上所述，的值為，．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問題，坐標(biāo)與圖形，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求函數(shù)關(guān)系式，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·天津東麗·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形的坐標(biāo)分別為，，，.
(1)求四邊形的面積；
(2)將沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左平移，得到，點(diǎn)O、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，設(shè)平移時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)停止移動(dòng)，若與四邊形重合部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.
【答案】(1)20
(2)當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)時(shí)，
【分析】（1）過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，由，，，，可得，，，，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)當(dāng)時(shí)，與四邊形重合部分是梯形，當(dāng)時(shí)，與四邊形重合部分是，當(dāng)時(shí)，與四邊形重合部分是四邊形，進(jìn)行分類討論即可．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，
∵，，，，
∴，，，，，
∴
；
（2）解：當(dāng)時(shí)，與四邊形重合部分是梯形，
；
當(dāng)時(shí)，與四邊形重合部分是，
，
當(dāng)時(shí)，與四邊形重合部分是四邊形，
．
【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系與幾何圖形、二次函數(shù)與圖形變換、平移的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·天津河?xùn)|·一模）將兩個(gè)三角形，放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C，D分別在邊上，且滿足．
(1)如圖①，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
(2)以點(diǎn)B為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．
①如圖②，連接，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
②如圖③，連接，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)M到線段的距離取得最大值時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(2)①或；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為
【分析】（1）利用三角函數(shù)關(guān)系求得，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得，，據(jù)此即可求解；
（2）①分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)E在上方時(shí)，求得點(diǎn)P為的中點(diǎn)，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，根據(jù)即可求解；當(dāng)點(diǎn)E在下方時(shí)，同理可得；
②取中點(diǎn)N，連接，求得，得到點(diǎn)M在以點(diǎn)N為圓心，為半徑的圓N上，過點(diǎn)N作的垂線，垂足為I，交圓N的交點(diǎn)，即為所作的點(diǎn)M，到的距離最大，推出O、I、N、M在同一直線上，據(jù)此即可求解．
【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)D作于H，
由題意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
（2）解：①由題意得，，，
當(dāng)點(diǎn)E在上方時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，
∵，且，
∴點(diǎn)P為的中點(diǎn)，
在中，，，
∴，
∴；
當(dāng)點(diǎn)E在下方時(shí)，同理可得；
；
②取中點(diǎn)N，連接，
∴是的中位線，
∴，
∵點(diǎn)N是定點(diǎn)，是定長(zhǎng)，
∴點(diǎn)M在以點(diǎn)N為圓心，為半徑的圓N上，
過點(diǎn)N作的垂線，垂足為I，交圓N的交點(diǎn)，即為所作的點(diǎn)M，到的距離最大，
連接，
∵，點(diǎn)N是中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴點(diǎn)I在線段上，即O、I、N、M在同一直線上，
∴，，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、三角形中位線中位線定理、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·天津·校聯(lián)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，四邊形是正方形，頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第二象限，的頂點(diǎn)，點(diǎn)．
(1)如圖①，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)將正方形沿軸向右平移，得到正方形，點(diǎn)A，O，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為．設(shè)，正方形與重合部分的面積為．
①如圖②，當(dāng)時(shí)，正方形與重合部分為五邊形，直線分別與軸，交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，試用含的式子表示；
②若平移后重合部分的面積為，則的值是_______（請(qǐng)直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形即可解答；
（2）①求得是等腰直角三角形，得到，再利用即可求解；
②分當(dāng)和時(shí)兩種情況討論，分別求解即可．
【詳解】（1）解：由，得，
四邊形正方形，
．
，；
（2）解：①，，，
，．
由平移知，四邊形是正方形，得，．
四邊形是矩形．
，，．
，
，．
，
．
．
當(dāng)時(shí)，
．
②當(dāng)時(shí)，
由題意得，
解得或（舍去）；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)N重合，
此時(shí)，
∴，
∴，
由題意得，
解得或（舍去）；
綜上，的值是或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，圖形的面積，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意分別畫出圖形，通過面積的和差關(guān)系求出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，是等腰直角三角形，，，頂點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限，矩形的頂點(diǎn)，，點(diǎn)D在第二象限．將矩形沿x軸向右平移，得到矩形，點(diǎn)O，C，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，．設(shè)．
(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，與交于F點(diǎn)，求點(diǎn)，F(xiàn)的坐標(biāo)；
(2)若矩形與重疊部分的面積為S．
①如圖②，當(dāng)矩形與重疊部分為五邊形時(shí)，分別與交于點(diǎn)G，與交于點(diǎn)H．與交于點(diǎn)N，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；
②當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)
(2)①．其中的取值范圍是；②
【分析】（1）由、，可得點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)是等腰直角三角形可證是等腰直角三角形，從而可得，即可求得結(jié)果；
（2）①過點(diǎn)G作于M，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，，，
，由，可證與均為等腰直角三角形，可得，，再根據(jù)，即可得出結(jié)果；②根據(jù)時(shí)，矩形與重疊部分為等腰直角三角形，當(dāng)時(shí)，矩形與重疊部分為五邊形，分別進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：由點(diǎn)，得，
由已知矩形平移得，，，，
又是等腰直角三角形，得，
是等腰直角三角形，
，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）解：①由平移知，，，，
如圖，過點(diǎn)G作于M，
，
，
由，
得，
與均為等腰直角三角形，
又，
，
，
，
，
其中的取值范圍是；
②∵時(shí)，矩形與重疊部分為等腰直角三角形，
∴，
當(dāng)時(shí)，矩形與重疊部分為五邊形，
∴，
【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系與圖形、等腰直角三角形的性質(zhì)及求二次函數(shù)解析式，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·天津西青·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，是等腰直角三角形，，，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在第二象限，矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上．將沿軸向右平移，得到，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，．
(1)如圖1，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)設(shè)，與矩形重疊部分的面積為；
①如圖②，當(dāng)與矩形重疊部分為五邊形時(shí)，與相交于點(diǎn)，分別與，交于點(diǎn)，，試用含有的式子表示，并直接寫出的取值范圍；
②請(qǐng)直接寫出滿足的所有的值．
【答案】(1)
(2)①②或5
【分析】（1）先求出直線的解析式，利用平移后過點(diǎn)，求出的解析式，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，得到平移距離，即可求解；
（2）①用進(jìn)行求解即可，當(dāng)與點(diǎn)重合，再移動(dòng)直至直線過點(diǎn)之前時(shí)，重疊部分為五邊形，求出的范圍即可；②分，，，，，五種情況分類討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，
∴，，
矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
則：，
∴，
∴，
設(shè)平移后的解析式為：，
∵直線過點(diǎn)，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴沿軸向右平移了個(gè)單位，
∴；
（2）解：①由題意，得：，，，，
∴，，，
∴
；
如圖，當(dāng)與點(diǎn)重合，再移動(dòng)直至直線過點(diǎn)之前時(shí)，重疊部分為五邊形，
∴當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，，
∵直線的解析式為：，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
∴，
∴時(shí)，重疊部分為五邊形；
②當(dāng)時(shí)，此時(shí)重疊部分為等腰直角三角形，如圖所示：
∴，
當(dāng)時(shí)，，解得：，
∵，此種情況不存在；
當(dāng)時(shí)，重疊部分為直角梯形，如圖，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，解得：；
當(dāng)時(shí)，如圖：
此時(shí)：，
∴；
當(dāng)時(shí)：由①知：，
當(dāng)時(shí)，，解得：或3（不符合題意，舍去）；
當(dāng)時(shí)，重疊部分為矩形，如圖：
，
∴，
當(dāng)時(shí)，，解得：（不合題意，舍掉）；
綜上，或5．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與平移，一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，等腰三角形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)．屬于中考?jí)狠S題，確定動(dòng)點(diǎn)的位置，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）將一個(gè)直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，．以點(diǎn)A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是C，D，記旋轉(zhuǎn)角為．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)C落在邊上時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)如圖②，連接，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段的中點(diǎn)，連接，，若線段的長(zhǎng)為t，試用含t的式子表示線段的長(zhǎng)度，并寫出t的取值范圍；
(3)在（2）的條件下，若的面積是S，當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)已知條件得出，是等邊三角形，在中，勾股定理得出，即可求解；
（2）在中，，根據(jù)勾股定理即可得出，由，進(jìn)而即可求解；
（3）證明，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明得出，根據(jù)三角形面積公式求得出，進(jìn)而根據(jù)，分別求得的范圍，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，，
∴
∴
∴，
∴，
∵旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C落在邊上時(shí)，則，
∴是等邊三角形
∴
∴
在中，,
∴；
（2）解：∵旋轉(zhuǎn)
∴，
∵是的中點(diǎn)，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵
∴
∴
（3）解：如圖所示，
∵
∴
∴，
∴
∴
又∵，分別是線段的中點(diǎn)，
∴
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
，
當(dāng)時(shí)，由①可得
∴此時(shí),
當(dāng)時(shí),隨著角度的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，
如圖所示，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
∵，
∴
∴，
∴，
即最大值為,
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，解直角三角形，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？家荒＃⒁粡埦匦渭埰胖迷谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）．沿折疊該紙片，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，設(shè)．

(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)及點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖②，若點(diǎn)在第四象限，與交于點(diǎn)，試用含有的式子表示折疊后與矩形重疊部分的面積，并直接寫出的取值范圍；
(3)若折疊后重疊部分的面積為，當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由，得到，根據(jù)含的直角三角形性質(zhì)解即可得結(jié)果；
（2）先證明折疊部分的三角形是等腰三角形，設(shè)，在中用勾股定理列出方程，表示出，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）當(dāng)時(shí)，重合部分面積是的面積，底是，高是，面積隨的增大而增大，根據(jù)面積的最大和最小，求得對(duì)應(yīng)的的值；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，面積是逐漸增大的，故根據(jù)（2）中的面積等于，求得對(duì)應(yīng)的的值，進(jìn)而求得結(jié)果．
【詳解】（1）解：過作于，如圖所示：

四邊形是矩形，
，，
，沿折疊該紙片，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
，，
，
在中，，，則，
，
；
（2）解：如圖所示：

四邊形是矩形，
，
，
由折疊可得，，，
，
在等腰中，，
由折疊可得，，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得，
，解得，
重合部分，
當(dāng)在軸上，則，此時(shí)；
當(dāng)與重合時(shí)，此時(shí)；
點(diǎn)在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合）,
,
重合部分；
（3）解：若折疊后重疊部分的面積為，
由（1）（2）的求解過程可知，當(dāng)時(shí)，根據(jù)點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)，由的位置分兩種情況討論：
①當(dāng)在第一象限，則，即時(shí)，
根據(jù)對(duì)稱性知重合部分面積是的面積，
則，隨著（或）值的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，得到；
當(dāng)時(shí)，面積；
當(dāng)重合部分面積滿足時(shí)，；
②當(dāng)在第四象限，則，即時(shí)，
重合部分面積是的面積，則，
由于，則在以為圓心，為半徑的圓弧上，如圖所示：

而是線段的中垂線，交于，
則當(dāng)在第四象限時(shí)，隨著點(diǎn)由運(yùn)動(dòng)，逐漸增大，
即當(dāng)時(shí)，隨著（或）值的增大而增大，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，面積時(shí)，滿足要求；
當(dāng)時(shí)，有，因式分解得到，
解得或，
，
舍棄，取，
當(dāng)重合部分面積滿足時(shí)，；
綜上所述．
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱性、矩形性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)增減性求范圍等知識(shí)，解決問題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱性的應(yīng)用，并弄清函數(shù)的變化趨勢(shì)．
15．（2023·天津和平·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，是直角三角形，，，，點(diǎn)在軸正半軸，等邊的頂點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，過點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．
(1)如圖①，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)將沿軸向右平移，得到，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，．設(shè)，與重疊部分的面積為．
①如圖②，點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．與重疊部分為四邊形時(shí)，試用含有的式子表示S，并直接寫出的取值范圍；
②當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)
(2)①見解析；②
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形得到，，結(jié)合得到，根據(jù)三角函數(shù)求出，，即可得到答案；
（2）①當(dāng)時(shí)，過作，根據(jù)由平移知，是等邊三角形，得，，在中，根據(jù)求出，即可得到，再求出即可得到答案；當(dāng)時(shí)，過作，求出、即可得到答案；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可得到答案；
【詳解】（1）解：由點(diǎn)，得，
∵是等邊三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
，
∴；
（2）解：①如圖，當(dāng)時(shí)，過作，
由平移知，是等邊三角形，得，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即．其中的取值范圍是，
如圖，當(dāng)時(shí)，過作，
由點(diǎn)，得，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
即（），
②
解：如圖，當(dāng)時(shí)，
∵是等邊三角形，
∴，
此時(shí)，
此時(shí)當(dāng)時(shí)最小，，
當(dāng)時(shí)最大，；
當(dāng)時(shí)，
∴當(dāng)時(shí)取最大，，當(dāng)時(shí)最小，，
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)最大，，當(dāng)最小，，
當(dāng)時(shí)，如圖所示,
，
同理可得，，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)最小，，當(dāng)時(shí)最大，，
綜上所述：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何圖形面積問題，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到動(dòng)點(diǎn)面積變化的節(jié)點(diǎn)分類討論，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解．
16．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，．矩形的頂點(diǎn)D，E，C分別在上，．

(1)如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(2)將矩形沿x軸向右平移，得到矩形，點(diǎn)O，D，E，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，．設(shè)，矩形與重疊部分的面積為．
①如圖②，當(dāng)矩形與重疊部分為五邊形時(shí)，，分別與相交于點(diǎn)M，F(xiàn)，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍：
②當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)
(2)①（）；②
【分析】（1）先求出，然后解直角三角形，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)平移的性質(zhì)可得：，可得，然后解直角三角形求出，再根據(jù)解答即可得；
②分兩種情況：當(dāng)時(shí)，由①的關(guān)系式求S的最大值；當(dāng)時(shí)，如圖，求出S與t的關(guān)系式，再求出S的最小值，進(jìn)而可得結(jié)果．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
在直角三角形中，∵，
∴，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；
（2）解：①由平移的性質(zhì)可得：，
∴，
∴，
∴矩形與重疊部分的面積（）；

②當(dāng)時(shí)，∵，
∴當(dāng)時(shí)，S最大，為；
當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)交于點(diǎn)K，則，
∴，
∴；
∴當(dāng)時(shí)，S最小，為，
∴當(dāng)時(shí)，S的范圍是．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形、列出圖形運(yùn)動(dòng)中的相關(guān)函數(shù)表達(dá)式，正確理解題意、全面分類、熟練掌握相關(guān)知識(shí)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）四邊形在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別在軸、軸正半軸上，且．
(1)如圖1，求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖2，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，把線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．
①連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
②如圖3，連接，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于，請(qǐng)直接寫出四邊形的面積以及點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)①，其中；②四邊形的面積為，點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一求的長(zhǎng)及點(diǎn)的坐標(biāo)，利用求的長(zhǎng)及點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）①過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先利用求出，再利用與全等得出，進(jìn)而得的長(zhǎng)，即邊的高的長(zhǎng)度，再表示面積；
②作軸于點(diǎn)，利用三角函數(shù)或者相似三角形求出點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算，的長(zhǎng)度，通過證明求得，利用與的比例關(guān)系可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為與的面積之和進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖．
點(diǎn)，
，，
，軸，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
在與中，
，
（）．
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖．
由，
得，
解得．
，
，，
．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得．在與中，
，
（）．
，．
．
．
與之間的函數(shù)關(guān)系式為，其中．
②作軸于點(diǎn)，如圖．
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
．
，
即，
，
，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，．
設(shè)，則，
，，
，
，
，
，
即，
解得，．
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
．
，，
，
．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，
則，
，
在與中，
，
（）．
，
，
，
．
，，
．
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)系與函數(shù)，等腰三角形的三線合一等，解題的關(guān)鍵是畫出正確的輔助線．
18．（2023·天津河?xùn)|·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)， 中，，頂點(diǎn)，滿足，，，，垂足為點(diǎn)E.
(1)如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo).
(2)將沿x軸向右平移，得到，點(diǎn)A，O，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，
（i）如圖②，若，與線段OD分別相交于點(diǎn)M，N（點(diǎn)N與點(diǎn)D不重合），當(dāng)與重疊部分為四邊形時(shí)，記該四邊形的面積為S，設(shè)，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；
（ii）當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）
【答案】(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)（?。?；，（ⅱ）
【分析】（1）過點(diǎn)作于，根據(jù)30度角的直角三角形性質(zhì)可得，，根據(jù)勾股定理可得，即可求得；
（2）（i）由平移可得是直角三角形，即，，根據(jù)正切的定義可得，，，，根據(jù)可得到與的解析式，根據(jù)即可求出的取值范圍；
（ii）當(dāng)取得最小值時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，即可求得．
【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)作于

由點(diǎn)，得
∵，
∴，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
（2）（i）由平移知，是直角三角形，，，
∵在中，
∴.
∴在中，，
∴，
∵
即，故
所以t的取值范圍為：
（ii）當(dāng)取得最小值時(shí)，即垂直平分，此時(shí)
即，故點(diǎn)的坐標(biāo)為
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，平移的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，是對(duì)角線的中點(diǎn)，且交于點(diǎn)．

(1)如圖①，求點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)將沿軸向右平移得，點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，設(shè)．
（?。┤鐖D②，與重疊部分的面積為．當(dāng)與重疊部分為三角形時(shí)，與相交于點(diǎn)，試用含有的式子表示，并直接寫出的取值范圍；
（ⅱ）若與四邊形重疊部分的面積為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)，
(2)（?。唬áⅲ?br>【分析】（1）過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，根據(jù)矩形的性質(zhì)，求得，得到，進(jìn)而得到，，，再利用特殊角的三角函數(shù)值，求出，，即可得到點(diǎn)D、點(diǎn)E坐標(biāo)；
（2）（?。┯善揭频男再|(zhì)可知，，，得到，利用特殊角的三角函數(shù)值，求出，再根據(jù)三角形面積公式用含有的式子表示，即可得到答案；
（ⅱ）分四種情況討論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)， ；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別求解，即可求出的取值范圍．
【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)G，
四邊形是矩形，，，，
，，，
在中，，
，
，
是對(duì)角線的中點(diǎn)，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
；
（2）解：（?。┯善揭频男再|(zhì)可知，，，
，
，
，
，
當(dāng)與重疊部分為三角形時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A重合時(shí)，此時(shí)，
的取值范圍為，

（ⅱ）由平移的性質(zhì)可知，，，，，
由（1）可知，，
，
①當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)F，此時(shí)，

，，
，
在中，，，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
；
②當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)H，此時(shí)，
，
，
，
，
，
，
由①可知，，
，
當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
；
③當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)G，此時(shí)，
符合（?。┖瘮?shù)關(guān)系式，，
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
；
④當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
符合（?。┖瘮?shù)關(guān)系式，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
綜上可知，若與四邊形重疊部分的面積為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，本題綜合性較強(qiáng)，有一定難度，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．
20．（2023·天津·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，四邊形為矩形，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿方向運(yùn)動(dòng)，且．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．作關(guān)于直線對(duì)稱的圖形，得到，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，設(shè)．

(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，求的大小和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖②，點(diǎn)落在矩形內(nèi)部（不含邊界）時(shí)，，分別與軸相交于點(diǎn)，，若與矩形重疊部分是四邊形時(shí)，求重疊部分的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；
(3)當(dāng)與矩形重疊部分的面積為時(shí)，則的值可以是______（直接寫出兩個(gè)不同的值即可）．
【答案】(1)，點(diǎn)的坐標(biāo)為
(2)，
(3)，
【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)題意可得，，由對(duì)稱可知，，則，在中，利用含角的直角三角形性質(zhì)即可求出，的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，，由平角的定義得到，由平行線的性質(zhì)可得，于是求得，由此得到，由可得，，，，，由圖可知，根據(jù)三角形面積公式代入計(jì)算即可；
（3）在（2）的條件下時(shí)，解得，再根據(jù)圖象檢驗(yàn)符合題意，當(dāng)點(diǎn)落在矩形外部時(shí)，且過點(diǎn)時(shí)，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，同樣可得重疊部分的面積為，以此可發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，與矩形重疊部分的圖形均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且面積為定值．
【詳解】（1）過點(diǎn)作，垂足為
∵四邊形是矩形
∴，，
如圖①，當(dāng)點(diǎn)F與原點(diǎn)O重合時(shí)

根據(jù)軸對(duì)稱可知，，
∴
在中，
有
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為
（2）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)

∴
∵四邊形為矩形
∴，
∴
根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得：，
∴
∵
∴
∴
∴，即
∴的取值范圍為：
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在軸負(fù)半軸上

根據(jù)軸對(duì)稱可知，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
由①知，
∴，
y
（3）在（2）的條件下時(shí)，
解得
當(dāng)時(shí)，如圖

此時(shí)
∴，符合題意
點(diǎn)落在矩形外部時(shí)，且過點(diǎn)時(shí)
如圖，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)

則
∵，
∴
∴△AME為等邊三角形
∴
∴，
∴
此時(shí)
以此可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)與矩形重疊部分的圖形均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且面積為定值．
故答案為：，（答案不唯一，滿足即可）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、對(duì)稱的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，正確理解題意，根據(jù)描述正確作出不同條件下的圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題關(guān)鍵．
21．（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）平面直角坐標(biāo)系中，正方形的點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)，另有一動(dòng)點(diǎn)，連接．
(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接交軸于點(diǎn)．

①若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求線段的長(zhǎng)；
②設(shè)點(diǎn)，，試用含的式子表示．
(2)當(dāng)點(diǎn)滿足，（點(diǎn)不與點(diǎn)其合），連接．現(xiàn)在以為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，求當(dāng)取得最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可知，，由，可得．然后在中，利用勾股定理即可求得；②由，可得根據(jù)三角形的面積公式求出那么；
（2）根據(jù)知點(diǎn)E在以A為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，而是由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,則點(diǎn)P在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)最大，運(yùn)用勾股定理求出，以及，可得結(jié)論．
【詳解】（1）①由題設(shè)，知，；
∵，，
∴，，
在中，.
②∵，，
∴，.
∴，.
∴.
（2）∵
∴點(diǎn)E在以A為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，而是由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,則點(diǎn)P在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)最大，
連接并延長(zhǎng)，與的交點(diǎn)為點(diǎn)P，如圖，

將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
過作于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作軸于點(diǎn)F，
由旋轉(zhuǎn)得,是等邊三角形，
∴，
∴，
又為中點(diǎn)，
∴
∴，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，其中涉及到旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，二次函數(shù)最值的求法以及圓的有關(guān)計(jì)算等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
22．（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的坐標(biāo)分別為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線方向移動(dòng)，作關(guān)于直線的對(duì)稱圖形，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)如圖①，若，求的長(zhǎng)；
(2)如圖②，若點(diǎn)恰好落在上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)是否存在異于圖②的時(shí)刻，使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合題意的值？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，當(dāng)時(shí)，，在中，勾股定理即可求解；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，，，在中求得，進(jìn)而在中，，勾股定理建立方程即可求解；
（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，根據(jù)勾股定理與折疊的性質(zhì)，分別建立方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：∵矩形的坐標(biāo)分別為點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
在中，；
（2）解：依題意，，，，
在中，，
∴
在中，
∴
解得：
∴；
（3）解：如圖所示，當(dāng)時(shí)，
根據(jù)折疊可得
∴點(diǎn)在軸上，此時(shí)是等腰直角三角形，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在上，
∴
∴,
∵，
∴
在中，
解得：
當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，
∴，，
在中，
∴,
在中，
∴，
解得：

綜上所述，或或
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，勾股定理與折疊問題，畫出圖形分類討論是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·天津?yàn)I海新·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在x軸正半軸上，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)C，D分別在邊和上，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．現(xiàn)將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)E和F．

(1)如圖①，連接，當(dāng)時(shí)，求；
(2)如圖②，連接，，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)F落到x軸（點(diǎn)F在點(diǎn)B的右側(cè)）時(shí)，求的面積；
(3)如圖③，連接，，若點(diǎn)G，H分別是，的中點(diǎn)，連接，，，得，是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；若的面積是S，請(qǐng)直接寫出S的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)是等邊三角形，理由見解析；
【分析】（1）過E作于M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，，然后利用勾股定理求解即可；
（2）證明，利用平行線間的距離處處相等和等底等高的三角形面積相等得到，利用等邊三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求；
（3）證明和得到，，利用等邊三角形的判定可得結(jié)論；根據(jù)題意可得，，則可知點(diǎn)E在以B圓心，2為半徑的圓上，點(diǎn)G在以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓上，進(jìn)而得到的最小值和最大值，根據(jù)三角形的面積公式和銳角三角函數(shù)求解即可得到S的取值范圍．
【詳解】（1）解：如圖①，過E作于M，則，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，
∴，，又，
∴，
在中，；
（2）解：如圖②，由題意，，則，
∴，
過B作于P，則，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：是等邊三角形，理由為：
如圖③，由題意，，，，
∴，
∴，，
∵點(diǎn)G，H分別是，的中點(diǎn)，
∴，又，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等邊三角形；
由題意，在旋轉(zhuǎn)的過程中，，則點(diǎn)E在以B為圓心，2為半徑的圓上，
∵，，
∴，又，
∴，則點(diǎn)G在以點(diǎn)C為圓心，1為半徑的圓上，如圖3，
由圖知，的最小值為，此時(shí)的面積最小為，
的最大值為，此時(shí)的面積最大為，
∴的面積S的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線間的距離、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、圓的相關(guān)性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，解（2）的關(guān)鍵是得到，解（3）的關(guān)鍵是得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡．
24．（2023·天津西青·統(tǒng)考二模）將直角三角形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)，點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），折疊該紙質(zhì)，使折痕所在的直線經(jīng)過點(diǎn)，并與邊交于點(diǎn)，且，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．設(shè)．

(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求的大小和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，，分別與交于點(diǎn)，，試用含有的式子表示的長(zhǎng)，并直接寫出的取值范圍；
(3)請(qǐng)直接寫出折疊后重合部分面積的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，由折疊的性質(zhì)得是等邊三角形，，可得軸，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)即可得到答案；
（2）證明四邊形是菱形，則，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，由，即可求解；
（3）分別求出當(dāng)時(shí)，折疊后重合部分面積最大值為；當(dāng)時(shí)，重疊部分是四邊形，求出面積的最大值，即可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖①中，過點(diǎn)作于，

，點(diǎn)，
，
，
是等邊三角形，
點(diǎn)，，
，
由折疊的性質(zhì)得是等邊三角形，
，
軸，，，
，
延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，
，，
，
，
，
；
（2）解：由折疊可知，，
，
是等邊三角形，
，
四邊形是菱形，
，
，
，
，
點(diǎn)，
，
，
；
（3）解：當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，重疊部分是，如圖所示，

由（2）可知，是等邊三角形，
由折疊的性質(zhì)可知也是等邊三角形，
，
，
，
點(diǎn)，
，
，
，
，
，，
當(dāng)時(shí)，折疊后重合部分面積最大，
，
當(dāng)時(shí)，重疊部分是四邊形折疊后重合部分面積，

，
由（2）知，，
，
，，
，，
折疊后重合部分面積：
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，為，
，
折疊后重合部分面積的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的判定和性質(zhì)，翻折變換，多邊形的面積，解直角三角形，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
25．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考二模）如圖，將一個(gè)直角三角形紙片AOB放置在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．D，E兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)D以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，連接，交于點(diǎn)F，將沿直線折疊得到，設(shè)D，E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)求的度數(shù)及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)若折疊后與重疊部分的面積為S，
①當(dāng)折疊后與重疊部分的圖形為三角形時(shí)，請(qǐng)寫出S與t的函數(shù)解析式并直接寫出t的取值范圍；
②求S的最大值（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)；
(2)①；②有最大值
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求得的長(zhǎng)，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求得；
（Ⅱ）①分點(diǎn)落在線段上和點(diǎn)落在線段延長(zhǎng)線上兩種情況討論，利用特殊角的三角函數(shù)值以及三角形面積公式即可求解；
②畫出圖形，根據(jù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得重疊部分面積最大值．
【詳解】（1），，，
，
；
；
，，，
，
；
（2）①，，
，即，
將沿直線折疊得到，折疊后的點(diǎn)落在直線上，
如圖，當(dāng)點(diǎn)落在線段上，與重疊部分是，

此時(shí)，
，，
，
，
；
如圖，當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，與重疊部分是，

設(shè)與交于點(diǎn)，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
．
解：②當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，與重疊部分是，
，，，
，，，
∴，
∴
∴對(duì)稱軸為，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與軸的交點(diǎn)、用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、運(yùn)用三角函數(shù)解三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，對(duì)運(yùn)算能力要求比較高，運(yùn)用分類討論和割補(bǔ)法是解決第（2）小題的關(guān)鍵．
26．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，是直角三角形，，，點(diǎn)，射線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)C，線段上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D，沿直線折疊，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，軸．

(1)如圖①，若點(diǎn)落x軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)設(shè)．
①如圖②，折疊后的與重疊部分為四邊形，和分別與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，試用含t的式子表示的長(zhǎng)，并直接寫出t的取值范圍；
②若與重疊部分的面積S，當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍．（直接寫出結(jié)果即可）
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，然后求出，進(jìn)而得到，然后得到，求出，即可求出；
（2）①首先由折疊性質(zhì)得到，，然后得到，利用角直角三角形的性質(zhì)得到，最后利用勾股定理求解即可；
②首先證明出是等邊三角形，然后結(jié)合①得到，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）由折疊可得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①如圖所示，

由折疊可得，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵當(dāng)點(diǎn)C在x軸上時(shí)，，
∴，
∵折疊后的與重疊部分為四邊形，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴與重疊部分的面積，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，S有最小值，
綜上所述，S的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)問題，折疊問題勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
27．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．記旋轉(zhuǎn)角為．

(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖②，連接，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，求的長(zhǎng)；
(3)設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，求線段的長(zhǎng)的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）過點(diǎn)作軸，利用，可得，利用和可得點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，從而得知點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，利用和是等邊三角形可得，即點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，從而得解；
（2）過點(diǎn)作軸，垂足為，推導(dǎo)，從而得出，再計(jì)算，用勾股定理得，從而得解；
（3）取線段的中點(diǎn)N，連接、，則，用中位線定理求，用勾股定理求，最后利用求范圍．
【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為．

∵點(diǎn)，
∴．
∵，
∴．
在中，．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴是等邊三角形，
∵，軸
∴．
∴．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為．

由旋轉(zhuǎn)得，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，．
（3）
解：取線段的中點(diǎn)N，連接、，則

∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，
∴
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
∴
∴
即
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，中位線定理，勾股定理等知識(shí)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
28．（2023·天津河北·統(tǒng)考三模）將兩個(gè)等腰直角三角形紙片和放在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，并將會(huì)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖的位置時(shí)，，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)：
(2)如圖，連接，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到軸的右側(cè)，且點(diǎn)，，三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，
①求證：；
②求的長(zhǎng)．
(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到使得的度數(shù)最大時(shí)，求的面積（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)
(2)①見解析；②
(3)
【分析】（Ⅰ）如圖①中，過點(diǎn)作于．解直角三角形求出，，可得結(jié)論．
（Ⅱ）如圖②中，過點(diǎn)作于．首先證明，推出，求出，可得結(jié)論．
（Ⅲ）如圖③中，當(dāng)時(shí)，的值最大，此時(shí)，．再證明，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖①中，過點(diǎn)作于．

繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
，
，，
，．
（2）解：①證明：如圖②中，過點(diǎn)作于．

，
，
，，
；
②解：；
，
在中，，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：如圖③中，當(dāng)時(shí)，的值最大，此時(shí)，．

過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作于．
，
，
，，
，
，
，，，
．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
29．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？既＃┌褍蓚€(gè)等腰直角三角形紙片△OAB和△OCD放在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，，將△OCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
(1)當(dāng)△OCD旋轉(zhuǎn)至如圖的位置時(shí)，，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)△OCD旋轉(zhuǎn)至B，C，D三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，求AC的長(zhǎng)；
(3)當(dāng)△OCD旋轉(zhuǎn)至∠OBC的度數(shù)最大時(shí)，則△OAD的面積為 ．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）如圖①中，過點(diǎn)C作CE⊥OA于E，解直角三角形求出OE，CE，可得出結(jié)論；
（2）要分△OCD在y軸左側(cè)還是右側(cè)兩種情況：如圖②中,當(dāng)在y軸右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)O作OF⊥BD于F；當(dāng)在y軸左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)O作OG⊥BD于點(diǎn)G，首先證明，推出AC=BD，求出BD，即可得出結(jié)論；
（3）如圖③中，當(dāng)OC⊥BC時(shí)，∠OBC的值最大，此時(shí)，，再證明，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解∶ 如圖①中，過點(diǎn)C作CE⊥OA于E，
∵繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：如圖②中，
當(dāng)△OCD旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸右側(cè)時(shí)，過點(diǎn)O作OF⊥BD于F，
∵，
∴，
∵OA=OB，OC=OD，
∴
∴AC=BD，
在中，，
∵OF⊥CD，OC=OD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
當(dāng)△OCD旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)O作OG⊥BD于點(diǎn)G，
∵，
∴，
∵OA=OB，OC=OD，
∴
∴AC=BD，
在中，，
∵OG⊥CD，OC=OD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
綜上，AC=．
（3）解：當(dāng)OC⊥BC時(shí)，∠OBC的值最大，此時(shí)，，
過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，過點(diǎn)C作CE⊥OB于E，
∵，
∴，
∵，OC=OD，
∴，
∴EC=DF，
∵，，OB=OA，
∴．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．
30．（2023·天津河西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形的邊上，折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點(diǎn)P，并與x軸的正半軸相交于點(diǎn)Q，且，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限．設(shè)．
(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求的大小和點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖②，若折疊后重合部分為四邊形，，分別與邊相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，試用含有t的式子表示重疊部分的面積S，并寫出t的取值范圍；
(3)①當(dāng)折痕恰好過A點(diǎn)時(shí)，求折疊后重合部分的面積___________；
②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，求折疊后重合部分的面積___________．（直接寫出答案即可）
【答案】(1)，
(2)
(3)①，②
【分析】（1）在中，由，由題意可得：，根據(jù)折疊，知從而求得，如圖，過點(diǎn)作，垂足為H，在中解三角形即可；
（2）如圖，由題意可知，，即，由（1）可求得，然后解、，當(dāng)在上時(shí)，，即，當(dāng)在上時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，可求解
（3）①由（2）可知，當(dāng)折痕恰好過A點(diǎn)時(shí)，，即，代入即可；
②如圖，由題意可知，，，得，，由，可求得，即可求解．
【詳解】（1）在中，由，
由題意可得：，
根據(jù)折疊，知，
，
如圖，過點(diǎn)作，垂足為H，則，
，
當(dāng)時(shí)，
，，
，，
；
（2）如圖，由題意可知，
，，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
同理可得，
當(dāng)在上時(shí)，，即，
當(dāng)在上時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，
；
（3）①由（2）可知，當(dāng)折痕恰好過A點(diǎn)時(shí)，
，即，，
故答案為：；
②如圖，由題意可知，
，，
，，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形有關(guān)的折疊問題，勾股定理，解直角三角形，含直角三角形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)和利用三角函數(shù)解直角三角形．
31．（2023·天津河?xùn)|·天津市第七中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，．記旋轉(zhuǎn)角為．
（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）連接，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，求線段的長(zhǎng)的最小值（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得，，從而求出，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)在線段上，然后利用銳角三角函數(shù)即可求出結(jié)論；
（2）連接，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，然后利用銳角三角函數(shù)可得，，求出OD，即可得出結(jié)論；
（3）連接，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，取的中點(diǎn)N，連接、MN，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得MN=OB=，利用勾股定理求出，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)作，垂足為．
∵ 點(diǎn)，點(diǎn)，
∴ ，．
∴ ，．
∵ 是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，，
∴ ，點(diǎn)在線段上．
∴ ．
在中，，．
∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）如圖，連接，過點(diǎn)作，垂足為．
∵ ，，
∴ ，．
∴ ．
在中，，．
∴ ．
∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（3）連接，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，取的中點(diǎn)N，連接、MN
∴MN為△A′OB的中位線，
∴MN=OB=
由勾股定理可得
∴≥－MN=（當(dāng)且僅當(dāng)M 在線段O′N上時(shí)，取等號(hào)）
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】此題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理和三角形中位線的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理和三角形中位線的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
32．（2023·天津武清·校考模擬預(yù)測(cè)）如如圖，將一個(gè)直角三角形紙片AOB，放置在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O(0，0)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上， OA=2，∠ABO=90°，∠AOB=30°．D，E兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，D點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，連接DE，交OA于點(diǎn)F，將△OEF沿直線DE折疊得到△O′EF，設(shè)D，E兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（Ⅰ）求點(diǎn)的坐標(biāo)及的度數(shù)；
（Ⅱ）若折疊后與重疊部分的面積為，
①當(dāng)折疊后與重疊部分的圖形為三角形時(shí)，請(qǐng)寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍；
②當(dāng)重疊部分面積最大時(shí)，把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，連接，求面積的最大值（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）①；②
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求得OB的長(zhǎng)，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求得∠OED=60°；
（Ⅱ）①分點(diǎn)O′落在線段OA上和點(diǎn)O′落在線段OA延長(zhǎng)線上兩種情況討論，利用特殊角的三角函數(shù)值以及三角形面積公式即可求解；
②利用①的方法求得△O′EF與△AOB重疊部分是四邊形時(shí)，函數(shù)的解析式，再比較求得重疊部分面積最大時(shí)，t的值，當(dāng)PQ垂直AE的延長(zhǎng)線時(shí)，點(diǎn)A到直線PQ的距離AH最長(zhǎng)，△APQ面積取得最大值，根據(jù)面積公式即可求解．
【詳解】解：（Ⅰ）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OA=2，
∴AB=OA=1，
∴，
∴A(1，)，
∵∠EOD=90°， OE=t， OD=t，
∴tan∠OED= =，
∴∠OED=60°；
（Ⅱ）①∵∠OED=60°，∠AOB=30°，
∴∠OFE=90°，
∴OA⊥DE，
∴將△OEF沿直線DE折疊得到△O′EF，折疊后點(diǎn)O′落在直線OA上，
如圖，當(dāng)點(diǎn)O′落在線段OA上，△O′EF與△AOB重疊部分是三角形時(shí)，

∵△OEF沿直線DE折疊得到△O′EF，
∴△OEF≌△O′EF．
∴OE=O′E=t，∠EO′F=∠EOF=30°，
∴EF=O′E=t．
∴，
∴；
如圖，當(dāng)點(diǎn)O′落在線段OA延長(zhǎng)線上，△O′EF與△AOB重疊部分是三角形時(shí)，設(shè)AB與EF交于點(diǎn)M．

∵，
∴，
，
，
，
．
．
，
．
，
．
；
②如圖，當(dāng)點(diǎn)O′落在線段OA延長(zhǎng)線上，△O′EF與△AOB重疊部分是四邊形時(shí)，設(shè)AB與EF交于點(diǎn)G．
∵，
∴EF=，OF=，∠BEG=60，∠BGE=30，
∴BE=，BG =，
∴
()，
對(duì)稱軸為，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值；
由①知()，對(duì)稱軸為，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值；
()，對(duì)稱軸為，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值；
綜上，當(dāng)，即OE時(shí)，有最大值；
當(dāng)PQ垂直AE的延長(zhǎng)線時(shí)，點(diǎn)A到直線PQ的距離AH最長(zhǎng)，△APQ面積取得最大值，如圖，
∵OE，
∴BE=BO-OE，
∴AE，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：QE= OE，∠EQH=∠EOF=30，
∴EH=，QH=，PQ=2QH=，
∴AH=AE+EH=，
△APQ面積=．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與x軸的交點(diǎn)、用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、運(yùn)用三角函數(shù)解三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)，對(duì)運(yùn)算能力要求比較高，運(yùn)用分類討論和割補(bǔ)法是解決第（2）小題的關(guān)鍵．

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